线性空间

1 数组空间及其子空间 2

1.1 向量与数组空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 线性相关与线性无关 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 极大无关组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.1 极大无关组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.2 等价 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.3 秩 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 基与维数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4.1 基与维数的定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4.2 坐标变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5 线性方程组解的结构 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.5.1 线性方程组解的存在性与唯一性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.5.2 齐次线性方程组解集的结构 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.5.3 非齐次线性方程组解集的结构 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.6 线性空间的应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 一般线性空间 7

2.1 一般线性空间的定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 一般线性空间的理论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1 数组空间及其子空间

1.1 向量与数组空间

定义 1.1 (数组空间). 设 𝐹 是数域. 定义了线性运算的 𝑛 维数组向量全体

{(𝑎

, 𝑎

, · · · , 𝑎

𝑛

)|𝑎

𝑖

∈ 𝐹}

称为 𝑛 维数组空间, 记为 𝐹

𝑛

定义 1.2 (线性组合). 给定一组向量 𝑎

, 𝑎

, · · · , 𝑎

𝑚

∈ 𝐹

𝑛

及一组数 𝜆

, 𝜆

, · · · , 𝜆

𝑛

∈ 𝐹, 称等式

𝜆

𝑎

, 𝜆

𝑎

+ · · · + 𝜆

𝑚

𝑎

𝑚

为 𝑎

, 𝑎

, · · · , 𝑎

𝑚

的线性组合,𝜆

, 𝜆

, · · · , 𝜆

𝑚

称为组合系数.

如果 𝑎 可以写成 𝑎

, 𝑎

, · · · , 𝑎

𝑚

的线性组合, 则称 𝑎 可以用 𝑎

, 𝑎

, · · · , 𝑎

𝑚

线性表示

定义 1.3 (子空间). 设 𝑉 ⊂ 𝐹

𝑛

为非空向量集合, 它满足对任意的 𝑎

, · · · , 𝑎

𝑚

∈ 𝑉, 𝜆

, · · · , 𝜆

𝑚

∈ 𝐹, 都有

𝑚



𝑖=1

𝜆

𝑖

𝑎

𝑖

∈ 𝑉

则称 𝑉 为 𝐹

𝑛

的子空间

定义 1.4 (子空间的等价定义). 设 𝑉 ⊂ 𝐹

𝑛

为非空向量集合, 它满足

1. 若 𝑎 , 𝑏 ∈ 𝑉 , 则 𝑎 + 𝑏 ∈ 𝑉

2. 若 𝑎 ∈ 𝑉, 则 𝜆𝑎 ∈ 𝑉

则称 𝑉 为 𝐹

𝑛

的子空间

显然 𝑉 = {0} 和 𝑉 = 𝐹

𝑛

都是 𝐹

𝑛

的子空间, 称为平凡子空间

定理 1.5 (生成子空间). 设 𝑎

, 𝑎

, · · · , 𝑎

𝑚

∈ 𝐹

𝑛

是一组给定的 𝑛 维数组向量. 则集合

⟨

𝑎

, 𝑎

, · · · , 𝑎

𝑚

⟩

= { 𝜆

𝑎

+ 𝜆

𝑎

+ · · · + 𝜆

𝑚

𝑎

𝑚

|𝜆

𝑖

∈ 𝐹, 𝑖 = 1, 2, · · · , 𝑚}

是 𝐹

𝑛

的子空间, 称为由向量组 𝑎

, 𝑎

, · · · , 𝑎

𝑚

生成的子空间

定理 1.6. 两个子空间的并不一定是子空间, 两个子空间的交仍是子空间

1.2 线性相关与线性无关

定义 1.7 (线性相关). 设 𝑎

, · · · , 𝑎

𝑚

∈ 𝐹

𝑛

, . ≥ 2 如果其中某个向量能用其他向量线性表示, 即

∃𝑎

𝑖

, 𝜆

𝑗

∈ 𝐹 (𝑖 ≠ 𝑗), 𝑠.𝑡.𝑎

𝑖



𝑗≠𝑖

𝜆

𝑗

𝑎

𝑗

则称 𝑎

, · · · , 𝑎

𝑚

线性相关, 否则称线性无关. 特别地, 一个向量线性无关, 若为零则线性相关

定理 1.8 (向量空间表述线性相关性). 给定向量组 𝑎

, · · · , 𝑎

𝑚

∈ 𝐹

𝑛

, 𝑚 ≥ 2, 则 𝑎

, · · · , 𝑎

𝑚

线性相关当且

仅当

∃𝑖 ∈ {1, 2, · · · , 𝑚}, 𝑠.𝑡.

