多变量函数的积分学

1 二重积分 2

1.1 二重积分的概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 函数可积的必要和充分条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 二重积分的性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 二重积分的累次积分法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.5 二重积分的变量代换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.6 二重积分的计算技巧 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.6.1 选择合适的积分顺序 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.6.2 利用区域的对称性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.6.3 利用二重积分计算定积分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 三重积分 5

2.1 三重积分的计算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.1 先一后二的累次积分法 (投影法) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.2 先二后一的累次积分法 (截面法) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 三重积分的变量代换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2.1 球坐标变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2.2

柱坐标变换

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2.3 椭球体坐标变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3 利用对称性求解三重积分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3.1 𝑉 关于 𝑥𝑦 平面对称 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3.2 𝑉 关于 𝑦𝑧 平面对称 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3.3 𝑉 关于 𝑧𝑥 平面对称 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3.4 𝑉 关于原点对称 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 标量场在曲线上的积分 (第一型曲线积分) 6

3.1 空间曲线的弧长 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.1.1 光滑曲线的弧长 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.1.2 弧长为参数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.2 第一型曲线积分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.2.1 基本概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.2.2 基本性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.2.3 计算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4 标量场在曲面上的积分 (第一型曲面积分) 8

4.1 空间曲面的面积 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.1.1 参数方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.1.2 显式方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.1.3 隐式方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.2 基本概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.3 基本性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.4 计算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.4.1 参数法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.4.2 投影法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

5 向量场在曲线上的积分 (第二型曲线积分) 10

5.1 有向曲线 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5.2 第二型曲线积分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5.2.1 基本概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5.2.2 有向弧长微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5.2.3 基本性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5.2.4 计算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5.3 格林公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

5.3.1 补线法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

5.3.2 挖洞法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

5.4 第一与第二格林公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

6 矢量场在曲面上的积分 (第二型曲面积分) 12

6.1 双侧曲面的定向 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

6.1.1 光滑显示曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

6.1.2 双侧曲面的定向 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

6.2 基本概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

6.3 基本性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

6.4 计算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

6.4.1 化为第一型曲面积分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

6.4.2 参数法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

6.4.3 投影法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

7 场论初步 14

7.1 Gauss 定理和 Stokes 定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

7.1.1 散度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

7.1.2 散度与 Gauss 定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

7.1.3 无源场 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

7.1.4 散度的运算法则 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

7.1.5 旋度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

7.1.6 旋度与 Stokes 定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

7.1.7 无旋场 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

7.1.8 旋度的运算法则 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

7.2 保守场 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

7.2.1 保守场 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

7.2.2 有势场 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

7.2.3 无旋场 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

7.2.4 向量势 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1 二重积分

1.1 二重积分的概念

定义 1.1 (可测). 设 𝐷 为平面点集, 作 𝐼 = [𝑎, 𝑏] × [𝑐, 𝑑], 𝐷 ∈ 𝐼

设分割 𝑇 : 𝑎 = 𝑥

< 𝑥

< ... < 𝑥

𝑛

= 𝑏, 𝑐 = 𝑦

< 𝑦

< ... < 𝑦

𝑛

= 𝑑, 定义内面积 (不算边界块)𝜎

−

𝑇

(𝐷), 外面积

(算边界块)𝜎

𝑇

, 则随着分割加密, 内面积单调递增有上界, 外面积单调递减有下界, 若有

lim

𝑇

→0

𝜎

−

𝑇

(𝐷) = lim

𝐷

𝜎

𝑇

(𝐷)

则有界点集 𝐷 为 Jordan 可测, 极限为测度 (面积)

又有

0 ≤ 𝜎

𝑇

(𝐷) − 𝜎

−

𝑇

(𝐷) ≤ 𝜎

𝑇

(𝜕𝐷)

那么

可测 ⇔ 𝜕𝐷测度为零

定理 1.2 (可测的条件). 如下的平面点集可测:

1. 𝐿 : 𝑓 (𝑥) ∈ 𝐶 [𝑎, 𝑏] 测度为零

2. 𝐷 是有限条光滑曲线围成的有界点集可测

3. 由 𝑓 (𝑥) ∈ [𝑎, 𝑏], 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏, 𝑥 轴围成的曲边梯形可测

定义 1.3 (二重积分). 设 𝐷 为平面可测点集, 𝑓 (𝑥, 𝑦) 为 𝐷 上的函数.

将 𝐷 分割为有限个内部互不相交的有面积的小块 {𝐷

𝑖

}

𝑛

𝑖=1

, 其中 𝐷

𝑖

面积为 Δ𝐷

𝑖

, 直径为 𝜆

𝑖

= 𝑠𝑢 𝑝

𝑀

𝑖

− 𝑁

𝑖

(𝑀

𝑖

, 𝑁

𝑖

∈

𝐷

𝑖

), 记分割宽度 𝜆 = max

1≤𝑖≤𝑛

𝜆

𝑖

, 对任意 (𝑥

𝑖

, 𝑦

𝑖

) ∈ 𝐷

𝑖

(1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛), 若极限

lim

𝜆→0

𝑛



𝑖=1

𝑓 (𝑥

𝑖

, 𝑦

𝑖

)Δ𝐷

𝑖

存在, 即黎曼和的极限存在且极限值不依赖于 𝐷 的分法与点 (𝑥

𝑖

, 𝑦

𝑖

) 的取法. 则称 𝑓 (𝑥, 𝑦) 在 𝐷 上可积,

并称其极限值为 𝑓 (𝑥, 𝑦) 在 𝐷 上的二重积分, 记作



𝐷

𝑓 (𝑥, 𝑦)𝑑𝜎或



𝐷

𝑓

𝑓 (𝑥, 𝑦) 在 𝐷 上可积且积分等于 𝐴 ⇒ 对 ∀𝜖 > 0, ∃𝛿 > 0, 𝑠.𝑡. 对任意分割和对应的任意取点 (𝑥

𝑖

, 𝑦

𝑖

) ∈

𝐷

𝑖

(1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛), 只要分割宽度满足 𝜆 < 𝛿, 就有



𝑛



𝑖=1

𝑓 (𝑥

, 𝑦

𝑖

)Δ𝐷

𝑖

− 𝐴



< 𝜖

1.2 函数可积的必要和充分条件

设 𝐷 是由有限条分段光滑曲线围城的有界区域, 𝑓 (𝑥, 𝑦) 是 𝐷 上的函数 (黎曼积分两个有界: 函数与积分

区域有界)

