中心位置数字特征
目录
1 数学期望 2
1.1 常见变量的数学期望 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 二项分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 几何分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.3 泊松分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 连续型随机变量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 常见变量的期望 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.1 正态分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.2 指数分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.3 𝜅
2
分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 期望的性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4.1 平移性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4.2 缩放性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4.3 可加性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4.4 线性性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4.5 可乘性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 随机变量函数的期望 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 条件期望 5
3 中位数 6
1
1 数学期望
设 𝑋 为一离散型随机变量, 其分布律为
𝑃(𝑋 = 𝑥
𝑖
) = 𝑝
𝑖
称
𝐸 𝑋 =
𝑥
𝑖
𝑝
𝑖
为其数学期望. 需要注意的是, 当它不是绝对收敛时期望不存在
对于连续型随机变量有
𝐸 𝑋 =
𝑥 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥
同样地, 积分非绝对收敛时期望不存在
1.1 常见变量的数学期望
1.1.1 二项分布
𝑥 ∼ 𝐵(𝑛, 𝑝)
即
𝐸 𝑋 = 𝑘· (𝑥 = 𝑘) =
𝑛
𝑘=0
·
𝑛!
𝑘!(𝑛 − 𝑘)!
𝑝
𝑘
(1−𝑝)
𝑛−𝑘
= 𝑛𝑝
𝑛
𝑘=1
(𝑛 − 1)!
(𝑘 − 1)!(𝑛 − 𝑘)!
𝑝
(
𝑘−1)(1−𝑝)
𝑛−𝑘
= 𝑛𝑝
𝑛−1
𝑖=0
𝐶
𝑖
𝑛−1
𝑝
𝑖
(1−𝑝)
𝑛−1− 𝑖
= 𝑛𝑝
则
𝐸 𝑋 = 𝑛𝑝
1.1.2 几何分布
𝑋 ∼ 𝐺𝑒𝑟 (𝑝)
即
𝑝(𝑥 = 𝑘) = 𝑝(1 − 𝑝)
𝑘−1
故
𝐸 𝑋 =
∞
𝑘=1
𝑘 𝑝(1 − 𝑝)
𝑘−1
= −
(1 − 𝑝)
𝑘
′
=
1
𝑝
1.1.3 泊松分布
𝑋 ∼ 𝑃
𝑜𝑖
(𝜆)
则
𝐸 𝑋 =
∞
𝑘=0
𝑘
𝜆
𝑘
𝑘!
𝑒
−𝜆
= 𝜆
∞
𝑘=1
𝜆
𝑘−1
(𝑘 − 1)!
𝑒
−𝜆
= 𝜆
1.2 连续型随机变量
取离散型随机变量取值逼近连续型, 可以定义连续型随机变量的期望
𝐸 𝑋 ≡
𝑅
𝑥 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥
需要注意的是, 当
+∞
−∞
|
𝑥
|
𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 = ∞
时, 称 𝑋 的数学期望不存在
1.3 常见变量的期望
1.3.1 正态分布
𝑓 (𝑥) =
1
√
2𝜋𝜎
𝑒
−
(𝑥 −𝜇)
2
2 𝜎
2
积分得到
𝐸 𝑋 =
+∞
−∞
𝑥 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥
作变换
𝑡 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
于是
𝐸 𝑋 =
+∞
−∞
(𝜇 + 𝜎𝑡)Ψ(𝑡)𝑑𝑡 = 𝜇 + 0 = 𝜇
1.3.2 指数分布
由分部积分
𝐸 𝑋 =
+∞
0
𝑥𝜆𝑒
−𝜆𝑥
𝑑𝑥 =
1
𝜆
1.3.3 𝜅
2
分布
𝐸 𝑋 = 𝑛𝐸 𝑋
2
0
= 𝑛
+∞
−∞
𝑥
2
