1 实验现象
1. 圆孔衍射: 亮暗相间的同心圆环, 中心可亮可暗, 接收屏轴向移动时中心明暗交替变化
2. 圆屏衍射: 明暗相间的同心圆环, 中心总是亮点
2 半波带法
希望将积分近似化为求和, 将波前 (球面) 划分为一系列的同心圆环带, 每一带的边缘到 𝑃
0
点的距离依次
相差半个波长, 这些圆环称为半波带
在球面上, 各次波波源的初相位相等. 相邻半波带发出的次波到达 𝑃
0
时光程差为
𝜆
2
, 相位差为 𝜋, 振动方
向相反, 叠加的效果是相消
设中心距离为 𝑏, 相位为 𝜑, 则有外圈的半波带复振幅为
Δ
˜
𝑈
1
(𝑃
0
) = 𝐴
1
(𝑃
0
)𝑒
𝑖 𝜑
1
Δ
˜
𝑈
2
(𝑃
0
) = 𝐴
2
(𝑃
0
)𝑒
𝑖 ( 𝜑
1
+𝜋 )
Δ
˜
𝑈
3
(𝑃
0
) = 𝐴
1
(𝑃
0
)𝑒
𝑖 ( 𝜑
1
+2 𝜋 )
· · ·
那么 𝑃
0
点的复振幅就是它们相加, 振幅就是取模长
𝐴(𝑃
0
) =
˜
𝑈(𝑃
0
)
=
𝑛
Õ
𝑗=1
Δ
˜
𝑈
𝑗
(𝑃
0
)
= 𝐴
1
− 𝐴
2
+ 𝐴
3
· · · + (−1)
𝑛
𝐴
𝑛
(𝑃
0
)
考察一个半波带, 希望求得其面积和倾斜因子
球冠面积有 𝑆 = 2𝜋𝑅ℎ, 微分得到
𝑑𝑆 = 2𝜋𝑅
2
sin 𝜑𝑑𝜑
在 △𝑆𝑀𝑃
0
中运用余弦定理得到
cos 𝜑 =
𝑅
2
+ (𝑅 + 𝑏)
2
− 𝑟
2
𝑚
2𝑅(𝑅 + 𝑏)
同样微分得到
sin 𝜑𝑑𝜑 =
𝑟
𝑚
𝑅(𝑅 + 𝑏)
𝑑𝑟
𝑚
于是代入 𝑑𝑆 表达式就有
𝑑𝑆 =
2𝜋𝑅𝑟
𝑚
𝑅 + 𝑏
𝑑𝑟
𝑚
由于 𝜆 很小, 那么近似就可以令 𝑑𝑟
𝑚
=
⨿
2
, 𝑑𝑆 = 𝑆
𝑚
, 于是就得到了第 𝑚 个半波带的面积有
𝑆
𝑚
𝑟
𝑚
=
Δ
Í
𝑚
𝑟
𝑚
=
𝜋𝑅
𝑅 + 𝑏
𝜆
那么菲涅尔衍射积分就化为如下求和式
˜
𝑈(𝑃
0
) = 𝐾
˜
𝑈(𝑄)𝑒
𝑖 𝜑
Δ
Í
𝑚
𝑟
𝑚
𝑛
Õ
𝑚=1
1
2
(1 + cos 𝜃
𝑚
)𝑒
𝑖 (𝑚−1) 𝜋
求和号外面的是常数, 简记为
˜
𝐴 =
𝐾
˜
𝑈𝑒
𝑖 𝜑
0
2
Δ
Í
𝑟
𝑚
那么
˜
𝑈(𝑃
0
) =
˜
𝐴
𝑛
Õ
𝑚=1
(−1)
𝑚−1
(1 + cos 𝜃
𝑚
)
简记
˜
𝑈
𝑚
为第 𝑚 个半波带发出的次波在 𝑃 点的复振幅, 其振幅为 𝐴
𝑚
˜
𝑈
𝑚
=
˜
𝐴(1 + cos 𝜃
𝑚
)(−1)
𝑚−1
, 𝐴
𝑚
=
˜
𝐴
(1 + cos 𝜃
𝑚
)
以抵消的方式求和
˜
𝑈(𝑃
0
) =