1. 若 𝑓 (𝑥, 𝑦) 在 𝐷 上可积, 则 𝑓 (𝑥, 𝑦) 为 𝐷 上的有界函数 (逆不成立! 反例: 狄利克雷函数)

2. 若有界函数 𝑓 (𝑥, 𝑦) 的不连续点分布在 𝐷 中有限条光滑曲线上, 则 𝑓 (𝑥, 𝑦) 在 𝐷 上可积 (连续则可

积, 改变边界取值不改变可积性与积分值)

3. 若 𝑓 (𝑥, 𝑦), 𝑔(𝑥, 𝑦) 是 𝐷 上的有界函数, 且使 𝑓 (𝑥, 𝑦) ≠ 𝑔(𝑥, 𝑦) 的点分布在有限条光滑曲线上, 则

𝑓 (𝑥, 𝑦) 和 𝑔(𝑥, 𝑦) 在 𝐷 上有相同的可积性, 且可积时有



𝐷

𝑓 =



𝐷

𝑔

1.3 二重积分的性质

设 𝐷 是由有限多条分段光滑曲线围成的有界区域, 𝑓 (𝑥, 𝑦), 𝑔(𝑥, 𝑦) 在 𝐷 上可积

1. 线性性



𝐷

(𝑐

𝑓 + 𝑐

𝑔) = 𝑐



𝐷

𝑓 + 𝑐



𝐷

𝑔

2. 乘积可积性, 𝑓 (𝑥, 𝑦)𝑔(𝑥, 𝑦) 在 𝐷 上可积

3. 保序性, 若在 𝐷 上 𝑓 (𝑥, 𝑦) ≥ 𝑔(𝑥, 𝑦), 则



𝐷

𝑓 ≥



𝐷

𝑔

4. 绝对可积性,

𝑓 (𝑥, 𝑦)

在 𝐷 上可积, 且





𝐷

𝑓



≤



𝐷

𝑓

5. 积分区域可加性



𝐷

∪𝐷

𝑓 =



𝐷

𝑓 +



𝐷

𝑓

定理 1.4 (积分中值定理). 若 𝑓 (𝑥, 𝑦), 𝑔(𝑥, 𝑦) 在有面积的有界闭域 𝐷 中连续且 𝑔 不变号, 则存在 (𝑥

, 𝑦

) ∈

𝐷 使得



𝐷

𝑓 𝑔 = 𝑓 (𝑥

, 𝑦

)



𝐷

𝑔

取 𝑔 = 1, 则得到



𝐷

𝑓 = 𝑓 (𝑥

, 𝑦

)𝑆

𝐷

证明. 有界连续函数最大最小值存在, 则

∃𝑀, 𝑚 𝑠.𝑡.𝑀 ≥ 𝑓 ≥ 𝑚

不妨设 𝑔 > 0 则

𝑚



𝐷

𝑔 ≤



𝐷

𝑔 ≤ 𝑀



𝐷

𝑔

若



𝐷

𝑔 = 0 时, 任意点都满足

若



𝐷

𝑔 > 0, 有

𝑚 ≤



𝐷

𝑓 𝑔



𝐷

𝑔

≤ 𝑀

由连续函数介值性即证 □

1.4 二重积分的累次积分法

有空待补

1.5 二重积分的变量代换

设 𝐷, 𝐷

为分段光滑曲线围成的有界闭区域,Φ : 𝐷

→ 𝐷, Φ(𝑢, 𝑣) = (𝑥(𝑢, 𝑣), 𝑦(𝑢, 𝑣)) 为 𝐶

的一一映射, 且

𝜕(𝑥,𝑦)

𝜕(𝑢,𝑣 )

≠ 0. 若 𝑓 (𝑥, 𝑦) 为 𝐷 上的可积函数, 则



𝐷

𝑓 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 =



𝐷

𝑓 (𝑥(𝑢, 𝑣), 𝑦(𝑢, 𝑣))



𝜕(𝑥, 𝑦)

𝜕𝑢, 𝑣



𝑑𝑢𝑑𝑣

其中二阶雅可比矩阵行列式

𝜕(𝑥, 𝑦)

𝜕(𝑢, 𝑣)



𝜕𝑥

𝜕𝑢

𝜕𝑦

𝜕𝑢

𝜕𝑥

𝜕𝑣

𝜕𝑦

𝜕𝑣



对于极坐标变换 𝑥 = 𝑟 cos 𝜃, 𝑦 = 𝑟 sin 𝜃 有



𝜕(𝑥, 𝑦)

𝜕(𝑟, 𝜃)



= 𝑟

1.6 二重积分的计算技巧

1.6.1 选择合适的积分顺序

在能算出来的前提下使分块最少

1.6.2 利用区域的对称性

设 𝑓 (𝑥, 𝑦) 在有界闭区域 𝐷 上连续

若 𝐷 关于 𝑥 轴对称, 则



𝐷

𝑓 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 =



𝐷𝐷

𝑓 (𝑥, −𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦

若 𝐷 关于 𝑦 轴对称, 则



𝐷

𝑓 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 =



𝐷𝐷

𝑓 (−𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦

若 𝐷 关于原点对称, 则



𝐷



𝐷𝐷

𝑓 (−𝑥, −𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦

偶倍奇零, 可以相加除以二

1.6.3 利用二重积分计算定积分



+∞

−∞

𝑒

−𝑥

𝑑𝑥 =?

