1 倒易点阵
1.1 倒易点阵
在晶面指数与晶面间距中为了描述晶面系, 引入了晶面指数
𝐻𝑥
′
+ 𝐾 𝑦
′
+ 𝐿𝑧
′
= 𝐷, 𝐷 ∈ Z
(𝐻, 𝐾, 𝐿) 这样的描述仍然不够直观, 希望用晶面系的法向量以及晶面系的间距来描述晶面系
为了达到这个目的, 首先需要在三维的实空间中描述晶面. 实空间中的坐标和晶格坐标系下的坐标满足线
性变换关系
©
«
𝑥
𝑦
𝑧
ª
®
®
®
¬
=
a
1
a
2
a
3
©
«
𝑥
′
𝑦
′
𝑧
′
ª
®
®
®
¬
⇒
©
«
𝑥
′
𝑦
′
𝑧
′
ª
®
®
®
¬
=
a
1
a
2
a
3
−1
©
«
𝑥
𝑦
𝑧
ª
®
®
®
¬
也就是说要求解 (a
1
, a
2
, a
3
) 的逆矩阵, 这看似不可完成, 实际上只要注意到混合积的性质
a
i
· (a
j
× a
k
) = 𝛿
𝑖 𝑗 𝑘
𝑉
其中的 𝑉 是平行六面体的体积. 上式也可用矩阵写为
a
2
× a
3
a
3
× a
1
a
1
× a
2
𝑇
a
1
a
2
a
3
= 𝑉 𝐼
那么就能很轻易地写出逆矩阵
a
1
a
2
a
3
−1
=
1
𝑉
a
2
× a
3
a
3
× a
1
a
1
× a
2
𝑇
也就能写出实空间中的晶面系方程
𝐻 𝐾 𝐿
a
2
× a
3
𝑉
a
3
× a
1
𝑉
a
1
× a
2
𝑉
𝑇
©
«
𝑥
𝑦
𝑧
ª
®
®
®
¬
= 𝐷, 𝐷 ∈ Z
这是平面方程, 三个坐标的系数即为法向, 从而法向量为 (未归一化)
n =
©
«
𝐻
′
𝐾
′
𝐿
′
ª
®
®
®
¬
=
a
2
× a
3
𝑉
a
3
× a
1
𝑉
a
1
× a
2
𝑉
©
«
𝐻
𝐾
𝐿
ª
®
®
®
¬
这就完成了第一个目标. 为了计算面间距, 利用晶体面间距公式 (见晶面指数与晶面间距)
𝑑 =
1
√
𝐻
′2
+ 𝐾
′2
+ 𝐿
′2
这也就是说
𝑑 =
1
|n|
那么就完成了第二个目标. 至此, 正式引入倒易点阵, 点阵的基矢为
b
1
= 2𝜋
a
2
× a
3
𝑉
, b
2
= 2𝜋
a
3
× a
1
𝑉
, b
3
= 2𝜋
a
1
× a
2
𝑉
其中的格点称为倒格矢
G
𝐻𝐾 𝐿
= 𝐻b
1
+ 𝐾b
2
+ 𝐿b
3
, 𝐻, 𝐾, 𝐿 ∈ Z
它是晶面系
(
𝐻, 𝐾, 𝐿
)
的法向量, 其模长是晶面间距的倒数
𝑑
𝐻𝐾 𝐿
=
2
𝜋
|G
𝐻𝐾 𝐿
|
1.2 物理量在周期性条件下的傅里叶级数
晶体中的原子排列是周期性的. 那么对于任意的如下平移矢量作用下
𝑇 = 𝑛
1
a
1
+ 𝑛
2
a
2
+ 𝑛
3
a
3
任意的物理量 𝑄(r) 应该不变, 即
𝑄(r) = 𝑄(r +𝑇)
先考虑简单的一维情形, 对于物理量 𝑄(𝑥), 周期性条件要求
𝑄(𝑥) = 𝑄 (𝑥 + 𝑎)
将其展开为傅里叶级数
𝑄(𝑥) = 𝑛
0
+
∞
Õ
𝑛=1
𝐶
𝑛
cos
2𝜋𝑛𝑥
𝑎
+ 𝑆
𝑛
sin
2𝜋𝑛𝑥
𝑎
其中 𝑛 为整数, 𝐶
