狄拉克符号

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1 左矢, 右矢与内积 3

1.1 右矢 (ket) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 左矢 (bra) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 内积 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 算符 4

2.1 算符 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 本征值和本征矢 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 物理量的本征矢与本征值 6

4.3 内积的矩阵表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.4 本征矢下的矩阵形式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.5 二分之一自旋系统 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5 基的变换 10

1

5.1 基的变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5.2 对角化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5.3 等价物理量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1 左矢, 右矢与内积

1.1 右矢 (ket)

与平常的矢量相同,Ket 也可以进行数乘, 并且乘在左边和右边是一样的

𝑐

|

𝛼

⟩

=

|

⟩

需要注意的是,Ket 所表示的状态只与 Ket 的方向有关, 即𝑐

|

𝛼

⟩

与

1.2 左矢 (bra)

Bra 是 Ket 的共轭, 称为左矢

𝛼

𝐷𝐶

𝛼

|

𝛼

|

𝛼

⟩

+

𝛽

𝐷𝐶

𝛼

|

+

⟨

𝛽

|

𝛽

𝛽

𝐷𝐶

𝛼

𝛼

|

+ 𝑐

𝛽

⟨

𝛽

|

⟨

⟩

⟩

这和普通的矢量内积不同! 若令上式中的 𝛽 → 𝛼, 则有

⟨

𝛼|𝛼

⟩

=

𝛼|𝛼

𝛼|𝛼

⟩

∈ ℝ

并且, 内积应当是” 正定” 的

𝛼|𝛼

≥ 0

当然此时

⟨

|

⟩

=

⟨

𝛼|𝛼

⟩

|

𝛼

⟩

𝛼|𝛼

称为

𝛼

2 算符

2.1 算符

量子力学中的物理量是算符, 它们作用在 Ket 的左边, 作用后得到新的 Ket

𝑋 ·

|

𝛼

⟩

算符相等定义为作用结果相等

|

⟩

|

若对于任意的 Ket 都有

算符还能在右边作用于 Bra得到新的 Bra

⟨

· 𝑋 =

𝛼

|

𝑋

对于每一个算符都存在它的伴随算符 𝑋

𝑋

⟩

𝐷𝐶

↔

⟨

𝛼

𝑋

若一个算符 𝑋 满足

𝑋 = 𝑋

Bra 与 Ket 的乘积也会是一个算符

|

𝛽

⟩

⟨

|

𝛽

|

称为

|

𝛽

⟩

与

⟨

𝛼

|

外积作为算符也是满足结合律的

(

|

𝛽

𝛼

|

|

⟩

𝛽

⟩

· (

⟨

𝛼|𝛾

⟩

)

由此不难得到它的伴随算符

不难得到

𝛽

|

𝑋

|

𝛼

⟩

=

⟨

𝛼

|

|

𝛽

如果 𝑋 是厄米算符, 那么

⟨

𝛽

|

𝑋

𝛼

⟩

|

𝑋

|

𝛽

⟩

2.2 本征值和本征矢

𝐴

|

𝛼

⟩

若

𝛼

满足

𝐴

|

𝛼

⟩

= 𝑎

|

𝛼

⟩

由于

𝑎

|𝑎

的项, 得到组合系数

若

|

𝛼

⟩

是归一化的, 那么上式等于 1, 那么就得到了组合系数的和

𝑎

𝛼

|𝛼

|

) ·

|

𝛼

⟩

=

|

𝛼

⟩ ⟨

𝑎

|𝛼

⟩

= 𝑐

𝛼

发现

⟩

|

, 称其为投影算符, 记为

如前文所述, 投影算符的平方和等于 1

𝛼

Λ

4.1 算符对应的矩阵

⟩ ⟨

|

|

⟩ ⟨

设空间是 𝑁 维的, 那么就有 𝑁

⟨

|

|

𝑎

⟩

. 认为算符 𝑋 对应于一个 𝑁 × 𝑁 的矩阵

𝑋 ∼

𝑋

· · ·

𝑋

.

.

.

.

.

算符 𝑋𝑌 对应的矩阵就是 𝑋 的矩阵与 𝑌 的矩阵相乘

4.2 算符的作用与态对应的向量

考虑算符作用的结果

⟩

= 𝑋

|

𝛼

⟩

希望将其用

𝑎

𝛼

若考虑 𝑋 对应的矩阵,

⟩

,

𝛾

⟩

𝑎

𝑎

.

.

.

,

|

𝑎

|𝛾

𝑎

|𝛾

.

.

.

同样对于行向量

𝛾

=

⟨

|

𝑋

同样在

下展开, 组合系数为

它可以视为行向量

⟨

𝛾|𝑎

· · ·

𝛾|𝑎

=

.

𝑎

也就是