复变数函数
目录
1 复变函数 2
1.1 复变函数与自变量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 复变函数的几何意义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 一一映照 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4 求解曲线的像 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4.1 联立求解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4.2 反函数求解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 函数极限 3
2.1 极限的定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 函数极限的运算法则 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3 函数连续 3
3.1 连续性的定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3.2 连续的充要条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.3 连续函数的性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4 解析函数 5
4.1 导数的定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4.2 解析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4.3 柯西-黎曼方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1
1 复变函数
1.1 复变函数与自变量
设 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦, 任一复变函数
𝑤 = 𝑢 + 𝑖𝑣 = 𝑓 (𝑧) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦)
相当于
𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦), 𝑣 = 𝑣(𝑥, 𝑦)
即确定了两个
以 𝑥, 𝑦 为自变量的二元实变函数
. 若 𝑧 采用指数形式
𝑧 = 𝑟𝑒
𝑖 𝜑
则确定了两个
以 𝑟, 𝜑 为自变量的二元实变函数
1.2 复变函数的几何意义
取两个复平面 𝑧 平面与 𝑤 平面, 分别表示自变量 𝑧 的值和函数 𝑤 的值, 则 𝑤 = 𝑓 (𝑧) 可以看作把 𝑧 平面
上的点集变换成 𝑤 平面上的一个点集 𝐸
′
, 记作
𝐸
′
= 𝑓 (𝐸)
称 𝐸
′
为 𝐸 的像,𝐸 为 𝐸
′
的原像; 若 𝑤
0
= 𝑓 (𝑧
0
), 则称 𝑤
0
为 𝑧
0
的像,𝑍
0
为 𝑤
0
的原像
1.3 一一映照
设 𝑤 = 𝑓 (𝑧) 是 𝐸 上的单值函数, 且对 ∀𝑧
1
, 𝑧
2
∈ 𝐸, 且 𝑧
1
≠ 𝑧
2
, 有 𝑓 (𝑧
1
) ≠ 𝑓 (𝑧
2
) , 则称 𝑤 = 𝑓 (𝑧) 是 𝐸 中
的一一映照或双方单值映照
1.4 求解曲线的像
1.4.1 联立求解
对于曲线 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 0, 将其方程与映照 𝑤 = 𝑢 + 𝑖𝑣 = 𝑓 (𝑧) 确定的两个二元实值函数
𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦), 𝑣 = 𝑣(𝑥, 𝑦)
联立即可得到 𝑢, 𝑣 的方程
1.4.2 反函数求解
对于一一映照, 逆映照存在. 因而可以将曲线方程 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 0 写为复数形式, 再代入逆映照即可得到复数