已知



𝑥

+𝑦

≤𝑅

𝑒

−𝑥

−𝑦



2 𝜋

𝑑𝜃



𝑟𝑒

−𝑟

𝑑𝑟 = 𝜋(1 − 𝑒

−𝑅

)

那么





𝑅

−𝑅

𝑒

−𝑥

𝑑𝑥





𝑅

−𝑅

𝑒

−𝑥

𝑑𝑥



𝑅

−𝑅

𝑒

−𝑦

𝑑𝑦 =



𝑥

≤𝑅,

𝑦

≤𝑅

𝑒

−𝑥

−𝑦

𝑑𝑥𝑑𝑦

又有



𝑥

+𝑦

≤𝑅

𝑒

−𝑥

−𝑦

𝑑𝑥𝑑𝑦 ≤



𝑥

≤𝑅,

𝑦

≤𝑅

𝑒

−𝑥

−𝑦

𝑑𝑥𝑑𝑦 ≤



𝑥

+𝑦

≤2𝑅

𝑒

−𝑥

−𝑦

𝑑𝑥𝑑𝑦

故有 𝑅 → ∞ 时



𝑥

≤𝑅,

𝑦

≤𝑅

𝑒

−𝑥

−𝑦

𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝜋 =



+∞

−∞

𝑒

−𝑥

−𝑦

𝑑𝑥𝑑𝑦

故



+∞

−∞

𝑒

−𝑥

𝑑𝑥 =

√

𝜋

2 三重积分

2.1 三重积分的计算

2.1.1 先一后二的累次积分法 (投影法)

设 𝑉 是由曲面

𝑧 = 𝑧

(𝑥, 𝑦), 𝑧 = 𝑧

(𝑥, 𝑦) (𝑧

(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑧

(𝑥, 𝑦), (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷)

和以边界 𝜕𝐷 为准线并平行于 𝑧 轴的柱面围成的,𝑉 在 𝑂𝑥𝑦 平面上的投影为平面区域 𝐷, 则



𝑉

𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 =



𝐷

𝑑𝑥𝑑𝑦



𝑧

(𝑥,𝑦 )

𝑧

(𝑥,𝑦 )

𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑧

2.1.2 先二后一的累次积分法 (截面法)

设 𝑉 在 𝑧 轴上的投影为区间 𝐼, 过 𝐼 上一点 (0, 0, 𝑧) 并与 𝑧 轴垂直的平面和 𝑉 相交的平面图形在 𝑂𝑥𝑦 平

面上的投影为具有面积的区域 𝐷

𝑧

, 则



𝑉

𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 =



𝐼

𝑑𝑧



𝐷

𝑧

𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦

2.2 三重积分的变量代换

设变换

𝑥 = 𝑥 (𝑢, 𝑣, 𝑤), 𝑦 = 𝑦(𝑢, 𝑣, 𝑤), 𝑧 = 𝑧(𝑢, 𝑣, 𝑤)

将 𝑂

𝑢𝑣𝑤 空间中具有体积的有界闭区域 𝑉

一一映射为 𝑂𝑥𝑦𝑧 空间中具有体积的有界闭区域 𝑉, 且

𝜕(𝑥,𝑦,𝑧)

𝜕(𝑢,𝑣,𝑤 )

≠ 0

𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) 为 𝑉 上的可积函数, 则



𝑉

𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 =



𝑉

𝑓 (𝑥(𝑢, 𝑣, 𝑤), 𝑦(𝑢, 𝑣, 𝑤), 𝑧(𝑢, 𝑣, 𝑤))



𝜕(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝜕(𝑢, 𝑣, 𝑤)



𝑑𝑢𝑑𝑣𝑑𝑤

2.2.1

球坐标变换

𝑥 = 𝑟 sin 𝜃 cos 𝜑, 𝑦 = 𝑟 sin 𝜃 sin 𝜑, 𝑧 = 𝑟 cos 𝜃

则雅可比行列式



𝜕(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝜕(𝑟, 𝜃, 𝜑)



= 𝑟

sin 𝜃

2.2.2 柱坐标变换

𝑥 = 𝑟 cos 𝜃, 𝑦 = 𝑟 sin 𝜃, 𝑧 = 𝑧

其雅可比行列式



𝜕(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝜕(𝑟, 𝜃, 𝑧)



= 𝑟

2.2.3 椭球体坐标变换

𝑥 = 𝑎𝑟 sin 𝜃 cos 𝜑, 𝑦 = 𝑏𝑟 sin 𝜃 sin 𝜑, 𝑧 = 𝑐𝑟 cos 𝜃

其雅可比行列式



𝜕(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝜕(𝑟, 𝜃, 𝜑)



= 𝑎𝑏𝑐𝑟

sin 𝜃

2.3 利用对称性求解三重积分

2.3.1 𝑉 关于 𝑥𝑦 平面对称



𝑉

𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 =



𝑉𝑉+1

𝑓 (𝑥, 𝑦, −𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

2.3.2 𝑉 关于 𝑦𝑧 平面对称



𝑉

𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 =



𝑉𝑉

𝑓 (−𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

2.3.3 𝑉 关于 𝑧𝑥 平面对称



𝑉

𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 =



𝑉𝑉

𝑓 (𝑥, −𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

2.3.4 𝑉 关于原点对称



𝑉

𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 =



𝑉𝑉

𝑓 (−𝑥, −𝑦, −𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

3 标量场在曲线上的积分 (第一型曲线积分)

3.1 空间曲线的弧长

3.1.1

光滑曲线的弧长

设空间曲线段由参数方程给出

𝑥 = 𝑥 (𝑡), 𝑦 = 𝑦(𝑡), 𝑧 = 𝑧(𝑡), 或®𝑒 = ®𝑟 (𝑡), 𝛼 ≤ 𝑡 ≤ 𝛽

且 [𝛼, 𝛽] 到曲线上的点是一一对应的, 若 𝐿 为光滑曲线, 则 𝐿 可求长, 弧长为

𝑠 =



𝛽

𝛼



𝑥

(𝑡), 𝑦

(𝑡), 𝑧

(𝑡)

