随机变量的函数分布
目录
1 离散情形 2
2 连续情形 2
3 二维随机变量 3
4 再生性 3
4.1 二项分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4.2 Possion 分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4.3 正态分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4.4 𝜒
2
分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4.5 𝑡 分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
5 极小值和极大值的分布 6
1
1 离散情形
设 𝑋 的分布律为
𝑃(𝑋 = 𝑥
𝑖
) = 𝑝
𝑖
令 𝑌 = 𝑔(𝑋), 则
𝑃(𝑌 = 𝑦
𝑗
) = 𝑃(𝑔(𝑋) = 𝑦
𝑗
) =
𝑥
𝑖
:𝑔(𝑥
𝑖
)=𝑦
𝑗
𝑃(𝑋 = 𝑥
𝑗
) =
𝑥
𝑖
:𝑔(𝑥
𝑖
)=𝑦
𝑗
𝑝
𝑗
对于取值为非负整值的离散随机变量 𝑋, 𝑌
𝑃(𝑋 +𝑌 = 𝑛) =
𝑃(𝑋 = 𝑘, 𝑌 = 𝑛 − 𝑘)
若有 𝑋, 𝑌 独立, 则
𝑃(𝑋 +𝑌 = 𝑛) =
𝑘
𝑃(𝑋 = 𝑘)𝑃(𝑌 = 𝑛 − 𝑘)
称为离散卷积公式
对于 𝑋 ∼ 𝐵(𝑛, 𝑝), 𝑌 ∼ 𝐵(𝑚, 𝑝), 计算得到
𝑋 +𝑌 ∼ 𝐵(𝑛 + 𝑚, 𝑝)
对于 𝑋 ∼ 𝑃
𝑜𝑖
(𝜆), 𝑌 ∼ 𝑃
𝑜𝑖
(𝜇), 计算得到
𝑋 +𝑌 ∼ 𝑃
𝑜𝑖
(𝜆 + 𝜇)
2 连续情形
设 𝑋 有密度函数 𝑓 (𝑥),𝑦 = 𝑦(𝑥) 在 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏) 严格单调且连续, 则存在唯一反函数 𝑥 = ℎ(𝑦)
从分布函数入手
𝐹
𝑌
(𝑦) = 𝑃(𝑔(𝑥) ≤ 𝑦)
若有 𝑔 单调增, 则
𝐹
𝑌
(𝑦) = 𝑃(𝑔(𝑥) ≤ 𝑦) = 𝑃(𝑋 ≤ ℎ(𝑦)) =
ℎ(𝑦)
−∞
𝑓 (𝑥)𝑑𝑥
再求导得到
𝑓
𝑌
(𝑦) = 𝑓 (ℎ(𝑦))ℎ
′
(𝑦)
结合 𝑔 单调减情形, 就得到
𝑓
𝑌
(𝑦) = 𝑓 (ℎ(𝑦))
|
ℎ
′
(𝑦)
|
若 𝑔 不是单调函数, 则将 𝑔 分为 𝑘 个单调区间, 那么
𝑓
𝑌
(𝑦) =
𝑘
𝑓 (ℎ(𝑦))
|
ℎ
′
(𝑦)
|
注意每个区域上的反函数不同
3 二维随机变量
由 𝜉
1
, 𝜉
2
→ 𝑋
1
𝑋
2
, 若 (𝑋
1
, 𝑋
2
) 与 (𝑌
1
, 𝑌
2
) 有一一对应的关系
𝑃((𝑌
1
, 𝑌
