电磁场中的带电粒子
目录
1 带电粒子的哈密顿量 2
2 无自旋粒子在匀强磁场中的运动 2
2.1 哈密顿量, 速度算子与机械动量算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2 哈密顿量的代数结构 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.3 Landau 能级与能量本征函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3 规范变换 5
1
1 带电粒子的哈密顿量
已经在理论力学-电磁场下的拉格朗日函数中得到了电磁场中的带电粒子的拉格朗日函数
𝐿 =
1
2
𝑚
𝑞
¤
r
2
+ 𝑞A ·
¤
r − 𝑞𝜑
其中 A 是矢势, 𝜑 是标势. 正则动量由拉格朗日量得到
p =
𝜕𝐿
𝜕
¤
r
= 𝑚
𝑞
¤
r + 𝑞A
进而构造哈密顿量
𝐻 = p ·
¤
r − 𝐿
代入各式得到
𝐻 =
1
2𝑚
𝑞
(
p − 𝑞A
)
2
+ 𝑞𝜑
如果再考虑粒子的磁矩 µ, 得到
𝐻 =
1
2𝑚
𝑞
(
p − 𝑞A
)
2
+ 𝑞𝜑 − µ · B
如果忽略自旋磁矩, 在位置表象下哈密顿量为
𝐻 = −
ℏ
2
2𝑚
𝑞
∇
2
+
𝑖ℏ𝑞
𝑚
𝑞
A · ∇ +
𝑖ℏ𝑞
𝑚
𝑞
∇ · A +
𝑞
2
2𝑚
𝑞
𝐴
2
+ 𝑞𝜑
如果选择 Coulomb 规范, ∇ · A = 0, 则哈密顿量为
𝐻 = −
ℏ
2
2𝑚
𝑞
∇
2
+
𝑖ℏ𝑞
𝑚
𝑞
A · ∇ +
𝑞
2
2𝑚
𝑞
𝐴
2
+ 𝑞𝜑
如果再令磁场是 𝑧 方向的匀强磁场, B = 𝐵e
𝑧
, 则矢势为
A =
1
2
B ×R =
1
2
𝐵(−𝑌, 𝑋, 0)
此时哈密顿量的第二项为
−
𝑞
𝑚
𝑞
A · P = −
𝑞𝐵
2𝑚
𝑞
𝐿
𝑧
这是轨道磁矩与磁场的相互作用
2 无自旋粒子在匀强磁场中的运动
2.1 哈密顿量, 速度算子与机械动量算子
假定粒子没有自旋磁矩, 没有电场, 则哈密顿量为
𝐻 =
1
2𝑚
𝑞
(
P − 𝑞A
)
2
定义速度算子
V =
dR
d𝑡
=
1
𝑖ℏ
[R, 𝐻] =
1
𝑚
𝑞
(
P − 𝑞A
)
再定义机械动量算子
𝚷 = 𝑚
𝑞
V = P − 𝑞A
那么哈密顿量可以写为
𝐻 =
1
2
𝑚
𝑞
V
2
=
1
2𝑚
𝑞
𝚷
2
2.2 哈密顿量的代数结构
假定粒子在 𝑥𝑦 平面上运动, 匀强磁场沿 𝑧 方向, 则按 Coulomb 规范, 矢势为
A =
1
2
𝐵(−𝑌, 𝑋, 0)
哈密顿量写为
𝐻 =
Π
2
𝑥
2𝑚
𝑞
+
Π
2
𝑦
