角动量
目录
1 角动量 2
1.1 角动量是旋转变换的生成元 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 角动量算符的对易关系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 角动量算子与 SU(2) 群 4
3 任意方向上的角动量算子 5
4 算子在 𝐽
𝑧
本征态下的展开 6
4.1 角动量算子的展开 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4.2 旋转矩阵的展开 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
5 标量算子与向量算子 10
6
角动量相干态
11
7 角动量相加 12
7.1 角动量相加法则 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
7.2 轨道角动量与自旋角动量的相加 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
8 Wigner-Eckart 定理 15
1
1 角动量
1.1 角动量是旋转变换的生成元
考虑一个空间坐标点 r , 它在一个旋转变换下变为 r
′
. 设旋转变换为
ˆ
𝑅(𝜃), 则
r
′
= 𝑅(𝜃)r
这仍然是一个经典的描述. 在量子力学中, 空间坐标是坐标算符的本征值. 考虑用坐标表象来描述旋转. 设
有量子态
|
r
⟩
, 则应有一个旋转算符
ˆ
R(𝜃), 使得
ˆ
R(𝜃)
|
r
⟩
=
|
𝑅r
⟩
=
|
r
′
⟩
与平移类似, 旋转变换算符应当也是一个 Lie 群, 不妨考虑一个无穷小的旋转变换
ˆ
R
𝛼
(d𝜃)
其中 α 是旋转的转轴, 它是一个三维矢量. 借助四元数可以写出旋转变换. 设旋转变换前的坐标对应的四
元数为
A = 𝑥𝑖 + 𝑦 𝑗 + 𝑧𝑘
表征绕
α
转动
d
𝜃
的四元数为
𝑞 = cos
d𝜃
2
+ sin
d𝜃
2
𝛼
𝑥
𝑖 + 𝛼
𝑦
𝑗 + 𝛼
𝑧
𝑘
由于 d𝜃 很小, 可以近似为
𝑞 = 1 +
d𝜃
2
𝛼
𝑥
𝑖 + 𝛼
𝑦
𝑗 + 𝛼
𝑧
𝑘
旋转后的四元数为 (舍去 d𝜃
2
二阶小量)
𝑞
−1
A𝑞 = 𝑥𝑖 + 𝑦 𝑗 + 𝑧𝑘 − d𝜃
(𝛼
𝑦
𝑧 − 𝛼
𝑧
𝑦)𝑖 + (𝛼
𝑧
𝑥 − 𝛼
𝑥
𝑧)𝑗 + (𝛼
𝑥
𝑦 − 𝛼
𝑦
𝑥)𝑘
意思就是说, 变换后的坐标相比于变换前多加了一个小量
(𝛼
𝑦
𝑧 − 𝛼
𝑧
𝑦)d𝜃, (𝛼
𝑧
𝑥 − 𝛼
𝑥
𝑧)d𝜃, (𝛼
𝑥
𝑦 − 𝛼
𝑦
𝑥)d𝜃
希望借助空间平移算符做到这件事, 令
dx =
(𝛼
𝑦
𝑧 − 𝛼
𝑧
𝑦)d𝜃, (𝛼
𝑧
𝑥 − 𝛼
𝑥
𝑧)d𝜃, (𝛼
𝑥
𝑦 − 𝛼
𝑦
𝑥)d𝜃
对应的无限小平移算符为
ˆ
T (dx) = 1 −
𝑖
ℏ
ˆp · dx
= 1 −
𝑖
ℏ
(𝛼
𝑦
𝑧 − 𝛼
𝑧
𝑦)d𝜃 ˆp
𝑥
+ (𝛼
𝑧
𝑥 − 𝛼
𝑥
𝑧)d𝜃 ˆp
𝑦
+ (𝛼
𝑥
𝑦 − 𝛼
𝑦
𝑥)d𝜃 ˆp
𝑧
考虑
ˆ
T 作用到
|
x
⟩
上, 有
𝑥
|
x
⟩
= ˆx
|
x
⟩
, 𝑦
|
x
⟩
= ˆy
|
x
⟩
, 𝑧
|
x
⟩
= ˆz
|
x
⟩
并且存在对易关系, 这意味着这些算符可以交换
[ˆx
𝑖
, ˆp
𝑗
] = 𝑖ℏ𝛿
𝑖 𝑗
⇒ ˆxˆp
𝑦
= ˆp
𝑦
ˆx, ˆy ˆp
𝑧
= ˆp
𝑧
ˆy, ˆz ˆp
𝑥
= ˆp
𝑥
ˆz ···
那么这个无限小平移算符就可以写为
ˆ
T (dx) = 1 −
𝑖
ℏ
𝛼
𝑥
(ˆy ˆp
𝑧
− ˆz ˆp
𝑦
) + 𝛼
𝑦
(ˆz ˆp
𝑥
− ˆx ˆp
𝑧
) + 𝛼
𝑧
(ˆxˆp
𝑦
− ˆy ˆp
𝑥
)
d𝜃
如果新定义一个算符
ˆ
J, 他具有三个分量
ˆ
J
𝑥
,
ˆ
J
𝑦
,
ˆ
J
𝑧
ˆ
J
x
= ˆy ˆp
𝑧
− ˆz ˆp
𝑦
ˆ
J
𝑦
= ˆz ˆp
𝑥
− ˆx ˆp
𝑧
ˆ
J
𝑧
= ˆxˆp
𝑦
− ˆy ˆp
𝑥
上式就可以进一步简洁地写为
ˆ
T (dx) = 1 − 𝑖
𝑖
ℏ
d𝜃
ˆ
J · α
这实际上就是期望中的无限小旋转变换算符
ˆ
R(d𝜃) = 1 −𝑖
𝑖
ℏ
d𝜃
ˆ
J · α
称
ˆ
J 为角动量算符. 有了无限小变换, 就可以写出变换群的生成元
lim
d 𝜃→0
ˆ
R(d𝜃) −
ˆ
R(0)
d𝜃
= −
𝑖
ℏ
ˆ
J · α
这意味着角动量是旋转变换的生成元. 由生成元可以得到任意的有限变换
ˆ
R
𝛼
(𝜃) = exp
−
𝑖
ℏ
𝜃
ˆ
J · α
