微扰论
目录
1 不含时非简并微扰 2
1.1 能级的修正 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 态矢的修正 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 更高阶修正 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 不含时简并微扰 4
2.1 能级的修正 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 态矢的修正 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3 能级的二阶修正 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1
1 不含时非简并微扰
哈密顿量写为一个主要的部分 𝐻
0
和一个微扰 𝑉 之和
𝐻 = 𝐻
0
+ 𝑉
在无简并的情况下, 设 𝐻
0
的本征态为
|
𝑛
⟩
，本征值为 𝐸
𝑛
. 这是不存在微扰时的情况, 即零阶近似, 因而也
将其写为
𝐻
0
𝑛
(0)
= 𝐸
(0)
𝑛
𝑛
(0)
以 𝐻
0
的本征态为基, 希望求解
𝐻
|
𝑛
⟩
= 𝐸
𝑛
|
𝑛
⟩
1.1 能级的修正
假定有一个高阶修正 𝐸
(1)
𝑛
,
𝑛
(1)
. 注意这里的态矢量不是归一的, 归一的应当是总的态矢量. 一阶修正是
一个一阶的小量, 总的能级和态矢可以写为
𝐸
𝑛
= 𝐸
(0)
𝑛
+ 𝐸
(1)
𝑛
,
|
𝑛
⟩
=
𝑛
(0)
+
𝑛
(1)
需要明确它们的阶数, 它们应当是与微扰 𝑉 同阶的. 原方程即
(𝐻
0
+ 𝑉)
𝑛
(0)
+
𝑛
(1)
= (𝐸
(0)
𝑛
+ 𝐸
(1)
𝑛
)
𝑛
(0)
+
𝑛
(1)
考虑一阶微扰时应当忽略更高阶的小量, 即
𝑉
𝑛
(1)
, 𝐸
(1)
𝑛
𝑛
(1)
它们是二阶小量, 讨论一阶近似时应当忽略. 因此有
𝐻
0
− 𝐸
(0)
𝑛
𝑛
(1)
=
𝐸
(1)
𝑛
− 𝑉
𝑛
(0)
(*)
鉴于此时归一化是没有意义的, 规定高阶修正中不应该含有低阶的部分, 即
𝑛
(0)
𝑛
(1)
= 0
又因为 𝐻
0
作为厄米算符, 有 𝐻
†
0
= 𝐻
0
, 因此
𝑛
(0)
𝐻
0
= 𝐸
(0)
𝑛
𝑛
(0)
. 那么 (∗) 两边左乘
𝑛
(0)
得到
𝐸
(1)
𝑛
=
𝑛
(0)
𝑉
𝑛
(0)
1.2 态矢的修正
为了得到
𝑛
(1)
, 将其展开为零阶近似的线性组合
𝑛
(1)
=
Õ
𝑚≠𝑛
𝑐
𝑚
𝑚
(0)
其中的系数 𝑐
𝑚
只需要用
𝑚
(0)
左乘即可得到
𝑐
𝑚
=
𝑚
(0)
𝑛
(1)
将 (∗) 两边左乘
𝑚
(0)
得到
𝐸
(0)
𝑚
− 𝐸
(0)
𝑛
𝑚
(0)
𝑛
(0)
=
𝑚
(0)
𝑉
𝑛
(0)
因此
𝑛
(1)
=
Õ
𝑚≠𝑛
𝑚
(0)
𝑉
𝑛
(0)
𝐸
(0)
𝑛
− 𝐸
(0)
𝑚
𝑚
(0)
再归一化即可
1.3 更高阶修正
