1 互文性
互文性意为量子系统的各个部分都是相关的. 假定存在一系列对易的可观测量 (只有对易才可以被同时准
确测量)
𝑂
1
, 𝑂
2
, · ·· , 𝑂
𝑛
重复实验可以得到两组测量值
𝑜
1
, 𝑜
2
, ··· , 𝑜
𝑛
和
𝑜
′
1
, 𝑜
′
2
, ··· , 𝑜
′
𝑛
称测量结果为” 文本”. 重复实验的条件可能有所不同. 经典力学认为测量结果应当独立于实验条件, 因而
两次测量的结果应当是相同的
𝑜
1
= 𝑜
′
1
, 𝑜
2
= 𝑜
′
2
, ··· , 𝑜
𝑛
= 𝑜
′
𝑛
但是量子力学认为测量结果与实验条件有关, 因而处于不同文本中的物理量其值可能不同
2 隐变量
经典力学的观点实际上等价于隐变量, 即物理量的值由一些隐变量控制, 只不过这些隐变量的值无法测得;
若是知道隐变量的值, 系统的状态就应当完全确定
实际上这是错误的. 对于自旋为 1 粒子角动量的 KS 定理说明了这一点. 自旋为 1 的粒子有三个对易的可
观测量
𝑆
2
𝑥
, 𝑆
2
𝑦
, 𝑆
2
𝑧
其中
𝑆
𝑥
=
1
√
2
©
«
0 1 0
1 0 1
0 1 0
ª
®
®
®
¬
, 𝑆
𝑦
=
1
√
2
©
«
0 −𝑖 0
𝑖 0 −𝑖
0 𝑖 0
ª
®
®
®
¬
, 𝑆
𝑧
=
©
«
1 0 0
0 0 0
0 0 −1
ª
®
®
®
¬
它们的本征值为 0 或 1, 注意到
𝑆
2
𝑥
+ 𝑆
2
𝑦
+ 𝑆
2
𝑧
= 2
ˆ
I
这意味着对于一个自旋为 1 的粒子, 随意指定三个相互正交的方向 n
1
, n
2
, n
3
, 有三个对易的可观测量
𝑆
2
n
1
, 𝑆
2
n
2
, 𝑆
2
n
3
它们的本征值为 0 或 1, 并且满足
𝑆
2
n
1
+ 𝑆
2
n
2
+ 𝑆
2
n
3
= 2
ˆ
I
对它们分别进行观测, 得到的结果如下
𝑣(𝑆
2
n
1
) = 0𝑜𝑟1, 𝑣(𝑆
2
n
2
) = 0𝑜𝑟1, 𝑣(𝑆
2
n
3
) = 0𝑜𝑟1
𝑣(𝑆
2
n
1
+ 𝑆
2
n
2
+ 𝑆
2
n
3
) = 𝑣(𝑆
2
n
1
) + 𝑣(𝑆
2
n
2
) + 𝑣(𝑆
2
n
3
) = 2
这意味着 𝑆
2
n
1
, 𝑆
2
n
2
, 𝑆
2
n
3
中必定有两个为 1, 一个为 0, 可以简化为:
观测三个垂直方向的角动量平方, 一定有两个为 1, 一个为 0
隐变量的观点告诉我们, 对于同一个粒子而言, 它的状态是确定的, 也就是观测它所有方向上的角动量平
方, 结果都是确定的, 不随着观测条件 (具体观测哪三个方向) 而改变
但实际上只要考察如下这 33 个方向即可得到矛盾
实际上, 如果基于具体的态证明, 虽然有失一般性, 但是证明更加直观简单. 考虑三维空间中的 55 个方向
k
1
, k
2
, ··· , k
5
它们满足两两正交 k
i
⊥ k
𝒊+1
k
1
⊥ k
2
, k
2
⊥ k
3
, · ·· , k
5
⊥ k
1
那么它们方向上对应的角动量平方应当是对易的