至此, 我们不依赖任何经典力学, 仅通过旋转变换导出了角动量算符, 并且得到了用角动量算子表示旋转
算子
1.2 角动量算符的对易关系
在 位置与动量中的讨论已经得到
[ˆx
𝑖
, ˆp
𝑗
] = 𝑖ℏ𝛿
𝑖 𝑗
可以借此得到角动量算符的对易关系
[
ˆ
L
𝑥
,
ˆ
L
𝑦
] = [ˆy ˆp
𝑧
− ˆz ˆp
𝑦
, ˆz ˆp
𝑥
− ˆx ˆp
𝑧
]
= [ˆy ˆp
𝑧
, ˆz ˆp
𝑥
] − [ˆy ˆp
𝑧
, ˆxˆp
𝑧
] − [ˆz ˆp
𝑦
, ˆz ˆp
𝑥
] + [ˆz ˆp
𝑦
, ˆxˆp
𝑧
]
= [ˆy ˆp
𝑧
, ˆz ˆp
𝑥
] − [ˆy ˆp
𝑧
, ˆp
z
ˆx] − [ ˆp
y
ˆz, ˆz ˆp
𝑥
] + [ ˆp
y
ˆz, ˆp
𝑧
ˆx]
= ˆy[ˆp
𝑧
, ˆz]ˆp
𝑥
− ˆy [ˆp
𝑧
, ˆp
𝑧
]ˆx − ˆp
𝑦
[ˆz, ˆz]ˆp
𝑥
+ ˆp
𝑦
[ˆz, ˆp
𝑧
]ˆx
= 𝑖ℏ(ˆy ˆp
𝑥
− ˆp
𝑦
ˆx)
= 𝑖ℏ
ˆ
L
𝑧
同理可以得到角动量算符的其他对易关系, 总结为
[
ˆ
L
𝑖
,
ˆ
L
𝑗
] = 𝑖ℏ𝜖
𝑖 𝑗 𝑘
ˆ
L
𝑘
注意到这正是 𝑆𝑈 (2) 群 Lie 代数的对易关系
[𝐽
𝑖
, 𝐽
𝑗
] = 𝑖𝜖
𝑖 𝑗 𝑘
𝐽
𝑘
通过 变换群与 Lie 代数中的讨论, 我们知道
ˆ
L
z
具有 2𝐿 + 1 个本征值
−𝐿ℏ, −(𝐿 − 1)ℏ, ··· , (𝐿 − 1)ℏ, 𝐿ℏ
我们还知道
存在 Casimir 元 𝐽
2
𝐽
2
= 𝐽
2
𝑥
+ 𝐽
2
𝑦
+ 𝐽
2
𝑧
它与三个方向的角动量算符都对易
[𝐽
2
, 𝐽
𝑥
] = [𝐽
2
, 𝐽
𝑦
] = [𝐽
2
, 𝐽
𝑧
] = 0
2 角动量算子与 SU(2) 群
在上一节中, 由位置算子与动量算子的对易关系, 我们得到了角动量算符的对易关系
[
ˆ
L
𝑖
,
ˆ
L
𝑗
] = 𝑖ℏ𝜖
𝑖 𝑗 𝑘
ˆ
L
𝑘
严谨地来说,L = R × P 应当是轨道角动量, 此外实验表明粒子还具有自旋角动量. 这要求不失一般性地
扩展角动量的定义: 如果三个算子 𝐽
𝑥
, 𝐽
𝑦
, 𝐽
𝑧
满足对易关系
[𝐽
𝑖
, 𝐽
𝑗
] = 𝑖ℏ𝜖
𝑖 𝑗 𝑘
𝐽
𝑘
则称它们是角动量算符. 经过变换群与 Lie 代数的讨论, 它正是 𝑆𝑈(2) 群表示. 正因此, 关于 𝑆𝑈 (2) 群的
所有结论都可以直接应用到角动量算符上
1. 𝐽
2
与 𝐽
𝑧
有共同的本征态, 以
|
𝑗, 𝑚
⟩
表示, 满足
𝐽
2
|
𝑗, 𝑚
⟩
= 𝑗 (𝑗 + 1)ℏ
2
|
𝑗, 𝑚
⟩
, 𝐽
𝑧
|
𝑗, 𝑚
⟩
= 𝑚ℏ
|
𝑗, 𝑚
⟩
并且 𝑚 是整数或半整数, 取值为
{−𝑗 , −𝑗 + 1, ··· , 𝑗 − 1, 𝑗 }
2. 可以定义升降算符 𝐽
±
𝐽
±
= 𝐽
𝑥
±𝑖𝐽
𝑦
它们满足对易关系
[𝐽
𝑧
, 𝐽
±
] = ±ℏ𝐽
±
, [𝐽
+
, 𝐽
−
] = 2ℏ𝐽
𝑧
3. 𝐽
±
作用到本征态
|
𝑗, 𝑚
⟩
上, 可以得到
|
𝑗, 𝑚 ± 1
⟩
𝐽
−
|
𝑗, 𝑚
⟩
=
ℏ
√
2
p
(𝑗 + 𝑚)(𝑗 − 𝑚 + 1)
|
𝑗, 𝑚 − 1
⟩
𝐽
+
|
𝑗, 𝑚
⟩
=
ℏ
√
2
p
(𝑗 + 𝑚 + 1)(𝑗 − 𝑚)
|
𝑗, 𝑚 + 1
⟩
3 任意方向上的角动量算子
随意指定一个方向 n, 我们可以定义一个 n 方向上的角动量算子
𝐽
𝑛
它应当生成的是绕 n 方向的旋转变换
𝑅
𝑛
(𝛽) = exp
−
𝑖
ℏ
𝛽𝐽
𝑛
鉴于绕着 n 方向的旋转变换可以写为
𝑅
𝑛
(𝛽) = exp
−
𝑖
ℏ
𝛽J · n
那么 𝐽
𝑛
就应当是 J 在 n 方向上的投影
𝐽
𝑛
= J · n
希望求解 𝐽
𝑛
的本征态, 直接求解会有亿点困难, 不过可以采取一种取巧的办法. 不难猜想如果可以找到一
个旋转变换 𝑅
𝜏
将 𝑧 轴转到 n 方向,𝐽
𝑧
的各个本征矢经过旋转就应当是 𝐽
𝑛
的本征矢, 即希望
𝐽
𝑛
𝑅
𝜏
|
𝑗, 𝑚
⟩
= 𝜆𝑅
𝜏
|
𝑗, 𝑚
⟩
由于坐标轴是可以随便选取的, 只要不动 𝑧 轴就好了. 因而假定 n 在 𝑥𝑧 平面上, 那么 𝑅
𝜏
的旋转轴就是 𝑦
轴. 再假定 n 与 𝑧 轴的夹角为 𝜃, 那么 𝑅
𝜏
就可以具体地写出
𝑅
𝜏
= 𝑅
𝑦
(𝜃) = exp
−
𝑖
ℏ
𝜃𝐽
𝑦
𝐽
𝑛
也可以具体写出
𝐽
𝑛
= 𝐽
𝑧
cos 𝜃 + 𝐽
𝑥
sin 𝜃
只需要计算
exp
𝑖
ℏ
𝜃𝐽
𝑦
(𝐽
𝑧
cos 𝜃 + 𝐽
𝑥
sin 𝜃) exp
−
𝑖
ℏ
𝜃𝐽
𝑦
利用 BCH 公式
exp{𝐴}𝐵𝐴 exp{−𝐴} = 𝐵 + [𝐴, 𝐵] +
1
2!