称弧长微元或弧长微分为

𝑑𝑠 =



𝑥

(𝑡), 𝑦

(𝑡), 𝑧

(𝑡)𝑑𝑡 =



𝑑𝑥

+ 𝑑𝑦

+ 𝑑𝑧

3.1.2 弧长为参数

当曲线 𝐿 以弧长为参数时, 参数方程为

𝑥 = 𝑥 (𝑠), 𝑦 = 𝑦(𝑠), 𝑧 = 𝑧(𝑠)或®𝑟 = ®𝑟 (𝑠), 𝑠 ∈ [0, 𝑠

]

称为空间曲线 𝐿 的自然方程, 则有

®𝑟

(𝑠) = 1

𝑑𝑥

𝑑𝑠

= cos 𝛼,

𝑑𝑦

𝑑𝑠

= cos 𝛽,

𝑑𝑧

𝑑𝑠

= cos 𝛾

其中 cos 𝛼, cos 𝛽, cos 𝛾 为曲线 𝐿 的三个方向余弦, 此时弧长公式为

𝑠 =



𝐿

𝑑𝑠

3.2 第一型曲线积分

3.2.1 基本概念

分割求和取极限, 待补

3.2.2 基本性质

有界性, 线性性, 保序性, 绝对可积性

定理 3.1 (曲线积分的分段可加性). 若 𝑓 在两条光滑曲线段 𝐿

, 𝐿

上可积, 则 𝑓 在 𝐿

∪ 𝐿

上也可积,

且



𝐿

𝑓 𝑑𝑠 =



𝐿

𝑓 𝑑𝑠 +



𝐿

𝑓 𝑑𝑠

定理 3.2 (积分中值定理). 若 𝑓 在 𝐿 上连续, 则 ∃𝑃 ∈ 𝐿, 使得



𝐿

𝑓 𝑑𝑠 = 𝑓 (𝑃)𝑠

3.2.3 计算

若有参数方程

𝑥 = 𝑥 (𝑡), 𝑦 = 𝑦(𝑡), 𝑧 = 𝑧(𝑡), 𝛼 ≤ 𝑡 ≤ 𝛽

𝑓 在 𝐿 上连续, 则第一型曲线积分为



𝐿

𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑠 =



𝛽

𝛼

𝑓 (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡))



𝑥

(𝑡), 𝑦

(𝑡), 𝑧

(𝑡)𝑑𝑡

若平面上的曲线有显式表示 𝑦 = 𝑦(𝑥), 且 𝑦(𝑥) 有连续的微商, 则有 (将 𝑥 作为参数)



𝐿

𝑓 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑠 =



𝑏

𝑎

𝑓 (𝑥, 𝑦(𝑥))



1 + 𝑦

(𝑥)𝑑𝑥

设平面曲线极坐标方程为 𝑟 = 𝑟 (𝜃)(𝛼 ≤ 𝜃 ≤ 𝛽), 且 𝑟 (𝜃) 有连续的微商, 则



𝐿

𝑓 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑠 =



𝛽

𝛼

𝑓 (𝑟 cos 𝜃, 𝑟 sin 𝜃)

√

𝑟

+𝑟

𝑑𝜃

与重积分一样可以由对称性简化运算

4 标量场在曲面上的积分 (第一型曲面积分)

4.1 空间曲面的面积

4.1.1 参数方程

设 𝑆 是空间光滑曲面, 其参数方程为

𝑥 = 𝑥 (𝑢, 𝑣), 𝑦 = 𝑦(𝑢, 𝑣), 𝑧 = 𝑧(𝑢, 𝑣), 或®𝑟 = ®𝑟 (𝑢, 𝑣), (𝑢, 𝑣) ∈ 𝐷

且 𝐷 到曲面是一一对应的, 则曲面 𝑆 的面积为

𝑆 =



𝐷



®𝑟

𝑢

× ®𝑟

𝑣





𝐷

√

𝐸𝐺 − 𝐹

𝑑𝑢𝑑𝑣

其中

𝐸 = 𝑟

𝑢

= 𝑥

𝑢

+ 𝑦

𝑢

+ 𝑧

𝑢

𝐺 = 𝑟

𝑣

= 𝑥

𝑣

+ 𝑦

𝑣

+ 𝑧

𝑣

𝐹 = 𝑟

𝑢

· 𝑟

𝑣

= 𝑥

𝑢

𝑥

𝑣

+ 𝑦

𝑢

𝑦

𝑣

+ 𝑧

𝑢

𝑧

𝑣

曲面的面积元素为

𝑑𝑆 =

√

𝐸𝐺 − 𝐹

𝑑𝑢𝑑𝑣

4.1.2 显式方程

若曲面 𝑆 有显式方程

𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦), (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷

且 𝑧(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐶

, 则以 𝑥, 𝑦 为参数, 得到

𝑆 =



𝐷



1 + 𝑧

𝑥

+ 𝑧

𝑦

𝑑𝑥𝑑𝑦

其中

𝑑𝑆 =



1 + 𝑧

𝑥

+ 𝑧

𝑦

𝑑𝑥𝑑𝑦

称为在直角坐标下显式曲面的面积元素, 其他显式方程同理

4.1.3 隐式方程

如果曲面的隐式方程为 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0, 其中函数 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) 是 𝐶

