1 离散的费米黄金法则
在一个稳态哈密顿量 𝐻
0
下引入一个小的扰动 𝐻
′
(微扰), 系统在 𝐻
0
本征态上的分布可能会发生变化, 即
可能会发生跃迁. 考察含时哈密顿量下的演化
𝐻 = 𝐻
0
+ 𝐻
′
(𝑡)
希望求解含时薛定谔方程
𝑖
ℏ
𝜕
𝜕𝑡
|
𝜓(𝑡)
⟩
= 𝐻
|
𝜓(𝑡)
⟩
以 𝐻
0
的本征态
|
𝑛
⟩
为基, 它们应当满足
𝐻
0
|
𝑛
⟩
= 𝐸
𝑛
|
𝑛
⟩
𝐻
0
的本征态是完备的基矢, 实际的态应当能表示成它们的线性组合, 只不过组合系数是含时的. 不妨设有
形式
|
𝜓(𝑡)
⟩
=
Õ
𝑛
𝑐
𝑛
(𝑡)
|
𝑛
⟩
鉴于由 𝐻
0
决定的态演化是已知的
|
𝜓
0
(𝑡)
⟩
=
Õ
𝑛
𝑐
𝑛
(0)𝑒
−𝑖𝐸
𝑛
𝑡/ℏ
|
𝑛
⟩
不妨进一步假定形式 (反正有个待定的系数, 怎么假设都可以)
|
𝜓(𝑡)
⟩
=
Õ
𝑛
𝑐
𝑛
(𝑡)𝑒
−𝑖𝐸
𝑛
𝑡/ℏ
|
𝑛
⟩
代入薛定谔方程, 得到
Õ
𝑛
𝑖ℏ
𝜕𝑐
𝑛
(𝑡)
𝜕𝑡
𝑒
−𝑖𝐸
𝑛
𝑡/ℏ
|
𝑛
⟩
+ 𝑐
𝑛
(𝑡)𝐸
𝑛
𝑒
−𝑖𝐸
𝑛
𝑡/ℏ
|
𝑛
⟩
=
Õ
𝑛
𝑐
𝑛
(𝑡)𝐸
𝑛
𝑒
−𝑖𝐸
𝑛
𝑡/ℏ
|
𝑛
⟩
+ 𝑐
𝑛
(𝑡)𝑒
−𝑖𝐸
𝑛
𝑡/ℏ
𝐻
′
|
𝑛
⟩
左右两边消去相同的项, 得到
Õ
𝑛
𝑖ℏ
𝜕𝑐
𝑛
(𝑡)
𝜕𝑡
𝑒
−𝑖𝐸
𝑛
𝑡/ℏ
|
𝑛
⟩
=
Õ
𝑛
𝑐
𝑛
(𝑡)𝑒
−𝑖𝐸
𝑛
𝑡/ℏ
𝐻
′
|
𝑛
⟩
𝐻
′
可以在 𝐻
0
的本征态下展开
𝐻
′
=
Õ
𝑗 𝑘
|
𝑗
⟩ ⟨
𝑗
|
𝐻
′
|
𝑘
⟩ ⟨
𝑘
|
那么
𝐻
′
|
𝑛
⟩
=
Õ
𝑗
⟨
𝑗
|
𝐻
′
|
𝑛
⟩ |
𝑗
⟩
代入得到
Õ
𝑛
𝑖ℏ
𝜕𝑐
𝑛
(𝑡)
𝜕𝑡
𝑒
−𝑖𝐸
𝑛
𝑡/ℏ
|
𝑛
⟩
=
Õ
𝑛 𝑗
𝑐
𝑗
(𝑡)𝑒
−𝑖𝐸
𝑗
𝑡/ℏ
⟨
𝑗
|
𝐻
′
|
𝑛
⟩ |
𝑛
⟩
各个 𝐻
0
的本征态
|
𝑛
⟩
之间是正交的, 所以
𝑖ℏ
𝜕𝑐
𝑛
(𝑡)
𝜕𝑡
𝑒
−𝑖𝐸
𝑛
𝑡/ℏ
=
Õ
𝑗
𝑐
𝑗
(𝑡)𝑒
−𝑖𝐸
𝑗
𝑡/ℏ
⟨
𝑗
|
𝐻
′
|
𝑛
⟩
即
𝑖ℏ
𝜕𝑐
𝑛
(𝑡)
𝜕𝑡
=
Õ
𝑗
𝑐
𝑗
(𝑡)𝑒
𝑖 (𝐸
𝑛
−𝐸
𝑗
)𝑡/ℏ
⟨
𝑗
|
𝐻
′
|
𝑛
⟩
为了进一步计算, 需要做近似处理. 由于 𝐻
′