[𝐴, [𝐴, 𝐵]] + ·· ·
经过” 简单” 的对易计算, 可以得到
exp
𝑖
ℏ
𝜃𝐽
𝑦
(𝐽
𝑧
cos 𝜃 + 𝐽
𝑥
sin 𝜃) exp
−
𝑖
ℏ
𝜃𝐽
𝑦
= (𝐽
𝑧
cos 𝜃 − 𝐽
𝑥
sin 𝜃) cos 𝜃 − (𝐽
𝑧
sin 𝜃 + 𝐽
𝑥
cos 𝜃) sin 𝜃 = 𝐽
𝑧
那么
𝐽
𝑛
𝑅
𝑦
(𝜃)
|
𝑗, 𝑚
⟩
= 𝑅
𝑦
(𝜃)𝐽
𝑧
|
𝑗, 𝑚
⟩
= 𝑚ℏ𝑅
𝑦
(𝜃)
|
𝑗, 𝑚
⟩
这说明
𝐽
𝑛
的本征态是 𝐽
𝑧
的本征态做 𝑧 → 𝑛 的旋转变换, 本征值不变
有了本征态的关系后, 就能得到 𝐽
𝑛
的形式
𝐽
𝑛
= 𝑅
𝜏
𝐽
𝑧
𝑅
†
𝜏
4 算子在 𝐽
𝑧
本征态下的展开
4.1 角动量算子的展开
在 𝐽
𝑧
的本征态
|
𝑗, 𝑚
⟩
下,𝐽
2
的本征值为 𝑗 (𝑗 + 1)ℏ
2
, 可以写为矩阵形式
𝐽
2
ℏ
2
=
0
1
2
1
3
2
0
1
2
−
1
2
1 0 −1
3
2
1
2
−
1
2
−
3
2
0
0 0
1
2
1
2
3
4
−
1
2
3
4
1
1 2
0 2
−1 2
3
2
3
2
15
4
1
2
15
4
−
1
2
15
4
−
3
2
15
4
𝐽
±
的矩阵形式为
√
2𝐽
+
ℏ
=
0
1
2
1
3
2
0
1
2
−
1
2
1 0 −1
3
2
1
2
−
1
2
−
3
2
0
0 0
1
2
1
2
0 1
−
1
2
0
1
1 0
√
2
0 0
√
2
−1 0
3
2
3
2
0
√
3
1
2
0
√
6
−
1
2
0
√
3
−
3
2
0
√
2𝐽
−
ℏ
=
0
1
2
1
3
2
0
1
2
−
1
2
1 0 −1
3
2
1
2
−
1
2
−
3
2
0
0 0
1
2
1
2
0
−
1
2
1 0
1
1 0
0
√
2 0
−1
√
2 0
3
2
3
2
0
1
2
√
3 0
−
1
2
√
6 0
−
3
2
√
3 0
由于有
𝐿
𝑥
=
1
√
2
(𝐽
+
+ 𝐽
−
), 𝐿
𝑦
=
1
√
2
(𝐽
+
− 𝐽
−
)
可以得到 𝐿
𝑥
, 𝐿
𝑦
的矩阵形式, 不过在此不在列出了. 不难发现,它们都是块对角的. 事实上任意角动量算符
的矩阵形式都是块对角的, 这是因为 𝐽
2
与任意方向的角动量算符都对易, 这意味着所有的角动量算符共
享量子数 𝑗, 因而不管是何种方向的角动量算子, 不同 𝑗 对应的本征态一定正交
⟨
𝑗
′
, 𝑚
′
|
𝐽
𝑛
|
𝑗, 𝑚
⟩
= 0 (𝑗
′
≠ 𝑗)
因此
,
在考虑算子的矩阵形式时
,
讨论
𝑗
值相同的对角块即可
4.2 旋转矩阵的展开
假定有一个旋转轴, 用球坐标表示为 (𝜃, 𝜙 ), 也可以写为直角坐标
n = sin 𝜃 cos 𝜙ˆx + sin 𝜃 sin 𝜙 ˆy + cos 𝜃 ˆz
那么由于在第一节中已经得到了旋转算子的一般形式
𝑅
𝑛
(𝛽) = exp
−
𝑖
ℏ
𝛽J · n
它应当可以写为 𝐽
𝑥
, 𝐽
𝑦
, 𝐽
𝑧
的形式
𝑅
𝑛
(𝛽) = exp
−
𝑖
ℏ
𝛽
𝐽
𝑥
sin 𝜃 cos 𝜙 + 𝐽
𝑦
sin 𝜃 sin 𝜙 + 𝐽
𝑧
cos 𝜃
实际上有另一种简单的表示方法, 即先将旋转轴转到 𝑧 轴上, 再绕 𝑧 轴旋转, 最后再转回去. 这样旋转算
子就可以写为
𝑅
𝑛
(𝛽) = 𝑅
𝑧
(−𝜙)
†
𝑅
𝑦
(−𝜃)
†
𝑅
𝑧
(𝛽)𝑅
𝑦
(−𝜃)𝑅
𝑧
(−𝜙)
鉴于旋转算子有性质
𝑅(𝜃)
†
= 𝑅(−𝜃)
上式可以写为
𝑅
𝑛
(𝛽) = 𝑅
𝑧
(𝜙)𝑅
𝑦
(𝜃)𝑅
𝑧
(𝛽)𝑅
𝑦
(−𝜃)𝑅
𝑧
(−𝜙)
沿着各坐标轴的旋转算子是很好写出的
𝑅
𝑖
(𝜃) = exp
−
𝑖
ℏ
𝜃𝐽
𝑖
那么 𝑅
𝑛
(𝛽) 就可以写为
𝑅
𝑛
(𝛽) = exp
−
𝑖
ℏ
𝛽𝐽
𝑧
exp
−
𝑖
ℏ
𝜃𝐽
𝑦
exp
−
𝑖
ℏ
𝛽𝐽
𝑧
exp
𝑖
ℏ
𝜃𝐽
𝑦
exp
𝑖
ℏ
𝛽𝐽
𝑧
不过这只是猜想, 下面来证明它
利用 BCH 公式
exp{𝐴}exp{𝐵}exp {−𝐴} = exp
𝐵 + [𝐴, 𝐵] +
1
2!
[𝐴, [𝐴, 𝐵]] + ···
先计算第一部分, 即
exp
−
𝑖
ℏ
𝜃𝐽
𝑦
exp
−
𝑖
ℏ
𝛽𝐽
𝑧
exp
𝑖
ℏ
𝜃𝐽
𝑦
计算对易子
−
𝑖
ℏ
𝜃𝐽
𝑦
, −
𝑖
ℏ
𝛽𝐽
𝑧
0
= −
𝑖𝛽
ℏ
𝐽
𝑧
−
𝑖
ℏ
𝜃𝐽
𝑦
, −
𝑖
ℏ
𝛽𝐽
𝑧
1
