直积空间
目录
1 直积空间 2
2 算符的直积 3
3 直积的运算 4
3.1 直积向量的运算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.2 直积算符的运算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4 约化密度矩阵 7
5 可分离态与纠缠态 7
6 酉变换 8
7 测量 9
7.1 定域测量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
7.2 联合测量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1
1 直积空间
假定有两个有限维的复空间
ℋ
𝐴
= ℂ
𝑁
, ℋ
𝐵
= ℂ
𝑀
设它们各自有基向量
|
𝑖
⟩
, 𝑖 = 1, 2, ··· , 𝑁,
|
𝜇
⟩
, 𝜇 = 1, 2, ··· , 𝑀
如果将两个空间一起考虑, 确定系统的状态需要知道两个空间中的状态, 可以由此定义直积
|
𝑖
⟩
⊗
|
𝜇
⟩
=
|
𝑖
⟩ |
𝜇
⟩
=
|
𝑖𝜇
⟩
表示系统由
|
𝑖
⟩
和
|
𝜇
⟩
共同描述. 一个直积的例子是两个自旋 1/2 粒子的态空间, 它有四种可能的状态
1.
|
↑↑
⟩
: 两个粒子都处于自旋向上的态
2.
|
↑↓
⟩
: 一个粒子处于自旋向上的态, 另一个处于自旋向下的态
3.
|
↓↑
⟩
: 一个粒子处于自旋向下的态, 另一个处于自旋向上的态
4.
|
↓↓
⟩
: 两个粒子都处于自旋向下的态
整个系统的状态由两个粒子的状态共同描述. 由此可以得到直积空间, 它的维数是两个空间维数的乘积
ℋ
𝐴
⊗ ℋ
𝐵
这也是一个线性空间, 并且它是 𝑁 × 𝑀 维的, 存在 𝑁 × 𝑀 个基向量
|
𝑖𝜇
⟩
, 𝑖 = 1, 2, ··· , 𝑁, 𝜇 = 1, 2, ··· , 𝑀
有 Schmidt 分解定理
对于任意一个态
|
𝜓
⟩
∈ ℋ
𝐴
⊗ ℋ
𝐵
, 都可以找到 ℋ
𝐴
和 ℋ
𝐵
中的正交基 {
|
𝑒
𝑖
⟩
} 和 {
𝑓
𝜇
}, 使得
|
𝜓
⟩
=
Õ
𝑘
𝑑
𝑘
|
𝑒
𝑘
𝑓
𝑘
⟩
𝑑
𝑘
≥ 0
它的证明非常简单, 显然直积空间 ℋ
𝐴
⊗ ℋ
𝐵
中的任何向量都可以表示为
|
𝜓
⟩
=
Õ
𝑖, 𝜇
𝑐
𝑖𝜇
|
𝑒
𝑖
⟩
𝑓
𝜇
为了考察直积空间与两个子空间的关系, 需要有一个确定的映射将 C
𝑁
与 C
𝑀
中态的坐标映射到直积空
间中 C
𝑁
⊗ C
𝑀
态的坐标, 简单起见, 不妨规定
|
𝜓
⟩
=
|
00
⟩ |
01
⟩
···
|
0𝑀
⟩ |
10
⟩
···
|
𝑁 𝑀
⟩
©
«
𝑐
00
𝑐
01
.
.
.
𝑐
0𝑀
𝑐
10
.
.
.
𝑐
𝑁 𝑀
ª
®
®
®
®
®
®
®
®
®
®
®
®
®
®
¬
对于每个 C
𝑁
中的基矢量, 枚举 C
𝑀
中的基矢量, 依此顺序对 C
𝑁
⊗ C
𝑀
中的基矢量排序. 依照此规则, 实
际上如果有
|
𝜓
𝐴
⟩
=
©
«
𝑎
1
𝑎
2
.
.
.
