保形变换
目录
1 解析函数导数的几何意义 3
2 保形变换 3
2.1 黎曼定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3 分式线性变换 4
3.1 分式线性变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.2 四类特殊的分式线性变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.3 分式线性变换保圆性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.4 有限圆周的对称点 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.5 三点确定分式线性变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.6 求解指定圆到圆的分式线性变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4 初等函数的映照 7
4.1 幂函数变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.2 指数函数变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.3 对数函数变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
5 指定区域变换的求解 8
5.1 分式线性变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
5.1.1 分式线性变换的对称点 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
5.1.2 分式线性变换的保形性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1
1 解析函数导数的几何意义
设 𝑤 = 𝑓 (𝑧) 在 𝐷 内解析,𝑧
0
∈ 𝐷, 𝑤
0
= 𝑓 (𝑧
0
), 𝑓
′
(𝑧) ≠ 0
设 𝐷 内过 𝑧
0
的一条简单光滑曲线
𝐶 : 𝑧(𝑡) = 𝑥 (𝑡) + 𝑖𝑦(𝑡), (𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏), 𝑧(𝑡
0
) = 𝑧
0
那么
𝑧
′
(𝑡) = 𝑥
′
(𝑡) + 𝑖𝑦
′
(𝑡)
𝑓 (𝑧) 将 𝐶 映成 𝑤 平面内一条过 𝑤
0
的曲线 𝐶
1
𝑤(𝑡) = 𝑓 (𝑧)
则
𝑤
′
(𝑡) = 𝑓
′
(𝑧)𝑧
′
(𝑡)
考察 𝑧 = 𝑧
0
时
𝑤
′
(𝑡
0
) = 𝑓
′
(𝑧
0
)𝑧
′
(𝑡
0
)
那么
𝑎𝑟𝑔𝑤
′
(𝑡
0
) = 𝑎𝑟𝑔 𝑓
′
(𝑧
0
) + 𝑎𝑟𝑔𝑧
′
(𝑡
0
) ⇒ 𝑎𝑟𝑔 𝑓
′
(𝑧
0