⟨

𝑎

, · · · , 𝑎

𝑚

⟩

⟨

𝑎

, · · · , 𝑎

𝑖−1

, 𝑎

𝑖+1

, · · · , 𝑎

𝑚

⟩

定理 1.9 (线性相关的充要条件). 设 𝑎

, · · · , 𝑎

𝑚

∈ 𝐹

𝑛

, 则 𝑎

, · · · , 𝑎

𝑚

线性相关的充要条件为存在不全为

零的实数 𝜆

, · · · , 𝜆

𝑚

, 使得

𝑚



𝑖=1

𝜆

𝑎

𝑖

= 0

定理 1.10 (子集的线性相关性). 设向量组 𝑆

= {𝑎

𝑖

, · · · , 𝑎

𝑖

𝑘

} 是向量组 𝑆 = {𝑎

, · · · , 𝑎

𝑚

} 的一个子集. 如

果 𝑆

线性相关, 则 𝑆 也线性相关; 如果 𝑆 线性无关, 则 𝑆

也线性无关

定理 1.11 (方程组看待线性相关). 设 𝑎

𝑖

= (𝑎

𝑖

, · · · , 𝑎

𝑖

𝑛

) ∈ 𝐹

𝑛

, 𝑖 = 1, 2, · · · , 𝑚. 用 𝐴 表示以 𝑎

, · · · , 𝑎

𝑚

为

行构成的 𝑚 × 𝑛 阶矩阵, 则 𝑎

, · · · , 𝑎

𝑚

线性相关当且仅当关于 𝜆

, · · · , 𝜆

𝑚

的齐次线性方程组

𝐴

𝑇







𝜆

𝑚







= 0

有非零解

推论: 若 𝑎

, · · · , 𝑎

𝑚

∈ 𝐹

𝑛

是一组数组向量, 则

1. 若 𝑚 > 𝑛, 则 𝑎

, · · · , 𝑎

𝑚

必线性相关

2. 若 𝑚 = 𝑛, 则 𝑎

, · · · , 𝑎

𝑚

线性相关当且仅当 𝑑𝑒𝑡(𝐴) = 0

定理 1.12 (加长向量组的线性相关性). 设 𝐴𝑎

𝑖

= (𝑎

𝑖

, · · · , 𝑎

𝑖

𝑟

) ∈ 𝐹

𝑟

, 𝑖 = 1, 2, · · · , 𝑚. 它们的加长向量组为

𝑏

𝑖

= (𝑎

𝑖

, · · · , 𝑎

𝑖

𝑟

, · · · , 𝑎

𝑖

𝑛

) ∈ 𝐹

𝑛

(𝑛 > 𝑟), 𝑖 = 1, 2, · · · , 𝑚, 则有

1. 若 𝑎

, · · · , 𝑎

𝑚

线性无关, 则 𝑏

, · · · , 𝑏

𝑚

也线性无关

2. 若 𝑏

, · · · , 𝑏

𝑚

线性相关, 则 𝑎

, · · · , 𝑎

𝑚

也线性相关

由线性方程组定理即证

1.3 极大无关组

1.3.1 极大无关组

定义 1.13 (极大无关组). 设 𝑎

, ..., 𝑎

𝑚

∈ 𝐹

𝑛

, 若 𝑎

𝑖

,...,𝑎

𝑖

𝑟

线性无关, 且任加一个其他向量 𝑎

𝑖

𝑟+1

后 𝑎

𝑖

, ..., 𝑎

𝑖

𝑟

, 𝑎

𝑖

𝑟+1

线性相关, 则称 𝑎

𝑖

, ..., 𝑎

𝑖

𝑟

为 𝑎

, ..., 𝑎

𝑚

的极大无关组

每一个向量都可以由它的极大无关组表示

定理 1.14 (求解极大无关组). 设 𝑎

, ..., 𝑎

𝑚

∈ 𝐹

𝑛

为一组列向量,𝐴 = (𝑎

, ..., 𝑎

𝑚

) 是以 𝑎

, ..., 𝑎

𝑚

为列构成

的 𝑛 × 𝑚 阶矩阵.𝐴 经一系列的初等行变换变为矩阵 𝐵 = (𝑏

, ..., 𝑏

𝑚

) 则

1. 𝑎

, ..., 𝑎

𝑚

线性相关 (无关) 当且仅当 𝑏

, ..., 𝑏

𝑚

线性相关 (无关)