= −
𝜃𝛽
ℏ
2
[𝐽
𝑦
, 𝐽
𝑧
] = −
𝑖𝜃𝛽
ℏ
𝐽
𝑥
−
𝑖
ℏ
𝜃𝐽
𝑦
, −
𝑖
ℏ
𝛽𝐽
𝑧
2
=
−
𝑖
ℏ
𝜃𝐽
𝑦
, −
𝑖𝜃𝛽
ℏ
𝐽
𝑥
= −
𝜃
2
𝛽
ℏ
2
[𝐽
𝑦
, 𝐽
𝑥
] =
𝑖𝜃
2
𝛽
ℏ
𝐽
𝑧
−
𝑖
ℏ
𝜃𝐽
𝑦
, −
𝑖
ℏ
𝛽𝐽
𝑧
3
=
−
𝑖
ℏ
𝜃𝐽
𝑦
,
𝑖𝜃
2
𝛽
ℏ
𝐽
𝑧
=
𝜃
3
𝛽
ℏ
2
[𝐽
𝑦
, 𝐽
𝑧
] =
𝑖𝜃
3
𝛽
ℏ
𝐽
𝑥
−
𝑖
ℏ
𝜃𝐽
𝑦
, −
𝑖
ℏ
𝛽𝐽
𝑧
4
=
−
𝑖
ℏ
𝜃𝐽
𝑦
,
𝑖𝜃
3
𝛽
ℏ
𝐽
𝑥
= −
𝜃
4
𝛽
ℏ
2
[𝐽
𝑦
, 𝐽
𝑥
] = −
𝑖𝜃
4
𝛽
ℏ
𝐽
𝑧
···
这长得就是一副三角函数的样子, 经过归纳代入 BCH 公式就可以得到
exp
−
𝑖
ℏ
𝜃𝐽
𝑦
exp
−
𝑖
ℏ
𝛽𝐽
𝑧
exp
𝑖
ℏ
𝜃𝐽
𝑦
= exp
−
𝑖
ℏ
𝛽(𝐽
𝑧
cos 𝜃 + 𝐽
𝑥
sin 𝜃)
接下来计算
exp
−
𝑖
ℏ
𝜙𝐽
𝑧
exp
−
𝑖
ℏ
𝛽(𝐽
𝑧
cos 𝜃 + 𝐽
𝑥
sin 𝜃)
exp
𝑖
ℏ
𝜙𝐽
𝑧
由于 𝐽
𝑧
与 𝐽
𝑧
自己当然对易, 可以预见的是指数中一定会有一项
−
𝑖
ℏ
𝛽𝐽
𝑧
cos 𝜃
因而只需要考虑
exp
−
𝑖
ℏ
𝜙𝐽
𝑧
exp
−
𝑖
ℏ
𝛽𝐽
𝑥
sin 𝜃
exp
𝑖
ℏ
𝜙𝐽
𝑧
要做的依然是计算对易子
−
𝑖
ℏ
𝜙𝐽
𝑧
, −
𝑖
ℏ
𝛽𝐽
𝑥
0
= −
𝑖𝛽
ℏ
𝐽
𝑥
−
𝑖
ℏ
𝜙𝐽
𝑧
, −
𝑖
ℏ
𝛽𝐽
𝑥
1
= −
𝜙𝛽
ℏ
2
[𝐽
𝑧
, 𝐽
𝑥
] = −
𝑖𝜙𝛽
ℏ
𝐽
𝑦
−
𝑖
ℏ
𝜙𝐽
𝑧
,
−
𝑖
ℏ
𝛽𝐽
𝑥
2
=
−
𝑖
ℏ
𝜙𝐽
𝑧
,
−
𝑖𝜙𝛽
ℏ
𝐽
𝑦
=
−
𝜙
2
𝛽
ℏ
2
[
𝐽
𝑧
, 𝐽
𝑦
]
=
𝑖𝜙
2
𝛽
ℏ
𝐽
𝑥
−
𝑖
ℏ
𝜙𝐽
𝑧
, −
𝑖
ℏ
𝛽𝐽
𝑥
3
=
−
𝑖
ℏ
𝜙𝐽
𝑧
,
𝑖𝜙
2
𝛽
ℏ
𝐽
𝑥
=
𝜙
3
𝛽
ℏ
2
[𝐽
𝑧
, 𝐽
𝑥
] =
𝑖𝜙
3
𝛽
ℏ
𝐽
𝑦
−
𝑖
ℏ
𝜙𝐽
𝑧
, −
𝑖
ℏ
𝛽𝐽
𝑥
4
=
−
𝑖
ℏ
𝜙𝐽
𝑧
,
𝑖𝜙
3
𝛽
ℏ
𝐽
𝑦
= −
𝜙
4
𝛽
ℏ
2
[𝐽
𝑧
, 𝐽
𝑦
] = −
𝑖𝜙
4
𝛽
ℏ
𝐽
𝑥
···
这也是一副三角函数的样子, 经过归纳代入 BCH 公式就可以得到
exp
−
𝑖
ℏ
𝜙𝐽
𝑧
exp
−
𝑖
ℏ
𝛽𝐽
𝑥
sin 𝜃
exp
𝑖
ℏ
𝜙𝐽
𝑧
= exp
−
𝑖
ℏ
𝛽(𝐽
𝑥
sin 𝜃 cos 𝜙 + 𝐽
𝑦
sin 𝜃 sin 𝜙)
再填上 𝐽
𝑧
的部分就完成了证明
这意味着只需要知道绕着 𝑧, 𝑦 轴的旋转算子即可得到任意旋转的算子. 即计算
exp
−
𝑖
ℏ
𝛽𝐽
𝑧
, exp
−
𝑖
ℏ
𝛽𝐽
𝑦
𝐽
𝑧
是对角的, 因而绕 𝑧 轴的旋转算子也是对角的, 简单得不能再简单;𝐽
𝑦
是块对角的, 其指数是块对角的
指数, 也是块对角的. 考察它的每个块对角元
𝑑
(𝑗 )
= exp
−
𝑖
ℏ
𝛽𝐽
(𝑗 )
𝑦
其中 𝐽
(𝑗 )
𝑦
是 𝑗 子空间的 𝐽
𝑦
算符, 它是 2 𝑗 + 1 维的 𝑆𝑈 (2) 群表示. 它有一个相当复杂的一般形式
𝑑
(𝑗 )
𝑚
′
𝑚
=
Õ
𝑘
(−1)
𝑗−𝑚+𝑘
p
(𝑗 + 𝑚)!(𝑗 − 𝑚)!(𝑗 + 𝑚
′
)!(𝑗 − 𝑚
′
)!
𝑘!(𝑗 + 𝑚 − 𝑘)!(𝑗 − 𝑚
′
− 𝑘)!(𝑘 + 𝑚
′
− 𝑚)!
cos
𝛽
2
2 𝑗 −2𝑘+𝑚−𝑚
′
sin
𝛽
2
2𝑘−𝑚+𝑚
′
求和号的范围是使得分母中不出现负数的阶乘. 可以列出二维和三维的情况
𝑑
(1/2)
=
©
«
cos
𝛽
2
−sin
𝛽
2
sin
𝛽
2
cos
𝛽
2
ª
®
®
®
¬
𝑑
(1)
=
©
«
1
2
(1 + cos 𝛽) −
1
√
2
sin 𝛽
1
2
(1 − cos 𝛽)
1
√
2
sin 𝛽 cos 𝛽 −
1
√
2
sin 𝛽
1
2
(1 − cos 𝛽)
1
√
2
sin 𝛽
1
2
(1 + cos 𝛽)
ª
®
®
®
®
®
®
®
®
¬
5 标量算子与向量算子
在旋转变换下不变的算子称为标量算子, 在旋转变换下像角动量算子那样变换的算子称为向量算子
鉴于角动量算子是旋转变换的生成元, 如果一个算子在旋转变换下不变, 它就应当和任意方向的角动量算
子对易
[
𝐴,
J