的且 𝐹

𝑧

≠ 0, 由隐函数求导得

𝑆 =



𝐷



𝐹

𝑥

+ 𝐹

𝑦

+ 𝐹

𝑧



𝐹

𝑧



𝑑𝑥𝑑𝑦

4.2 基本概念

分割求和取极限, 略

4.3 基本性质

有界性, 线性性, 保序性

定理 4.1 (曲面积分的分片可加性). 若 𝑓 在 𝑆

和 𝑆

上都可积,𝑆 是由 𝑆

和 𝑆

拼接而成的曲面, 则 𝑓

在 𝑆 上也可积, 并且



𝑆

𝑓 𝑑𝑆 =



𝑆

𝑓 𝑑𝑆 +



𝑆

𝑓 𝑑𝑆

定理 4.2 (积分中值定理). 若 𝑓 在 𝑆 上连续, 则 ∃𝑃 ∈ 𝑆 使得



𝑆

𝑑𝑆 = 𝑓 (𝑃)Δ𝑆

4.4 计算

4.4.1 参数法

设 ℝ

中的光滑曲面 𝑆 的参数方程为

𝑥 = 𝑥 (𝑢, 𝑣), 𝑦 = 𝑦(𝑢, 𝑣), 𝑧 = 𝑧(𝑢, 𝑣), (𝑢, 𝑣) ∈ 𝐷

𝐷 到曲面是一一对应的. 若函数 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) 在 𝑆 上连续, 则



𝑆

𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑆 =



𝐷

𝑓 (𝑥(𝑢, 𝑣), 𝑦(𝑢, 𝑣), 𝑧(𝑢 , 𝑣))

√

𝐸𝐺 − 𝐹

𝑑𝑢𝑑𝑣

4.4.2 投影法

如果光滑曲面 𝑆 有显示表达 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦), (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷, 则以 𝑥, 𝑦 为参数得



𝑆

𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑆 =



𝐷

𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧(𝑥, 𝑦))



1 + 𝑧

𝑥

+ 𝑧

𝑦

𝑑𝑥𝑑𝑦

其他显式表达同理

同样也可以由积分区域的对称性简化运算

5 向量场在曲线上的积分 (第二型曲线积分)

5.1 有向曲线

设 𝐿 是连接 𝐴, 𝐵 的曲线, 若指定起点 𝐴 与终点 𝐵, 曲线称为定向曲线, 记为

𝐴𝐵

若 𝐿 有参数表示, 参数增加的方向作为正方向

若 𝐿 为光滑曲线, 指定单位切向量 ®𝜏 =

®𝑟

(𝑡)

®𝑟

(𝑡)

为 𝐿 的正方向

若 𝐿 为 𝑂𝑥𝑦 上的封闭曲线, 称其逆时针方向为正方向,𝐿 围成的内部区域在 𝐿 行进方向的左边

5.2 第二型曲线积分

5.2.1 基本概念

分割近似求和取极限, 从略

曲线 𝐿 的第二型曲线积分记为



𝐿

®𝑣 · 𝑑®𝑟

若 𝐿 是有向封闭曲线, 积分也称为向量场 𝑣 沿环路 𝐿 的环量, 常用



𝐿

®𝑣 · 𝑑®𝑟 表示

5.2.2 有向弧长微分

设 𝑣 = (𝑃, 𝑄, 𝑅), 其中 𝑃𝑄𝑅 为 𝑥𝑦𝑧 的函数,𝐿 上的单位切向量 ®𝜏 =

®𝑟

(𝑡)

®𝑟

(𝑡)

= (cos 𝛼, cos 𝛽, cos 𝛾), 曲线的有

向弧长微分或有向弧长元素为

𝑑®𝑟 = 𝜏𝑑𝑠 = (cos 𝛼, cos 𝛽, cos 𝛾)𝑑𝑠 = (𝑑𝑥, 𝑑𝑦, 𝑑𝑧)

第二型曲线积分又可记为



𝐿

®𝑣 · 𝑑®𝑟 =



𝐿

®𝑣 · ®𝜏𝑑𝑠 =



𝐿

𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 + 𝑅𝑑𝑧

第二型曲线积分又叫做对坐标的曲线积分

5.2.3 基本性质

线性性, 积分曲线可加性

积分的方向性



𝐿

𝐴𝐵

𝐹 · ®𝜏𝑑𝑠 = −



𝐿

𝐵 𝐴

𝐹 · ®𝜏𝑑𝑠

5.2.4 计算

化为第一型曲线积分



𝐿

𝐹 · 𝜏𝑑𝑠 =



𝐿

𝑃𝑑𝑠 + 𝑄𝑑𝑦 + 𝑅𝑑𝑧 =



𝐿

(𝑃 cos 𝛼 + 𝑄 cos 𝛽 + 𝑅 cos 𝛾)𝑑𝑠

其中 𝐿 上的单位切向量

𝜏 = (cos 𝛼, cos 𝛽, cos 𝛾)

参数法



𝐿

𝐹 · ®𝜏𝑑𝑠 =



𝛽

𝛼

[𝑃𝑥

(𝑡) + 𝑄𝑦

(𝑡) + 𝑅𝑧

(𝑡)]𝑑𝑡

如果 𝐿 的方向为参数减小的方向, 则应该在积分前加负号

5.3 格林公式

定理 5.1 (Green 公式). 设 𝐷 是由分段简单光滑闭曲线𝐿 = 𝜕𝐷 围成的平面有界闭区域, 函数 𝑃(𝑥, 𝑦), 𝑄(𝑥, 𝑦)

在 𝐷 上有一阶连续偏导数, 则有



𝜕𝐷

𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 =



𝐷



𝜕𝑄

𝜕𝑥

−

𝜕𝑃

𝜕𝑦



𝑑𝑥𝑑𝑦

其中沿 𝐿 的正方向行进时, 区域 𝐷 始终在它的左侧. 若 𝐷 为单连通区域,𝐿 为逆时针方向, 若为多连通,𝐿

的外边界为逆时针, 内边界为顺时针

证明. 待补 □

推论: 设 𝐷 是满足格林公式条件的区域, 面积为 𝐴,𝜕𝐷 为 𝐷 的分段光滑的边界, 则有

𝐴 =



𝜕𝐷

𝑥𝑑𝑦 = −



𝜕𝐷

𝑦𝑑𝑠 =



𝐿

𝑥𝑑𝑦 − 𝑦𝑑𝑥

若 𝜕𝐷 有参数方程 𝑥 = 𝑥 (𝑡), 𝑦 = 𝑦(𝑡), 则

𝐴 =





𝛽

𝛼

(𝑥𝑦

− 𝑦𝑥

)𝑑𝑡



5.3.1 补线法

若曲线 𝐿 不封闭, 则需要添加同向辅助线使其封闭, 且这部分线上积分容易

例:𝐼 =



𝐿

[

𝑒

𝑥

sin 𝑦 − 𝑏(𝑥 + 𝑦)