2. 𝑎

𝑖

, ..., 𝑎

𝑖

𝑟

为 𝑎

, ..., 𝑎

𝑚

的极大无关组当且仅当 𝑏

𝑖

, ..., 𝑏

𝑖

𝑟

为 𝑏

, ..., 𝑏

𝑚

的极大无关组

定理 1.15 (极大无关组与生成子空间). 设 𝑎

, ..., 𝑎

𝑚

∈ 𝐹, 则 𝑎

𝑖

, ..., 𝑎

𝑖

𝑟

是 𝑎

, ..., 𝑎

𝑚

的一个极大无关组,

当且仅当 𝑎

𝑖

, ..., 𝑎

𝑖

𝑟

线性无关且



𝑎

𝑖

, ..., 𝑎

𝑖

𝑟



⟨

𝑎

, .., 𝑎

𝑚

⟩

1.3.2 等价

定义 1.16 (等价). 如果向量组 𝑎

, ..., 𝑎

𝑚

中的每一个向量都可以由向量组 𝑏

, ..., 𝑏

𝑙

线性表示, 则称向量

组 𝑎

, ..., 𝑎

𝑚

可以由向量组 𝑏

, ..., 𝑏

𝑙

线性表示. 如果两个向量组 𝑎

, ..., 𝑎

𝑚

与 𝑏

, ..., 𝑏

𝑙

可以互相线性表示,

则称这两个向量组等价, 记为

{𝑎

, ..., 𝑎

𝑚

} ∼ {𝑏

, ..., 𝑏

𝑙

}

等价向量组的性质: 反身性, 对称性, 传递性

定理 1.17 (等价与生成子空间). 向量组 𝑎

, ..., 𝑎

𝑚

与 𝑏

, ..., 𝑏

𝑙

等价当且仅当

⟨

𝑎

, ..., 𝑎

𝑚

⟩

⟨

𝑏

, ..., 𝑏

𝑙

⟩

定理 1.18 (等价与极大无关组). 一个向量组和它的极大无关组等价

推论: 向量组的任意两个极大无关组彼此等价

1.3.3 秩

定理 1.19 (秩与等价). 若两个分别线性无关的向量组 {𝑎

, ..., 𝑎

𝑟

} 和 {𝑏

, ..., 𝑏

𝑠

} 等价, 则 𝑟 = 𝑠(利用线性

方程组无解条件可证)

推论: 向量组的任两个极大无关组向量个数相等

定义 1.20 (向量组的秩). 向量组 𝑎

, ..., 𝑎

𝑚

的极大无关组元素的个数称为向量组的秩, 记为

𝑟𝑎𝑛𝑘 (𝑎

, ..., 𝑎

𝑚

)或𝑟(𝑎

, ..., 𝑎

𝑚

)

定理 1.21 (秩的结论). 设向量 𝑎

, ..., 𝑎

𝑟

∈ 𝐹

𝑛

, 向量 𝑏

, ..., 𝑏

𝑠

∈ 𝐹

𝑛

, 则有

1. 𝑎

, ..., 𝑎

𝑟

线性无关当且仅当 𝑟𝑎𝑛𝑘 (𝑎

, ..., 𝑎

𝑟

) = 𝑟

2. 𝑎

, ..., 𝑎

𝑟

线性相关当且仅当 𝑟𝑎𝑛𝑘 (𝑎

, ..., 𝑎

𝑟

) < 𝑟

3. {𝑏

, ..., 𝑏

𝑠

} 可以用 {𝑎

, ..., 𝑎

𝑟

} 线性表示, 则 𝑟𝑎𝑛𝑘 (𝑏

, ..., 𝑏

𝑠

) ≤ 𝑟𝑎𝑛𝑘 (𝑎

, ..., 𝑎

𝑟

)

