拉普拉斯变换
目录
1 拉氏变换的定义 2
1.1 拉氏变换基本性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 像函数的微分法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 位移定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 本函数积分公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5 常见的拉氏变换与反变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 拉普拉斯反变换 4
2.1 卷积定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 延迟定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1
1 拉氏变换的定义
若 𝑓 (𝑧) 在 ℝ 上绝对可积, 即
∫
+∞
−∞
|
𝑓 (𝑥)
|
𝑑𝑥 < +∞
则可作傅里叶变换
𝐺 (𝑠) = ℱ[ 𝑓 (𝑥)] =
∫
+∞
−∞
𝑓 (𝑥)𝑒
−𝑖𝑠𝑥
𝑑𝑥
傅里叶反变换为
ℱ
−1
[𝐺 (𝑠)] =
1
2𝜋
∫
+∞
−∞
𝐺 (𝑠)𝑒
𝑖𝑥𝑠
𝑑𝑠
有
ℱ
−1
[ℱ [ 𝑓 (𝑥)]] =
𝑓 (𝑥 − 0) + 𝑓 (𝑥 + 0)
2
若 𝑓 (𝑥) 在 𝑥 点连续, 则有反演公式
ℱ
−1
[ℱ [ 𝑓 (𝑥)]] = 𝑓 (𝑥)
定义单位函数
ℎ(𝑡) =
1, 𝑡 ≥ 0
0, 𝑡 < 0
规定
𝑓 (𝑡) = 𝑓 (𝑡)ℎ(𝑡)
若 𝑓 (𝑡) 在 [0, +∞) 绝对可积, 则有
𝐺 (𝑠) =
∫
+∞
0
𝑓 (𝑡)𝑒
−𝑖𝑠𝑡
𝑑𝑡
但是指数函数, 三角函数等在正实轴上不绝对可积. 为了它们的可积性, 引入衰减因子 𝑒
− 𝜎𝑡
. 考察积分
∫
+∞
0
𝑓 (𝑡)𝑒
− 𝜎𝑡
𝑒
−𝑖𝑠𝑡
𝑑𝑡
令
𝑝 = 𝜎 + 𝑖𝑠
得到
𝐹 (𝑝) =
∫
+∞
0
𝑓 (𝑡)𝑒
− 𝑝𝑡
𝑑𝑡
称为 𝑓 (𝑡) 的拉普拉斯变换, 也称为 𝑓 (𝑡) 的拉氏变换像函数. 简记为
𝐿[ 𝑓 (𝑡)] =
∫
+∞
0
𝑓 (𝑡)𝑒
− 𝑝𝑡
𝑑𝑡
拉氏变换与傅里叶变换有关系
𝐿[ 𝑓 (𝑡)] =
∫
+∞
−∞
𝑓 (𝑡)ℎ(𝑡)𝑒
− 𝜎𝑡
𝑒
−𝑖𝑠𝑡
𝑑𝑡 = ℱ
𝑓 (𝑡)ℎ(𝑡)𝑒
− 𝜎𝑡
由傅里叶反变换可以得到拉氏反变换