是一个小扰动, 系数变化不会太大, 为了分析方便将 𝑐
𝑛
(𝑡) 写
为初态与一个小量的和
𝑐
𝑛
(𝑡) = 𝑐
(0)
𝑛
+ 𝑐
(1)
𝑛
(𝑡)
为了进一步简化计算, 假定初态为
|
𝑖
⟩
, 即
𝑐
(0)
𝑖
= 1, 𝑐
(0)
𝑗
= 0, 𝑗 ≠ 𝑖
那么方程变为
𝑖ℏ
𝜕𝑐
(1)
𝑛
(𝑡)
𝜕𝑡
= 𝑒
𝑖 (𝐸
𝑛
−𝐸
𝑖
)𝑡/ℏ
⟨
𝑖
|
𝐻
′
|
𝑛
⟩
+
Õ
𝑗
𝑐
(1)
𝑗
(𝑡)𝑒
𝑖 (𝐸
𝑛
−𝐸
𝑗
)𝑡/ℏ
⟨
𝑗
|
𝐻
′
|
𝑛
⟩
由于 𝑐
(1)
𝑖
(𝑡) 是一个小量, 对方程的贡献可以忽略, 近似得到
𝑖ℏ
𝜕𝑐
(1)
𝑛
(𝑡)
𝜕𝑡
= 𝑒
𝑖 (𝐸
𝑛
−𝐸
𝑖
)𝑡/ℏ
⟨
𝑖
|
𝐻
′
|
𝑛
⟩
直接积分即可解出
𝑐
(1)
𝑛
(𝑡) = −
𝑖
ℏ
∫
𝑡
0
𝑒
𝑖 (𝐸
𝑛
−𝐸
𝑖
)𝑡
′
/ℏ
⟨
𝑖
|
𝐻
′
|
𝑛
⟩
d𝑡
′
如果
|
𝑛
⟩
与
|
𝑖
⟩
是不同的态, 那么 𝑐
(0)
𝑛
= 0, 末态处于
|
𝑛
⟩
态的概率为
𝑃
𝑖→𝑛
=
|
𝑐
𝑛
(𝑡)
|
2
=
𝑐
(1)
𝑛
(𝑡)
2
=
1
ℏ
2
∫
𝑡
0
𝑒
𝑖 (𝐸
𝑛
−𝐸
𝑖
)𝑡
′
/ℏ
⟨
𝑖
|
𝐻
′
|
𝑛
⟩
d𝑡
′
2
注意到该近似假定 𝑐
(1)
(𝑡) 是一个小量, 因而近似的结论适用于跃迁概率很小的情况
𝑃
𝑖→𝑛
≪ 1
通常来说, 扰动的作用形式是一定的, 只是作用强度随时间变化. 所以 𝐻
′
应当可以写为
𝐻
′
(𝑡) = 𝑊 𝑓 (𝑡)
𝑊 不含时, 可以从积分中提出, 同时让系统从 −∞ 演化到 +∞
𝑃
𝑖→𝑛
=
1
ℏ
2
|⟨
𝑖
|
𝑊
|
𝑛
⟩|
2
∫
+∞
−∞
𝑒
𝑖 (𝐸
𝑛
−𝐸
𝑖
)𝑡
′
/ℏ
𝑓 (𝑡
′
)d𝑡
′
2
注意到后面的积分是傅里叶变换
˜
𝑓 (𝐸) =
1
√
2𝜋ℏ
∫
+∞
−∞
𝑓 (𝑡)𝑒
−𝑖𝐸𝑡/ℏ
d𝑡
那么概率就可以写为
𝑃
𝑖→𝑛
=
2𝜋
ℏ
|⟨
𝑖
|
𝑊
|
𝑛
⟩|
2
˜
𝑓 (𝐸
𝑛
− 𝐸
𝑖
)
2
如果进一步, 假定 𝑓 (𝑡) 是一个方波脉冲
𝑓 (𝑡) =
1 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇
0 otherwise
那么
∫
𝑇
0
𝑒