𝑎
𝑁
ª
®
®
®
®
®
®
¬
,
|
𝜓
𝐵
⟩
=
©
«
𝑏
1
𝑏
2
.
.
.
𝑏
𝑀
ª
®
®
®
®
®
®
¬
那么
|
𝜓
𝐴
⟩
⊗
|
𝜓
𝐵
⟩
=
©
«
𝑎
1
|
𝜓
𝐵
⟩
𝑎
2
|
𝜓
𝐵
⟩
.
.
.
𝑎
𝑁
|
𝜓
𝐵
⟩
ª
®
®
®
®
®
®
¬
将会得到一个 𝑁 × 𝑀 维的向量. 也因如此,ℋ
𝐴
⊗ ℋ
𝐵
与 ℋ
𝐵
⊗ ℋ
𝐴
是不同的空间
需要区分直积与直和.ℋ
𝐴
⊕ ℋ
𝐵
是一个 𝑁 + 𝑀 维的空间, 直和空间中的坐标为
|
𝜓
⟩
=
|
𝜓
𝐴
⟩
|
𝜓
𝐵
⟩
!
2 算符的直积
考虑两个空间中的两个算符
ˆ
A 和
ˆ
B, 它们作用在各自的基态上可以得到
ˆ
A
|
𝑎
𝑖
⟩
=
Õ
𝑗
𝐴
𝑖 𝑗
𝑎
𝑗
,
ˆ
B
𝑏
𝜇
=
Õ
𝜈
𝐵
𝜇𝜈
|
𝑏
𝜈
⟩
可以定义算符的直积
ˆ
A ⊗
ˆ
B, 它作用在直积空间的向量上, 分别对两个空间中的部分起作用
(
ˆ
A ⊗
ˆ
B)(
|
𝜓
𝐴
⟩
⊗
|
𝜓
𝐵
⟩
) = (
ˆ
A
|
𝜓
𝐴
⟩
) ⊗ (
ˆ
B
|
𝜓
𝐵
⟩
)
注意到直积空间的向量应当有形式
|
𝜓
𝐴
⟩
⊗
|
𝜓
𝐵
⟩
=
©
«
𝑎
1
|
𝜓
𝐵
⟩
𝑎
2
|
𝜓
𝐵
⟩
.
.
.
𝑎
𝑁
|
𝜓
𝐵
⟩
ª
®
®
®
®
®
®
¬
那么
(
ˆ
A
|
𝜓
𝐴
⟩
) ⊗ (
ˆ
B
|
𝜓
𝐵
⟩
) =
©
«
Í
𝑗
𝐴
1 𝑗
𝑎
1
ˆ
B
|
𝜓
𝐵
⟩
Í
𝑗
𝐴
2 𝑗
𝑎
2
ˆ
B
|
𝜓
𝐵
⟩
.
.
.
Í
𝑗
𝐴
𝑁 𝑗
𝑎
𝑁
ˆ
B
|
𝜓
𝐵
⟩
ª
®
®
®
®
®
®
¬
那么
ˆ
A ⊗
ˆ
B 应当可以写为
ˆ
A ⊗
ˆ
B =
©
«
𝐴
11
ˆ
B 𝐴
12
ˆ
B ··· 𝐴
1𝑁
ˆ
B
𝐴
21
ˆ
B 𝐴
22
ˆ
B ··· 𝐴
2𝑁
ˆ
B
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
𝐴
𝑁 1
ˆ
B 𝐴
𝑁 2
ˆ
B
···
𝐴