]

𝑑𝑥 +(𝑒

𝑥

cos 𝑦 −𝑎𝑥)𝑑𝑦 其中 𝑎 > 0, 𝑏 为常数,𝐿 为从 𝑀 (2𝑎, 0) 沿 𝑦 =

√

2𝑎𝑥 − 𝑥

到 𝑂 (0, 0) 的上半圆弧

从 𝑂 (0, 0) 到 𝑀 (2𝑎, 0) 的直线段为 Γ, 与 𝐿 围成的区域为 𝐷, 则

𝐼 =





𝐿+Γ

−





[

𝑒

𝑥

sin 𝑦 − 𝑏(𝑥 + 𝑦)

]

𝑑𝑥 + (𝑒

𝑥

cos 𝑦 − 𝑎𝑥)𝑑𝑦



𝐷



𝜕

𝜕𝑥

(𝑒

𝑥

cos 𝑦 − 𝑎𝑥) −

𝜕

𝜕𝑦

[𝑒

𝑥

sin 𝑦 − 𝑏(𝑥 + 𝑦)]



𝑑𝑥𝑑𝑦 −



2𝑎

(−𝑏𝑥)𝑑𝑥



𝐷

(𝑏 − 𝑎)𝑑𝑥𝑑𝑦 +



2𝑎

𝑏𝑥𝑑𝑥

𝜋

(𝑏 − 𝑎)𝑎

+ 2𝑎

𝑏

5.3.2 挖洞法

若 𝐷 内存在无定义点, 不连续点, 不可导点, 需要挖去这些点

例:



𝐿

𝑥𝑑𝑦 − 𝑦𝑑𝑥

𝑥

+ 𝑦

, 其中

1. 𝐿 是任一条包含原点且不通过原点的分段光滑曲线, 逆时针方向

在 𝐿 所围成的区域内, 作一个以原点为中心, 以充分小的 𝜖 为半径的圆周 𝐿

𝜖

: 𝑥

+𝑦

= 𝜖

, 方向为逆时针

方向, 与 𝐿 围成区域 𝐷, 则



𝐿−𝐿

𝜖

𝑥𝑑𝑦 − 𝑦𝑑𝑥

𝑥

+ 𝑦

= 0

所以



𝐿

𝑥𝑑𝑦 − 𝑦𝑑𝑥

𝑥

+ 𝑦



𝐿

𝜖

𝑥𝑑𝑦 − 𝑦𝑑𝑥

𝑥

+ 𝑦

= 2𝜋

2. 𝐿 是任一条过原点的分段光滑曲线, 逆时针方向

作一个以原点为中心, 以充分小的 𝜖 > 0 为半径的圆周 𝐿

𝜖

: 𝑥

+ 𝑦

= 𝜖

, 方向逆时针.𝐿

为 𝐿 在 𝐿

𝜖

外的

部分,𝐿

𝜖

为 𝐿

𝜖

在 𝐿 内的部分, 则



𝐿

−𝐿

𝜖

𝑥𝑑𝑦 − 𝑦𝑑𝑥

𝑥

+ 𝑦

= 0 ⇒



𝐿

𝑥𝑑𝑦 − 𝑦𝑑𝑥

𝑥

+ 𝑦



𝐿

𝜖

𝑥𝑑𝑦 − 𝑦𝑑𝑥

𝑥

+ 𝑦

故

𝐼 = lim

𝜖 →0



𝐿

𝑥𝑑𝑦 − 𝑦𝑑𝑥

𝑥

+ 𝑦

= lim

𝜖 →0



𝐿

𝜖

𝑥𝑑𝑦 − 𝑦𝑑𝑥

𝑥

+ 𝑦

当 𝜖 充分小时,𝐿 含在 𝐿

𝜖

内的部分近似直线段, 那么 𝐿

𝜖

为半圆周 𝑥 = 𝜖 cos 𝜃, 𝑦 = 𝜖 cos 𝜃, 𝜃 ∈ [𝛼, 𝛼 + 𝜋], 𝛼

为 𝐿 上原点处切线与 𝑥 轴夹角, 得

𝐼 = lim

𝜖 →0

𝜖



𝜋+𝛼

𝛼

𝜖

𝑑𝜃 = 𝜋

5.4 第一与第二格林公式

定理 5.2 (第一格林公式). 若有 𝑢(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐶

(𝐷), 则



𝜕𝐷

𝜕𝑢

𝜕

𝑛

𝑑𝑠 =



𝐷

∇

𝑢𝑑𝑥𝑑𝑦

证明. 有

®𝜏𝑑𝑠 = (𝑑𝑥, 𝑑𝑦)

则

®𝑛𝑑𝑠 = (𝑑𝑦, −𝑑𝑥)

故



𝐿

𝜕𝑢

𝜕 ®𝑛

𝑑𝑠 =



𝐿

∇𝑢 ·

𝑛𝑑𝑠



𝐿

𝜕𝑢

𝜕𝑥

𝑑𝑦 −

𝜕𝑢

𝜕𝑦

𝑑𝑥



𝐷

∇

𝑢𝑑𝑥𝑑𝑦

□

定理 5.3 (第二格林公式). 若 𝑢(𝑥, 𝑦), 𝑣 (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐶

(𝐷), 则



𝜕𝐷



𝑣

𝜕𝑢

𝜕 ®𝑛

− 𝑢

𝜕𝑣

𝜕 ®𝑛



𝑑𝑠 =



𝐷

(𝑣∇

𝑢 − 𝑢∇

𝑣)𝑑𝑥𝑑𝑦

6 矢量场在曲面上的积分 (第二型曲面积分)

