调和函数
目录
1 解析函数与调和函数的关系 2
1.1 调和函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 共轭调和 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 调和函数性质与狄利克雷问题 3
2.1 调和函数的平均值公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 极值原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.3 泊松积分公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1
1 解析函数与调和函数的关系
1.1 调和函数
若实函数 𝑢 = (𝑥, 𝑦) 在区域 𝐷 内有二阶连续偏导数, 即 𝑢 ∈ 𝐶
2
(𝐷), 在 𝐷 内满足拉普拉斯方程
Δ𝑢 ≡
𝜕
2
𝑢
𝜕𝑥
2
+
𝜕
2
𝑢
𝜕𝑦
2
= 0
则称 𝑢(𝑥, 𝑦) 为区域 𝐷 内的调和函数
可以有如下定理
设 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 ∈ 𝐷 , 𝑓 (𝑧) = 𝑢 + 𝑖𝑣 在 𝐷 内解析, 则 𝑓 (𝑧) 的实部和虚部都是 𝐷 内的调和函数
由柯西黎曼方程求偏导即证
1.2 共轭调和
设在 𝐷 内,𝑢(𝑥, 𝑦), 𝑣(𝑥, 𝑦) 都是调和函数, 满足柯西黎曼方程, 即 𝑢 + 𝑖𝑣 关于 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 在 𝐷 内解析, 则称
𝑢 和 𝑣 为共轭调和函数
共轭调和函数有性质: 设 𝑢, 𝑣 为共轭调和函数, 即 𝑓 (𝑧) = 𝑢 + 𝑖𝑣 是解析函数, 且设 𝑓
′
(𝑧) = 0, 则等值曲线
簇 𝑢(𝑢
1
, 𝑣
1
) = 𝐾
1
, 𝑣(𝑥, 𝑦) = 𝐾
2
, 在其公共点上永远正交
只需要取其法向量点乘再由柯西黎曼方程和拉普拉斯方程即证
若知道实部 𝑢(𝑥, 𝑦) 为单连通区域内的调和函数, 则可以
唯一确定其虚部
(可以差某个实常数)
𝑣(𝑥, 𝑦) =
(𝑥, 𝑦)
(𝑥
0
,𝑦
0
)
−
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝑑𝑥 +
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝑑𝑦 + 𝐶
其中 (𝑥
0
, 𝑦
0
) 是 𝐷 内任意给定的点
只需要证明积分与路径无无关, 即取一个闭路, 在上面的积分为零, 利用格林公式即证. 由于积分与路径无
关, 那么可以选取折线段作为积分路径, 如可以线平行 𝑥 轴再平行 𝑦 轴
同样可以从虚部构造实部
𝑢(𝑥, 𝑦) =
(𝑥, 𝑦)
(𝑥
0
,𝑦
0
)
𝜕𝑣
𝜕𝑦
𝑑𝑥 +
−
𝜕𝑣
𝜕𝑥
𝑑𝑦 + 𝐶
其中 (𝑥
0
, 𝑦
0
) 是 𝐷 内任意给定的点
需要注意的是, 需要将这种方式写出来的函数写为 𝑧 的形式, 即将右端的 𝑥, 𝑦 全部换为 𝑧. 一般的做法是
待定系数法, 即先推测函数的形式, 设出其系数, 在比较得到. 比如