𝑁 𝑁
ˆ
B
ª
®
®
®
®
®
®
¬
也因如此, 矩阵的直积需要与直积空间匹配. 在 ℋ
𝐴
⊗ℋ
𝐵
中, 矩阵的直积应当是
ˆ
A ⊗
ˆ
B; 在 ℋ
𝐵
⊗ℋ
𝐴
中,
矩阵的直积应当是
ˆ
B ⊗
ˆ
A
如果只希望对
|
𝜓
𝐴
⟩
施加
ˆ
A 算符而保持
|
𝜓
𝐵
⟩
不变, 直积空间的算符应当是
ˆ
A ⊗ 𝟙
𝐵
同样地, 如果只希望对
|
𝜓
𝐵
⟩
施加
ˆ
B 算符而保持
|
𝜓
𝐴
⟩
不变, 直积空间的算符应当是
𝟙
𝐴
⊗
ˆ
B
这两个算符分别作用在各自的子空间, 不影响另一个子空间的状态, 因而它们自然是对易的
[
ˆ
A ⊗ 𝟙
𝐵
, 𝟙
𝐴
⊗
ˆ
B] = 0
3 直积的运算
3.1 直积向量的运算
设有两个子空间的基向量组
ℋ
𝐴
: {
|
𝑖
⟩
}, ℋ
𝐵
: {
|
𝜇
⟩
}
直积空间的基向量组为
ℋ
𝐴
⊗ ℋ
𝐵
: {
|
𝑖
⟩
⊗
|
𝜇
⟩
}
直积空间的基向量应当是正交归一的
(
⟨
𝑖
|
⊗
⟨
𝜇
|
)(
|
𝑗
⟩
⊗
|
𝜈
⟩
) =
⟨
𝑖|𝑗
⟩ ⟨
𝜇|𝜈
⟩
两个直积态的内积是两个空间各自内积的乘积
(
⟨
𝜓
𝐴
|
⊗
⟨
𝜓
𝐵
|
)(
|
𝜙
𝐴
⟩
⊗
|
𝜙
𝐵
⟩
) =
⟨
𝜓
𝐴
|𝜙
𝐴
⟩ ⟨
𝜓
𝐵
|𝜙
𝐵
⟩
两个直积态的外积是两个空间各自外积的直积
(
|
𝜓
𝐴
⟩
⊗
|
𝜓
𝐵
⟩
)(
⟨
𝜙
𝐴
|
⊗
⟨
𝜙
𝐵
|
) = (
|
𝜓
𝐴
⟩ ⟨
𝜙
𝐴
|
) ⊗ (
|
𝜓
𝐵
⟩ ⟨
𝜙
𝐵
|
)
3.2 直积算符的运算
如果有两个直积空间中的算符
ˆ
X 和
ˆ
Y , 它们都是由两个子空间上的算符直积得到的
ˆ
X =
ˆ
A ⊗
ˆ
B,
ˆ
Y =
ˆ
C ⊗
ˆ
D
那么显然应当有
ˆ
X
ˆ
Y = (
ˆ
A ⊗
ˆ
B)(
ˆ
C ⊗
ˆ
D) = (
ˆ
A
ˆ
C) ⊗ (
ˆ
B
ˆ
D)
这是因为
ˆ
A 和
ˆ
C 作用在 ℋ
𝐴
上, 而
ˆ
B 和
ˆ
D 作用在 ℋ
𝐵
上, 不同空间上的算符作用应当是互不干扰的