𝑖 (𝐸
𝑛
−𝐸
𝑖
)𝑡
′
/ℏ
d𝑡
′
=
𝑒
𝑖 (𝐸
𝑛
−𝐸
𝑖
)𝑇 /ℏ
− 1
𝑖(𝐸
𝑛
− 𝐸
𝑖
)/ℏ
简单起见, 记
𝜔
𝑛𝑖
=
𝐸
𝑛
− 𝐸
𝑖
ℏ
那么
∫
𝑇
0
𝑒
𝑖 𝜔
𝑛𝑖
𝑡
′
d𝑡
′
=
𝑒
𝑖 𝜔
𝑛𝑖
𝑇
− 1
𝑖𝜔
𝑛𝑖
对其取模平方, 得到
∫
𝑇
0
𝑒
𝑖 𝜔
𝑛𝑖
𝑡
′
d𝑡
′
2
=
sin
2
(𝜔
𝑛𝑖
/2 ·𝑇 )
(𝜔
𝑛𝑖
/2)
2
进而得到跃迁概率
𝑃
𝑖→𝑛
=
1
ℏ
2
|⟨
𝑖
|
𝑊
|
𝑛
⟩|
2
sin
2
[(𝐸
𝑛
− 𝐸
𝑖
)𝑇/2ℏ]
[(𝐸
𝑛
− 𝐸
𝑖
)/2ℏ]
2
仅最后一项含时, 如果将它视为一个依赖能量的函数
𝑔
𝑇
(𝐸) =
sin
2
(𝐸𝑇 /2ℏ)
(𝐸/2ℏ)
2
它的积分满足
∫
+∞
−∞
𝑔
𝑇
(𝐸)d𝐸 = 2𝜋ℏ𝑇
因而将其归一化
𝛿
𝑇
(𝐸) =
𝑔
𝑇
(𝐸)
2𝜋ℏ𝑇
=
2ℏ sin
2
(𝐸𝑇 /2ℏ)
𝜋𝐸
2
𝑇
它是一个峰在 0, 宽度为 2𝜋ℏ/𝑇 的函数, 当 𝑇 → ∞ 时, 它的极限是 𝛿(𝐸). 利用它将跃迁概率写为
𝑃
𝑖→𝑛
= 𝑇
2𝜋
ℏ
|⟨
𝑖
|
𝑊
|
𝑛
⟩|
2
𝛿
𝑇
(𝐸
𝑛
− 𝐸
𝑖
)
由于 𝛿
𝑇
(𝐸) 的宽度为 2𝜋ℏ/𝑇, 可以得到跃迁发生的能量范围
𝐸
𝑛
− 𝐸
𝑖
∈
−
𝜋ℏ
𝑇
,
𝜋ℏ
𝑇
这意味着
Δ𝐸Δ𝑡 ≈
ℏ
2
其中 Δ𝐸 是系统能量分布的宽度,Δ𝑡 是相互作用时间
2 费米黄金法则的连续推广
鉴于在上一节中已经得到了离散的费米黄金法则
𝑃
𝑖→𝑛
= 𝑇
2𝜋
ℏ
|⟨
𝑖
|
𝑊
|
𝑛
⟩|
2
𝛿
𝑇
(𝐸
𝑛
− 𝐸
𝑖
)
那么将其求和应当可以得到扰动结束后系统仍然处于初态
|
𝑖
⟩
的概率
𝑃
𝑖→𝑖
= 1 −𝑇
2𝜋
ℏ
Õ
𝑛≠𝑖
|⟨
𝑖
|
𝑊
|
𝑛
⟩|
2
𝛿
𝑇
(𝐸
𝑛
− 𝐸
𝑖
)
为了将其过渡到连续情况, 定义态密度
𝜌(𝐸) =
d𝑁
d𝐸
其中 𝑁 是能量小于 𝐸 的量子态数目, 它的物理含义是由积分给出的: 能量在 𝐸
1
到 𝐸
2
之间的态数目为
𝑁 =
∫
𝐸
2
𝐸
1
𝜌(𝐸)d𝐸
用能量标记量子态, 将求和替换为积分
Õ
𝑛≠𝑖
|⟨
𝑖
|
𝑊
|
𝑛
⟩|
2
𝛿
𝑇
(𝐸
𝑛
− 𝐸
𝑖
) →
∫
|⟨
𝑖
|
𝑊
|
𝑛
⟩|
2