𝑓 (𝑡)ℎ(𝑡) = ℱ
−1
[𝐹( 𝑝)]𝑒
𝜎𝑡
=
1
2𝜋𝑖
∫
𝜎+𝑖∞
𝜎−𝑖∞
𝐹 (𝑝)𝑒
𝑝𝑡
𝑑𝑝
记
𝐿
−1
[𝐹( 𝑝)] =
1
2𝜋𝑖
∫
𝜎+𝑖∞
𝜎−𝑖∞
𝐹 (𝑝)𝑒
𝑝𝑡
𝑑𝑝 = 𝑓 (𝑡)ℎ(𝑡)
称其为拉氏反变换. 希望拉氏变换积分收敛, 有定理
设 𝑓 (𝑡) 在 𝑡 轴任意有限区间逐段光滑,∃𝐾 > 0, ∃𝑐 ≥ 0 使得
|
𝑓 (𝑡)
|
≤ 𝐾𝑒
𝑐𝑡
, ∀𝑡 ≥ 0. 则像函数
𝐹 (𝑝) =
∫
+∞
0
𝑓 (𝑡)𝑒
− 𝑝𝑡
𝑑𝑡
在 𝑝 平面区域 𝑅𝑒 𝑝 > 𝑐 内有意义且解析
在该定理条件下, 有
𝑅𝑒 𝑝 → +∞时,
|
𝐹 (𝑝)
|
≤
𝐾
𝑅𝑒 𝑝 − 𝑐
→ 0
因此幂函数, 指数函数, 三角函数, 双曲三角函数都存在拉氏变换
1.1 拉氏变换基本性质
由积分的线性性, 得到拉氏变换与反变换都是线性的
𝐿[𝛼 𝑓 (𝑡) + 𝛽𝑔(𝑡)] = 𝛼𝐿 [ 𝑓 (𝑡)] + 𝛽𝐿 [𝑔(𝑡)]
𝐿
−1
[𝛼 𝑓 (𝑡) + 𝛽𝑔(𝑡)] = 𝛼𝐿
−1
[ 𝑓 (𝑡)] + 𝛽𝐿
−1
[𝑔(𝑡)]
1.2 像函数的微分法
若 𝑓 (𝑡) 存在拉氏变换
𝐹 (𝑝) = 𝐿 [ 𝑓 (𝑡)]
由积分形式求导可得
𝐹
′
(𝑝) = 𝐿[−𝑡 𝑓 (𝑡)]
一般地, 有
𝐹
(𝑛)
(𝑝) = 𝐿
[
(−𝑡)
𝑛
𝑓 (𝑡)
]
特别地有
𝐿[𝑡
𝑛
𝑓 (𝑡)] = (−1)
𝑛
𝑑
𝑛
𝑑𝑝
𝑛
𝐿[ 𝑓 (𝑡)]
另外由分部积分可以得到
𝐿[ 𝑓
′
(𝑡)] = 𝑝𝐿 [ 𝑓 (𝑡)] − 𝑓 (+0)
一半地, 有
𝐿
𝑓
(𝑛)
(𝑡)
= 𝑝
𝑛
𝐿[ 𝑓 (𝑡)] − 𝑝
(𝑛−1)
𝑓 (+0) − · · · − 𝑓
(𝑛−1)
(+0)
1.3 位移定理
设 𝐹 ( 𝑝) = 𝐿 [ 𝑓 (𝑡)], 则有
𝐿
𝑒
𝜆𝑡
𝑓 (𝑡)
= 𝐹( 𝑝 − 𝜆)
反过来有
𝐿
−1
[𝐹( 𝑝 + 𝜇)] = 𝑒
−𝜇𝑡
𝐿
−1
[𝐹( 𝑝)]
1.4 本函数积分公式
由于
𝑑
𝑑𝑡
∫
𝑡
0
𝑓 (𝜏)𝑑𝜏 = 𝑓 (𝑡)
结合像函数微分公式得到
𝐿
∫
𝑡
0
𝑓 (𝜏)𝑑𝜏
=
1
𝑝
𝐿[ 𝑓 (𝑡)]
1.5 常见的拉氏变换与反变换
指数函数
𝐿
𝑒
𝑎𝑡
=
1
𝑝 − 𝑎
三角函数
𝐿[cos 𝜔𝑡] =
𝑝
𝑝
2
+ 𝜔
2
, 𝐿[sin 𝜔𝑡] =
𝜔
𝑝
2
+ 𝜔
2
双曲三角函数
𝐿[cosh 𝜔𝑡] =
𝑝
𝑝
2
− 𝜔
2
, 𝐿[sinh 𝜔𝑡] =
𝜔
𝑝
2
− 𝜔
2
幂函数
𝐿[𝑡
𝑛
] =
𝑛!