6.1 双侧曲面的定向

设光滑曲面有参数方程

𝑥 = 𝑥 (𝑢, 𝑣), 𝑦 = 𝑦(𝑢, 𝑣), 𝑧 = 𝑧(𝑢, 𝑣), (𝑢, 𝑣) ∈ 𝐷

则法向量为



𝜕(𝑦, 𝑧)

𝜕(𝑢, 𝑣)

𝜕(𝑧, 𝑥)

𝜕(𝑢, 𝑣)

𝜕(𝑥, 𝑦)

𝜕(𝑢, 𝑣)



正负号表示选择曲面的哪一侧

6.1.1 光滑显示曲面

1. 𝑧 = 𝑓 (𝑥, 𝑦), (−𝑓

𝑥

, −𝑓

𝑦

, 1) 上侧,(𝑓

𝑥

, 𝑓

𝑦

, −1) 下侧

2. 𝑥 = 𝑔(𝑦, 𝑧), (1, −𝑔

𝑦

, −𝑔

𝑧

) 前侧,(−1, 𝑔

𝑦

, 𝑔

𝑧

) 后侧

3. 𝑦 = ℎ(𝑥, 𝑧), (−ℎ

𝑥

, 1, −ℎ

𝑧

) 右侧,(ℎ

𝑥

, −1, ℎ

𝑧

) 左侧

正法向与坐标轴方向相同

6.1.2 双侧曲面的定向

1. 封闭曲面外侧为正

2. 给定绕行方向则正向满足右手定则

3. 相邻曲面公共边界走向相反

6.2 基本概念

®𝑣 是定义在 ℝ

空间区域 𝑉 中的一个矢量场,𝑆 是 𝑉 中一张光滑的指定侧的双侧曲面,®𝑛 是曲面 𝑆 上指定

侧的单位法向量, 称



𝑆

®𝑣 · ®𝑛𝑑𝑆

为向量场 ®𝑣 在定向曲面 𝑆 上的第二型曲面积分, 或称为矢量场 ®𝑣 通过定向曲面 𝑆 指定侧的通量

设 ®𝑣(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑃, 𝑄, 𝑅), 𝑃𝑄𝑅 为 𝑥𝑦𝑧 的函数,𝑆 的单位法向量为 ®𝑛 = (cos 𝛼, cos 𝛽, cos 𝛾), 则有向面积元

𝑑

𝑆 = ®𝑛𝑑𝑆 = (cos 𝛼𝑑𝑆, cos 𝛽𝑑𝑆, cos 𝛾𝑑𝑆) = (𝑑𝑦𝑑𝑧, 𝑑𝑧𝑑𝑥, 𝑑𝑥𝑑𝑦)

6.3 基本性质

线性性, 积分曲面可加性

定理 6.1 (对曲面的方向性). 若用 𝑆

和 𝑆

−

表示曲面的不同两侧, 则



𝑆

−

®𝑣 · ®𝑛𝑑𝑆 = −



𝑆

®𝑛 · ®𝑛𝑑𝑆

6.4 计算

6.4.1 化为第一型曲面积分



𝑆

®𝑣 · ®𝑛𝑑𝑆 =



𝑆

(𝑃 cos 𝛼 + 𝑄 cos 𝛽 + 𝑄 cos 𝛾)𝑑𝑆

6.4.2 参数法

设光滑曲面 𝑆 有参数方程

®𝑟 (𝑢, 𝑣) = 𝑥(𝑢, 𝑣)i + 𝑦(𝑢, 𝑣)j + 𝑧(𝑢, 𝑣)k, (𝑢, 𝑣) ∈ 𝐷

曲面 𝑆 指定侧的法向量为 (正负表示选哪侧)

n = ±

𝑢

× r

𝑣



𝑢

× r

𝑣



则有



𝑆

v · n𝑑𝑆 = ±



𝐷

v · (r

𝑢

× r

𝑣

)𝑑𝑢𝑑𝑣

= ±



𝐷



𝑃 𝑄 𝑅

𝑥

𝑢

𝑦

𝑢

𝑧

𝑢

𝑥

𝑣

𝑦

𝑣

𝑧

𝑣



𝑑𝑢𝑑𝑣



𝐷



𝑃

𝜕(𝑦, 𝑧)

𝜕(𝑢, 𝑣)

+𝑄

𝜕(𝑧, 𝑥)

𝜕(𝑢, 𝑣)

+ 𝑅

𝜕(𝑥, 𝑦)

𝜕(𝑢, 𝑣)



𝑑𝑢𝑑𝑣

需要注意此处代数投影没有绝对值

6.4.3 投影法

若曲面 𝑆 有显示表示 𝑧 = 𝑓 (𝑥, 𝑦), (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷, 代入参数则有



