1 简并
假定系统存在简并, 本征值 𝐴
𝑖
对应 𝑔
𝑖
个本征矢
𝐴
𝜑
𝑖𝜇
= 𝑎
𝑖
𝜑
𝑖𝜇
, 𝜇 = 1, 2, · · · , 𝑔
𝑖
本征矢之间依然是正交归一的
𝜑
𝑖𝜇
|𝜑
𝑗𝜈
= 𝛿
𝑖 𝑗
𝛿
𝜇𝜈
那么整个态空间可以视为多个子空间的直和
ℋ = ℋ
𝑎
1
⊕ ℋ
𝑎
2
⊕ · · ·
同样可以定义投影算子
Π
𝑖,𝜇
=
𝜑
𝑖𝜇
𝜑
𝑖𝜇
将其作用到态上将会得到态在
𝜑
𝑖𝜇
上的投影. 也可以得到态在某个子空间的投影
𝟙
𝑎
𝑖
=
𝑔
𝑖
Õ
𝜇=1
Π
𝑖,𝜇
=
𝑔
𝑖
Õ
𝜇=1
𝜑
𝑖𝜇
𝜑
𝑖𝜇
如果将全部子空间的投影算子相加, 那么就是单位算子
Õ
𝑖,𝜇
Π
𝑖,𝜇
=
Õ
𝑖
𝟙
𝑎
𝑖
= 𝟙
2 简并量子态的测量
考虑测量简并的态
𝐴
𝜑
𝑖𝜇
= 𝑎
𝑖
𝜑
𝑖𝜇
, 𝜇 = 1, 2, · · · , 𝑔
𝑖
对于无简并的情况, 测量后态将会塌缩到测量结果对应的本征态上; 此处加以推广: 测量后态将会塌缩到
测量结果对应的子空间上. 可以设测量得到本征值 𝑎
𝑖
, 其子空间的投影算符为
𝕄
𝑖
=
𝑔
𝑖
Õ
𝜇=1
Π
𝑖,𝜇
=
𝑔
𝑖
Õ
𝜇=1
𝜑
𝑖𝜇
𝜑
𝑖𝜇
如果用密度矩阵 𝜌 表示量子态
|
𝜓
⟩
, 那么测量得到结果 𝑎
𝑖
的概率为
𝑝
𝑖
= 𝑇𝑟 (𝕄
𝑖
𝜌)
测量后的密度矩阵为
𝕄
𝑖
𝜌𝕄
𝑖
𝑇𝑟 (𝕄
𝑖
𝜌)
若测量是非选择的, 考虑所有的测量结果, 那么测量后的密度矩阵为
Õ
𝑖
𝕄
𝑖
𝜌𝕄
𝑖
这是因为每个测量结果的密度矩阵概率为 𝑇𝑟 (𝕄
𝑖
𝜌), 与分母消掉了
简并子空间的基有多种取法, 实际上子空间内基的选择不会影响测量结果. 这是因为对于所有可能的基的
选择
𝛼
𝑖,1
,
𝛼
𝑖,2
, · · · ,
𝛼
𝑖,𝑔
𝑖
都有
𝑔
𝑖
Õ
𝜇=1
𝛼
𝑖,𝜇
𝛼
𝑖,𝜇
= 𝟙
𝑎
𝑖
给定这组基的前提下, 有
𝟙
𝑎
𝑖
=
0
.
.
.
0
1
.
.
.
1
𝑔
𝑖
×𝑔
𝑖
0
.
.
.
0
无论如何选择基, 都不会改变投影到子空间的结果和对应的概率