4. {𝑏

, ..., 𝑏

𝑠

} 与 {𝑎

, ..., 𝑎

𝑟

} 等价, 则 𝑟𝑎𝑛𝑘 (𝑏

, ..., 𝑏

𝑠

) = 𝑟𝑎𝑛𝑘 (𝑎

, ..., 𝑎

𝑟

)

5. 向量 𝑏 可以表示成 𝑎

, ..., 𝑎

𝑟

的线性组合当且仅当 𝑟𝑎𝑛𝑘 (𝑎

, ..., 𝑎

𝑟

) = 𝑟𝑎𝑛𝑘 (𝑎

, ..., 𝑎

𝑟

, 𝑏)

定理 1.22 (矩阵的秩). 任何矩阵的行秩等于列秩等于矩阵的秩

推论 1:𝑛 阶方阵 𝐴 可逆 ⇒ 𝑟𝑎𝑛𝑘 ( 𝐴) = 𝑛 ⇒ 𝐴 的行向量线性无关 ⇒ 𝐴 的列向量线性无关

推论 2: 若 𝑟𝑎𝑛𝑘 ( 𝐴) = 𝑟, 则 𝐴 的不等于零的 𝑟 阶子式所在的行 (列) 构成 𝐴 的行 (列) 向量的极大无关组

1.4 基与维数

1.4.1 基与维数的定义

定理 1.23 (向量生成子空间). 设非空集 𝑉 是 𝐹

𝑛

的子空间, 则存在线性无关的向量组 𝑎

, ..., 𝑎

𝑟

, 使得

𝑉 =

⟨

𝑎

, ..., 𝑎

𝑟

⟩

定义 1.24 (基与坐标). 设 𝑉 ⊂ 𝐹

𝑛

是子空间,𝑉 中的一组向量 {𝑎

, ..., 𝑎

𝑟

} 称为 𝑉 的一组基, 如果它满足

1. 对任意向量 𝑎 ∈ 𝑉, 𝑎 可表示成 𝑎

, ..., 𝑎

𝑟

的线性组合:𝑎 = 𝜆

+ ... + 𝜆

𝑟

𝑎

𝑟

2. 𝑎

, ..., 𝑎

𝑟

线性无关

称 (𝜆

, ..., 𝜆

𝑟

) 为向量 𝑎 在基 {𝑎

, ..., 𝑎

𝑟

} 下的坐标

定义 1.25 (维数). 设 𝑉 ⊂ 𝐹

𝑛

为子空间, 称 𝑉 的一组基的向量个数为 𝑉 的维数, 记为 dim 𝑉

1.4.2 坐标变换

设 𝐹

𝑛

有两组基

𝑎

, 𝑎

, ..., 𝑎

𝑛

𝑏

, 𝑏

, ..., 𝑏

𝑛

设两组基之间的关系由下式确定











𝑏

= 𝑡

𝑎

+ ... + 𝑡

𝑛1

𝑎

𝑛

· · ·

𝑏

𝑛

= 𝑡

1𝑛

𝑎

+ ... + 𝑡

𝑛𝑛

𝑎

𝑛

写成矩阵形式为

(𝑏

, ..., 𝑏

𝑛

) = (𝑎

, ..., 𝑎

𝑛

)𝑇, 𝑇 =







𝑡

· · · 𝑡

1𝑛

𝑡

𝑛1

· · ·

𝑡

𝑛𝑛







称矩阵 𝑇 为从基 𝑎

, ..., 𝑎

𝑛

到基 𝑏

, ..., 𝑏

𝑛

的过渡矩阵, 由线性无关得 𝑇 可逆, 则有

(𝑎

, ..., 𝑎

𝑛

) = (𝑏

, .., 𝑏

𝑛

)𝑇

−1

即从基 (𝑏

, ..., 𝑏

𝑛

) 到基 (𝑎

, , , .𝑎

𝑛

) 的过渡矩阵为 𝑇

−1

设向量 𝑣 ∈ 𝐹

𝑛

在两组基 (𝑎

, ..., 𝑎

𝑛

) 及 (𝑏

, ..., 𝑏

𝑛

) 下的坐标分别为 𝑋 = (𝑥

, ..., 𝑥

𝑛

)

𝑇

与 𝑌 = (𝑦

, ..., 𝑦

𝑛

)