𝑆

v · n𝑑𝑆 = ±



𝐷



𝑃 𝑄 𝑅

1 0 𝑓

𝑥

0 1 𝑓

𝑦



𝑑𝑥𝑑𝑦



𝐷

(− 𝑃𝑑

𝑥

−𝑄 𝑓

𝑦

+ 𝑅)𝑑𝑥𝑑𝑦

其中正负的选择取决于是上侧还是下侧

7 场论初步

7.1 Gauss 定理和 Stokes 定理

7.1.1 散度

有向量场 ®𝑣 对封闭曲面 𝑆 的通量

𝑁 =



𝑆

®𝑣 · ®𝑛𝑑𝑆

体积取极限即为散度

𝑑𝑖𝑣®𝑣 = lim

𝑉→0

Δ𝑉



𝑆

®𝑣 · ®𝑛𝑑𝑆

7.1.2 散度与 Gauss 定理

由 Gauss 定理与积分中值定理得到

𝑑𝑖𝑣®𝑣 = ∇ · ®𝑣 =

𝜕𝑃

𝜕𝑥

𝜕𝑄

𝜕𝑦

𝜕𝑅

𝜕𝑧

得到散度表达的高斯定理, 也称散度定理



𝑆

®𝑣 · ®𝑛𝑑𝑆 =



𝑉

𝑑𝑖𝑣®𝑣𝑑𝑉

7.1.3 无源场

若 ®𝑣 在 𝑉 中每一点散度为零, 即

∇ · ®𝑣 ≡ 0

则称 ®𝑣 为无源场

7.1.4 散度的运算法则

1. ∇ · (𝑐

®𝑣

+ 𝑐

®𝑣

) = 𝑐

∇ · ®𝑣

+ 𝑐

∇ · ®𝑣

,𝑐

, 𝑐

为任意常数

2. ∇ · (𝑢®𝑣) = 𝑢∇ · ®𝑣 + ∇𝑢 · ®𝑣,𝑢 为任意数量场

7.1.5 旋度

有向量场在一点的涡量

®𝑛

(𝑀) = lim

𝑆→0

Δ𝑆



𝐿

®𝑣 · 𝜏𝑑𝑠

称为 ®𝑣 在点 𝑀 绕方程 𝑛 的涡量. 记涡量的最大值及其方向所构成的向量称为 ®𝑣 在 𝑀 的旋度. 记为 𝑟𝑜𝑡®𝑣,

有表达式

𝑟𝑜𝑡®𝑣 = ∇ × ®𝑣

7.1.6 旋度与 Stokes 定理

利用旋度,Stokes 定理写为



𝐿

®𝑣𝜏𝑑𝑠 =



𝑆

∇ × ®𝑣𝑑

𝑆

7.1.7 无旋场

若 ®𝑣 在 𝑉 内每一点旋度都为零, 即有

∇ × ®𝑣 ≡ 0

称 ®𝑣 为无旋场. 对于无旋场有



𝐿

®𝑣 · ®𝜏𝑑𝑠 = 0, ∀𝐿

7.1.8 旋度的运算法则

1. ∇ × (𝑐

®𝑣

+ 𝑐

®𝑣

) = 𝑐

∇ × ®𝑣

+ 𝑐

∇ × ®𝑣

,𝑐

, 𝑐

为任意常数

2. ∇ × (𝑢®𝑣) = 𝑢∇ × ®𝑣 + ∇𝑢 × ®𝑣,𝑢 为任意标量场

3. ∇ · (®𝑣

× ®𝑣

) = ®𝑣

· ∇ × ®𝑣

− ®𝑣

· ∇ × ®𝑣

4. ∇ · (∇ × ®𝑣) = 0, ∇ × (∇𝑢) = 0, 旋度场为无源场, 梯度场为无旋场

7.2 保守场

7.2.1 保守场

若 ®𝑣 沿 𝑉 内任意闭路的环量都等于零, 即



𝐿

𝑣

· ®

𝜏𝑑𝑠

则称 ®𝑣 是区域 𝑉 的保守场. 对于保守场有:

®𝑣为𝑉内的保守场 ⇔ ®𝑣在𝑉内的曲线积分与路径无关

7.2.2 有势场

®𝑣 为区域 𝑉 上的连续向量场. 若有可微函数 𝜑𝑥, 𝑦, 𝑧 满足

∇𝜑 = ®𝑣

则称 ®𝑣 为有势场或梯度场,𝜑 为 ®𝑣 的一个势函数.

𝜑为势函数 ⇔ 𝜑为𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 + 𝑅𝑑𝑧的恰当微分形式

若 ®𝑣 为 𝑉 中的连续向量场, 则

®𝑣为𝑉内的有势场 ⇔ ®𝑣在𝑉的曲线积分与路径无关

并且 ®𝑣 沿 𝐿

𝐴𝐵

的曲线积分有



𝐵

𝐴

®𝑣 · 𝑑®𝑟 = 𝜑(𝐵) − 𝜑(𝐴)

对于有势场可以用折线法求解势函数. 沿折线积分:

(𝑥

, 𝑦

, 𝑧

) → (𝑥, 𝑦

, 𝑧

) → (𝑥, 𝑦, 𝑧

) → (𝑥, 𝑦, 𝑧)

则有

𝜑 =



𝑥

𝑃(𝑢, 𝑦

, 𝑧

)𝑑𝑢 +



𝑦

𝑄(𝑥, 𝑣, 𝑧

)𝑑𝑣 +



𝑧

𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑤)𝑑𝑤

7.2.3 无旋场

若 ®𝑣 为空间 𝑉 中的可微向量场, 在每一点有

∇ × ®𝑣 = 0

则称 ®𝑣 为无旋场. 若 ®𝑣 为 𝑉 中的光滑保守场 (𝐶

), 则 ®𝑣 为无旋场

定义曲面单连通:𝑉 中任意闭曲线都可以在区域内连续形变收缩为一点

若 𝑉 曲面单连通,®𝑣 ∈ 𝐶

, 那么

®𝑣为保守场 ⇔ ®𝑣为有势场 ⇔ ®𝑣为无旋场

7.2.4 向量势

若 ®𝑣 ∈ 𝐶

, 若存在另一个向量场 ®𝑎 使得

®𝑟 = ∇ × ®𝑎

则称 ®𝑎 为 ®𝑣 的一个向量势. ®𝑎 加上一个梯度场也是 ®𝑣 的向量势.

若 ®𝑎 为 ®𝑣 的向量势则有



𝐿

®𝑎 · d®𝑠 =



𝑆

®𝑣𝑑

𝑆

即向量势的环量等于对应向量场的通量. 若 ®𝑣 = ∇ × ®𝑎, 那么就有

∇ · ®𝑣 = ∇ · (∇ × ®𝑎) = 0

得到有向量势的场是无源场.

定义空间单连通:𝑉 中任意封闭曲面内部仍在 𝑉 中

若 𝑉 空间单连通, 那么

®𝑣为无源场 ⇔ ®𝑣有向量势