2𝑚
𝑞
计算对易子
[Π
𝑥
, Π
𝑦
] = 𝑖ℏ𝑞𝐵
那么这个哈密顿量就相当像一个一维谐振子
𝐻 =
1
2
(𝑃
02
+ 𝑋
02
), [𝑋
0
, 𝑃
0
] = 𝑖ℏ
令
𝑎
𝑀
=
s
ℏ
|
𝑞
|
𝐵
, 𝜔
𝑐
=
|
𝑞
|
𝐵
𝑚
𝑞
就能发现这样两个守恒量
𝑋
0
= 𝑋 −
𝑉
𝑦
𝜔
𝑐
, 𝑌
0
= 𝑌 +
𝑉
𝑥
𝜔
𝑐
它们满足这样的对易关系
[𝑋
0
, 𝑌
0
] = 𝑖𝑎
𝑀
, [𝐻, 𝑋
0
] = [𝐻, 𝑌
0
] = 0
再加上自然与哈密顿量对易的 𝑧 方向角动量 𝐿
𝑧
, 就有了四个守恒量
𝐻, 𝐿
𝑧
, 𝑋
0
, 𝑌
0
如果用 𝑋
0
, 𝑌
0
代换 𝑋, 𝑌, Π
𝑥
, Π
𝑦
代换 𝑃
𝑥
, 𝑃
𝑦
, 𝐿
𝑧
就可以写为
𝐿
𝑧
= −
ℏ
2𝑎
2
𝑀
𝑋
2
0
+𝑌
2
0
+
𝑎
2
𝑀
2ℏ
Π
2
𝑥
+ Π
2
𝑦
它也具有谐振子的代数结构. 那么仿照谐振子定义产生湮灭算符
𝑎 =
𝑎
𝑀
√
2ℏ
Π
𝑥
−𝑖Π
𝑦
, 𝑎
†
=
𝑎
𝑀
√
2ℏ
Π
𝑥
+𝑖Π
𝑦
, [𝑎, 𝑎
†
] = I
𝑏 =
1
√
2𝑎
𝑀
(
𝑋
0
+𝑖𝑌
0
)
, 𝑏
†
=
1
√
2𝑎
𝑀
(
𝑋
0
−𝑖𝑌
0
)
, [𝑏, 𝑏
†
] = I
那么哈密顿量 𝐻 和角动量 𝐿
𝑧
可以写为
𝐻 = ℏ𝜔
𝑐
𝑎
†
𝑎 +
1
2
, 𝐿
𝑧
= ℏ
𝑎
†
𝑎 − 𝑏
†
𝑏
2.3 Landau 能级与能量本征函数
根据一维谐振子中的讨论, 可以写出哈密顿量的能级
𝐸
𝑛
= ℏ𝜔
𝑐
𝑛 +
1
2
其中 𝑛 是非负整数, 它是 𝑎
†
𝑎 的本征值, 称之为 Landau 能级. 由于 𝐿
𝑧
与 𝐻 对易, 那么它们有共同的本
征矢, 并且 𝑏
†
𝑏 与 𝑎
†
𝑎 也是对易的. 出于 𝑎
†
𝑎 同样的理由, 𝑏
†
𝑏 的本征值也是非负整数, 记为 𝑚. 那么本
征态就由两个量子数 𝑛, 𝑚 确定
|
𝑛, 𝑚
i
𝐿
𝑧
的本征值为
𝑙
𝑧
= ℏ(𝑚 − 𝑛)
可以在位置表象下将 𝑎, 𝑏 算符写为
𝑎 =
1
√
2𝑎
𝑀
−
𝑖
2
(𝑥 − 𝑖𝑦) −𝑖𝑎
2
𝑀
𝜕
𝜕𝑥
−𝑖
𝜕
𝜕𝑦
𝑏 =
1
√
2𝑎
𝑀
1
2
(𝑥 + 𝑖𝑦) −𝑖𝑎
2
𝑀
𝜕
𝜕𝑥
+𝑖
𝜕
𝜕𝑦
晚上梦到一个基态
𝜓
0,0
=
1
√
2𝜋𝑎
𝑀
exp
−
𝑥
2
+
𝑦
2
2𝑎
2
𝑀
可以验证
𝑎𝜓
0,0
= 0, 𝑏𝜓
0,0
= 0
其他的本征态应用升算子作用得到
𝜓
𝑛,𝑚
=
(𝑎
†
)
𝑛
(𝑏
†
)
𝑚
√
𝑛!𝑚!