𝛿
𝑇
(𝐸
𝑛
− 𝐸
𝑖
)𝜌(𝐸
𝑛
)d𝐸
𝑛
进而得到仍然处于初态的概率
𝑃
𝑖
= 1 −𝑇
2𝜋
ℏ
∫
|⟨
𝑖
|
𝑊
|
𝑛
⟩|
2
𝛿
𝑇
(𝐸
𝑛
− 𝐸
𝑖
)𝜌(𝐸
𝑛
)d𝐸
𝑛
如果进一步将 𝛿
𝑇
(𝐸) 近似为 𝛿(𝐸), 那么
𝑃
𝑖
= 1 −
2𝜋
ℏ
|⟨
𝑖
|
𝑊
|
𝑛
⟩|
2
𝜌(𝐸
𝑖
)𝑇
这样近似的合理性在于, 由前面的讨论可知, 只有 𝐸
𝑖
附近 ±𝜋ℏ/𝑇 的态才会发生跃迁, 这应当是一个相当
小的范围, 因而 𝜌(𝐸) 在这个范围内是近似常数. 进而由这样的线性关系
𝑃
𝑖
= 1 − Γ𝑇, Γ =
2𝜋
ℏ
|⟨
𝑖
|
𝑊
|
𝑛
⟩|
2
𝜌(𝐸
𝑛
= 𝐸
𝑖
)
这就是连续的费米黄金法则
3 电偶极跃迁选择定则
电偶极子在电场中的势能为
𝑈 = −p · E
其中 p 是电偶极矩, 对于一个 𝜌(r) 的电荷分布, 电偶极矩为
p =
∫
r𝜌(r)d𝑉
鉴于对于电子而言, 电荷密度就是空间概率密度, 电偶极矩可以写为
p = −𝑒
∫
r
|
𝜓(r)
|
2
d𝑉
这实际上就是在求期望值, 即
p = −𝑒
⟨
R
⟩
在外场中的电偶极子哈密顿量为
𝐻
′
= −p · E (𝑡)
为了不失一般性, 外场 𝐸 可以是任意形式的. 不过鉴于 𝐸 是含时部分, 按照上面的讨论, 只需要计算
|⟨
𝑖
|
𝑊
|
𝑛
⟩|
2
=
|⟨
𝑖
|
p
|
𝑛
⟩|
2
它不为零意味着允许从
|
𝑖
⟩
到
|
𝑛
⟩
的跃迁. 鉴于电子电荷 𝑒 是一个常数, 实际上这是在计算
|⟨
𝑖
|
R
|
𝑛
⟩|
2
简单起见以氢原子的模型进行计算. 氢原子电子的量子态由三个量子数 𝑛, 𝑙, 𝑚 确定
|
𝑛, 𝑙, 𝑚
⟩
希望考察
⟨
𝑛
′
, 𝑙
′
, 𝑚
′
|
R
|
𝑛, 𝑙, 𝑚
⟩
即计算
⟨
𝑛
′
, 𝑙
′
, 𝑚
′
|
𝑋
|
𝑛, 𝑙, 𝑚
⟩
,
⟨
𝑛
′
, 𝑙
′
, 𝑚
′
|
𝑌
|
𝑛, 𝑙, 𝑚
⟩
,
⟨
𝑛
′
, 𝑙
′
, 𝑚
′
|
𝑍
|
𝑛, 𝑙, 𝑚
⟩
先利用 𝐿
𝑧
得到 𝑚 的选择定则, 利用
𝐿
𝑧
|
𝑛, 𝑙, 𝑚
⟩
= ℏ𝑚
|
𝑛, 𝑙, 𝑚
⟩
鉴于 [𝐿
𝑧
, 𝑍] = 0, 可以得到
⟨
𝑛
′
, 𝑙
′
, 𝑚
′
|
[𝐿
𝑧
, 𝑍]
|
𝑛, 𝑙, 𝑚
⟩
=
⟨
𝑛