2
) ∈ 𝐴) =
𝐴
𝑓 𝑑𝑦
1
𝑑𝑦
2
⇔ 𝑃((𝑋
1
, 𝑋
2
) ∈ 𝐵) =
𝐵
𝑓 (𝑥
1
, 𝑥
2
)𝑑𝑥
1
𝑑𝑥
2
若有反函数
𝑥
1
= ℎ
1
(𝑦
1
, 𝑦
2
)
𝑥
2
= ℎ
2
(𝑦
1
, 𝑦
2
)
则右边就变成了
𝐴
𝑓 (ℎ
1
(𝑦
1
, 𝑦
2
), ℎ
2
(𝑦
1
, 𝑦
2
))
|
𝐽
|
𝑑𝑦
1
𝑑𝑦
2
就得到了密度变换公式
若有 (𝑋, 𝑌 ) ∼ 𝑓 (𝑥, 𝑦), 取 𝑍
1
= 𝑋 +𝑌 , 𝑍
2
= 𝑌, 则
𝑋 +𝑌 = 𝑍
1
∼
𝑓 (𝑍
1
− 𝑍
2
, 𝑍
2
)𝑑𝑍
2
若还有 𝑋, 𝑌 独立, 则
𝑍
1
∼
𝑓
1
(𝑍
1
− 𝑍
2
) 𝑓
2
(𝑍
2
)𝑑𝑍
2
称为连续型变量的卷积公式, 记为 𝑓
1
∗ 𝑓
2
(𝑍
1
)
若 (𝑋, 𝑌 ) ∼ 𝑓 (𝑥, 𝑦), 则它们的商
𝜉
𝜂
是连续型随机变量, 记
𝑍
1
= 𝑋/𝑌 , 𝑍
2
= 𝑌
则
𝑋 = 𝑍
1
𝑍
2
, 𝑌 = 𝑍
2
得到
|
𝐽
|
=
|
𝑍
2
|
则 𝑍
1
密度为
∞
−∞
𝑓 (𝑍
1
𝑍
2
, 𝑍
2
)
|
𝑍
2
|
𝑑𝑍
2
同样地对于 𝑍
1
= 𝑋, 𝑍
2
= 𝑌/𝑋 有 𝑍
2
密度为
∞
−∞
𝑓 (𝑍
1
, 𝑍
1
𝑍
2
)
|
𝑍
1
|
𝑑𝑍
2
4 再生性
如果两相互独立的两个同类型随机变量之和仍然服从同一类型的分布
4.1 二项分布
设 𝑋
1
, 𝑋
2
独立, 且
𝑋
1
∼ 𝐵(𝑛
1
, 𝑝), 𝑋
2
∼ 𝐵(𝑛
2
, 𝑝)
则设 𝑌 = 𝑋
1
+ 𝑋
2
, 于是
𝑃(𝑌 = 𝑘) =
𝑘=𝑘
1
+𝑘
2
𝑃(𝑋
1
= 𝑘
1
, 𝑋
2
= 𝑘
2
)
=
𝑘=𝑘
1
+𝑘
2
𝑛
1
𝑘
1
𝑝
𝑘
1
(1 − 𝑝)
𝑛
1
−𝑘
1
𝑛
2
𝑘
2
𝑝
𝑘
2
(1 − 𝑝)
𝑛
2
−𝑘
2
=
𝑘=𝑘
1
+𝑘
2
𝑛
1
𝑘
1
𝑛
1
𝑘
2
𝑝
𝑘
(1 − 𝑝)
𝑛
1
+𝑛
2
−𝑘
=
𝑛
1
+ 𝑛
2
𝑘
𝑝
𝑘
(1 − 𝑝)
𝑛
1
+𝑛
2
−𝑘
于是
𝑌 ∼ 𝐵(𝑛
1
+ 𝑛
2
, 𝑝)
4.2 Possion 分布
设 𝑋
1
, 𝑋
2
独立, 且分别服从参数为 𝜆
1
, 𝜆
2
的泊松分布
设 𝑌 = 𝑋
1
+ 𝑋
2
, 得
𝑃(𝑌 = 𝑘) =
𝑘=𝑘
1
+𝑘
2
𝑒
−𝜆
1
𝜆
𝑘
1
1
𝑘
1
!
·
𝑒
−𝜆
2
𝜆
𝑘
2
2
𝑘
2
!
=
𝑒
−(𝜆
1
+𝜆
2
)
𝑘!
𝑘=𝑘
1
+𝑘
2
𝑘!
𝑘
1
!𝑘
2
!
𝜆
𝑘
1
1
𝜆
𝑘
2
2
=
𝑒
−(𝜆
1
+𝜆
2
)
𝑘!