根据前面的讨论, 直积空间中算符具有形式
ˆ
X =
Õ
𝑖 𝑗 𝜇𝜈
𝑋
𝑖 𝑗 𝜇𝜈
|
𝑖𝜇
⟩ ⟨
𝑗 𝜈
|
或
ˆ
X =
Õ
𝑖 𝑗 𝜇𝜈
𝑋
𝑖 𝑗 𝜇𝜈
|
𝑖
⟩ ⟨
𝑗
|
⊗
|
𝜇
⟩ ⟨
𝜈
|
其中
|
𝑖
⟩
和
|
𝑗
⟩
是 ℋ
𝐴
的基向量,
|
𝜇
⟩
和
|
𝜈
⟩
是 ℋ
𝐵
的基向量. 它可以如一般的算符那样进行运算
转置
ˆ
X
𝑇
=
Õ
𝑖 𝑗 𝜇𝜈
𝑋
𝑖 𝑗 𝜇𝜈
|
𝑗 𝜈
⟩ ⟨
𝑖𝜇
|
共轭
ˆ
X
†
=
Õ
𝑖 𝑗 𝜇𝜈
𝑋
∗
𝑖 𝑗 𝜇𝜈
|
𝑖𝜇
⟩ ⟨
𝑗 𝜈
|
求迹
𝑇𝑟 (
ˆ
X) =
Õ
𝑖𝜇
𝑋
𝑖𝜇𝑖 𝜇
注意在上述运算中,
|
𝑖𝜇
⟩
和
|
𝑗 𝜈
⟩
都作为一个整体进行运算,两个空间的基向量顺序不可交换
除了上述的整体运算外, 还可以进行局部运算
部分转置: 只对 ℋ
𝐴
空间或 ℋ
𝐵
空间进行转置
ˆ
X
𝑇
𝐴
=
Õ
𝑖 𝑗 𝜇𝜈
𝑋
𝑖 𝑗 𝜇𝜈
|
𝑗 𝜇
⟩ ⟨
𝑖𝜈
|
=
Õ
𝑖 𝑗 𝜇𝜈
𝑋
𝑗𝑖𝜈 𝜇
|
𝑗
⟩ ⟨
𝑖
|
⊗
|
𝜇
⟩ ⟨
𝜈
|
ˆ
X
𝑇
𝐵
=
Õ
𝑖 𝑗 𝜇𝜈
𝑋
𝑖 𝑗 𝜇𝜈
|
𝑖𝜈
⟩ ⟨
𝑗 𝜇
|
=
Õ
𝑖 𝑗 𝜇𝜈
𝑋
𝑖 𝑗 𝜈 𝜇
|
𝑖
⟩ ⟨
𝑗
|
⊗
|
𝜈
⟩ ⟨
𝜇
|
部分迹: 只对 ℋ
𝐴
空间或 ℋ
𝐵
空间进行迹运算
𝑋
𝐴
= 𝑇𝑟
𝐵
(
ˆ
X) =
Õ
𝑖𝜇
𝑋
𝑖𝜇𝑖 𝜇
|
𝑖
⟩ ⟨
𝑗
|
𝑋
𝐵
= 𝑇𝑟
𝐴
(
ˆ
X) =
Õ
𝑗𝜈
𝑋
𝑗𝜈 𝑗𝜈
|
𝜇
⟩ ⟨
𝜈
|
总的迹相当于求两次迹
𝑇𝑟 (
ˆ
X) = 𝑇𝑟
𝐴
(𝑇𝑟
𝐵
(
ˆ
X)) = 𝑇𝑟
𝐵
(𝑇𝑟
𝐴
(
ˆ
X))
需要注意的是, 由于部分迹是一个矩阵, 一般而言部分迹的乘法可交换不再成立
𝑇𝑟
𝐴
(𝑋𝑌) ≠ 𝑇𝑟
𝐴
(𝑌 𝑋)
不过若是两个算子有一个是求迹子空间的局部算子, 则迹是可交换的
𝑇𝑟
𝐴
[(𝑋 ⊗ 𝟙
𝐵
)𝑌] = 𝑇𝑟
𝐴
[𝑌 (𝑋 ⊗ 𝟙
𝐵
)]
证明只需要将 𝑌 展开为 ℋ
𝐴
和 ℋ
𝐵
上算符的直积
𝑇𝑟
𝐴
[
