1 条件分布
设 𝑋, 𝑌 为二维离散型随机变量, 记其联合分布律为
𝑝
𝑖 𝑗
= 𝑃(𝑋 = 𝑥
𝑖
, 𝑌 = 𝑦
𝑖
)
若对给定事件 {𝑌 = 𝑦
𝑖
}, 其概率 𝑃(𝑌 = 𝑦
𝑖
) > 0, 则称
𝑃(𝑋 = 𝑥
𝑖
|𝑌 = 𝑦
𝑖
) =
𝑃(𝑋 = 𝑥
𝑖
, 𝑌 = 𝑌
𝑖
)
𝑃(𝑌 = 𝑦
𝑖
)
=
𝑝
𝑖 𝑗
𝑝
· 𝑗
为给定 𝑌 = 𝑦
𝑗
时 𝑋 取 𝑥
𝑖
的概率
条件分布
=
联合分布
边缘分布
1.1 连续型随机变量的条件分布
设
(𝑋, 𝑌 ) ∼ 𝑓 (𝑥, 𝑦 )
给定 𝑌 = 𝑦 的条件下,𝑋 的密度
𝑋 |𝑌 = 𝑦 ∼ 𝑓
𝑋|𝑌=𝑦
(𝑥)
考虑其分布函数
𝐹 (𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥|𝑌 = 𝑦) =
𝑃((𝑋 ≤ 𝑥, 𝑦 ≤ 𝑌 ≤ 𝑦 + 𝜖 ))
𝑃(𝑦 ≤ 𝑌 ≤ 𝑦 + 𝜖)
=
𝑥
−∞
𝑦+𝜖
𝑦
𝑓 (𝑢, 𝑣)𝑑𝑢𝑑𝑣
𝑦+𝜖
𝑦
𝑓
𝑌
(𝑦)𝑑𝑦
=
𝑥
−∞
𝑦+𝜖
𝑦
𝑓 (𝑢, 𝑣)𝑑𝑣
𝑦+𝜖
𝑦
𝑓
𝑌
(𝑦)𝑑𝑦
令 𝜖 → 0 得到
𝑥
−∞
𝑦+𝜖
𝑦
𝑓 (𝑢, 𝑣)𝑑𝑣
𝑦+𝜖
𝑦
𝑓
𝑌
(𝑦)𝑑𝑦
=
𝑥
−∞
𝑦+𝜖
𝑦
𝑓 (𝑢, 𝑣)𝑑𝑣𝜖
𝑦+𝜖
𝑦
𝑓
𝑌
(𝑦)𝑑𝑦𝜖
→
𝑓 (𝑥, 𝑦)
𝑓
𝑌
(𝑦)
2 独立性
2.1 相互独立
认为独立性为取条件不影响概率, 即
𝑃( 𝑋 ≤ 𝑥|𝑌 = 𝑦) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥)
也就是
𝑥
−∞
𝑓 (𝑡, 𝑦)
𝑓
𝑌
(𝑦)
𝑑𝑡 =
𝑥
−∞
𝑓
𝑥
(𝑡)𝑑𝑡
于是被积函数相等, 就得到了
𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑓
𝑋
(𝑥) 𝑓
𝑌
(𝑦) , (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ
2
则称 𝑋, 𝑌 是相互独立的. 若有 𝑋, 𝑌 互相独立, 则对任意区域 𝐴, 𝐵, 有
𝑃( 𝑋 ∈ 𝐴, 𝑌 ∈ 𝐵) = 𝑃(𝑋 ∈ 𝐴)𝑃(𝑌 ∈ 𝐵)
对于多维随机变量, 定义独立性
𝑃( 𝑋
1
∈ 𝐴
1
, 𝑋
2
∈ 𝐴
2
, · · · ) = 𝑃(𝑋
1
∈ 𝐴
1
)𝑃( 𝑋
2
∈ 𝐴
2
) · · ·
于是认为独立性为: 分布函数可拆分, 密度函数可拆分
相互独立的随机变量构成的随机向量也相互独立