为了得到更高阶的修正, 需要对上面的过程进行推广. 假定已经得到了前 𝑟 阶的修正, 即
𝐸
𝑛
= 𝐸
(0)
𝑛
+ 𝐸
(1)
𝑛
+ · · · + 𝐸
(𝑟 )
𝑛
|
𝑛
⟩
=
𝑛
(0)
+
𝑛
(1)
+ · · · +
𝑛
(𝑟 )
其中量级的关系是
𝐸
(𝑟 )
𝑛
∼ 𝑉
𝑟
,
𝑛
(𝑟 )
∼ 𝑉
𝑟
并且方程
(
𝐻
0
+ 𝑉
)
𝑛
(0)
+
𝑛
(1)
+ · · · +
𝑛
(𝑟 )
=
𝐸
(0)
𝑛
+ 𝐸
(1)
𝑛
+ · · · + 𝐸
(𝑟 )
𝑛
𝑛
(0)
+
𝑛
(1)
+ · · · +
𝑛
(𝑟 )
在 𝑟 阶成立. 考虑 𝑟 + 1 阶的修正, 即希望方程
(
𝐻
0
+ 𝑉
)
𝑛
(0)
+ · · · +
𝑛
(𝑟 )
+
𝑛
(𝑟+1)
=
𝐸
(0)
𝑛
+ · · · + 𝐸
(𝑟 )
𝑛
+ 𝐸
(𝑟+1)
𝑛
𝑛
(0)
+ · · · +
𝑛
(𝑟 )
+
𝑛
(𝑟+1)
在 𝑟 + 1 阶成立. 由于小于等于 𝑟 阶的方程已经成立, 实际上只需要考虑 𝑟 + 1 阶的项. 即
𝐻
0
𝑛
(𝑟+1)
+ 𝑉
𝑛
(𝑟 )
= 𝐸
(𝑟+1)
𝑛
𝑛
(0)
+ 𝐸
(𝑟 )
𝑛
𝑛
(1)
+ · · · + 𝐸
(0)
𝑛
𝑛
(𝑟+1)
(*)
所有的修正都是针对于
𝑛
(0)
的, 因此所有修正项都不应该包含
𝑛
(0)
, 即对于任意的 𝑘 > 0 都应有
𝑛
(0)
𝑛
(𝑘)
= 0
因此上式左乘
𝑛
(0)
得到
𝐸
(𝑟+1)
𝑛
=
𝑛
(0)
𝑉
𝑛
(𝑟 )
同样, 将
𝑛
(𝑟+1)
展开为零阶近似的线性组合
𝑛
(𝑟+1)
=
Õ
𝑚≠𝑛
𝑐
𝑚
𝑚
(0)
其中的系数 𝑐
(𝑟+1)
𝑚
也由
𝑚
(0)
左乘得到
𝑐
(𝑟+1)
𝑚
=
𝑚
(0)
𝑛
(𝑟+1)
在 (∗) 两边左乘
𝑚
(0)
得到
𝐸
(0)
𝑚
𝑚
(0)
𝑛
(𝑟+1)
+
𝑚
(0)
𝑉
𝑛
(𝑟 )
= 𝐸
(𝑟 )
𝑛
𝑚
(0)
𝑛
(1)
+ 𝐸
(𝑟 −1)
𝑛
𝑚
(0)
𝑛
(2)
+ · · · + 𝐸
(0)
𝑛
𝑚
(0)
𝑛
(𝑟+1)
等式右边那一串正是各阶修正的展开系数, 因此上式也写为
𝐸
(0)
𝑚
− 𝐸
(0)
𝑛
𝑐
(𝑟+1)
𝑚
+
𝑚
(0)
𝑉
𝑛
(𝑟 )
= 𝐸
(𝑟 )
𝑛
𝑐
(1)
𝑚
+ 𝐸
(𝑟 −1)
𝑛
𝑐
(2)
𝑚
+ · · · + 𝐸
(1)
𝑛
𝑐
(𝑟 )
𝑚
进而得到 𝑟 + 1 阶的态矢修正
𝑐
(𝑟+1)
𝑚
=
𝑚
(0)
𝑉
𝑛
(𝑟 )
−
𝐸
(𝑟 )
𝑛
𝑐
(1)
𝑚
+ 𝐸
(𝑟 −1)
𝑛
𝑐
(2)
𝑚
+ · · · + 𝐸
(1)
𝑛
𝑐
(𝑟 )
𝑚
𝐸
(0)
𝑚
− 𝐸
(0)
𝑛
2 不含时简并微扰
哈密顿量仍然写为主要部分 𝐻
0
和微扰 𝑉 之和
𝐻 = 𝐻
0
+ 𝑉
不过此时 𝐻
0
的本征态存在简并, 有多个本征态对应于同一个 𝐸
(0)
𝑛
. 假定 𝐸
(0)
𝑛
的简并度为 𝑔
𝑛
, 则 𝐸
𝑛
简并
子空间中取一组正交归一的态矢量作为基
𝐻
0
𝑛
(0)
𝛼
= 𝐸
(0)
𝑛
𝑛