𝑛
和 𝑆
𝑛
为系数. 𝑄(𝑥) 是实函数, 所以 𝐶
𝑛
和 𝑆
𝑛
是实数. 可以验证它满足周期性条件
𝑄(𝑥 + 𝑎) = 𝑛
0
+
∞
Õ
𝑛=1
𝐶
𝑛
cos
2𝜋 +
2𝜋𝑛𝑥
𝑎
+ 𝑆
𝑛
sin
2𝜋 +
2𝜋𝑛𝑥
𝑎
= 𝑄(𝑥)
将傅里叶变换写为指数形式
𝑄(𝑥) =
∞
Õ
𝑛=−∞
𝑄
𝑛
𝑒
𝑖2 𝜋𝑛𝑥/𝑎
为了保证 𝑄(𝑥) 是实函数, 𝑛 取负数与取正数的项其虚部应当正负相消
𝑄
𝑛
cos
2𝜋|𝑛|𝑥
𝑎
+𝑖 sin
2𝜋|𝑛|𝑥
𝑎
+ 𝑄
−𝑛
cos
2𝜋|𝑛|𝑥
𝑎
−𝑖 sin
2𝜋|𝑛|𝑥
𝑎
= 𝐶
𝑛
cos
2𝜋𝑛𝑥
𝑎
+ 𝑆
𝑛
sin
2𝜋𝑛𝑥
𝑎
也就要求
𝑄
𝑛
+ 𝑄
−𝑛
= 𝐶
𝑛
𝑖(𝑄
𝑛
− 𝑄
−𝑛
) = 𝑆
𝑛
由于 𝐶
𝑛
和 𝑆
𝑛
是实数, 所以上式即要求 𝑄
𝑛
与 𝑄
−𝑛
是共轭复数
𝑄
−𝑛
= 𝑄
∗
𝑛
此时
𝑆
𝑛
= 2𝑖𝐼𝑚(𝑄
𝑛
)
𝐶
𝑛
= 2𝑅𝑒(𝑄
𝑛
)
傅里叶系数如下给出
𝑄
𝑛
=
1
𝑎
∫
𝑎
0
𝑄(𝑥)𝑒
−𝑖2 𝜋𝑛𝑥/𝑎
𝑑𝑥
证明它只需要代入 𝑄(𝑥) 的傅里叶级数展开式
𝑄
𝑛
=
1
𝑎
∫
𝑎
0
"
∞
Õ
𝑛
′
=−∞
𝑄
𝑛
′
𝑒
𝑖2 𝜋𝑛
′
𝑥/𝑎
#
𝑒
−𝑖2 𝜋𝑛𝑥/𝑎
𝑑𝑥
交换积分与求和次序
𝑄
𝑛
=
∞
Õ
𝑛
′
=−∞
𝑄
𝑛
′
1
𝑎
∫
𝑎
0
𝑒
𝑖2 𝜋 (𝑛
′
−𝑛)𝑥/𝑎
𝑑𝑥
当 𝑛
′
≠ 𝑛 时, 积分为 0; 当 𝑛
′
= 𝑛 时, 积分为 𝑎, 所以上式等价于
𝑄
𝑛
= 𝑄
𝑛
这是一个恒等式, 即完成了证明
对于三维情形, 物理量 𝑄(r) 需要满足周期性条件
𝑄(r) = 𝑄(r + R), R = 𝑛
1
a
1
+ 𝑛
2
a
2
+ 𝑛
3
a
3
由于晶格基矢的方向不一定是坐标轴, 在实空间中的不好描述, 因而通过坐标变换将其变换到格矢坐标系
下考察, 即
𝑄
′
(r
′
) = 𝑄(𝑇 r
′
), 𝑇 =
a
1
a
2
a
3
, r
′
=
©
«
𝑥
′
𝑦
′
𝑧
′
ª
®
®
®
¬
在格矢坐标系下, 物理量 𝑄 在三个方向上周期都为 1, 从而可以展开三维傅里叶级数
𝑄
′
(r
′
) =
∞
Õ
𝑛
1
,𝑛
2
,𝑛
3
=−∞
𝑄
𝑛
1
𝑛
2
𝑛
3
𝑒
𝑖k
𝑇
r
′
, k = 2𝜋
©
«
𝑛
1
𝑛
2
𝑛
3
ª
®
®
®
¬
为了将其变换回实空间, 利用 r = 𝑇 r
′
, 即 r
′
= 𝑇
−1
r, 代入上式
𝑄(r) = 𝑄
′
(𝑇
−1
r) =
∞
Õ
𝑛
1
,𝑛
2
,𝑛
3
=−∞
𝑄
𝑛
1
𝑛
2
𝑛
3
𝑒
𝑖k
𝑇
𝑇
−1
r
注意到
k
𝑇
𝑇
−1
= 2𝜋
𝑛
1
𝑛
2
𝑛
3
a
2
× a
3
𝑉
a
3
× a
1
𝑉
a
1
× a
2
𝑉
𝑇
=
𝑛
1
b
1
+ 𝑛
2
b
2
+ 𝑛
3