) = 𝑎𝑟𝑔𝑤
′
(𝑡
0
) − 𝑎𝑟𝑔𝑧
′
(𝑡
0
)
也就是设映射后的曲线为 𝐶
1
, 则对应点处切线的角度相差 𝑎𝑟𝑔 𝑓
′
(𝑧
0
) . 这相当于对图形的旋转
因此, 解析函数具有保角性, 即设两条都过 𝑧
0
的曲线 𝐶
1
, 𝐶
2
, 则在变换 𝑤 = 𝑓 (𝑧) 下得到两条像曲线 𝐶
∗
1
, 𝐶
∗
2
,
它们在 𝑓 (𝑧
0
) 的夹角和 𝑧
0
处的相同
考察导数的模
|
𝑓
′
(𝑧
0
)
|
= lim
Δ𝑧→0
𝑤(𝑧
0
+ Δ𝑧) − 𝑤(𝑧
0
)
Δ 𝑧
= lim
Δ𝑧→0
Δ𝑤
Δ 𝑧
因此
|
Δ𝑤
|
=
|
𝑓
′
(𝑧)
|
·
|
Δ 𝑧
|
, Δ𝑧 → 0
相当于对图形的缩放. 总结为
𝑎𝑟𝑔 𝑓
′
(𝑧
0
) = 𝑎𝑟𝑔𝑤
′
(𝑡
0
) − 𝑎𝑟𝑔𝑧
′
(𝑡
0
),
|
Δ𝑤
|
=
|
𝑓
′
(𝑧)
|
·
|
Δ 𝑧
|
称 𝑎𝑟𝑔 𝑓
′
(𝑧
0
) 为变换 𝑓 (𝑧) 在 𝑧
0
的旋转角,
|
𝑓
′
(𝑧
0
)
|
为伸张系数
2 保形变换
保形变换即 𝑓
′
(𝑧) ≠ 0 的变换. 单叶函数满足这个条件
设 𝑤 = 𝑓 (𝑧) 为区域 𝐷 内的单叶函数, 则 𝑓
′
(𝑧) ≠ 0, ∀𝑧 ∈ 𝐷
假设 𝑓
′
(𝑧
0
) = 0, 设 𝑔(𝑧) = 𝑓 (𝑧) − 𝑓 (𝑧
0
), 则 𝑧
0
是 𝑔(𝑧) 的二级以上零点. 由单叶函数性质知 𝑧
0
为 𝑔(𝑧) 和
𝑓
′
(𝑧) 的孤立零点. 可以在 0 <
|
𝑧 − 𝑧
0
|
≤ 𝛿 小区域内使得 𝑔(𝑧) 与 𝑓
′
(𝑧) 都不为零. 设 𝑚 为边界上
|
𝑔(𝑧)
|
的
最小值, 可以取正数 𝑎 < 𝑚. 由儒歇定理得 𝑔(𝑧) + 𝑎 与 𝑔(𝑧) 零点级数和相等, 而 𝑧
0
并不是 𝑔(𝑧) + 𝑎 的零
点. 然而由于 𝑓
′
(𝑧) ≠ 0,𝑔(𝑧) + 𝑎 的零点都是一级零点, 那么必然存在两个零点, 与单叶函数矛盾
定义保形变换的乘积: 设 𝑇
1
: 𝑣 = 𝑓 (𝑧), 𝑤 = 𝑔(𝑣), 则称 𝑤 = 𝑔( 𝑓 (𝑧)) 为变换 𝑇
1
, 𝑇
2
的乘积, 记为
𝑇
2
𝑇
1
: 𝑤 = 𝑔( 𝑓 (𝑧))
保形变换的乘积仍然是保形变换, 保形变换逆变换也是保形变换
2.1 黎曼定理
若 𝐷 是 𝑧 闭复平面上的一个单联通区域,𝐷 边界至少包含两个点, 则必存在单叶函数 𝜔 = 𝑓 (𝑧) 将
𝐷 变为 𝜔 平面的单位圆内区域 𝐷
1
:
|
𝜔
|
< 1. 若要求
𝑓 (𝑧
0
) = 𝜔
0
, 𝑎𝑟𝑔 𝑓
′
(𝑧
0
) = 𝛼
0
则把 𝐷 变成单位圆内区域的单叶函数 𝜔 = 𝑓 (𝑧) 是唯一的
注意此处∞ 被看作一个点. 证明略
3 分式线性变换
3.1 分式线性变换
形如
𝑤 =
𝑎𝑧 + 𝑏
𝑐𝑧 + 𝑑
的变换, 称为分式线性变换. 若𝑎𝑑 ≠ 𝑏𝑐 , 则 𝑤 不是常数. 由于可以通过反解得到 𝑧(𝑤), 那么 𝑤 除了奇点
外 𝑤 是单叶函数
