一阶线性微分方程
分离变量型方程
齐次方程
令 ,化为分离变量型方程
形如型
1. 时
是齐次方程
2. 不全为零且
有唯一解 ,作平移变换
化为齐次方程
3. 时
令 代入,即可化为分离变量型
一阶非齐次线性方程
积分因子法
方程两边同时乘以因子 ,得
积分可得
即
公式法
相应齐次方程的通解为
常数变易法
先求齐次方程的通解 ,令 代入得
积分求出 即可
二阶微分方程
可降阶的二阶微分方程
不显含未知数的二阶方程
令 则 ,原式化为一阶微分方程
不含自变量的二阶方程
令 ,则有 ,化为一阶方程
二阶线性微分方程
二阶线性微分方程
求齐次方程的通解
(1)对应的齐次方程
由瞪眼法可求得(2)的一个特解 ,则另一个线性无关解为
则齐次方程(2)的通解为
法二
令 代入方程(2)
化为关于 的一阶方程
求非齐次方程的通解
常数变易法
其中 满足
二阶常系数线性微分方程
二阶常系数线性齐次微分方程
对应的特征方程为 ,解得特征根为
两相异特征根
两相等特征根
当 时
扩展 阶齐次
1. 是 个相异实根则通解为
2. 若 是特征方程的 重实根,则通解中含有
3. 若 为特征方程的 重共轭复根,则通解中含有
)
二阶常系数线性非齐次微分方程
待定系数法求解
1. ,允许
不是特征根时,
是单重特征根时,
是二重特征根时,
2.
不是特征根时,
是单重特征根时,
其中 是待定的 次多项式
欧拉方程
令 或 可化为常系数方程
n阶欧拉方程
也可以如此代换
补充定理证明
Def 线性相关
一组不完全为0的数 称 线性相关,否则
线性无关
Def Wronsky行列式
在 上 次可微,称 为Wronsky行列式
Th 线性相关
在 线性相关,则
证明
不完全为0 (逆不成立)
Th liouville公式
是方程 在 上的解,则
证明
Th liouville定理
是(2)在 上的两解,则 在 上线性无关 在 上
Th 通解定理(?)
若 和 是齐次方程(2)的两个线性无关解,则齐次方程(2)的解为
其中 是任意常数
证明
设
在 上线性无关,则 ,任取(2)的解 (非零),则
有唯一一组非零解
令 ,则 是(2)的解,满足 , 和 是同一个问题的解
Th 通解定理(?)
若 是齐次方程(2)的两个线性无关解, 是方程(1)的一个特解,则二阶非齐次方程(1)的通解为
其中 是任意常数
Th?
对于(2)一定存在线性无关解 称为基本解组
Th ??
若 是(2)的一非零解,求线性无关解
取 则