′
, 𝑙
′
, 𝑚
′
|
𝐿
𝑧
𝑍 − 𝑍 𝐿
𝑧
|
𝑛, 𝑙, 𝑚
⟩
= 0
由于 𝐿
𝑧
|
𝑛, 𝑙, 𝑚
⟩
= ℏ𝑚
|
𝑛, 𝑙, 𝑚
⟩
, 可以得到
ℏ(𝑚
′
− 𝑚)
⟨
𝑛
′
, 𝑙
′
, 𝑚
′
|
𝑍
|
𝑛, 𝑙, 𝑚
⟩
= 0
这意味着
𝑚 ≠ 𝑚
′
⇒
⟨
𝑛
′
, 𝑙
′
, 𝑚
′
|
𝑍
|
𝑛, 𝑙, 𝑚
⟩
= 0
同样由于 [𝐿
𝑧
, 𝑋] = 𝑖ℏ𝑌, [𝐿
𝑧
, 𝑌] = −𝑖ℏ𝑋, 可以得到
⟨
𝑛
′
, 𝑙
′
, 𝑚
′
|
[𝐿
𝑧
, 𝑋]
|
𝑛, 𝑙, 𝑚
⟩
= ℏ(𝑚
′
− 𝑚)
⟨
𝑛
′
, 𝑙
′
, 𝑚
′
|
𝑋
|
𝑛, 𝑙, 𝑚
⟩
= 𝑖ℏ
⟨
𝑛
′
, 𝑙
′
, 𝑚
′
|
𝑌
|
𝑛, 𝑙, 𝑚
⟩
⟨
𝑛
′
, 𝑙
′
, 𝑚
′
|
[𝐿
𝑧
, 𝑌]
|
𝑛, 𝑙, 𝑚
⟩
= ℏ(𝑚
′
− 𝑚)
⟨
𝑛
′
, 𝑙
′
, 𝑚
′
|
𝑌
|
𝑛, 𝑙, 𝑚
⟩
= −𝑖ℏ
⟨
𝑛
′
, 𝑙
′
, 𝑚
′
|
𝑋
|
𝑛, 𝑙, 𝑚
⟩
这意味着
(𝑚
′
− 𝑚)
2
⟨
𝑛
′
, 𝑙
′
, 𝑚
′
|
𝑋
|
𝑛, 𝑙, 𝑚
⟩
=
⟨
𝑛
′
, 𝑙
′
, 𝑚
′
|
𝑋
|
𝑛, 𝑙, 𝑚
⟩
(𝑚
′
− 𝑚)
2
⟨
𝑛
′
, 𝑙
′
, 𝑚
′
|
𝑌
|
𝑛, 𝑙, 𝑚
⟩
=
⟨
𝑛
′
, 𝑙
′
, 𝑚
′
|
𝑌
|
𝑛, 𝑙, 𝑚
⟩
也就是说
𝑚
′
− 𝑚 ≠ ±1 ⇒
⟨
𝑛
′
, 𝑙
′
, 𝑚
′
|
𝑋
|
𝑛, 𝑙, 𝑚
⟩
=
⟨
𝑛
′
, 𝑙
′
, 𝑚
′
|
𝑌
|
𝑛, 𝑙, 𝑚
⟩
= 0
至此得到了磁量子数 𝑚 的选择定则
𝑚
′
− 𝑚 = 0, ±1
下面考察角量子数 𝑙 的选择定则, 利用
𝐿
2
|
𝑛, 𝑙, 𝑚
⟩
= ℏ
2
𝑙(𝑙 + 1)
|
𝑛, 𝑙, 𝑚
⟩
鉴于有对易关系
[𝐿
𝑖
, 𝑅
𝑗
] = 𝑖ℏ𝜖
𝑖 𝑗 𝑘
𝑅
𝑘
那么
[𝐿
2
, 𝑅
𝑗
] = 𝑖ℏ𝜖
𝑖 𝑗 𝑘
(𝐿
𝑖
𝑅
𝑘
+ 𝑅
𝑘
𝐿
𝑖
− 𝐿
𝑘
𝑅
𝑖
− 𝑅
𝑖
𝐿
𝑘
)
这是不严谨的表达, 应该理解为 𝑖, 𝑗 , 𝑘 的取值应当使得 𝜖
𝑖 𝑗 𝑘
= 1. 进一步化简它可以考虑利用对易关系
𝐿
𝑖
𝑅
𝑘
− 𝐿
𝑘
𝑅