当 𝑐 = 0 时,𝑤 =
𝑎
𝑑
𝑧 +
𝑏
𝑑
≡ 𝛼𝑧 + 𝛽. 称
𝐿 : 𝛼𝑧 + 𝛽
为整线性变换 (无有限奇点, 只有 ∞) 奇点. 若 𝑐 ≠ 0, 则只有唯一的有限奇点 𝑧 = −
𝑑
𝑐
. 由于
lim
𝑧→−
𝑑
𝑐
𝑎𝑧 + 𝑏
𝑐𝑧 + 𝑑
= ∞, lim
𝑧→∞
𝑎𝑧 + 𝑏
𝑐𝑧 + 𝑑
=
𝑎
𝑐
规定
𝑤(−
𝑑
𝑐
) = ∞, 𝑤 (∞) =
𝑎
𝑐
那么 −
𝑑
𝑐
是一级的唯一奇点,∞ 是可去奇点
为了研究在奇点处的变换, 给出如下定义:
若 𝑡 =
1
𝑓 (𝑧)
将 𝑓 (𝑧) 奇点 𝑧
0
的一个邻域保形映照称 𝑡 = 0 的一个邻域, 则称 𝑤 = 𝑓 (𝑧) 将奇点 𝑧
0
的一个邻
域保形映照成 𝑤 = ∞ 的一个邻域
反之, 若 𝑡 =
1
𝑓 (1/𝜁 )
把 𝜁 = 0 的一个邻域保形映照成 𝑡 = 0 或 𝛾 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 的一个邻域, 则称 𝑤 = 𝑓 (𝑧) 把
𝑧 = ∞ 的一个邻域保形映照成 𝑤 = ∞ 或
1
𝛾
的一个邻域
按照该定义,𝑤 =
𝑎𝑧+𝑏
𝑐𝑧+𝑑
在奇点 −
𝑑
𝑐
和 ∞ 的邻域也保形. 因而
分式线性变换 𝑤 =
𝑎𝑧+𝑏
𝑐𝑧+𝑑
确定一个从闭 𝑧 复平面到闭 𝑤 复平面的保形变换
3.2 四类特殊的分式线性变换
平移
𝑇 : 𝑤 = 𝑧 + 𝑏
旋转
𝑅 : 𝑤 = 𝑒
𝑖 𝜃
𝑧
相似
𝑆 : 𝑤 = 𝑟 𝑧, 𝑟 ∈ 𝑅
+
倒数
𝐼 : 𝑤 =
1
𝑧
3.3 分式线性变换保圆性
分式线性变换可以分解为上述四类特殊的分式线性变换的乘积, 其中平移, 旋转, 相似变换保持图形形状
不变
若将直线视为半径无穷大的圆, 那么就有定理
分式线性变换把圆周变成圆周
只需要证明对于倒数变换成立即可. 设圆或直线方程为
𝐴(𝑥
2
+ 𝑦
2
) + 𝑚𝑥 + 𝑛𝑦 + 𝐶 = 0
代入 𝑥
2
+ 𝑦
2
= 𝑧𝑧, 𝑥 =
𝑧+𝑧
2
, 𝑦 =
𝑧−𝑧
2
得到
𝐴𝑧𝑧 + 𝐵𝑧 + 𝐵𝐵 + 𝐶 = 0
作变换 𝑤 =
1
𝑧
得到
𝐴
𝑤𝑤
+
𝐵
𝑤
+
𝐵
𝐵
+ 𝐶 = 0
两边乘以 𝑤𝑤 得到
𝐶𝑤𝑤 + 𝐵𝑤 + 𝐵𝑤 + 𝐴 = 0
得到了圆的方程, 即证. 关于圆和直线有如下定理
若分式线性变换的有限奇点在原像圆周上, 则变为直线; 反之若有限奇点不在原像圆周上, 则变成
有限圆
这是因为奇点被映照成 ∞, 而解析点被映照为有限点
3.4 有限圆周的对称点
设 𝐶 :
|
𝑧 − 𝑧
0
|
= 𝑅, 如果有限点 𝑧
1
, 𝑧
2
在梓圆心 𝑧
0
出发的同一条射线上, 并且
|
𝑧
1
− 𝑧
0
| |
𝑧
2
− 𝑧
0
|
= 𝑅
2
即 𝑧
1
, 𝑧
2
各自到圆心 𝑧
0
距离的乘积为 𝑅
2
, 则称 𝑧
1
, 𝑧
2
关于圆周 𝐶 对称. 对称点需要注意
1. 圆心 𝑧
0
与 ∞ 对称
2. 对称点一个在圆外, 一个在圆内
3. 圆周上的点与自己对称
关于对称点有引理