b
3
这正是倒格矢 (这也就是为什么要引入 2𝜋 的系数), 所以 𝑄 (r) 的傅里叶级数写为
𝑄(r) =
Õ
G
𝑄
G
𝑒
𝑖G·r
可以验证它满足周期性条件, 这说明
倒格矢是晶格周期性的基元
𝑄(r + R) =
Õ
G
𝑄
G
𝑒
𝑖G·(r+R)
=
Õ
G
𝑄
G
𝑒
𝑖G·r
= 𝑄(r)
为了得到傅里叶系数 𝑄
G
, 在两边乘以 𝑒
−𝑖G
′
·r
并积分
∫
𝑐𝑒𝑙𝑙
𝑄(r)𝑒
−𝑖G
′
·r
𝑑r =
∫
𝑐𝑒𝑙𝑙
Õ
G
𝑄
G
𝑒
𝑖 (G−G
′
)·r
𝑑r
其中积分区域是一个周期, 即原胞. 交换积分与求和次序得到
∫
𝑐𝑒𝑙𝑙
𝑄(r)𝑒
−𝑖G
′
·r
𝑑r =
Õ
G
𝑄
G
∫
𝑐𝑒𝑙𝑙
𝑒
𝑖 (G−G
′
)·r
𝑑r
同样, 当 G ≠ G
′
时, 积分为 0; 当 G = G
′
时, 积分为晶胞体积 𝑉, 所以上式等价于
𝑄
G
=
1
𝑉
∫
𝑐𝑒𝑙𝑙
𝑄(r)𝑒
−𝑖G·r
𝑑r
这就给出了傅里叶系数的表达式
2 晶格性质的周期性与布里渊区
晶体中的物理量只会体现在晶格格点上, 这是因为物理量只有作用在实体原子上才能体现其效果. 如果将
周期的物理量视为平面波, 假设其波矢为 k, 那么各个格点上的相位为
k · R = k · (𝑛
1
a
1
+ 𝑛
2
a
2
+ 𝑛
3
a
3
), 𝑛
1
, 𝑛
2
, 𝑛
3
∈ Z
注意到对于任意的倒格矢
G = 𝐻b
1
+ 𝐾b
2
+ 𝐿b
3
, 𝐻, 𝐾, 𝐿 ∈ Z
k 变化一个倒格矢, 每个格点上的相位都变化 2𝜋 的整数倍
(k + G) · R = k · R + 2𝜋(𝐻𝑛
1
+ 𝐾𝑛
2
+ 𝐿𝑛
3
)
同样, 若希望找到另一个波矢 k
′
使得格点上相位变化 2𝜋 的整数倍, k
′
− k 也必须是倒格矢
周期性物理量的波矢 k 变化一个倒格矢时, 在晶体中的作用完全相同
这意味着波矢 k 的取值范围可以限制在一个倒格矢的区域内, 这个区域称为布里渊区. 也就是这样一个
区域 𝒟
1. 对于任意的波矢 k, 存在一个波矢 k
′
∈ 𝒟, 使得 k − k
′
是一个倒格矢
2. 对于任意的非边界波矢 k
′
∈ 𝒟 和任意的倒格矢 G, k
′
+ G ∉ 𝒟
注意到布里渊区一定是关于原点中心对称的, 这是因为任意的倒格矢 G, 其中心对称 −G 也是倒格矢. 这
样的区域有无穷多个, 其边界上的波矢 k 满足方程
k · G =
1
2
|G|
2
称为布里渊区的界面方程. 注意到满足该条件的 k 处于 G 的垂直平分面上, 可以按照如下的步骤确定布
里渊区
• 在倒易点阵中, 作所有倒格矢的垂直平分面, 倒易空间被这些平面分成许多包围原点的多面体区域
• 最靠近原点的平面所围成的区域为第一布里渊区
• 第一布里渊区的边界与次远垂直平分面所围成的区域为第二布里渊区, 以此类推
二维斜点阵的第一布里渊区可以画出如下
事实上
第一布里渊区是倒易点阵的 Wigner-Seitz 原胞