形式的像的方程, 再通过变形即可得到结果
2 函数极限
2.1 极限的定义
设 𝑤 = 𝑓 (𝑧) 在 𝑧
0
的去心邻域 0 <
|
𝑧 − 𝑧
0
|
< 𝜌 内有定义,𝑤
0
是一个给定的复数, 若有 ∀𝜖 > 0, ∃𝛿 = 𝛿(𝜖) ∈
(0, 𝜌), 使得当 0 <
|
𝑧 − 𝑧
0
|
< 𝛿 时有
|
𝑓 (𝑧) − 𝑤
0
|
< 𝜖, 则称当 𝑧 趋于 𝑧
0
时, 𝑓 (𝑧) 的极限值为 𝑤
0
, 记为
lim
𝑧→𝑧
0
𝑓 (𝑧) = 𝑤
0
几何意义为: 当变点 𝑧 无论以什么方式或路径进入 𝑧
0
的一个充分小的去心邻域时, 它们像点都相应地落
入 𝑤
0
一个给定的 𝜖 邻域
可以证明
若有
𝑓 (𝑧) = 𝑎
0
+ 𝑎
1
𝑧 + · · · + 𝑎
𝑛
𝑧
𝑛
, 𝑛 ≥ 1, 𝑎
0
≠ 0
则 lim
𝑧→∞
𝑓 (𝑧) → ∞
这是因为
|
𝑧
|
> 1 时有
|
𝑓 (𝑧)
|
≥
|
𝑎
0
𝑧
𝑛
|
−
𝑎
1
𝑧
𝑛−1
· · · + 𝑎
𝑛−1
𝑧 + 𝑎
𝑛
≥
|
𝑎
0
| |
𝑧
𝑛
|
−
|
𝑎
1
|
𝑧
𝑛−1
− · · · −
|
𝑎
𝑛
|
记 𝐴 为
|
𝑎
𝑖
|
中的最大值, 那么
|
𝑧
|
> 1 时有
|
𝑓 (𝑧)
|
≥
|
𝑎
0
| |
𝑧
𝑛
|
− 𝑛𝐴
|
𝑧
|
𝑛−1
=
𝑧
𝑛−1
(|
𝑎
0
|
𝑧 − 𝑛𝐴
)
于是只需要取
|
𝑧
|
使得
|
𝑎
0
| |
𝑧
|
− 𝑛𝐴 ≥
1
2
|
𝑧
0
| |
𝑧
|
即可, 这显然是可以满足的, 因而即证
2.2 函数极限的运算法则
复变函数的极限运算法则与实变函数相同, 见数学分析 B1, 略
3 函数连续
3.1 连续性的定义
若 lim
𝑧→𝑧
0
𝑓 (𝑧) = 𝑓 (𝑧
0
), 那么称 𝑓 (𝑧) 在 𝑧
0
连续
𝑓 (𝑧)在𝑧
0
连续 ⇔ lim
𝑧→𝑧
0
|
𝑓 (𝑧) − 𝑓 (𝑧
0
)
|
= 0
三要素: 有定义, 有极限, 极限等于函数值
若 𝑓 (𝑧) 在区域 𝐷 中的每点都连续, 则称 𝑓 (𝑧) 在区域 𝐷 中连续, 记为
𝑓 (𝑧) ∈ 𝐶 (𝐷)
3.2 连续的充要条件
𝑓 (𝑧) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦), 𝑧
0
= 𝑥
0
+ 𝑖𝑦
0
, 则 𝑓 (𝑧) 在 𝑧
0
连续等价为 𝑢(𝑥, 𝑦), 𝑣(𝑥, 𝑦) 在点 (𝑥
0
, 𝑦
0
) 都连续
即
lim
(𝑥,𝑦)→( 𝑥
0
,𝑦
0
)
𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑢(𝑥
0
, 𝑦
0
), lim
(𝑥,𝑦)→( 𝑥
0
,𝑦
0
)
𝑣(𝑥, 𝑦) = 𝑣(𝑥
0
, 𝑦
0
),
都成立. 由绝对值不等式即证
3.3 连续函数的性质
复变函数连续性的性质与实变函数相同, 即
1. 𝑧
0
连续的 𝑓 (𝑧), 𝑔(𝑧) 的和差积商在 𝑧
0
仍连续
2. 𝑔(𝑧) 在 𝑧
0
连续, 𝑓 (ℎ) 在 ℎ
0
= 𝑔(𝑧
0
) 连续, 则 𝑓 (𝑔(𝑧)) 在 𝑧
0
处连续
特别地, 对于有理整函数(多项式函数)
𝑤 = 𝑃(𝑧) = 𝑎
0
+ 𝑎
1
𝑧 + 𝑎
2
𝑧
2
+ · · · + 𝑎
𝑛
𝑧
𝑛
在整个复平面处处连续,
有理分式函数
𝑤 =
𝑝(𝑧)
𝑄(𝑧)
在复平面内除去使分母为零的点外处处连续
极限的运算法则也与实数相同
. 另注: 证明极限不存在可以取不同的路径使得极限不同
4 解析函数
4.1 导数的定义
设 𝑤 = 𝑓 (𝑧) 在 𝑧 的某个邻域 𝑈 内有定义,𝑧 + Δ𝑧 ∈ 𝑈. 若
lim
Δ𝑧→0
𝑓 (𝑧 + Δ 𝑧) − 𝑓 (𝑧)
Δ 𝑧
存在, 则称 𝑓 (𝑧) 在 𝑧 可微或可导, 称其为 𝑓 (𝑧) 在 𝑧 的导数或微商, 记作
𝑓
′
(𝑧) =
𝑑𝑓
𝑑𝑧
= lim
Δ𝑧→0
𝑓 (𝑧 + Δ 𝑧) − 𝑓 (𝑧)
Δ 𝑧
= lim
e𝑧→𝑧
𝑓 (e𝑧) − 𝑓 (𝑧)
e𝑧 − 𝑧
需要注意的是,Δ 𝑧 → 0 的方式是任意的.