点 𝑧
1
, 𝑧
2
关于圆周 𝐶 对称 ⇔ 过点 𝑧
1
, 𝑧
2
的任何圆周与原圆周 𝐶 直交
利用分式线性变换的保角性, 可以证明
分式线性变换将关于原像圆周 𝐶 对称的两点映照成关于像圆周 𝐶
1
对称的两个点
3.5 三点确定分式线性变换
任意 𝑧 平面三个互不相同的点 𝑧
1
, 𝑧
2
, 𝑧
3
, 和 𝑤 平面三个互不相同的点 𝑤
1
, 𝑤
2
, 𝑤
3
, 则存在唯一的分
式线性变换 𝑤 = 𝑓 (𝑧) 使得
𝑓 (𝑧
1
) = 𝑤
1
, 𝑓 (𝑧
2
) = 𝑤
2
, 𝑓 (𝑧
3
) = 𝑤
3
𝑤 满足如下方程
𝑤 − 𝑤
1
𝑤 − 𝑤
2
·
𝑤
3
− 𝑤
2
𝑤
3
− 𝑤
1
=
𝑧 − 𝑧
1
𝑧 − 𝑧
2
·
𝑧
3
− 𝑧
2
𝑧
3
− 𝑧
1
若有某个 𝑤 和 𝑧 是无穷, 将其对应的因子换为 1 即可
有推论: 若有两点 𝑤(𝑧
1
) = 𝑤
1
, 𝑤 (𝑧
2
) = 𝑤
2
, 则分式线性变换可以表示为
𝑤 − 𝑤(𝑧
1
)
𝑤 − 𝑤(𝑧
2
)
= 𝑘
𝑧 − 𝑧
1
𝑧 − 𝑧
2
其中 𝑧 为复常数
3.6 求解指定圆到圆的分式线性变换
首先找到原像的一个点及其对应像点, 又有原像的对称点变到像的对称点, 这样就找到了两对对应关系 ,
可以通过两点式给出分式线性变换的形式
𝑤 − 𝑤(𝑧
1
)
𝑤 − 𝑤(𝑧
2
)
= 𝑘
𝑧 − 𝑧
1
𝑧 − 𝑧
2
再利用其他条件
求解 𝑘
. 如利用
原像边界一定变到像边界上
可以给出 𝑘 的模, 再利用导数得到 𝑘 的辐角
如求解分式线性变换将上半平面变为单位圆内区域, 并使得 𝜔(𝑧
0
) = 0, 𝑎𝑟𝑔𝑤
′
(𝑧
0
) = 𝜑
0
首先找对称点
𝑧
0
→ 0 ⇒ 𝑧
0
→ ∞
可以写出两点式
𝑤 − 0
1
= 𝑘
𝑧 − 𝑧
0
𝑧 − 𝑧
0
⇒ 𝑤 = 𝑘
𝑧 − 𝑧
0
𝑧 − 𝑧
0
映射将边界映射为边界, 因此 𝑧 平面上的 实轴被映射为 𝑤 平面上的单位圆, 取模长得到
|
𝜔
|
=
|
𝑘
|
𝑧 − 𝑧
0
𝑧 − 𝑧
0
⇒
|
𝑘
|
= 1 ⇒ 𝑘 = 𝑒
𝑖 𝜃
再求其导数
𝑤
′
= 𝑘
𝑧
0
− 𝑧
0
(𝑧 − 𝑧
0
)
2
在取辐角
𝑎𝑟𝑔𝑤
′
= 𝑎𝑟𝑔𝑘 + 𝑎𝑟𝑔
𝑧
0
− 𝑧
0
(𝑧 − 𝑧
0
)
2
在 𝑧 = 𝑧
0
处则有
𝜑
0
= 𝑎𝑟𝑔𝑘 + 𝑎𝑟𝑔
1
𝑧
0
− 𝑧
0
= 𝑎𝑟𝑔𝑘 +
𝜋
2
⇒ 𝑘 = 𝑒
𝑖 ( 𝜑−
𝜋
2
)
就得到了所求的变换
𝑤 = 𝑒
𝑖 ( 𝜑−
𝜋
2
)
𝑧 − 𝑧
0
𝑧 − 𝑧
0
4 初等函数的映照
初等函数在其单叶性区域上确定的变换是保形变换
4.1 幂函数变换
𝑤 = 𝑧
𝑛
其单叶性区域为以 0 为原点, 夹角不超过
2 𝜋
𝑛
的角域
𝛼 < 𝑎𝑟𝑔𝑧 < 𝛽, 𝛽 − 𝛼 <
2
𝜋
𝑛
并将该区域变为角域
𝑛𝛼 < 𝑎𝑟𝑔𝑤 < 𝑛𝛽
幂函数将角域变为顶角不一样的角域
4.2 指数函数变换
指数函数 𝑤 = 𝑒
𝑧