𝑓 (𝑧) =
1
2
𝑥
2
− 4𝑥𝑦 − 𝑦 −
1
2
𝑦
2
+ 𝐶 + 𝑖
2𝑥
2
− 2𝑦
2
+ 𝑥 + 𝑥𝑦
推测其为多项式函数, 可以设其为
𝑓 (𝑧) = 𝑎𝑧
2
+ 𝑏𝑧 + 𝑐
代入 𝑧 = 𝑥+𝑖𝑦 再比较系数即可得到 𝑓 (𝑧), 当然也可以
令 𝑦 = 0, 此时各项 𝑥 前方的系数就是对应 𝑧 的系数
,
由此便可得到
𝑓 (𝑧) =
1
2
+ 2𝑖
𝑧
2
+ 𝑖𝑧 + 𝐶
若目标是求出 𝑓 (𝑧), 则也可以利用 𝐶 − 𝑅 方程. 假设已知 𝑣(𝑥, 𝑦), 那么
𝜕𝑢
𝜕𝑥
=
𝜕𝑣
𝜕𝑦
那么就可以得到 𝑓
′
(𝑧)
𝑓
′
(𝑧) =
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝑖
𝜕𝑣
𝜕𝑥
再积分即可得出 𝑓 (𝑧)
2 调和函数性质与狄利克雷问题
2.1 调和函数的平均值公式
设实函数 𝑢(𝑧) 是闭圆 𝐷 :
|
𝑧 − 𝑧
0
|
≤ 𝑅 上的调和函数 (此处 𝑢(𝑧) 表示二元实函数), 则
𝑢(𝑧
0
) =
1
2𝜋𝑅
𝐶
𝑢(𝑧)𝑑𝑠 , 𝐶 :
|
𝑧 − 𝑧
0
|
= 𝑅
即调和函数在圆心的值等于它在圆周上的平均值. 证明只需要设 𝑓 (𝑧) = 𝑢(𝑧) + 𝑖𝑣(𝑧), 由解析函数的平均值
公式比较实部即证
2.2 极值原理
设 𝑢(𝑥, 𝑦) 是一个有界域 𝐷 内的调和函数, 且 𝑢 在 𝐷 = 𝐷 + 𝐶 上连续,𝐶 为 𝐷 的边界,𝑢 在 𝐷 上不
恒等于常数, 则 𝑢(𝑥, 𝑦) 能且只能在 𝐷 边界 𝐶 上取得 𝐷 上的最大值和最小值
由于 𝑢 为调和函数, 那么存在调和函数 𝑣 使得 𝑓 (𝑧) = 𝑢 + 𝑖𝑣 是解析函数
构造𝑔
±
(𝑧) = 𝑒
± 𝑓 (𝑧)
= 𝑒
±𝑢( 𝑧 )±𝑖𝑣 (𝑧)
模长只依赖于
𝑢
,
对
𝑔
+
与
𝑔
−
使用最大模原理知
±
𝑢
(
𝑥, 𝑦
)
都只能再边界上
取到最大值, 也就是 𝑢(𝑥, 𝑦) 的最大最小值都在边界上
这种构造是非常有用的, 利用它可以证明另一个定理
若 𝑢(𝑥, 𝑦) 为全平面有界的调和函数, 则 𝑢(𝑥, 𝑦) 为常函数
同样存在调和函数 𝑣 使得 𝑓 (𝑧) = 𝑢 + 𝑖𝑣 为解析函数, 令
𝑔(𝑧) = 𝑒
𝑓 (𝑧)
= 𝑒
𝑢+𝑖𝑣
则 𝑔(𝑧) 全平面解析, 应用刘维尔定理,𝑔(𝑧) 为常函数, 自然 𝑢 为常函数
2.3 泊松积分公式
设 𝑢(𝑧) ≡ 𝑢(𝑥, 𝑦) 是圆 𝐶 :
|
𝑧 − 𝑧
0
|
= 𝑅 及其内部的调和函数, 则 𝑢 在圆内任一点 𝑧 = 𝑧
0
+ 𝑟𝑒
𝑖 𝜑
(0 ≤ 𝑟 < 𝑅)
的值满足
𝑢(𝑧
0
+ 𝑟𝑒
𝑖 𝜑
) =
1
2𝜋
2 𝜋
0
(𝑅
2
− 𝑟
2
)𝑢(𝑧
0
+ 𝑅𝑒
𝑖 𝜃
)
𝑅
2
− 2𝑅𝑟 cos(𝜃 − 𝜑) + 𝑟
2
𝑑𝜃
欲证明这个结论, 只需要取 𝑧 对圆周的对称点 𝑧
1
(在圆外)
𝑧
1
= 𝑧
0
+
𝑅
2
𝑟
𝑒
𝑖 𝜑
由柯西积分公式和柯西积分定理得到
𝑓 (𝑧
0
+ 𝑟𝑒
𝑖 𝜑
) =
1
2𝜋𝑖
|
𝜁 −𝑧
0
|
=𝑅
𝑓 (𝜁)
𝜁 − 𝑧
𝑑𝜁, 0 =
1
2𝜋𝑖
|
𝜁 −𝑧
0
|
=𝑅
𝑓 (𝜁)
𝜁 − 𝑧
1
𝑑𝜁
用参数法展开相减取实部即证