例： 确定 连续
时, 时, 时 时,
时 都连续
时,
欲连续, 同理
Def 间断点
第一类间断点:若 都存在:
1. 可去间断
2. 跳跃间断, 称为跃度
第二类间断点:若 至少一个不存在:
1. 无穷间断点,如 在
2. 震荡间断点,如 在
例: 黎曼函数
证明每点极限为 并讨论连续性
互质
若 则
不满足 有 有限个在区间 内以 为分母的既约分数 有限
个, 取
则 时, 即 时不连续, 时连续
连续函数的运算
1. 初等函数在定义区间内是连续函数
2. 在 处连续,则 在 均连续.
3.
4. 对 , 在 上有反函数 在 上严格单调,且 有相同的单调性与连续性
证3:取 , 在 连续, 在 连续,
则 ,
故有 ,得证
证4:
1. 证明 且严格单调 有反函数:显然
2. 证明 有反函数 严格单调:假设不严格单调,则对 , 不在 之间.
不妨设 介于 ,由介值定理必 ,则 不可能有反函数（不一一对应），
矛盾
3. 证明反函数严格单调:不妨设 在 单调递增,则 ,同时为 定义域
1. 证明 单调递增: ,则 ,若
,矛盾,则
2. 证明 :取 ,有 ,则
.取
当 .由单调性,
,即 有
,即连续
例 设 在 连续, ,求证 .
, 有 ,为定值
例 ,求 间断点.
,则间断点在 处取得,余下讨论略
例 若 在 连续且 ,则 也在 连续.
,得
证
闭区间上连续函数的性质
零点定理
证:设 ,若 ,得证;否则区间 中必有一个左端点取值为负,右端点取值为正.
重复上述操作,要么恰好在新区间中点处取值为零,得证;
若无,则得到一系列闭区间 满足上述条件,则由闭区间套定理, ,由函数连续性有
,则
介值定理 ,则 能取到介于 之间的任意值
证:设对任意 有 ,则 ,得证
例 ,则 或 .
,即 在 上有 .
假设 在 上变号,则 ,则 ,与 矛盾
例 .
设 ,则由 有 ,即 ,得证
例 设 ,则 内至少存在一点 ,使得
令 ,则
,
四式相加,得 ,则 到 中要么全为零,要么有正有负,即 内至少存
在一点 ，使得 ,得证
有界性
证:假设 在 上无界,则
由Bolzano-Weierstrass定理, 有收敛子列,设其中 则 .
由连续性可知 ,与 矛盾
最值定理
证:假设上确界不一定在集合内,即 内仅取得 .令 ,则 在 上能取到上界
则有 ,则 不是上确界,因此 必在 内取得,下确界同理
例
由 ,则存在最大值 与最小值 ,由介值定理有 ,则
则必有 ,得证
一致连续性 设 ,只要 则称 在 上一致连续
否定形式
闭区间 上定义的连续函数 ,一定在 上一致连续.
证:假设并不一致连续:取 ,则
由列紧性定理, 有子列 ,由 , ,由连续性有
,
与 矛盾.
例 在 上不一致连续,在 上一致连续.
证:
不一致连续:取 .取 ,则
然而 ,不一致连续(找 )
一致连续: ,令
则 ,一致连续(找 )