将条形域变为角域
𝑎 < 𝐼𝑚𝑧 < 𝑏 → 𝑎 < arg 𝑤 < 𝑏
其单叶性区域为 𝑏 − 𝑎 < 2𝜋
4.3 对数函数变换
对数函数 𝑤 = 𝐿𝑛𝑧 将角域变为条形区域
𝑎 < 𝑎𝑟𝑔𝑧 < 𝑏 → 𝑎 + 2𝑛𝜋 < 𝐼𝑚𝑤 < 𝑏 + 2𝑛𝜋, 0 ≤ 𝑎 < 𝑏 ≤ 2𝜋
𝑛 取决于取第几个分支
5 指定区域变换的求解
5.1 分式线性变换
求解指定区域的变换重要的是找到一个合适的分式线性变换. 分式线性变换是将一个圆变为另一个圆. 若
想将一个圆变为一条直线, 则需要将圆上一点变为 ∞
5.1.1 分式线性变换的对称点
在利用分式线性变换时要注意利用圆的对称点. 如将偏心圆环
𝐶
1
:
|
𝑧 − 3
|
= 9, 𝐶
2
:
|
𝑧 − 8
|
= 16
变为以 0 为圆心的同心圆环, 并使其外半径为 1. 此处应注意到
0 同时为两个圆的圆心
, 因此 0 和 ∞ 关于
外圆和内圆都对称
设 𝑧
1
→ 0, 𝑧
2
→ ∞, 那么 𝑧
1
, 𝑧
2
也关于两个圆都对称. 由于两圆心在实轴上, 因而 𝑧
1
, 𝑧
2
为实数. 由对称点
定义列出方程
|
𝑧
1
− 3
|
·
|
𝑧
2
− 3
|
= 9
2
|
𝑧
1
− 8
|
·
|
𝑧
2
− 9
|
= 16
2
解得
(𝑧
1
, 𝑧
2
) = (0, −24) 𝑜 𝑟 (𝑧
1
, 𝑧
2
) = (−24, 0)
不妨就取 0 → 0, 24 → ∞, 由两点式可以给出分式线性变换
𝑤 = 𝑘
𝑧
𝑧 + 24
由于 −24 → ∞, 在 𝑧 从 −24 走向圆环内部首先碰到 𝐶
2
,𝑤 从 ∞ 走向圆环内部首先碰到
|
𝑤
|
= 1, 因此 𝐶
2
被映照为单位圆. 由模长可以给出 𝑘 的模长 (此处取特殊点计算较为方便)
|
𝑘
|
= 2
此外就没有约束了, 因此就可以给出线性变换之一
𝑤 = 2𝑒
𝑖 𝜃
𝑧
𝑧 + 24
5.1.2 分式线性变换的保形性
分式线性变换是保形变换, 即几个点处各个直线转过的角度相等. 如图
由此可以判断
变换前后区域的对应关系
. 需要注意的是一定要是过同一个一个点的才行
5.1.3 二角形区域
任意两个相交的圆弧所围的区域称为二角形区域. 利用分式线性变换可以将二角形区域变为角域, 做法为
将二角形的一个顶点 𝑧
1
变为 ∞, 另一个顶点 𝑧
2
变为 0
这样就可以将两个圆弧变为两条直线, 进而形成一个角域. 再利用保形性判断角域位置即可. 通常会再取
一点与 𝑧
2
形成一条直线, 通过变换前后这条直线的位置可以确定变换的角度, 辅助判断角域的位置
一些 特殊的 二角形区域也可以通过分式线性变换变为角域. 有多特殊呢? 嘿嘿, 比如
复平面去掉两根射线 1 ≤ 𝑥 ≤ ∞, − ∞ ≤ 𝑥 ≤ −1
取分式线性变换使得 1 → ∞, −1 → 0, 不妨取
𝑤 =
𝑧 + 1
𝑧 − 1
考察 0 的位置:𝑤(0) = −1 仍然在实轴上, 因而该分式线性变换将实轴变为实轴. 因此去掉的两条射线就变
为了正实轴, 所求区域就变为了 2𝜋 角域