𝑋 (𝐴 ⊗ 𝟙
𝐵
)
]
=
Õ
𝜇𝜈
𝑇𝑟
𝐴
𝑋
𝜇𝜈
⊗
|
𝜇
⟩ ⟨
𝜈
|
(𝐴 ⊗ 𝟙
𝐵
)
=
Õ
𝜇𝜈
𝑇𝑟
𝐴
[
𝑋
𝜇𝜈
𝐴
⊗
|
𝜇
⟩ ⟨
𝜈
|
]
=
Õ
𝜇𝜈
𝑇𝑟
𝑋
𝜇𝜈
𝐴
|
𝜇
⟩ ⟨
𝜈
|
而 𝑇𝑟
𝑋
𝜇𝜈
𝐴
= 𝑇𝑟
𝐴𝑋
𝜇𝜈
, 这意味着
𝑇𝑟
𝐴
[
𝑋 (𝐴 ⊗ 𝟙
𝐵
)
]
= 𝑇𝑟
𝐴
[
(𝐴 ⊗ 𝟙
𝐵
)𝑋
]
即完成了证明
4 约化密度矩阵
直积空间的密度矩阵定义与一般的密度矩阵相同, 只是基换为了直积空间的基
ˆρ =
Õ
𝑖 𝑗 𝜇𝜈
𝜌
𝑖𝜇 𝑗𝜈
|
𝑖𝜇
⟩ ⟨
𝑗 𝜈
|
=
Õ
𝑖 𝑗 𝜇𝜈
𝜌
𝑖𝜇 𝑗𝜈
|
𝑖
⟩ ⟨
𝑗
|
⊗
|
𝜇
⟩ ⟨
𝜈
|
通过求部分迹可以得到子空间的密度矩阵
ˆρ
𝐴
= 𝑇𝑟
𝐵
(ˆρ) =
Õ
𝑖 𝑗 𝜇
𝜌
𝑖𝜇 𝑗 𝜇
|
𝑖
⟩ ⟨
𝑗
|
ˆρ
𝐵
= 𝑇𝑟
𝐴
(ˆρ) =
Õ
𝜇𝜈𝑖
𝜌
𝑖𝜇𝑖𝜈
|
𝜇
⟩ ⟨
𝜈
|
称其为约化密度矩阵. 一般 ˆρ
𝐴
⊗ ˆρ
𝐵
≠ ˆρ. 约化密度矩阵描述了局部量子态
5 可分离态与纠缠态
能拆成直积形式的密度矩阵是可分离的, 不是纠缠态. 更一般地有可分离态与纠缠态的定义
若量子系统的密度矩阵 𝜌 可以写为以下形式
𝜌 =
Õ
𝑖
𝑝
𝑖
𝜌
𝐴
𝑖
⊗ 𝜌
𝐵
𝑖
, 𝑝
𝑖
≥ 0,
Õ
𝑖
𝑝
𝑖
= 1
则称该量子系统处于可分离态. 否则称为纠缠态
对于纠缠的纯态, 其局部量子态都是混合态
. 这是容易理解的, 在纠缠状态下, 局部系统与其他系统之间
是不可分的, 对一个子系统的观测只能得到一个统计描述
一个例子是贝尔态, 考察
|
Ψ
⟩
=
1
√
2
(
|
00
⟩
+
|
11
⟩
)
其密度矩阵为
ˆρ =
1
2
©
«
1 0 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0
1 0 0 1
ª
®
®
®
®
®
¬
对于子空间 ℋ
𝐴
, 其约化密度矩阵为对 𝐵 求迹
ˆρ
𝐴
= 𝑇𝑟
𝐵
(ˆρ) =
1
2
1 0
0 1
!