与实变函数相同, 可以证明若 𝑓 (𝑧) 在 𝑧 可微, 则 𝑓 (𝑧) 在 𝑧 连续
4.2 解析
解析定义为
1. 若 𝑓 (𝑧) 在 𝑧
0
的某个邻域内每一点可微 (导数存在), 则称 𝑓 (𝑧) 在 𝑧
0
解析
2. 若 𝑓 (𝑧) 在区域 𝐷 内每一点可微, 则称 𝑓 (𝑧) 的区域 𝐷 内的解析函数
若 𝑓 (𝑧) 在 𝑧
0
不解析,
即 𝑓 (𝑧) 在 𝑧
0
的任一邻域内都有不可微的点
, 则称 𝑧
0
为 𝑓 (𝑧) 的奇点
对于闭域 𝐷, 若 𝑓 (𝑧) 在包含 𝐷 的某个区域内解析, 则称 𝑓 (𝑧) 在闭域 𝐷 上解析
需要注意
1. 区域 𝐷 内解析 ⇔ 区域 𝐷 内可微
2. 𝑧
0
点解析 ⇒ 𝑧
0
点可微
但是 𝑧
0
点可微不能得到解析. 反例为 𝑓 (𝑧) = 𝑥
2
+ 𝑖𝑦
2
, 只在 0 和 𝑥 = 𝑦 上点导数存在, 任何一个邻域内都
有不可微点, 因此不解析
4.3 柯西-黎曼方程
设 𝑓 (𝑥) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦) 定义在区域 𝐷 内, 则 𝑓 (𝑥) 在点 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 ∈ 𝐷 可微的充要条件为
𝑢(𝑥, 𝑦), 𝑣(𝑥, 𝑦) 在点 (𝑥, 𝑢 ) 都可微, 并且
𝜕𝑢
𝜕𝑥
=
𝜕𝑣
𝜕𝑦
,
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= −
𝜕𝑣
𝜕𝑥
此时有
𝑓
′
(𝑧) =
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝑖
𝜕𝑣
𝜕𝑥
这是因为
𝑓 (𝑧 + Δ 𝑧) − 𝑓 (𝑧) = [𝑢(𝑥 + Δ𝑥, 𝑦 + Δ𝑦) − 𝑢(𝑥, 𝑦)] + 𝑖[𝑣 (𝑥 + Δ𝑥, 𝑦 + Δ𝑦) − 𝑣(𝑥, 𝑦)]
=
𝜕𝑢
𝜕𝑥
Δ𝑥 +
𝜕𝑢
𝜕𝑦
Δ𝑦 + 𝑖
𝜕𝑣
𝜕𝑥
Δ𝑥 +
𝜕𝑣
𝜕𝑦
Δ𝑦
+ 𝑜(
|
Δ 𝑧
|
)
若满足 𝐶 − 𝑅 方程, 上式可以写为
𝑓 (𝑧 + Δ 𝑧) − 𝑓 (𝑧) =
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝑖
𝜕𝑣
𝜕𝑥
(Δ𝑥 + 𝑖Δ𝑦) + 𝑜(
|
Δ 𝑧
|
)
那么根据导数的定义就有
lim
Δ𝑧→0
𝑓 (𝑧 + Δ 𝑧) − 𝑓 (𝑧)
Δ 𝑧
=
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝑖
𝜕𝑣
𝜕𝑥
反之若是导数存在, 设 𝑓
′
(𝑧) = (𝑎 + 𝑖𝑏)(Δ𝑥 + 𝑖Δ𝑦), 也即
𝑓 (𝑧 + Δ 𝑧) − 𝑓 (𝑧) = 𝑎Δ𝑥 − 𝑏Δ𝑦 + 𝑖(𝑎Δ𝑦 + 𝑏Δ𝑦) + 𝑜(
|
𝑧
|
)
对比即得到 𝐶 − 𝑅 方程, 这样充分性和必要性都即证
可以利用 C-R 方程得到其他形式
𝑓
′
(𝑧) =
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+ 𝑖
𝜕𝑣
𝜕𝑥
+ =
𝜕𝑢
𝜕𝑥
− 𝑖
𝜕𝑢
𝜕𝑦
=
𝜕𝑣
𝜕𝑦
− 𝑖
𝜕𝑢
𝜕𝑦
利用 𝐶 − 𝑅 方程可以证明
𝐷 内满足
|
𝑓 (𝑧)
|
= 𝑐𝑜𝑛𝑠 𝑡 的解析函数 𝑓 (𝑧) 为常函数
|
𝑓 (𝑧)
|
= 𝑐 即 𝑢
2
+ 𝑣
2
= 𝑐, 对 𝑥, 𝑦 求偏导得到
2𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 2𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑥
= 0, 2𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+ 2𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑦
= 0
利用 𝐶 − 𝑅 方程统一偏导数
𝜕𝑢
𝜕𝑥
=
𝜕𝑣
𝜕𝑦
,
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= −
𝜕𝑣
𝜕𝑥
𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥
− 𝑣
𝜕𝑢
𝜕𝑦
, 𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+ 𝑣
𝜕𝑢
𝜕𝑥
= 0
联立, 消去其中一个偏导数得到
(𝑢
2
+ 𝑣
2
)
𝜕𝑢
𝜕𝑥
= 0, (𝑢
2
+ 𝑣
2
)
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= 0
那么得到了
𝑢 = 𝑣 = 0 𝑜𝑟
𝜕𝑢
𝜕𝑥
=
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= 0
这两者都意味着 𝑢 为常数. 同样地 𝑣 也是常数, 那么 𝑓 (𝑧) 就是常数