𝑇

则

𝑣 = (𝑎

, ..., 𝑎

𝑛

)𝑋 = (𝑏

, ..., 𝑏

𝑛

)𝑌 = (𝑎

, ..., 𝑎

𝑛

)𝑇𝑌 ⇒ 𝑋 = 𝑇𝑌

故

𝑌 = 𝑇

−1

𝑋

定理 1.26. 𝑛 维数组空间 𝐹

𝑛

中下列结论成立

1. 设 𝑉 ⊂ 𝐹

𝑛

为 𝑟 维子空间, 则 𝑉 中任意 𝑟 + 1 个向量线性相关

2. 设 𝑉 为 𝑟 维子空间, 则 𝑉 中任意 𝑟 个线性无关向量为 𝑉 的一组基

3. 设 𝑈 与 𝑉 为 𝐹

𝑛

的子空间, 且 𝑈 ⊆ 𝑉, 则 𝑑𝑖𝑚𝑈 ≤ 𝑑𝑖𝑚𝑉

4. 设 𝑈 与 𝑉 为 𝐹

𝑛

的子空间, 且 𝑈 ⊆ 𝑉, 若 𝑑𝑖𝑚𝑈 = 𝑑𝑖𝑚𝑉, 则 𝑈 = 𝑉

定理 1.27 (扩充基). 设 𝑉 ⊂ 𝐹 为 𝑟 维子空间,𝑎

, ..., 𝑎

𝑠

∈ 𝑉 是 𝑠(𝑠 < 𝑟) 个线性无关的向量, 则存在 𝑉 中

的向量 𝑎

𝑠+1

, ..., 𝑎

𝑟

使得 𝑎

, ..., 𝑎

𝑟

构成 𝑉 的一组基, 称 𝑎

, ..., 𝑎

𝑟

为线性无关组 𝑎

, ..., 𝑎

𝑠

的一组扩充基

1.5 线性方程组解的结构

1.5.1 线性方程组解的存在性与唯一性

定理 1.28 (有解与唯一解的充要条件). 设 𝐴 ∈ 𝐹

𝑚×𝑛

为 𝑚 × 𝑛 阶矩阵,𝑏 ∈ 𝐹

𝑚

为 𝑚 维列向量, 则线性方

程组

𝐴𝑥 = 𝑏

有解的充要条件是 𝑟𝑎𝑛𝑘 ( 𝐴) = 𝑟𝑎𝑛𝑘 ( 𝐴, 𝑏), 有唯一解的充要条件为 𝑟 𝑎𝑛𝑘 ( 𝐴) = 𝑟𝑎𝑛𝑘 ( 𝐴, 𝑏) = 𝑛

推论: 齐次线性方程组 𝐴𝑥 = 0 一定有解, 存在非零解的充要条件是 𝑟𝑎𝑛𝑘 ( 𝐴) < 𝑛. 若 𝐴 为 𝑛 阶方阵, 则齐

次线性方程组有非零解当且仅当 𝑑𝑒𝑡 ( 𝐴) = 0

1.5.2 齐次线性方程组解集的结构

定理 1.29. 其次线性方程组 𝐴𝑥 = 𝑏 的解集 𝑉 是 𝐹

𝑛

的子空间, 并且 𝑑𝑖𝑚𝑉 = 𝑛 − 𝑟𝑎𝑛𝑘 ( 𝐴)

定义 1.30 (解空间与基础解系). 齐次线性方程组的解集 𝑉 称为解空间, 解空间的一组基 𝛼

, ..., 𝛼

𝑛−𝑟

称

为齐次线性方程组的一个基础解系

1.5.3 非齐次线性方程组解集的结构

定理 1.31. 对于非齐次线性方程组

𝐴𝑥 = 𝑏

设其解空间为 𝑊, 其齐次方程的解空间为 𝑉, 则有

𝑊 = 𝛾

+ 𝑉 = {𝛾

+ 𝛼|𝛼 ∈ 𝑉 }

其中,𝛾

是 𝐴𝑥 = 𝑏 的一个特解

非齐次线性方程组的解集是相应其次方程组的解集的一个平移

1.6 线性空间的应用

用 𝑘𝑒𝑟 ( 𝐴) 来表示 𝐴𝑥 = 0 的解组成的解空间, 用 𝑖𝑚(𝐴) 来表示所有 𝐴𝑥 组成的空间, 那么就有

𝑟𝑎𝑛𝑘 (𝑖𝑚(𝐴)) + 𝑟𝑎𝑛𝑘 (𝑘𝑒𝑟 ( 𝐴)) = 𝑛

证明 𝑟𝑎𝑛𝑘 ( 𝐴) ≤ 𝑟𝑎𝑛𝑘 (𝐵) 只需证 𝑖𝑚(𝐴) ⊆ 𝑖𝑚(𝐵)