这是一个最大混合态
6 酉变换
直积空间的酉变换可以像一般的酉变换那样进行
ˆ
U
†
ˆ
U =
ˆ
U
ˆ
U
†
= 𝟙
直积空间的酉变换还可以是局部的, 如对 ℋ
𝐴
空间的酉变换可以写为
ˆ
U
𝐴
⊗ 𝟙
𝐵
它不会改变 ℋ
𝐵
空间的态. 证明是显然的, 只需要对 ℋ
𝐴
空间求迹即可. 设系统的密度矩阵为 𝜌, 则经过
酉变换后的密度矩阵为
ˆρ
′
=
ˆ
U ˆρ
ˆ
U
†
可以对 ℋ
𝐴
求迹得到 ℋ
𝐵
的约化密度矩阵
ˆρ
𝐵
′
= 𝑇𝑟
𝐴
(
ˆ
U
𝐴
⊗ 𝟙
𝐵
)𝜌(
ˆ
U
𝐴
⊗ 𝟙
𝐵
)
†
ˆ
U
𝐴
⊗ 𝟙
𝐵
是 ℋ
𝐴
空间的局部算子, 因而在对 ℋ
𝐴
求迹时是可交换的
ˆρ
𝐵
′
= 𝑇𝑟
𝐴
(
ˆ
U
𝐴
⊗ 𝟙
𝐵
)𝜌(
ˆ
U
𝐴
⊗ 𝟙
𝐵
)
†
= 𝑇𝑟
𝐴
𝜌(
ˆ
U
𝐴
⊗ 𝟙
𝐵
)
†
(
ˆ
U
𝐴
⊗ 𝟙
𝐵
)
再依照上文直积算符的运算, 有
(
ˆ
U
𝐴
⊗ 𝟙
𝐵
)
†
(
ˆ
U
𝐴
⊗ 𝟙
𝐵
) = (
ˆ
U
𝐴
ˆ
U
𝐴†
) ⊗ 𝟙
𝐵
= 𝟙
因而
𝑇𝑟
𝐴
(
ˆ
U
𝐴
⊗ 𝟙
𝐵
)𝜌(
ˆ
U
𝐴
⊗ 𝟙
𝐵
)
†
= 𝑇𝑟
𝐴
(𝜌)
即完成了证明
7 测量
直积空间的测量可以分为定域测量和整体测量
7.1 定域测量
考虑直积空间 ℋ
𝐴
⊗ ℋ
𝐵
, 若只希望对 ℋ
𝐴
空间进行测量, 则可以定义一个算符
𝐴 ⊗ 𝟙
𝐵
假定算符 𝐴 可以写为基的形式
𝐴 = 𝑎
0
|
𝑎
0
⟩ ⟨
𝑎
0
|
+ 𝑎
1
|
𝑎
1
⟩ ⟨
𝑎
1
|
+ ·· ·
有投影算子
Π
𝑖
=
|
𝑎
𝑖
⟩ ⟨
𝑎
𝑖
|
那么就有直积空间上的投影算子
Π
𝐴𝑖
=
|
𝑎
𝑖
⟩ ⟨
𝑎
𝑖
|
⊗ 𝟙
𝐵
若有直积空间上的量子态
|
Ψ
⟩
,
则测量后得到
𝑎
𝑖
的概率为
𝑃(𝑎
𝑖
) =
⟨
Ψ
|
Π
𝐴𝑖
|
Ψ
⟩
可以设在测量前系统的密度矩阵为 𝜌, 则测量后密度矩阵变为
𝜌
′
=
Õ
𝑖
𝑃(𝑎
𝑖
)Π
𝐴𝑖
𝜌Π
𝐴𝑖
对 ℋ
𝐴
的局部测量不会影响 ℋ
𝐵
的态, 可以求 ℋ
𝐵
的约化密度矩阵
𝜌
𝐵
= 𝑇𝑟
𝐴
(𝜌
′
) =
Õ
𝑖
𝑃(𝑎
𝑖
)𝑇𝑟
𝐴
(𝜌) = 𝑇𝑟
𝐴
(𝜌)
这是由于 Π
𝐴𝑖