𝑖
= 𝑅
𝑖
𝐿
𝑘
− 𝑅
𝑘
𝐿
𝑖
− 2𝑖ℏ𝜖
𝑖 𝑗 𝑘
𝑅
𝑗
该式也应当理解为 𝑖, 𝑗 , 𝑘 的取值应当使得 𝜖
𝑖 𝑗 𝑘
= 1. 那么原式就化为了
[𝐿
2
, 𝑅
𝑗
] = 2𝑖ℏ
Õ
𝑗 𝑘
𝜖
𝑖 𝑗 𝑘
𝑅
𝑘
𝐿
𝑖
+ 2ℏ
2
𝑅
𝑗
它依然较为晦涩, 展开来比较好理解
[𝐿
2
, 𝑋] = 2𝑖ℏ(𝑌 𝐿
𝑧
− 𝑍 𝐿
𝑦
−𝑖ℏ𝑋)
[𝐿
2
, 𝑌] = 2𝑖ℏ(𝑍 𝐿
𝑥
− 𝑋 𝐿
𝑧
−𝑖ℏ𝑌)
[𝐿
2
, 𝑍] = 2𝑖ℏ(𝑋 𝐿
𝑦
−𝑌 𝐿
𝑥
−𝑖ℏ𝑍)
可以进一步得到对易关系
[𝐿
2
, [𝐿
2
, 𝑅
𝑗
]] = 2ℏ
2
(𝑅
𝑗
𝐿
2
+ 𝐿
2
𝑅
𝑗
)
所以
⟨
𝑛
′
, 𝑙
′
, 𝑚
′
|
[𝐿
2
, [𝐿
2
, 𝑅
𝑗
]]
|
𝑛, 𝑙, 𝑚
⟩
= 2ℏ
2
⟨
𝑛
′
, 𝑙
′
, 𝑚
′
|
𝑅
𝑗
𝐿
2
+ 𝐿
2
𝑅
𝑗
|
𝑛, 𝑙, 𝑚
⟩
分分别计算左边右边
⟨
𝑛
′
, 𝑙
′
, 𝑚
′
|
[𝐿
2
, [𝐿
2
, 𝑅
𝑗
]]
|
𝑛, 𝑙, 𝑚
⟩
=
⟨
𝑛
′
, 𝑙
′
, 𝑚
′
|
𝐿
2
[𝐿
2
, 𝑅
𝑗
] − [𝐿
2
, 𝐿
2
𝑅
𝑗
]
|
𝑛, 𝑙, 𝑚
⟩
= ℏ
4
[𝑙
′
(𝑙
′
+ 1) − 𝑙 (𝑙 + 1)]
⟨
𝑛
′
, 𝑙
′
, 𝑚
′
|
𝑅
𝑗
|
𝑛, 𝑙, 𝑚
⟩
⟨
𝑛
′
, 𝑙
′
, 𝑚
′
|
𝑅
𝑗
𝐿
2
+ 𝐿
2
𝑅
𝑗
|
𝑛, 𝑙, 𝑚
⟩
=
⟨
𝑛
′
, 𝑙
′
, 𝑚
′
|
𝑅
𝑗
𝐿
2
|
𝑛, 𝑙, 𝑚
⟩
+
⟨
𝑛
′
, 𝑙
′
, 𝑚
′
|
𝐿
2
𝑅
𝑗
|
𝑛, 𝑙, 𝑚
⟩
= 2ℏ
2
[𝑙 (𝑙 + 1) + 𝑙
′
(𝑙
′
+ 1)]
⟨
𝑛
′
, 𝑙
′
, 𝑚
′
|
𝑅
𝑗
|
𝑛, 𝑙, 𝑚
⟩
如果
⟨
𝑛
′
, 𝑙
′
, 𝑚
′
|
𝑅
𝑗
|
𝑛, 𝑙, 𝑚
⟩
≠ 0, 就意味着
[𝑙
′
(𝑙
′
+ 1) − 𝑙 (𝑙 + 1)] = 2[𝑙 (𝑙 + 1) + 𝑙
′
(𝑙
′
+ 1)]
即
𝑙
′
− 𝑙 ≠ ±1 ⇒
⟨
𝑛
′
, 𝑙
′
, 𝑚
′
|
𝑅
𝑗
|
𝑛, 𝑙, 𝑚
⟩
= 0
即角量子数 𝑙 的选择定则
𝑙
′
− 𝑙 = ±1