(𝜆
1
+ 𝜆
2
)
𝑘
于是
𝑌 ∼ 𝜋(𝜆
1
+ 𝜆
2
)
4.3 正态分布
设 𝑋
1
, 𝑋
2
独立, 且分
𝑋
1
∼ 𝑁 (𝜇
1
, 𝜎
2
1
), 𝑋
2
∼ 𝑁 (𝜇
2
, 𝜎
2
2
)
有密度函数
𝑓
1
(𝑥) =
1
√
2𝜋𝜎
1
𝑒
−(𝑥 𝜇
1
)
2
2 𝜎
2
1
, 𝑓
2
(𝑥) =
1
√
2𝜋𝜎
2
𝑒
−(𝑥 𝜇
2
)
2
2 𝜎
2
2
那么由卷积函数
𝑓 (𝑥) = 𝑓
1
(𝑥) ∗ 𝑓
2
(𝑥)
=
+∞
−∞
𝑓
1
(𝑡) 𝑓
2
(𝑥 − 𝑡)𝑑𝑡
=
1
2𝜋𝜎
1
𝜎
2
+∞
−∞
𝑒𝑥 𝑝
−
1
2
(𝑡 − 𝜇
1
)
2
𝜎
2
1
+
(𝑥 − 𝑡 − 𝜇
2
)
2
𝜎
2
2
𝑑𝑡
做变量代换
𝑎 =
𝜎
1
𝜎
2
𝜎
2
1
+ 𝜎
2
2
, 𝑏 =
𝜎
1
𝜎
2
𝜎
2
1
+ 𝜎
2
2
𝜇
1
𝜎
2
1
+
𝑥 − 𝜇
2
𝜎
2
2
原积分就变成了
𝑓 (𝑥) =
1
2𝜋𝜎
1
𝜎
2
𝑒
−
(𝑥−𝜇
1
−𝜇
2
)
2
2(𝜎
2
1
+𝜎
2
2
)
+∞
−∞
𝑒
1
2
(𝑎𝑡 −𝑏)
2
𝑑𝑡
积分得到
𝑓 (𝑥) =
1
2𝜋(𝜎
2
1
+ 𝜎
2
2
)
𝑒
−
(𝑥−𝜇
1
−𝜇
2
)
2
2(𝜎
2
1
+𝜎
2
2
)
4.4 𝜒
2
分布
设 𝑋
𝑖
∼ 𝑁 (0, 1), 𝑋 =
𝑋
2
𝑖
, 称 𝑋 为自由度为 𝑛 的 𝜒
2
变量, 分布称为自由度为 𝑛 的 𝜒
2
分布, 记为 𝑋 ∼ 𝜒
2
𝑛
,
其概率密度函数为
𝑓 (𝑥) =
1
2
𝑛
2
Γ
(
𝑛
2
)
𝑥
𝑛
2
−1
𝑒
−
𝑥
2
, 𝑥 > 0
0, 𝑥 ≤ 0
有 𝐸 (𝑋) = 𝑛, 𝑉𝑎𝑟 (𝑋) = 2𝑛,𝜒
2
分布也具有再生性, 即
𝑋
1
∼ 𝜒
2
𝑛
1
, 𝑋
2
∼ 𝜒
2
𝑛
2
则
𝑋
1
+ 𝑋
2
∼ 𝜒
2
𝑛
1
+𝑛
2
4.5 𝑡 分布
设 𝑋 ∼ 𝑁 (0, 1), 𝑌 ∼ 𝜒
2
𝑛
独立, 定义 𝑇
𝑇 =
𝑋
𝑌/𝑛
称 𝑇 为自由度为 𝑛 的 𝑡 变量, 分布称为自由度为 𝑛 的 𝑡 分布, 记为 𝑇 ∼ 𝑡
𝑛
. 其密度函数为
𝑡
𝑛
(𝑥) =
Γ
𝑛+1
2
Γ
𝑛
2
√
𝑛𝜋
1 +
𝑥
2
𝑛
𝑛+1
2
是与标准正态分布相似的单峰偶函数.𝑛 ≥ 2 时 𝐸 (𝑇) = 0,𝑛 ≥ 3 时 𝑉𝑎𝑟𝑇 =
𝑛
𝑛−2
, 当 𝑛 → +∞ 时, 分布趋近与
𝑁 (0, 1)
5 极小值和极大值的分布
先考察最大值
𝑋
(𝑛)
= max 𝑋
1
, 𝑋
2
, ··· , 𝑋
𝑛
设它们有分布函数 𝐹
1
(𝑥), 𝐹
2
(𝑥) ··· 𝐹
𝑛
(𝑥), 则
𝐹
𝑋
(𝑛)
(𝑥) = 𝑃(𝑋
(𝑛)
≤ 𝑥) = 𝑃(𝑋
1
≤ 𝑥 ··· 𝑋
𝑛
≤ 𝑥) =
𝐹
𝑖
(𝑥)
同样地可以得到极小值分布
𝐹
𝑋
(1)
(𝑥) = 𝑃(𝑋
(𝑛)
≥ 𝑥) = 𝑃(𝑋
1
≥ 𝑥 ··· 𝑋
𝑛
≥ 𝑥) = 1 −
(
1 − 𝐹
𝑖
(𝑥)
)