如果两个空间维数一样，并且一个包含了另一个，那么这两个空间就是相等的。

2 一般线性空间

2.1 一般线性空间的定义

定义 2.1 (一般线性空间). 设 𝑉 是一个非空集合,𝐹 是一个数域. 对 𝑉 中的元素定义两种运算

1. 加法: 对 𝑉 中的任意两个元素 𝛼, 𝛽 组成的有序对 (𝛼, 𝛽), 𝑉 中存在唯一的一个元素 𝛾 与之对应, 记

为 𝛼 + 𝛽 = 𝛾

2. 数乘: 对任意常数 𝜆 ∈ 𝐹 及向量 𝛼 ∈ 𝑉 ,𝑉 中存在唯一的一个元素 𝛾 与对应, 记为 𝜆𝛼 = 𝛾

若加法满足交换律, 结合律, 乘法满足交换律, 结合律, 分配律, 并且存在零元, 负元, 一元, 则称 𝑉 是数

域 𝐹 上的线性空间, 记为 𝑉 (𝐹) 或 𝑉. 线性空间 𝑉 中的元素称为向量

定理 2.2 (线性空间的基本性质). 线性空间的基本性质如下

1. 零向量唯一

2. 负向量唯一

3. 0𝛼 = 𝜃, (−1)𝛼 = −𝛼, 𝜆𝜃 = 𝜃

4. 𝜆𝛼 = 𝜃 当且仅当 𝜆 = 0 或 𝛼 = 𝜃

线性空间的实例

1. 数组空间 𝐹

𝑛

按数组向量的加法与数乘构成线性空间

2. 所有的 𝑛 元的一次方程全体 𝐸

𝑛

按线性方程的加法与数乘构成线性空间

3. 所有次数不超过 𝑛 的多项式全体 𝐹

𝑛

[𝑥] 按多项式的加法, 数与多项式的乘法为数乘构成线性空间

4. 所有 𝑚 × 𝑛 阶矩阵全体 𝐹

𝑚×𝑛

按矩阵的加法与数乘构成线性空间

5. 𝐹 = 𝑅, 所有复数 𝐶 全体按复数的加法, 实数与复数的乘法为数乘构成线性空间

6. 𝐹 = 𝑅, 𝑅

是所有正实数的全体, 定义加法 𝛼 + 𝛽 = 𝛼𝛽, 定义数乘 𝜆 · 𝛼 = 𝛼

𝜆

, 则 𝑅

在上述运算下构

成

𝑅

上的线性空间

7. 用 𝐶

𝑛

表示的三角多项式全体:𝐶

𝑛

= 𝑎

+ 𝑎

cos 𝜃 + 𝑏

sin 𝜃 + ... + 𝑎

𝑛

cos 𝜃 + 𝑏

𝑛

sin 𝜃 |𝑎

, 𝑏

𝑖

∈ 𝐹, 则在函

数通常的加法, 数与函数的乘法下构成线性空间

8. 用 𝐶 [𝑎, 𝑏] 表示 [𝑎, 𝑏] 上连续函数的全体, 则 𝐶 [𝑎, 𝑏] 在函数通常的加法, 数与函数乘法运算下构成

线性空间

定义 2.3 (子空间). 设 𝑉 是数域 𝐹 上的线性空间,𝑊 是 𝑉 的非空子集, 若 𝑊 对于线性空间 𝑉 的加法与

数乘运算保持封闭, 即

1. 对任意 𝛼, 𝛽 ∈ 𝑊, 有 𝛼 + 𝛽 ∈ 𝑊

2. 对任意 𝜆 ∈ 𝐹, 𝛼 ∈ 𝑊, 有 𝜆𝛼 ∈ 𝑊

则称 𝑊 是 𝑉 的子空间,𝑊 = 0, 𝑊 = 𝑉 是 𝑉 的子空间, 称为平凡子空间

定义 2.4 (生成子空间). 设 𝑉 是数域 𝐹 上的线性空间,𝑆 ⊂ 𝑉 是非空集合, 则集合

⟨𝑆⟩ := {𝜆

𝛼

+ ... + 𝜆

𝑚

+ 𝛼

𝑚

|𝜆

, ..., 𝜆

𝑚

∈ 𝐹, 𝛼

