1 Kronig-Penny 模型
Kronig-Penny 一维方势场如图所示, 势阱宽 𝑎, 势垒宽 𝑏, 高度为 𝑈
0
根据 Bloch 定理, 其中粒子的波函数应该具有 Bloch 函数的形式
𝜓(𝑥) = 𝑒
𝑖𝑘𝑥
𝑢
𝑘
(𝑥)
薛定谔方程为
−
ℏ
2
2𝑚
𝑑
2
𝑑𝑥
2
+ 𝑈(𝑥)
𝜓(𝑥) = 𝐸𝜓 (𝑥)
针对两种区域, 其具体形式不同
d
2
𝑑𝑥
2
𝜓(𝑥) +
2𝑚
ℏ
2
(𝐸 − 𝑈
0
)𝜓 (𝑥) = 0 𝑥 ∈ (−𝑏, 0)
d
2
𝑑𝑥
2
𝜓(𝑥) +
2𝑚
ℏ
2
𝐸𝜓(𝑥) = 0 𝑥 ∈ (0, 𝑎)
其解为
𝜓
(
𝑥
)
=
𝐴𝑒
𝑖 𝛼𝑥
+ 𝐵 𝑒
−𝑖 𝛼𝑥
, 𝑥 ∈ (0, 𝑎), 𝛼 =
p
2𝑚𝐸/ℏ
2
𝐶𝑒
𝛽𝑥
+ 𝐷𝑒
−𝛽 𝑥
, 𝑥 ∈ (−𝑏, 0), 𝛽 =
p
2𝑚(𝑈
0
− 𝐸)/ℏ
2
, 𝐸 =
ℏ
2
𝛼
2
2𝑚
, 𝑥 ∈ (0, 𝑎)
𝑈
0
−
ℏ
2
𝛽
2
2𝑚
, 𝑥 ∈ (−𝑏, 0)
在两处边界 𝑥 = 0 和 𝑥 = 𝑎 处, 波函数及其一阶导数连续, 从而给出四个约束
𝐴 + 𝐵 = 𝐶 + 𝐷
𝑖𝛼(𝐴 − 𝐵) = 𝛽(𝐶 − 𝐷)
𝐴𝑒
𝑖 𝛼𝑎
+ 𝐵𝑒
−𝑖 𝛼𝑎
= (𝐶𝑒
−𝛽𝑏
+ 𝐷𝑒
𝛽𝑏
)𝑒
𝑖𝑘 (𝑎+𝑏)
𝑖𝛼(𝐴𝑒
𝑖 𝛼𝑎
− 𝐵 𝑒
−𝑖 𝛼𝑎
) = 𝛽(𝐶𝑒
−𝛽𝑏
− 𝐷𝑒
𝛽𝑏
)𝑒
𝑖𝑘 (𝑎+𝑏)
其中后两式是利用布洛赫定理给出的将其写为矩阵形式
©
«
1 1 −1 −1
𝑖𝛼 −𝑖𝛼 −𝛽 𝛽
𝑒
𝑖 𝛼𝑎
𝑒
−𝑖 𝛼𝑎
−𝑒
−𝛽𝑏
𝑒
𝑖𝑘 (𝑎+𝑏)
−𝑒
𝛽𝑏
𝑒
𝑖𝑘 (𝑎+𝑏)
𝑖𝛼𝑒
𝑖 𝛼𝑎
−𝑖𝛼𝑒
−𝑖 𝛼𝑎
−𝛽𝑒
−𝛽𝑏
𝑒
𝑖𝑘 (𝑎+𝑏)
𝛽𝑒
𝛽𝑏
𝑒
𝑖𝑘 (𝑎+𝑏)
ª
®
®
®
®
®
¬
©
«
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
ª
®
®
®
®
®
¬
=
©
«
0
0
0
0
ª
®
®
®
®
®
¬
齐次方程有解要求系数行列式为零, 稍加整理, 得到
2𝛼𝛽
h
cos[(𝑎 + 𝑏)𝑘] − cos(𝑎𝛼) cosh(𝑏𝛽)
i
+ (𝛼 − 𝛽) (𝛼 + 𝛽) sin(𝑎𝛼) sinh(𝑏𝛽)
对于宏观大小的粒子而言, 波矢 𝑘 近似连续没有限制, 将其分离
cos[(𝑎 + 𝑏)𝑘] =
𝛼
2
− 𝛽
2
2𝛼𝛽
sin(𝑎𝛼) sinh(𝑏𝛽) + cos(𝑎𝛼) cosh(𝑏𝛽)
这仍然不好处理, 那么考虑极限情况, 令 𝑏 → 0
+
, 𝑈
0
→ +∞, 此时由于
𝛼 =
p
2𝑚𝐸/ℏ
2
, 𝛽 =
p
2𝑚(𝑈
0
− 𝐸)/ℏ
2
从而 𝛽 ≫ 𝛼. 为了简化问题, 假定 𝑈
0
𝑏 是有限的, 即它们是同阶的, 那么 𝛽𝑏 ≪ 1, 从而能够消去关于 𝛽𝑏
的三角函数, 将上式化为
𝛽
2
𝑎𝑏
2
sin(𝑎𝛼)
𝑎𝛼
+ cos(𝑎𝛼) = cos(𝑘𝑎)
注意到 𝑘 的取值没有被限制, 所以这要求等式左侧的值在 [−1, 1] 之间, 从而限制了 𝛼𝑎 的取值. 注意到
𝛽
2
𝑏 是有限的, 等式左侧是一个 𝑠𝑖𝑛 𝑐 函数与一个三角函数的和. 可以赋予参数一个值, 然后画出图
注意到只有部分的 𝛼𝑎 值是允许的, 从而能级是离散的, 也就是形成了能隙