·
n
]
=
0
,
∀
n
那么可以得到一些算子是标量算子
𝐽
2
, 𝑅
2
, 𝑃
2
, R · P
向量算子要求旋转变换下的变换规律与角动量算子相同, 即像向量一样
𝑈
𝑅
V 𝑈
†
𝑅
=
©
«
𝑉
′
𝑥
𝑉
′
𝑦
𝑉
′
𝑧
ª
®
®
®
¬
=
©
«
𝑅
11
𝑅
12
𝑅
13
𝑅
21
𝑅
22
𝑅
23
𝑅
31
𝑅
32
𝑅
33
ª
®
®
®
¬
©
«
𝑉
𝑥
𝑉
𝑦
𝑉
𝑧
ª
®
®
®
¬
前面的 𝑈
𝑅
是旋转变换算子, 中间的 𝑅 矩阵即旋转矩阵. 如果考察沿 𝑧 轴的无穷小旋转 (𝜃 是一个小量)
I −
𝑖
ℏ
𝜃𝐽
𝑧
V
I +
𝑖
ℏ
𝜃𝐽
𝑧
= V +
𝑖
ℏ
𝜃 [𝐽
𝑧
, V ]
对应的旋转矩阵是
©
«
1 −𝜃 0
𝜃 1 0
0 0 1
ª
®
®
®
¬
有
©
«
1 −𝜃 0
𝜃 1 0
0 0 1
ª
®
®
®
¬
©
«
𝑉
𝑥
𝑉
𝑦
𝑉
𝑧
ª
®
®
®
¬
=
©
«
𝑉
𝑥
𝑉
𝑦
𝑉
𝑧
ª
®
®
®
¬
+ 𝜃
©
«
−𝑉
𝑦
𝑉
𝑥
0
ª
®
®
®
¬
这就要求
[𝐽
𝑧
, 𝑉
𝑥
] = 𝑖ℏ𝑉
𝑦
, [𝐽
𝑧
, 𝑉
𝑦
] = −𝑖ℏ𝑉
𝑥
, [𝐽
𝑧
, 𝑉
𝑧
] = 0
对 𝑦 轴和 𝑥 轴做同样的操作, 可以得到
[𝐽
𝑖
, 𝑉
𝑗
] = 𝑖ℏ𝜖
𝑖 𝑗 𝑘
𝑉
𝑘
虽然此处它作为推论, 实际上也可以证明它的必要性. 如果一个算子与角动量算子满足这种对易关系, 那
么它在旋转变换下的变换规律与角动量算子相同
6 角动量相干态
定义角动量的方差
(ΔJ )
2
= (Δ𝐽
𝑥
)
2
+ (Δ𝐽
𝑦
)
2
+ (Δ𝐽
𝑧
)
2
鉴于
(Δ𝐽
𝑖
)
2
=
𝐽
2
𝑖
−
⟨
𝐽
𝑖
⟩
2
那么
(ΔJ )
2
=
𝐽
2
𝑥
+
𝐽
2
𝑦
+
𝐽
2
𝑧
−
⟨
𝐽
𝑥
⟩
2
+
𝐽
𝑦
2
+
⟨
𝐽
𝑧
⟩
2
注意到前半部分
𝐽
2
𝑥
+
𝐽
2
𝑦
+
𝐽
2
𝑧
=
𝐽
2
= 𝑗 (𝑗 + 1)ℏ
2
这意味着
(ΔJ )
2
= 𝑗 (𝑗 + 1)ℏ
2
−
⟨
𝐽
𝑥
⟩
2
+
𝐽
𝑦
2
+
⟨
𝐽
𝑧
⟩
2
希望尽可能减小不确定度, 则应该尽量增加期望值
⟨
J
⟩
=
⟨
𝐽
𝑥
⟩
,
𝐽
𝑦
,
⟨
𝐽
𝑧
⟩
鉴于旋转是不改变模长的, 那么可以找到一个旋转使得期望值矢量转到 𝑧 轴上
𝑅
©
«
⟨
𝐽
𝑥
⟩
𝐽
𝑦
⟨
𝐽
𝑧
⟩
ª
®
®
®
¬
=
©
«
0
0
|⟨
J
⟩|
ª
®
®
®
¬
鉴于期望值是可以线性组合的, 并且角动量算子是向量算子, 那么
𝑅
©
«
⟨
𝐽
𝑥
⟩
𝐽
𝑦
⟨
𝐽
𝑧
⟩
ª
®
®
®
¬
= 𝑅
©
«
⟨
𝜓
|
𝐽
𝑥
|
𝜓
⟩
⟨
𝜓
|
𝐽
𝑦
|
𝜓
⟩
⟨
𝜓
|
𝐽
𝑧
|
𝜓
⟩
ª
®
®
®
¬
=
⟨
𝜓
|
𝑅
©
«
𝐽
𝑥
𝐽
𝑦
𝐽
𝑧
ª
®
®
®
¬
|
𝜓
⟩
=
©
«
⟨
𝜓
|
𝑈(𝑅)𝐽
𝑥
𝑈(𝑅)
†
|
𝜓
⟩
⟨
𝜓
|
𝑈(𝑅)𝐽
𝑦
𝑈(𝑅)
†
|
𝜓
⟩
⟨
𝜓
|
𝑈(𝑅)𝐽
𝑧
𝑈(𝑅)
†
|
𝜓
⟩
ª
®
®
®
¬
此时旋转算子 𝑈 (𝑅) 可以作用到态矢上
|
𝜓
′
⟩
= 𝑈 (𝑅)
†
|
𝜓
⟩
那么就有
©
«
0
0
|⟨
J
⟩|
ª
®
®
®
¬
=
©
«
⟨
𝜓
′
|
𝐽
𝑥
|
𝜓
′
⟩
⟨
𝜓
′
|
𝐽
𝑦
|
𝜓
′
⟩
⟨
𝜓
′
|
𝐽
𝑧
|
𝜓
′
⟩
ª
®
®
®
¬
即一定能找到一个旋转 𝑅 使得旋转后的态矢
|
𝜓
′
⟩
其 𝐽
𝑧
期望值正是角动量的模长
|⟨
J
⟩|
=
|⟨
𝜓
′
|
J
|
𝜓
′
⟩|
由于各个 𝑗 子空间是独立的 (由于矩阵块对角), 在 𝑗 子空间,𝐽
𝑧
的最大值是
max
|
𝜓
′
⟩
∈ℋ
𝑗
|⟨
𝜓
′
|
𝐽
𝑧
|
𝜓
′
⟩|
2
= 𝑗
2
ℏ
2
取到最大的态应当就是
|
𝜓
′
⟩
=
|
𝑗, ±𝑗
⟩
由于可以转成
|
𝑗, ±𝑗
⟩
的态应当能从
|
𝑗, ±𝑗
⟩
的态转过来, 因而角动量相干态就是
|
𝜓
⟩
= 𝑈 (𝑅)
|
𝑗, ±𝑗
⟩
其中 𝑈 (𝑅) 是任意的旋转算子
7 角动量相加
7.1 角动量相加法则
考虑两个量子体系, 它们的角动量算子分别是 J
𝐴
, J
𝐵
, 那么它们的和由直积定义
J = J
𝐴
+ J
𝐵
= J
𝐴
⊗ I + I ⊗ J
𝐵
如果写得更清晰一些, 应当是