𝑝
𝑛+1
常数
𝐿[1] =
1
𝑝
2 拉普拉斯反变换
2.1 卷积定理
卷积定义为
𝑓 (𝑥) ∗ 𝑔(𝑥) ≡
∫
+∞
−∞
𝑓 (𝑥 − 𝜉)𝑔(𝜉)𝑑𝜉 ≡ ( 𝑓 ∗ 𝑔)(𝑥)
有性质:
交换律
𝑓 (𝑥) ∗ 𝑔(𝑥) = 𝑔(𝑥) ∗ 𝑓 (𝑥)
结合律
𝑓
(
𝑥
) ∗ (
𝑔
1
(
𝑥
) +
𝑔
2
(
𝑥
))
=
𝑔
1
(
𝑥
) ∗ (
𝑓
(
𝑥
) +
𝑔
2
(
𝑥
))
分配率
𝑓 (𝑥) ∗ (𝑔
1
(𝑥) + 𝑔
2
(𝑥)) = 𝑓 (𝑥) ∗ 𝑔
1
(𝑥) + 𝑓 (𝑥) ∗ 𝑔
2
(𝑥)
设 𝑓
1
(𝑡) = ℎ(𝑡) 𝑓
1
(𝑡), 𝑓
2
(𝑡) = ℎ(𝑡) 𝑓
2
(𝑡) 满足在 𝑡 轴上任意有限区间内处处连续 (可以有限个第一类间断点),
并存在衰减因子 𝑐
1
, 𝑐
2
, 则
𝑓
1
(𝑡) ∗ 𝑓
2
(𝑡) = ℎ(𝑡)
∫
𝑡
0
𝑓
1
(1 − 𝜏) 𝑓
2
(𝜏)𝑑𝜏
卷积仍然是满足上述条件的, 并且有
𝐿[ 𝑓
1
∗ 𝑓
2
] = 𝐿 [ 𝑓
1
]𝐿 [ 𝑓
2
]
这是由于 𝑡 < 0 时积分为零,𝑡 ≥ 0 时
𝑓
1
∗ 𝑓
2
=
∫
𝑡
0
𝑓
1
(𝑡 − 𝜉) 𝑓
2
(𝜉)𝑑𝜏
代入拉氏变换定义交换积分顺序即证
设 𝐹 ( 𝑝) = 𝐿 [ 𝑓 (𝑡)] 在 𝑅𝑒𝑝 < 𝜎 内有奇点 𝑝
1
, · · · , 𝑝
𝑛
, 𝜎 > 0, 除这些奇点外 𝐹 ( 𝑝) 处处解析, 设 lim
𝑝→∞
𝐹 (𝑝) =
0, 则
𝑓 (𝑡) = 𝐿
−1
[𝐹( 𝑝)] = ℎ(𝑡)
Õ
𝑅𝑒𝑠
𝐹 (𝑝)𝑒
𝑝𝑡
, 𝑝
𝑘
取 𝐶
𝑅
= { 𝑝
|
𝑝
|
= 𝑅, 𝑅𝑒 𝑝 < 𝜎} 加上 [𝜎 − 𝑖 𝐴, 𝜎 + 𝑖 𝐴] 构成一个闭路, 利用留数定理令 𝑅 → +∞ 即证 (雾?)
2.2 延迟定理
设 𝜏 > 0
𝑓 (𝑡 − 𝜏)ℎ(𝑡 − 𝜏) =
𝑓 (𝑡 − 𝜏), 𝑡 ≥ 𝜏
0, 𝑡 < 𝜏
𝑓 (𝑡) 延长 𝜏 时刻, 图像上由 𝑓 (𝑡) 向右平移 𝜏 所得
𝐿[ 𝑓 (𝑡 − 𝜏)ℎ(𝑡 − 𝜏)] = 𝑒
−𝜏 𝑝
𝐿[ 𝑓 (𝑡)]
由定义变量代换即证. 反过来即
𝐿
−1
[𝑒
−𝜏 𝑝
𝐹 (𝑝)] = 𝑓 (𝑡 − 𝜏)ℎ(𝑡 − 𝜏)