𝜓
0,0
可以稍加寄蒜
𝜓
𝑛,𝑚
= 𝑐
𝑛,𝑚
exp
−
𝑟
2
4𝑎
2
𝑀
𝑟
𝑎
𝑀
|
𝑚−𝑛
|
𝐿
|
𝑚−𝑛
|
min{𝑛,𝑚}
𝑟
2
2𝑎
2
𝑀
考察基态 𝑛 = 0
𝜓
0,𝑚
=
1
p
2𝜋2
𝑚
𝑚!𝑎
2
𝑀
𝑥 − 𝑖𝑦
𝑎
𝑀
𝑚
exp
−
𝑟
2
4𝑎
2
𝑀
求其概率密度
𝜓
0,𝑚
2
∼ 𝑟
2𝑚
exp
−
𝑟
2
2𝑎
2
𝑀
最大值点为
𝑟
𝑝𝑒𝑎𝑘
=
√
2𝑚𝑎
𝑀
这意味着在面积为 𝑆 的区域内, 密度极大值出现的数目为
𝑚
𝑚𝑎 𝑥
=
𝑆
2𝜋𝑎
2
𝑀
这就是简并度
3 规范变换
电磁学中对势进行规范变换不会改变电磁场
A
0
= A + ∇𝜒, 𝜑
0
= 𝜑 −
𝜕 𝜒
𝜕𝑡
不过对于薛定谔方程
𝑖ℏ
𝜕𝜓
𝜕𝑡
=
1
2𝑚
𝑞
(
−𝑖ℏ∇ − 𝑞A
)
2
𝜓 + 𝑞𝜑𝜓
希望规范变换不改变方程的形式, 还需对波函数加上一个相位
𝜓
0
= exp
𝑖𝑞 𝜒
ℏ
𝜓
这样薛定谔方程就变为
𝑖ℏ
𝜕𝜓
0
𝜕𝑡
=
1
2𝑚
𝑞
(
−𝑖ℏ∇ − 𝑞A
0
)
2
𝜓
0
+ 𝑞𝜑
0
𝜓
0
它与原方程形式相同
在没有电场的情况下考虑下面三个等价的矢势
A
1
= 𝑥𝐵e
𝑦
, A
2
= −𝑦𝐵e
𝑥
, A
3
=
1
2
𝐵(−𝑦e
𝑥
+ 𝑥e
𝑦
)
它们会对应三个不同的哈密顿量
𝐻
1
=
𝑃
2
𝑥
2𝑚
𝑞
+
1
2𝑚
𝑞
𝑃
𝑦
− 𝑞𝐵𝑋
2
𝐻
2
=
𝑃
2
𝑦
2𝑚
𝑞
+
1
2𝑚
𝑞
(
𝑃
𝑥
+ 𝑞𝐵𝑌
)
2
𝐻
3
=
1
2𝑚
𝑞
(
𝑃
𝑥
+ 𝑞𝐵𝑌
)
2
+
1
2𝑚
𝑞
𝑃
𝑦
− 𝑞𝐵𝑋
2
看着它们应该有相似的形式. 令
𝑃 = 𝑃
𝑥
, 𝑄 = 𝑋 −
𝑃
𝑦
𝑞𝐵
则 𝐻
1
可以写为
𝐻
1
=
𝑃
2
2𝑚
𝑞
+
1
2
𝑚
𝑞
𝜔
2
𝑐
𝑄
2
, [𝑃, 𝑄] = 𝑖ℏ
对于 𝐻
2
也一样, 令
𝑃
0
= 𝑃
𝑦
, 𝑄
0
= 𝑌 +
𝑃
𝑥
𝑞𝐵
则 𝐻
2
可以写为
𝐻
2
=
𝑃
02
2𝑚
𝑞
+
1
2
𝑚
𝑞
𝜔
2
𝑐
𝑄
02
, [𝑃
0
, 𝑄
0
] = 𝑖ℏ
对于 𝐻
3
, 令
𝑃
00
= 𝑃
𝑦
−
𝑞𝐵
2
𝑋, 𝑄
00
=
1
2
𝑌 +
𝑃
𝑥
𝑞𝐵
则
𝐻
3
=
𝑃
002
2𝑚
𝑞
+
1
2
𝑚
𝑞
𝜔
2
𝑐
𝑄
002
, [𝑃
00
, 𝑄
00
] = 𝑖ℏ
那么它们都具有共同的谐振子形式, 同样也具有相同的能量本征值
𝐸
𝑛
= ℏ𝜔
𝑐
𝑛 +
1
2
不仅如此, 鉴于
exp
{
−𝑖p
0
· R/ℏ
}
P exp
{
𝑖p
0
· R/ℏ
}
= P + p
0
I
稍加寄蒜, 可以得到
𝐻
3
= 𝑒
𝑖 𝜉 /2
𝐻
2
𝑒
−𝑖 𝜉 /2
= 𝑒
−𝑖 𝜉 /2
𝐻
1
𝑒
𝑖 𝜉 /2
, 𝜉 =
𝑞𝐵𝑥𝑦
ℏ
这意味着它们的本征态也是及其相似的. 假定
𝐻
2
|
𝜓
2
i
= 𝐸
|
𝜓
2
i
那么
𝑒
−𝑖 𝜉 /2
𝐻
1
𝑒
𝑖 𝜉 /2
|
𝜓
2
i
= 𝐸
|
𝜓
2
i
稍加变形即得
𝐻
1
𝑒
𝑖 𝜉 /2
|
𝜓
2
i
= 𝐸 𝑒
𝑖 𝜉 /2
|
𝜓
2
i
这就是 𝐻
1
的本征态