©
«
𝐽
𝑥
𝐽
𝑦
𝐽
𝑧
ª
®
®
®
¬
=
©
«
𝐽
𝐴
𝑥
⊗ I + I ⊗ 𝐽
𝐵
𝑥
𝐽
𝐴
𝑦
⊗ I + I ⊗ 𝐽
𝐵
𝑦
𝐽
𝐴
𝑧
⊗ I + I ⊗ 𝐽
𝐵
𝑧
ª
®
®
®
¬
J 确实也满足对易关系
[𝐽
𝑖
, 𝐽
𝑗
] = 𝑖ℏ𝜖
𝑖 𝑗 𝑘
𝐽
𝑘
这说明 J 确实是一个角动量算子. 它的本征态很自然就是
|
𝑗
𝐴
, 𝑚
𝐴
⟩
⊗
|
𝑗
𝐵
, 𝑚
𝐵
⟩
这意味着选取 𝑗
𝐴
, 𝑗
𝐵
, 𝑚
𝐴
, 𝑚
𝐵
作为量子数标记不同的本征态, 它满足
J
z
|
𝑗
𝐴
, 𝑗
𝐵
, 𝑚
𝐴
, 𝑚
𝐵
⟩
= (𝑚
𝐴
+ 𝑚
𝐵
)ℏ
|
𝑗
𝐴
, 𝑗
𝐵
, 𝑚
𝐴
, 𝑚
𝐵
⟩
这说明 J
z
的本征值是 𝑚ℏ = (𝑚
𝐴
+ 𝑚
𝐵
)ℏ,
J
z
|
𝑗
𝐴
, 𝑗
𝐵
, 𝑗, 𝑚
⟩
= 𝑚ℏ
|
𝑗
𝐴
, 𝑗
𝐵
, 𝑗, 𝑚
⟩
同时作为角动量算子, 也可以定义 𝐽
2
𝐽
2
= 𝐽
2
𝑥
+ 𝐽
2
𝑦
+ 𝐽
2
𝑧
它也应当有本征值
𝐽
2
|
𝑗
𝐴
, 𝑗
𝐵
, 𝑗, 𝑚
⟩
= 𝑗 (𝑗 + 1)ℏ
2
|
𝑗
𝐴
, 𝑗
𝐵
, 𝑗, 𝑚
⟩
同时也可以使用 𝑗, 𝑚 作为量子数标记不同的本征态, 即
|
𝑗
𝐴
, 𝑗
𝐵
, 𝑗, 𝑚
⟩
应当存在变换
|
𝑗
𝐴
, 𝑗
𝐵
, 𝑗, 𝑚
⟩
=
Õ
𝐶
𝑗,𝑚,𝑚
𝐴
,𝑚
𝐵
|
𝑗
𝐴
, 𝑚
𝐴
⟩
⊗
|
𝑗
𝐵
, 𝑚
𝐵
⟩
其中 𝐶
𝑗,𝑚,𝑚
𝐴
,𝑚
𝐵
称为 Clebsch-Gordan 系数
为了确定 CG 系数, 需要先考察 𝑗, 𝑚 的取值范围.𝑚 的取值已经在上面得到了
𝑚 = 𝑚
𝐴
+ 𝑚
𝐵
那么它的取值范围就是
{ −(𝑗
𝐴
+ 𝑗
𝐵
), −(𝑗
𝐴
+ 𝑗
𝐵
) + 1, ··· , 𝑗
𝐴
+ 𝑗
𝐵
}
由此给出 𝑚 的简并度, 即同一个 𝑚 对应的本征态数目. 假定 𝑗
𝐴
≥ 𝑗
𝐵
(总得有个大小), 那么
𝑔(𝑚) =
0
|
𝑚
|
> 𝑗
𝐴
+ 𝑗
𝐵
𝑗
𝐴
+ 𝑗
𝐵
+ 1 −
|
𝑚
|
𝑗
𝐴
+ 𝑗
𝐵
≥
|
𝑚
|
≥ 𝑗
𝐴
− 𝑗
𝐵
2 𝑗
𝐵
+ 1 𝑗
𝐴
− 𝑗
𝐵
≥
|
𝑚
|
也就是说至少需要 2 𝑗
𝐵
+ 1 个 𝑗 才能使得每一个本征态都能被区分. 既然 𝐽
𝑖
是 𝑆𝑈(2) 群的表示, 它应当
满足基本的角动量代数性质. 鉴于 𝑚 的取值范围, 最大的 𝑗 应该是最大的 𝑚
𝑗 ≤ 𝑗
𝐴
+ 𝑗
𝐵
由此可以猜想 𝑗 的最小值为
|
𝑗
𝐴
− 𝑗
𝐵
|
假定知道了 𝑗, 那么 𝑚 的取值范围为
{𝑗, 𝑗 − 1, ··· , −𝑗 }
由此给出另一种角度的简并度
𝑔(𝑚) = 满足 𝑗 ≥
|
𝑚
|
的 𝑗 的个数
那么就可以确信 𝑗 的取值范围是
{
|
𝑗
𝐴
− 𝑗
𝐵
|
,
|
𝑗
𝐴
− 𝑗
𝐵
|
+ 1, ··· , 𝑗
𝐴
+ 𝑗
𝐵
}
作为角动量算子,J 应当可以定义升降算子 𝐽
±
𝐽
±
=
1
√
2
(𝐽
𝑥
±𝑖𝐽
𝑦
) =
1
√
2
(𝐽
𝐴
𝑥
⊗ I + I ⊗ 𝐽
𝐵
𝑥
±𝑖(𝐽
𝐴
𝑦
⊗ I + I ⊗ 𝐽
𝐵
𝑦
)) = 𝐽
𝐴
±
⊗ I + I ⊗ 𝐽
𝐵
±
可以从最大的 𝑗 开始一步步递推得到 CG 系数. 首先考虑最大的 𝑗 = 𝑗
𝐴
+ 𝑗
𝐵
, 那么
𝐽
−
|
𝑗, 𝑗
⟩
=
p
𝑗ℏ
|
𝑗, 𝑗 − 1
⟩
自然有
|
𝑗, 𝑗
⟩
=
|
𝑗
𝐴
, 𝑗
𝐴
⟩
⊗
|
𝑗
𝐵
, 𝑗
𝐵
⟩
, 那么将降算子展开得到
(𝐽
𝐴
−
⊗ I + I ⊗ 𝐽
𝐵
−
)
|
𝑗
𝐴
, 𝑗
𝐴
⟩
⊗
|
𝑗
𝐵
, 𝑗
𝐵
⟩
=
p
𝑗
𝐴
ℏ
|
𝑗
𝐴
, 𝑗
𝐴
− 1
⟩
⊗
|
𝑗
𝐵
, 𝑗
𝐵
⟩
+
p
𝑗
𝐵
ℏ
|
𝑗
𝐴
, 𝑗
𝐴
⟩
⊗
|
𝑗
𝐵
, 𝑗
𝐵
− 1
⟩
这意味着
|
𝑗, 𝑗 − 1
⟩
=
s
𝑗
𝐴
𝑗
|
𝑗
𝐴
, 𝑗
𝐴
− 1
⟩
⊗
|
𝑗
𝐵
, 𝑗
𝐵
⟩
+
s
𝑗
𝐵
𝑗
|
𝑗
𝐴
, 𝑗
𝐴
⟩
⊗
|
𝑗
𝐵
, 𝑗
𝐵
− 1
⟩
可以这样一步步地用降算子得到所有的 CG 系数
7.2 轨道角动量与自旋角动量的相加
轨道角动量算子是 L, 它满足
𝐿
2
|
𝑙, 𝑚
𝑙
⟩
= 𝑙 (𝑙 + 1)ℏ
2
|
𝑙, 𝑚
𝑙
⟩
, 𝐿
𝑧
|
𝑙, 𝑚
𝑙
⟩
= 𝑚
𝑙