是 ℋ
𝐴
的局部算子, 对 ℋ
𝐴
求迹时是可交换的
7.2 联合测量
考虑同时测量 ℋ
𝐴
和 ℋ
𝐵
空间, 可以定义一个算符
𝐴 ⊗ 𝐵
它们分别是两个空间上的局部可观测量, 则有联合的投影算子
Π
𝑖 𝑗
=
|
𝑎
𝑖
⟩ ⟨
𝑎
𝑖
|
⊗
𝑏
𝑗
𝑏
𝑗
考虑直积空间基态被联合投影算子作用的结果
|
𝑎
𝑖
⟩ ⟨
𝑎
𝑖
|
⊗
𝑏
𝑗
𝑏
𝑗
(
|
𝑎
𝑚
⟩
⊗
|
𝑏
𝑛
⟩
) = (
|
𝑎
𝑖
⟩ ⟨
𝑎
𝑖
|𝑎
𝑚
⟩
) ⊗ (
𝑏
𝑗
𝑏
𝑗
|𝑏
𝑛
) = 𝛿
𝑖𝑚
𝛿
𝑗𝑛
|
𝑎
𝑖
⟩
⊗
𝑏
𝑗
那么如果有直积空间上的量子态
|
Ψ
⟩
, 则有测量得到 (𝑎
𝑖
, 𝑏
𝑗
) 的概率为
𝑃(𝑎
𝑖
, 𝑏
𝑗
) =
⟨
Ψ
|
Π
𝑖 𝑗
|
Ψ
⟩
= 𝑇𝑟 (𝜌Π
𝑖 𝑗
)
其中 𝜌 是系统的密度矩阵
考察 𝐴, 𝐵 的” 联合概率”. 考虑先对 𝐴 测量, 测量得到 𝑎
𝑖
的概率为
𝑝(𝑎
𝑖
) = 𝑇𝑟 (𝜌Π
𝑖
⊗ 𝟙
𝐵
)
测量后的密度矩阵为
𝜌
′
=
(Π
𝑖
⊗ 𝟙
𝐵
)𝜌(Π
𝑖
⊗ 𝟙
𝐵
)
𝑝(𝑎
𝑖
)
再对 𝐵 测量, 测量得到 𝑏
𝑗
的概率为
𝑝(𝑏
𝑗
|𝑎
𝑖
) = 𝑇𝑟 [𝜌
′
(𝟙
𝐴
⊗ Π
𝑗
)] =
1
𝑝(𝑎
𝑖
)
𝑇𝑟 [(Π
𝑖
⊗ 𝟙
𝐵
)𝜌(Π
𝑖
⊗ 𝟙
𝐵
)(𝟙
𝐴
⊗ Π
𝑗
)]
联合概率为二者之积
𝑝(𝑎
𝑖
, 𝑏
𝑗
) = 𝑇𝑟 [(Π
𝑖
⊗ 𝟙
𝐵
)𝜌(Π
𝑖
⊗ 𝟙
𝐵
)(𝟙
𝐴
⊗ Π
𝑗
)]
若是对 𝐵 先测量, 再对 𝐴 测量, 则有
𝑝(𝑎
𝑖
, 𝑏
𝑗
) = 𝑇𝑟 [(𝟙
𝐴
⊗ Π
𝑗
)𝜌(𝟙
𝐴
⊗ Π
𝑗
)(Π
𝑖
⊗ 𝟙
𝐵
)]
它们其实是相等的, 这是由于求迹操作中的矩阵乘法是可交换的
𝑇𝑟 [(Π
𝑖
⊗ 𝟙
𝐵
)𝜌(Π
𝑖
⊗ 𝟙
𝐵
)(𝟙
𝐴
⊗ Π
𝑗
)] = 𝑇𝑟 [𝜌(𝟙
𝐴
⊗ Π
𝑗
)(Π
𝑖
⊗ 𝟙
𝐵
)(𝟙
𝐴
⊗ Π
𝑗
)]
而由于直积运算的性质
(𝟙
𝐴
⊗ Π
𝑗
)(Π
𝑖
⊗ 𝟙
𝐵
)(𝟙
𝐴
⊗ Π
𝑗
) = (Π
𝑖
⊗ Π
𝑗
) ⊗ (𝟙
𝐴
⊗ Π
𝑗
) = (Π
𝑖
⊗ Π
2
𝑗
) = (Π
𝑖
⊗ Π
𝑗
)
