极限
数列极限
Def（数列极限） 设 ,若对任意给定 ,都 ,使得当 时,都有 ,则称 收敛于 , 为极限.记为 或
1. 任意性(只要小就行)
2. 存在性, 不是由 唯一确定(有就行)
3. 几何上 的项都在邻域内
4. 改变数列的有限项不影响其极限
5. 收敛数列不一定单调，例：
6. 常数列极限是自己
不以 为极限 对于
发散 对
求极限方法
定义分析法
见P7 1.2.2
适当放大法
取
例
时显然成立
时, ,则
对于 ,取 ,当 时,都有 ,即
例
对于 ,取 ,即证
例
时显然成立
时
对于 ,取 ,即证
收敛数列的性质
1. 设 收敛,则极限唯一
2. 设 ,则 有界
3. 设
1. 若 充分大, ,则
2. 若 ,则 充分大时
3.2推论
1. 令 或 ,可得保号性
2. 若 充分大, ,则 ;若 ,则 充分大时,
注意
有界是数列收敛的必要不充分条件
有界数列必有收敛的子列
闭区间套定理 若一列闭区间 且 ，则仅存在一点属于这一列中所有的闭区间
证: 与 有 , ,故有 .由条件可得 ,故 为所求点
数列极限的四则运算法则
则
证:
由收敛数列有界性,
对 当 时,
注意
只有收敛数列才能使用四则运算
四则运算只能进行有限次
例
数列收敛的判别法
收敛的子列
Def设 是严格增的自然数列,则 是 的子列, 偶子列, 奇子列
以 为极限 的任意子列都收敛于
1. 存在发散的子列或两个子列收敛但极限不同,则
2. 两个子列收敛于同一极限,不一定收敛
3. 收敛于 奇偶子列都收敛 (只要合起来是 就行)
夹逼定理
设 若 充分大 则
证:设
由 ,即对 当 时, 即 即
例
法一:
时,
法二:
例
且 时,
时,
例
时:
一般地 若 则
证:
注意
收敛, 发散, 发散, 收敛性未知
若 也发散, 收敛性未知
若 则 ,若 ,则 不一定为0
若 则 不一定是1( 不能四则运算)
单调有界定理
Def 设 若 称 单调增数列
单调有界定理 任何单调有界数列必收敛.单调增数列收敛于上确界(减同)
证:设 单调增有上界,由确界原理,则 由上确界定义,对 .由 单增,当 时,
故
例 证 收敛
,单增
有上界,收敛
例
时,
时:
充分大时, 单减, 由单调有界定理,设
两边取极限得
综上,
例 证 收敛并求极限
时,
与 同号
又有 增, 减,由单调有界定理,它们都收敛
设 ,两边取极限得 或 (舍)
同理
Cauchy收敛判别
收敛 当 时都有
等价:
当 时 对 都有
不是Cauchy列:
例 证明
(基本不等式)
取 得 即 ,上界
取 得 即 ,下界
例 证:
上例取对即可
例
由上上例
...
以上相乘得:
Stolz定理
Def无穷大 设 ,若对 当 时, 称 趋于无穷大,记 ,趋于无穷大数列是发散数列,单调无界数列趋于
无穷大
型
1. 严格单调
2.
3. ,则 (l不能是 )
证:由条件, 单调递减, ,则有 .
依次取 ,累加得到 ,令 ,则有 ,则有
,即 ,得证
型
1. 严格单调
2.
3. (不能是 都行)
Toeplize定理
设 且
如果
则
证明: (收敛数列有界性)
同时 时，有
由 可知 时
取 则当 时
有
注： 对 均成立，只要 充分大即可
对于 定理 ，我们只要记 即可得证
，
（一些该定理的例子） (取 )
(取 )
注
1. 任意性, 都可以
2. 存在性
3. 几何上
4. 在 极限与 有无定义无关,与 的方式无关
例
例
左极限 当 时,
右极限 当 时,
例
例 在
函数极限性质
1. 极限唯一性
2. (局部)有界性:若 存在,则 当 时,
3. 局部保序性:设
1. 若在 去心邻域 则
2. 若 则存在 某去心邻域
4. 四则运算:极限存在且有限次,除法分母不是0
例
5. 复合函数极限
设 在 附近, 在 附近有定义, 时 且 则
证:由 有
由 , 有 ,故有 即
例
幂指函数: 则
6. 归结原理
满足 的 都有
对严格单调递增趋于 的任意数列 都有
证:
充分性:设有 ,且 ,故 时有 ,则 有
,即
必要性:假设 时 不以 为极限,则 ,即使
故取 ,对每一个 都有 ,但 .说明当 不成立,与条件矛盾,故得证
注
1. 若有 发散
2. 都异于 且收敛于 极限不相等
例 在任意 极限不存在