, ..., 𝛼

𝑚

∈ 𝑆}

是一个子空间, 称为 𝑉 的生成子空间,𝑆 称为生成子空间的生成元

2.2 一般线性空间的理论

定义 2.5 (线性组合). 设 𝑉 是数域 𝐹 上的线性空间, 给定 𝑉 中的一组向量 𝑆 = {𝛼

, ..., 𝛼

𝑚

} 及一组数

𝜆

, ..., 𝜆

𝑚

, 称和式

𝜆

𝛼

+ ... + 𝜆

𝑚

𝛼

𝑚

为向量组 𝑆 的线性组合,𝜆 − 1, ...𝜆

𝑚

称为组合系数, 如果 𝛼 可以写成 𝑆 的线性组合, 则称 𝛼 可以用 𝑆 线

性表示

定义 2.6 (等价). 设 𝑉 是数域 𝐹 上的线性空间, 称向量组 𝑇 = {𝛽

, ..., 𝛽

𝑙

} 可以由向量组 𝑆 = {𝛼

, .., 𝛼

𝑚

}

线性表示, 如果每一个 𝛽

𝑖

(𝑖 = 1, ..., 𝑙) 都可以用向量组 𝑆 线性表示, 如果向量组 𝑆 与 𝑇 可以互相线性表

示, 则称 𝑆 与 𝑇 等价

定理 2.7 (线性表示与等价). 设 𝑆 与 𝑇 是线性空间的两个向量组, 则

1. 𝑇 可以由 𝑆 线性表示, 当且仅当 ⟨𝑇⟩ ⊂ ⟨𝑆⟩

2. 𝑈 可以由 𝑇 线性表示,𝑇 可以由 𝑆 线性表示, 则 𝑈 可以由 𝑆 线性表示

3. 𝑆 与 𝑇 等价当且仅当 ⟨𝑆⟩ = ⟨𝑇⟩

4. 𝑈 与 𝑇 等价,𝑇 与 𝑆 等价, 则 𝑈 与 𝑆 等价

定义 2.8 (线性相关与线性无关). 设 𝑉 是数域 𝐹 上的线性空间,𝑆 是 𝑉 中的一组向量 (𝑆 中元素个数

#𝑆 ≥ 2). 如果 𝑆 中某个向量能用其他向量线性表示, 则称 𝑆 线性相关, 否则称其线性无关. 特别地, 一个

向量组成的向量组线性相关当且仅当该向量为零向量

定理 2.9 (线性相关等价说法). 设 𝛼

, ..., 𝛼

𝑚

(𝑚 ≥ 2) 是线性空间 𝑉 中的向量, 则下列说法等价

1. 𝛼

, ..., 𝛼

𝑚

线性相关

2. 存在不为零的常数 𝜆

, ..., 𝜆

𝑚

∈ 𝐹 使得

𝑚



𝑖=1

𝜆

𝑖

𝛼

𝑖

= 𝜃

3. 存在向量 𝛼

𝑖

使得 𝛼

𝑖



𝑗≠𝑖

𝜆

𝑗

𝛼

𝑗

4. 存在向量 𝛼

𝑖

使得 𝛼

𝑖

∈ ⟨𝛼

, ..., 𝛼

𝑖−1

, 𝛼

𝑖+1

, ..., 𝛼

𝑚

⟩

5. 存在 𝛼

𝑖

使得 ⟨𝛼

, ..., 𝛼

𝑚

⟩ = ⟨𝛼

, ..., 𝛼

𝑖−1

, 𝛼

𝑖+1

, ..., 𝛼

𝑚

⟩

定理 2.10 (子集的线性相关性). 设向量组 𝑆

是向量组 𝑆 的一个子集, 如果 𝑆

线性相关, 则 𝑆 也线性相

关, 如果 𝑆 线性无关, 则 𝑆

也线性无关

定义 2.11 (极大无关组). 设 𝑆 是线性空间 𝑉 中的向量组, 若 𝑆 的子集 𝑆

线性无关, 且任加 𝑆 中的一个

其他向量 𝛼 后,𝑆

∪ {𝛼} 线性相关, 则称 𝑆