ℏ
|
𝑙, 𝑚
𝑙
⟩
其中
𝑚
𝑙
= −𝑙, − 𝑙 + 1, ··· , 𝑙
自旋角动量算子是 S, 它满足
𝑆
2
|
𝑠, 𝑚
𝑠
⟩
= 𝑠(𝑠 + 1)ℏ
2
|
𝑠, 𝑚
𝑠
⟩
, 𝑆
𝑧
|
𝑠, 𝑚
𝑠
⟩
= 𝑚
𝑠
ℏ
|
𝑠 , 𝑚
𝑠
⟩
其中
𝑠 =
1
2
, 𝑚
𝑠
= −
1
2
,
1
2
若有 𝑙 与 𝑠 =
1
2
, 两个角动量相加得到
J = L + S
它满足
𝐽
2
𝑗, 𝑚
𝑗
= 𝑗 (𝑗 + 1)ℏ
2
𝑗, 𝑚
𝑗
, 𝐽
𝑧
𝑗, 𝑚
𝑗
= 𝑚
𝑗
ℏ
𝑗, 𝑚
𝑗
其中
𝑗 = 𝑙 ±
1
2
, 𝑚
𝑗
= −𝑗 , −𝑗 + 1, ··· , 𝑗
根据上面的过程可以得到
𝑙 +
1
2
, 𝑚
𝑗
=
r
1
2𝑙 + 1
(
r
𝑙 + 𝑚
𝑗
+
1
2
𝑙, +
1
2
⊗
𝑚
𝑗
−
1
2
, +
1
2
+
r
𝑙 − 𝑚
𝑗
+
1
2
𝑙, +
1
2
⊗
𝑚
𝑗
+
1
2
, −
1
2
)
𝑙 −
1
2
, 𝑚
𝑗
=
r
1
2𝑙 + 1
(
r
𝑙 + 𝑚
𝑗
+
1
2
𝑙, +
1
2
⊗
𝑚
𝑗
+
1
2
, −
1
2
−
r
𝑙 − 𝑚
𝑗
+
1
2
𝑙, +
1
2
⊗
𝑚
𝑗
−
1
2
, +
1
2
)
8 Wigner-Eckart 定理
在角动量语境下, 可以简单地认为 Wigner-Eckart 定理是
在子空间 ℋ
𝑗
中, 任意两个向量算子 V , V
′
其矩阵元有比例关系
V ∝ V
′
对于向量算子 V , 它作为向量算子需要满足对易关系
[𝐽
𝑖
, 𝑉
𝑗
] = 𝑖ℏ𝜖
𝑖 𝑗 𝑘
𝑉
𝑘
定义其升降算子, 类似于角动量算子的升降算子
𝑉
±
= 𝑉
𝑥
±𝑖𝑉
𝑦
, 𝐽
±
= 𝐽
𝑥
±𝑖𝐽
𝑦
稍加计算不难发现它们满足对易关系
[
𝐽
𝑥
, 𝑉
±
]
=
∓
ℏ
𝑉
𝑧
,
[
𝐽
𝑦
, 𝑉
±
]
=
−
𝑖
ℏ
𝑉
𝑧
,
[
𝐽
𝑧
, 𝑉
±
]
=
±
ℏ
𝑉
±
[𝐽
+
, 𝑉
+
] = [𝐽
−
, 𝑉
−
] = 0, [𝐽
+
, 𝑉
−
] = 2ℏ𝑉
𝑧
, [𝐽
−
, 𝑉
+
] = −2ℏ𝑉
𝑧
利用对易子 [𝐽
𝑧
, 𝑉
𝑧
] = 0 考察 𝑉
𝑧
的矩阵元
0 =
⟨
𝑗
′
, 𝑚
′
|
[𝐽
𝑧
, 𝑉
𝑧
]
|
𝑗, 𝑚
⟩
= ℏ(𝑚 − 𝑚
′
)
⟨
𝑗
′
, 𝑚
′
|
𝑉
𝑧
|
𝑗, 𝑚
⟩
所以当 𝑚 ≠ 𝑚
′
时, 有
⟨
𝑗
′
, 𝑚
′
|
𝑉
𝑧
|
𝑗, 𝑚
⟩
= 0. 不过这并不意味着 𝑉
𝑧
是块对角的, 毕竟不一样的 𝑗 子空间也
有可能有相同的 𝑚 值. 但若是给定了 𝑗,𝑉
𝑧
就是对角的
既然 𝑉
𝑧
都不一定块对角, 那么 𝑉
𝑥
, 𝑉
𝑦
就更不可能是块对角的了. 考察 𝑉
±
𝐽
𝑧
𝑉
±
= 𝑉
±
𝐽
𝑧
± ℏ𝑉
±
因此
𝐽
𝑧
𝑉
±
|
𝑗, 𝑚
⟩
= 𝑉
±
𝐽
𝑧
|
𝑗, 𝑚
⟩
± ℏ𝑉
±
|
𝑗, 𝑚
⟩
= (𝑚 ± 1)ℏ𝑉
±
|
𝑗, 𝑚
⟩
这说明 𝑉
±
|
𝑗, 𝑚
⟩
是 𝐽
𝑧
的本征态, 本征值是 𝑚 ± 1. 注意对于 𝐽
𝑧
而言, 不同的 𝑗 是简并的, 所以
𝑉
±
|
𝑗, 𝑚
⟩
=
Õ
𝑗
′
𝐶
𝑗
′
|
𝑗
′
, 𝑚 ± 1
⟩
除非有 𝑉
±
与 𝐽
2
对易, 否则不能保证 𝑉
±
作用到
|
𝑗, 𝑚
⟩
不会得到别的 𝑗
′
本征态. 不过这还是一个有用的
信息
⟨
𝑗
′
, 𝑚
′
|
𝑉
±
|
𝑗, 𝑚
⟩
= 𝐶
𝑗
′
𝛿
𝑚
′
,𝑚±1
因此 𝑚
′
≠ 𝑚 ± 1 时, 有
⟨
𝑗
′
, 𝑚
′
|
𝑉
±
|
𝑗, 𝑚
⟩
= 0
既然它们不可能是块对角的, 那么退而求其次希望得到它们在 𝑗 子空间的矩阵. 利用
[𝐽
+
, 𝑉
+
] = 0
得到
⟨
𝑗, 𝑚 + 2
|
𝐽
+
𝑉
+
|
𝑗, 𝑚
⟩
=
⟨
𝑗, 𝑚 + 2
|
𝑉
+
𝐽
+
|
𝑗, 𝑚
⟩
希望得到 𝑉
+
的矩阵元, 因而插入完备性关系
Õ
𝑗
′
,𝑚
′
|
𝑗
′
, 𝑚
′
⟩ ⟨
𝑗
′
, 𝑚
′
|
= I
得到
⟨
𝑗, 𝑚 + 2
|
𝐽
+
Õ
𝑗
′
,𝑚
′
|
𝑗
′
, 𝑚
′
⟩ ⟨
𝑗
′
, 𝑚
′
|
!
𝑉
+
|
𝑗, 𝑚
⟩
=
⟨
𝑗, 𝑚 + 2
|
𝑉
+
Õ
𝑗
′
,𝑚
′
|
𝑗
′
, 𝑚
′
⟩ ⟨
𝑗
′
, 𝑚
′
|
!