𝑛
Õ
𝑚=1
(−1)
𝑚−1
𝐴
𝑚
=
1
2
𝐴
1
+
1
2
𝐴
1
− 𝐴
2
+
1
2
𝐴
3
+ · · ·
对于自由传播的情况,𝑛 → ∞, 则
𝐴(𝑃
0
) =
1
2
𝐴
1
(𝑃
0
)
中心振幅为中心半波带振幅的一半. 对于圆屏衍射, 设前 𝑛 个半波带被遮住, 同样可以得到
𝐴
(
𝑃
0
)
=
1
2
𝐴
𝑛+1
(
𝑃
0
)
中心总是亮点
若半波带不是整数个, 将每一半波带 𝑚 等分, 相邻次波相位差
𝜋
𝑚
. 由于各列次波的倾斜因子相近, 认为它
们满足傍轴条件, 各次波振幅近似相等
因此不是整数个半波带也能得到合振动
3 菲涅耳波带片
用半波带将波面分割, 然后只让其中的奇数 (或偶数) 半波带透光, 即制成波带片, 那么在 𝑃
0
点的合振动
大大增强. 希望求得波面球冠的半径 𝜌
𝑚
由半波带定义得到
𝑟
2
𝑚
− 𝑏
2
=
𝑏 + 𝑚
𝜆
2
2
− 𝑏
2
≈ 𝑚𝜆𝑏
此处认为 𝜆 为小量. 同样的由勾股定理
𝜌
2
𝑚
= 𝑟
2
𝑚
− (𝑏 + ℎ)
2
≈ 𝑚𝜆𝑏 − 2𝑏ℎ
对另一侧的三角形使用勾股定理得到
𝜌
2
𝑚
= 𝑅
2
− (𝑅 − ℎ)
2
≈ 2𝑅ℎ
因此
𝑚𝜆𝑏 − 2𝑏ℎ = 2𝑅ℎ ⇒ ℎ =
𝑚𝑏
2(𝑅 + 𝑏)
𝜆
由此就能得到 𝜌
𝑚
𝜌
2
𝑚
≈ 2𝑅ℎ =
𝑚𝑏𝑅
𝑅 + 𝑏
𝜆
写成好看的形式就是半波带方程
1
𝑅
+
1
𝑏
=
𝑚𝜆
𝜌
2
𝑚
可以类似地定义焦距
𝑓 =
𝜌
2
𝑚
𝑚𝜆
那么就有了一个类似于透镜高斯公式的公式 (雾)
1
𝑅
+
1
𝑏
=
1
𝑓
其中 𝑅 为物距,𝑏 为像距. 但是与透镜不同的是, 菲涅尔波带片还有许多次焦点. 考虑将一个半波带分为两
个, 即对于一个新的 𝑃
0
点, 原来的一个半波带变成了两个. 那么此时它们相消, 该点是暗点
𝜌
2
𝑚
𝜆
2
𝑏
′
= 2𝑚 ⇒ 𝑏
′
=
𝑓
2
而若是奇数个, 则仍保持为亮点, 比如三个时
𝜌
2
𝑚
𝜆
2
𝑏
′
= 3𝑚 ⇒ 𝑏
′
=
𝑓
3
菲涅尔透镜也同样存在虚焦点
𝑓 = ± 𝑓 = ±
𝑓
3
= · · ·
4 矢量图解法求解菲涅尔积分
如对这道题, 第一个半波带完整, 则先转过半圆; 然后第二个半波带缺了前半段, 则转了后半段, 画图矢量
叠加即可得出结果
第一个半波带完整, 第二个半波带被遮住; 该情况相当于中间全遮住和仅有第一个半波带情形的叠加, 并
且它们相位相同, 运用结论即可得到答案. 需要注意的是此时半波带都被遮住了一半, 振幅是没遮时的一
半