为向量组 𝑆 的极大无关组

定理 2.12 (极大无关组等价说法). 向量组的极大无关组有下列等价的说法

1. 向量组 𝑆 的子集 𝑆

是 𝑆 的极大无关组

2. 向量组 𝑆 可以由子集 𝑆

线性表示, 且 𝑆

线性无关

3. 向量组 𝑆 与它的子集 𝑆

等价, 且 𝑆

线性无关

4. ⟨𝑆⟩ = ⟨𝑆

⟩ 且 𝑆

线性无关

推论: 向量组的任何两个极大无关组彼此等价

定理 2.13 (秩). 两个等价向量组 {𝛼

, ..., 𝛼

𝑟

} 和 {𝛽

, ..., 𝛽

𝑠

} 分别线性无关, 则 𝑟 = 𝑠

推论: 设 𝛼

𝑖

, ..., 𝛼

𝑖

𝑟

和 𝛼

𝑗

, ..., 𝛼

𝑗

𝑠

分别为 𝛼

, ..., 𝛼

𝑚

的两个极大无关组, 则 𝑟 = 𝑠

向量组 𝑆 的极大无关组的向量的个数称为向量组的秩, 记为 𝑟𝑎𝑛𝑘 (𝑆) 或 𝑟 (𝑆)

定理 2.14 (秩的结论). 设 𝑆, 𝑇 是线性空间 𝑉 中的向量组, 则有下列结论

1. 𝑆 线性无关当且仅当 𝑟𝑎𝑛𝑘 (𝑆) = #𝑆

2. 𝑆 线性相关当且仅当 𝑟𝑎𝑛𝑘 (𝑆) < #𝑆

3. 若 𝑇 可以用 𝑆 线性表示, 则 𝑟𝑎𝑛𝑘 (𝑇) ≤ 𝑟𝑎𝑛𝑘 (𝑆)

4. 若 𝑇 与 𝑆 等价, 则 𝑟𝑎𝑛𝑘 (𝑇) = 𝑟𝑎𝑛𝑘 (𝑆)

5. 若 𝑇 可以用 𝑆 线性表示, 且 𝑇 线性无关, 则 #𝑇 ≤ #𝑆

定义 2.15 (基, 坐标与维数). 设 𝑉 为数域 𝐹 上的线性空间,𝑆 是 𝑉 中一组线性无关向量. 如果 𝑉 中任何

向量都能表示成 𝑆 的线性组合, 则称 𝑆 为 𝑉 的一组基. 若 𝑆 是有限的, 则称 𝑉 为有限维线性空间,𝑆 中

的元素个数称为线性空间 𝑉 的维数, 记为 𝑑𝑖𝑚𝑉. 不是有限维的线性空间称为无限维线性空间, 其维数为

无穷大. 设基 𝑆 = {𝛼

, ..., 𝛼

𝑛

} 是有限的, 则任意向量 𝛼 ∈ 𝑉 可以唯一地表示成 𝑆 的线性组合

𝛼 = 𝜆

𝛼

+ ... + 𝜆

𝑛

𝛼

𝑛

称 (𝜆

, ..., 𝜆

𝑛

) 为向量 𝛼 在基 𝑆 下的坐标

定理 2.16. 设 𝑉 是数域 𝐹 上的有限维线性空间, 则存在线性无关的向量组 𝛼

, ..., 𝛼

𝑛

∈ 𝑉 使得 𝑉 =

⟨𝛼

, ..., 𝛼

𝑛

⟩

定理 2.17 (线性空间的基与维数). 设 𝑉 是数域 𝐹 上的 𝑛 维线性空间, 则有

1. 𝑉 中任意 𝑛 + 1 个向量线性相关

2. 𝑉 中任意 𝑛 个线性无关向量为一组基

3. 设 𝛼

, ..., 𝛼

𝑟

∈ 𝑉 是 𝑟 (𝑟 < 𝑛) 个线性无关的向量, 则存在 𝑉 中的向量 𝛼

𝑟+1

, ..., 𝛼

𝑛

使得 𝛼

, ..., 𝛼

𝑛

构成

𝑉 的一组基, 称 𝛼

, ..., 𝛼

𝑛

为线性无关组 𝛼

, ..., 𝛼

𝑟

的一组扩充基