[𝑆
2
k
i
, 𝑆
2
k
j
] = 0
为了继续计算, 应当取定某个方向的具体形式. 三维空间中的单位矢量可以如下唯一确定
k
i
= (cos 𝜃
𝑖
sin 𝜑
𝑖
, sin 𝜃
𝑖
sin 𝜑
𝑖
, cos 𝜑
𝑖
)
那么
S
i
= cos 𝜃
𝑖
sin 𝜑
𝑖
S
x
+ sin 𝜃
𝑖
sin 𝜑
𝑖
S
y
+ cos 𝜑
𝑖
S
z
=
©
«
cos 𝜃
𝑖
𝑒
−𝑖 𝜑
𝑖
sin 𝜃
𝑖
√
2
0
𝑒
𝑖 𝜑
𝑖
sin 𝜃
𝑖
√
2
0
𝑒
−𝑖 𝜑
𝑖
sin 𝜃
𝑖
√
2
0
𝑒
𝑖 𝜑
𝑖
sin 𝜃
𝑖
√
2
−cos 𝜃
𝑖
ª
®
®
®
®
®
®
®
¬
可以求得其本征值为 0, ±1, 其对应的本征矢为
|
𝑆+
⟩
=
©
«
𝑒
−𝑖2𝜑
𝑖
cos
2
𝜃
𝑖
2
1
√
2
𝑒
−𝑖 𝜑
𝑖
sin 𝜃
𝑖
sin
2
𝜃
𝑖
2
ª
®
®
®
®
®
¬
,
|
𝑆0
⟩
=
©
«
−
1
√
2
𝑒
−𝑖2𝜑
𝑖
sin 𝜃
𝑖
𝑒
−𝑖 𝜑
𝑖
cos 𝜃
𝑖
1
√
2
sin 𝜃
𝑖
ª
®
®
®
®
®
¬
,
|
𝑆−
⟩
=
©
«
𝑒
−𝑖2𝜑
𝑖
sin
2
𝜃
𝑖
2
−
1
√
2
𝑒
𝑖 𝜑
𝑖
sin 𝜃
𝑖
cos
2
𝜃
𝑖
2
ª
®
®
®
®
®
¬
注意到
S
2
i
+
|
𝑆0
⟩ ⟨
𝑆0
|
=
ˆ
I
因而
S
2
i
=
ˆ
I −
|
𝑆0
⟩ ⟨
𝑆0
|
那么
|
𝑆0
⟩
即为 S
2
i
的本征矢, 对应本征值 0. 而 S
2
i
的本征值为 0, 1, 自然可以得到其期望值为
S
2
i
= 1 −
|⟨
𝑆0|𝜓
⟩|
2
其中
|
𝜓
⟩
为系统的量子态, 它可以取为使得某个方向自旋 0 本征值对应的本征态, 即
|
𝜓
⟩
=
©
«
−
1
√
2
𝑒
−𝑖2𝜑
sin 𝜃
𝑒
−𝑖 𝜑
cos 𝜃
1
√
2
sin 𝜃
ª
®
®
®
®
®
¬
做内积则有
|⟨
𝑆0
𝑖
|𝜓
⟩|
2
= [cos 𝜃 cos 𝜃
𝑖
+ cos(𝜑 − 𝜑
𝑖
) sin 𝜃 sin 𝜃
𝑖
]
2
= (n · k
i
)
2
其中 n 为
|
𝜓
⟩
对应的角动量方向. 能取得一个” 中心” 的位置, 使得内积都相等
n · k
i
= n · k
j
这五个向量构成一个五角星的形状, 正交的向量隔了一个排列
k
1
, k
4
, k
2
, k
5
, k
3
可以求得内积
(n · k
i
)
2
=
1
√
5
因而对所有的方向期望求和得到
Õ
𝑖
S
2
i
= 5 −
Õ
𝑖
|⟨
𝑆0
𝑖
|𝜓
⟩|
2
= 5 −
√
5
而两个正交方向上的角动量平方不可能同时取 0, 按照隐变量的观点, 系统所有方向的角动量平方都是确
定的, 与观测哪两个方向无关, 那么
𝑆
2
1
+ 𝑆
2
2
+ 𝑆
2
3
+ 𝑆
2
4
+ 𝑆
2
5
≥ 3
但是
5 −
√
5 < 3
这就产生了矛盾. 因而隐变量的观点是错误的