𝐽
+
|
𝑗, 𝑚
⟩
鉴于
⟨
𝑗, 𝑚 + 2
|
𝐽
+
|
𝑗
′
, 𝑚
′
⟩
≠ 0 ⇒ 𝑗
′
= 𝑗, 𝑚
′
= 𝑚 + 1
⟨
𝑗
′
, 𝑚
′
|
𝐽
+
|
𝑗, 𝑚
⟩
≠ 0 ⇒ 𝑗
′
= 𝑗, 𝑚
′
= 𝑚 + 1
因此上式左右两边的求和都只有一个非零项, 得到
⟨
𝑗, 𝑚 + 2
|
𝐽
+
|
𝑗, 𝑚 + 1
⟩ ⟨
𝑗, 𝑚 + 1
|
𝑉
+
|
𝑗, 𝑚
⟩
=
⟨
𝑗, 𝑚 + 2
|
𝑉
+
|
𝑗, 𝑚 + 1
⟩ ⟨
𝑗, 𝑚 + 1
|
𝐽
+
|
𝑗, 𝑚
⟩
可以写成一个更好看的等比例递推形式
⟨
𝑗, 𝑚 + 1
|
𝑉
+
|
𝑗, 𝑚
⟩
⟨
𝑗, 𝑚 + 1
|
𝐽
+
|
𝑗, 𝑚
⟩
=
⟨
𝑗, 𝑚 + 2
|
𝑉
+
|
𝑗, 𝑚 + 1
⟩
⟨
𝑗, 𝑚 + 2
|
𝐽
+
|
𝑗, 𝑚 + 1
⟩
注意到前面还得到了
⟨
𝑗, 𝑚
|
𝑉
+
|
𝑗
′
, 𝑚
′
⟩
=
⟨
𝑗, 𝑚
|
𝐽
+
|
𝑗
′
, 𝑚
′
⟩
= 0, 𝑚 ≠ 𝑚
′
+ 1
那么若是记等比系数为 𝛼
+
(𝑗), 就可以统一写为
⟨
𝑗, 𝑚
|
𝑉
+
|
𝑗, 𝑚
′
⟩
= 𝛼
+
(𝑗)
⟨
𝑗, 𝑚
|
𝐽
+
|
𝑗, 𝑚
′
⟩
类似地利用 𝐽
−
同样可以得到
⟨
𝑗, 𝑚
|
𝑉
−
|
𝑗, 𝑚
′
⟩
= 𝛼
−
(𝑗)
⟨
𝑗, 𝑚
|
𝐽
−
|
𝑗, 𝑚
′
⟩
不过 𝛼
+
(𝑗), 𝛼
−
(𝑗) 的关系还未知. 利用 [𝐽
−
, 𝑉
+
] = −2ℏ𝑉
𝑧
−2ℏ
⟨
𝑗, 𝑚
|
𝑉
𝑧
|
𝑗, 𝑚
⟩
=
⟨
𝑗, 𝑚
|
𝐽
−
𝑉
+
|
𝑗, 𝑚
⟩
−
⟨
𝑗, 𝑚
|
𝑉
+
𝐽
−
|
𝑗, 𝑚
⟩
利用 𝐽
†
+
= 𝐽
−
, 计算得到
−2ℏ
⟨
𝑗, 𝑚
|
𝑉
𝑧
|
𝑗, 𝑚
⟩
= ℏ
p
𝑗 (𝑗 + 1) − 𝑚(𝑚 + 1)
⟨
𝑗, 𝑚 + 1
|
𝑉
+
|
𝑗, 𝑚
⟩
− ℏ
p
𝑗 (𝑗 + 1) − 𝑚(𝑚 − 1)
⟨
𝑗, 𝑚
|
𝑉
−
|
𝑗, 𝑚 − 1
⟩
再利用前面得到的
⟨
𝑗, 𝑚
|
𝑉
+
|
𝑗, 𝑚
′
⟩
= 𝛼
+
(𝑗)
⟨
𝑗, 𝑚
|
𝐽
+
|
𝑗, 𝑚
′
⟩
进行些许的计算就能消去 𝑉
+
与 𝐽
+
得到
⟨
𝑗, 𝑚
|
𝑉
𝑧
|
𝑗, 𝑚
⟩
= 𝑚ℏ𝛼
+
(𝑗)
类似地利用 [𝐽
+
, 𝑉
−
] = 2ℏ𝑉
𝑧
可以得到
⟨
𝑗, 𝑚
|
𝑉
𝑧
|
𝑗, 𝑚
⟩
= 𝑚ℏ𝛼
−
(𝑗)
这说明两个系数应该相等, 将其统一记为 𝛼(𝑗). 上面的计算结果即为
⟨
𝑗, 𝑚
|
𝑉
𝑧
|
𝑗, 𝑚
⟩
= 𝑚ℏ𝛼(𝑗) = 𝛼(𝑗)
⟨
𝑗, 𝑚
|
𝐽
𝑧
|
𝑗, 𝑚
⟩
又鉴于
⟨
𝑗, 𝑚
|
𝑉
𝑧
|
𝑗
′
, 𝑚
′
⟩
=
⟨
𝑗, 𝑚
|
𝐽
𝑧
|
𝑗
′
, 𝑚
′
⟩
= 0, 𝑚 ≠ 𝑚
′
不妨统一记为
⟨
𝑗, 𝑚
|
𝑉
𝑧
|
𝑗, 𝑚
′
⟩
= 𝛼(𝑗)
⟨
𝑗, 𝑚
|
𝐽
𝑧
|
𝑗, 𝑚
′
⟩
再加上更前面得到的
⟨
𝑗, 𝑚
|
𝑉
±
|
𝑗, 𝑚
′
⟩
= 𝛼(𝑗)
⟨
𝑗, 𝑚
|
𝐽
±
|
𝑗, 𝑚
′
⟩
进一步结合就得到了
⟨
𝑗, 𝑚
|
V
|
𝑗, 𝑚
′
⟩
= 𝛼(𝑗)
⟨
𝑗, 𝑚
|
J
|
𝑗, 𝑚
′
⟩
这说明在 𝑗 子空间中, 向量算子 V ∝ J
为了计算 𝛼(𝑗 ), 利用 𝑗 子空间的投影算子
Π
𝑗
=
Õ
𝑚
|
𝑗, 𝑚
⟩ ⟨
𝑗, 𝑚
|
V 在 𝑗 子空间的矩阵就是
V
𝑗
= Π
𝑗
V Π
𝑗
根据上面的讨论, 它应当是 J 的 𝛼(𝑗 ) 倍
Π
𝑗
V Π
𝑗
= 𝛼(𝑗)Π
𝑗
JΠ
𝑗
利用
[𝐽
𝑧
, Π
𝑗
]
|
𝑗, 𝑚
⟩
= 0, [𝐽
±
, Π
𝑗
]
|
𝑗, 𝑚
⟩
= 0
可以得到投影算子与角动量算子对易
[J, Π
𝑗
] = 0
由于显然有 Π
2
𝑗
= Π
𝑗
, 那么上面的比例关系可以进一步化简为
Π
𝑗
V Π
𝑗
= 𝛼(𝑗)Π
𝑗
J = 𝛼(𝑗)J Π
𝑗
注意到
𝐽
2
Π
𝑗
=
Õ
𝑚
𝐽
2
|
𝑗, 𝑚
⟩ ⟨
𝑗, 𝑚
|
=
Õ
𝑚
𝑗 (𝑗 + 1)ℏ
2
|
𝑗, 𝑚
⟩ ⟨
𝑗, 𝑚
|
= 𝑗 (𝑗 + 1)ℏ
2
Π
𝑗
欲得到 𝛼(𝑗 ), 只需要计算一个点乘
J · (Π
𝑗
V Π
𝑗
) = 𝛼(𝑗)J · (J Π
𝑗
) = 𝛼(𝑗 )J
2
Π
𝑗
= 𝑗 (𝑗 + 1)ℏ
2
𝛼(𝑗 )Π
𝑗
又由于 J 与 Π
𝑗
对易, 可以交换顺序
J · (Π
𝑗
V Π
𝑗
) = Π
𝑗
(J · V )Π
𝑗
因此对于 𝑗 子空间中的任意态
|
𝜓
⟩
, 有
⟨
𝜓
|
J · V
|
𝜓
⟩
= 𝑗 (𝑗 + 1)ℏ
2
𝛼(𝑗 )
这说明在 𝑗 子空间中有
V =
⟨
J · V
⟩
𝑗
𝑗 (𝑗 + 1)ℏ
2
J