Φ(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑛
1.4 期望的性质
1.4.1 平移性
𝐸 (𝑋 + 𝑎) = 𝐸 (𝑋) + 𝑎
对于离散变量
𝐸 (𝑋 + 𝑎) =
(𝑋
𝑖
+ 𝑎)𝑃
𝑖
= 𝐸 (𝑋) + 𝑎
对于连续变量, 令 𝑌 = 𝑋 + 𝑎, 由密度变换公式
𝐸𝑌
=
𝑦 𝑓
(
𝑦
−
𝑎
)
𝑑𝑦
=
(
𝑡
+
𝑎
)
𝑓
(
𝑡
)
𝑑𝑡
=
𝐸 𝑋
+
𝑎𝑠
1.4.2 缩放性
𝐸 (𝑎𝑋) = 𝑎𝐸 (𝑋)
这是因为由密度变换公式
𝐸𝑌 =
𝑦 · 𝑓 (
𝑦
𝑎
) ·
1
𝑎
𝑑𝑦 =
𝑎𝑡 𝑓 (𝑡)𝑑𝑡 = 𝑎𝐸 𝑋
1.4.3 可加性
𝐸 (𝑋 +𝑌) = 𝐸 (𝑋) + 𝐸 (𝑌)
对于离散变量
𝐸 (𝑋 +𝑌) =
𝑖 𝑗
(𝑥
𝑖
+ 𝑦
𝑗
)𝑃
𝑖 𝑗
=
𝑖 𝑗
𝑥
𝑖
𝑃
𝑖 𝑗
+
𝑖 𝑗
𝑦
𝑖
𝑃
𝑖 𝑗
=
𝑖
𝑋
𝑖
𝑃
𝑖·
+
𝑗
𝑌
𝑗
𝑃
·𝑗
= 𝐸 𝑋 + 𝐸𝑌
对于连续型, 令 𝑋 +𝑌 = 𝑍, 记 (𝑋, 𝑌) ∼ 𝑓 (𝑥, 𝑦)
𝐸 (𝑋 +𝑌) =
𝑧
𝑓 (𝑥, 𝑧−𝑥)𝑑𝑥𝑑𝑧 =
(𝑥+𝑦)
𝑓 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 =
𝑥 𝑓 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑+
𝑦 𝑓 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝐸 𝑋 +𝐸𝑌
1.4.4 线性性
综合上述三个得到, 若有 𝑋
1
, 𝑋
2
, ··· , 𝑋
𝑛
,𝑎
𝑖
, 𝑏 ∈ 𝑅, 则
𝐸 (
𝑎
𝑖
𝑋
𝑖
+ 𝑏) =
𝑎
𝑖
𝐸 (𝑋
𝑖
) + 𝑏
1.4.5 可乘性
若有 𝑋
1
, 𝑋
2
, ··· , 𝑋
𝑛
独立, 则
𝐸 (𝑋
1
𝑋
2
··· 𝑋
𝑛
) = 𝐸 𝑋
1
· 𝐸 𝑋
2
··· 𝐸 𝑋
𝑛
在离散情形下
𝐸 𝑋𝑌 =
𝑖 𝑗
𝑋
𝑖
𝑦
𝑗
𝑝𝑃
𝑖 𝑗
=
𝑖
𝑥
𝑖
𝑃
𝑥
𝑖
𝑗
𝑦
𝑖
𝑃
𝑦
𝑖
=
𝑖
𝑥
𝑖
𝑃
𝑥
𝑖
𝑗
𝑦
𝑖
𝑃
𝑦
𝑖
= 𝐸 𝑋 · 𝐸𝑌
在连续情形下
𝐸 𝑋𝑌 =
𝑥𝑦 𝑓 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 =
𝑥𝑦 𝑓 (𝑥) 𝑓 (𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝐸 𝑋 · 𝐸𝑌
1.5 随机变量函数的期望
对于离散型有
𝐸𝑔
(
𝑋
)
=
𝑖
𝑔
(
𝑎
𝑖
)
𝑝
𝑖
对于连续型有
𝐸𝑔(𝑋) =
+∞
−∞
𝑔(𝑥) 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥
2 条件期望
已知
𝑋 |
𝑌=𝑦
𝑗
∼
𝑃
𝑖 𝑗
𝑃
·𝑗
于是
𝐸
𝑋 |
𝑌=𝑦
𝑗
=
𝑖
𝑥
𝑖
·
𝑃
𝑖 𝑗
𝑃
·𝑗
同样地对于连续情形
𝑋 |
𝑌=𝑦
=
𝑓 (𝑥, 𝑦)
𝑓
𝑌
(𝑦)
于是
𝐸
𝑋 |
𝑌=𝑦
=
𝑥
𝑓 (𝑥, 𝑦)
𝑓
𝑌
(𝑦)
𝑑𝑥
若使得给定的 𝑦
𝑖
可变, 则又得到了一个随机变量
𝑔(𝑌) = 𝐸 (𝑋 |𝑌 )
该变量取值与 𝑋 无关. 有
𝑃(𝑔(𝑌) = 𝑦) = 𝑝
·𝑦
对其再取期望得到
𝐸 𝑋 = 𝐸
𝐸 (𝑋 |𝑌)
称为全期望公式. 证明如下
𝐸 𝑋 =
𝑥 𝑓
𝑋
(𝑥)𝑑𝑥 =
𝑥
𝑓 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥 =
𝑥
𝑓 (𝑥, 𝑦)
𝑓
𝑌
(𝑦)
𝑓
𝑌
(𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 =
𝑥 𝑓
𝑋|𝑌=𝑦
(𝑥|𝑌 = 𝑦)𝑑𝑥 · 𝑓
𝑌
(𝑦)𝑑𝑦
内部积分即为条件期望
𝐸 (𝑋 |𝑌 = 𝑦) 𝑓
𝑌
(𝑦)𝑑𝑦 = 𝐸
𝐸 (𝑋 |𝑌)
对于离散
𝐸 𝑋 =
𝑖
𝑥
𝑖
𝑃
𝑖·
=
𝑖
𝑥
𝑖
𝑗
𝑃
𝑖 𝑗
=
𝑖
𝑗
𝑥
𝑖
𝑃
𝑖 𝑗
𝑃
·𝑗
𝑃
·
𝑗
=
𝑗
𝐸 (𝑋 |𝑌 = 𝑗)𝑃
·
𝑗
= 𝐸
𝐸 (𝑋 |𝑌)
可以利用该公式, 通过条件期望得到期望
条件期望也可以线性组合, 于是
𝐸 (𝑦𝑋 |𝑌 = 𝑦) = 𝑦𝐸 (𝑋 |𝑌 = 𝑦)
因此
𝐸 (𝑋𝑌) = 𝐸
𝐸 (𝑋𝑌 |𝑌)
3 中位数
若
𝑃(𝑋 ≤ 𝑚) ≥
1
2
, 𝑃(𝑋 ≥ 𝑚) ≥
1
2
称 𝑚 为中位数, 这是为了离散型随机变量中位数的存在性
中位数一定存在, 但不一定唯一
4 众数
众数指的是概率最大的数. 对于离散, 取的是概率最大的值, 对于连续型, 取的是密度函数取极值时对应的
值