(0)
𝛼
,
D
𝑛
(0)
𝛼
𝑚
(0)
𝛽
E
= 𝛿
𝑚𝑛
𝛿
𝛼𝛽
2.1 能级的修正
一阶修正满足的方程依然与非简并情形相同
𝐻
0
− 𝐸
(0)
𝑛
𝑛
(1)
=
𝐸
(1)
𝑛
− 𝑉
𝑛
(0)
不过此时的
𝑛
(0)
是简并子空间中基的线性组合
𝑛
(0)
=
𝑔
𝑛
Õ
𝛼
𝑐
𝛼
𝑛
(0)
𝛼
那么代入就得到
𝑔
𝑛
Õ
𝛼
𝑐
𝛼
𝐸
(1)
𝑛
− 𝑉
𝑛
(0)
𝛼
=
𝐻
0
− 𝐸
(0)
𝑛
𝑛
(1)
注意到
D
𝑛
(0)
𝛽
𝐻
0
− 𝐸
(0)
𝑛
= 0
那么上式左乘
D
𝑛
(0)
𝛽
得到
𝑔
𝑛
Õ
𝛼
𝑐
𝛼
D
𝑛
(0)
𝛽
𝑉
𝑛
(0)
𝛼
− 𝐸
(1)
𝑛
𝛿
𝛼𝛽
= 0
这是关于 𝑐
𝛼
的齐次方程组, 它已经
和简并的系数没有关系
了. 𝑐
𝛼
自然不能都是零, 因此要求系数矩阵行
列式为零
det
𝑉
𝑖 𝑗
− 𝐸
(1)
𝑛
I
= 0
其中 𝑉
𝑖 𝑗
是一个 𝑔
𝑛
× 𝑔
𝑛
的矩阵, 元素为
𝑉
𝑖 𝑗
=
D
𝑛
(0)
𝑖
𝑉
𝑛
(0)
𝑗
E
这是一个关于 𝐸
(1)
𝑛
的 𝑔
𝑛
次代数方程, 它应当会有 𝑔
𝑛
个根
𝐸
(1)
𝑛1
, 𝐸
(1)
𝑛2
, · · · , 𝐸
(1)
𝑛𝑔
𝑛
由此得到能级的一阶修正, 如果修正项不相等, 则说明出现了能级分裂. 简单起见, 假定所有简并解除
2.2 态矢的修正
鉴于已经解出了 𝐸
(1)
𝑛
, 对于每一个 𝐸
(1)
𝑛𝑥
都可以由方程组得到一组系数
𝑔
𝑛
Õ
𝛼
𝑐
𝛼𝑥
D
𝑛
(0)
𝛽
𝑉
𝑛
(0)
𝛼
− 𝐸
(1)
𝑛𝑥
𝛿
𝛼𝛽
= 0
鉴于一开始赋予 𝑐
𝛼
的物理意义, 这样解的的 𝑐
𝛼𝑥
都是零阶近似的组合系数
𝑛
(0)
𝑥
=
𝑔
𝑛
Õ
𝛼
𝑐
𝛼𝑥
𝑛
(0)
𝛼
它们代替了
𝑛
(0)
𝛼
E
作为基. 这实际上是在简并子空间中对扰动项 𝑉 的对角化, 这是因为如果将系数 𝑐
𝛼𝑥
写为一个列向量, 则上面的方程其矩阵形式为
𝑉
𝑖 𝑗
𝑐
𝛼𝑥
= 𝐸
(1)
𝑛𝑥
𝑐
𝛼𝑥
这说明
𝑐
𝛼𝑥
是 𝑉
𝑖
𝑗 的本征矢
. 如此对每个简并子空间处理, 会得到一组新的完备基矢
𝑛
(0)
𝑥
, 𝑥 = 1, 2, · · · , 𝑔
𝑛
希望计算它们的一阶修正, 即希望求解
𝑛
(1)
𝑥
=
Õ
𝑚, 𝑦
𝑐
𝑚𝑦
𝑚
(0)
𝑦
, 𝑚 = 𝑛与𝑦 = 𝑥不能同时取
求解 𝑐
𝑚𝑦
只需要左乘
D
𝑚
(0)
𝑦
即可. 不同简并子空间的情形是简单的, 由于
𝑛
(0)
𝑥
E
仍然是 𝐻
0
的本征矢, 有
方程
𝐻
0
− 𝐸
(0)
𝑛
𝑛
(1)
𝑥
=
𝐸
(1)
𝑛
− 𝑉
𝑛
(0)
𝑥
左乘
D
𝑚
(0)
𝑦
即可得到系数
𝑐
𝑚𝑦
=
D
𝑚
(0)
𝑦
𝑉
𝑛
(0)
𝑥
E
𝐸
(0)
𝑛
− 𝐸
(0)
𝑚
对于同一简并子空间内的态矢, 由于它们都是 𝐸
(0)
𝑛
的本征矢, 左乘后自然消掉了, 无法得到. 因而考虑利
用二阶修正的方程
𝐻
0
𝑛
(2)
𝑥
+ 𝑉
𝑛
(1)
𝑥
= 𝐸
(0)
𝑛
𝑛
(2)
𝑥
+ 𝐸
(1)
𝑛𝑥
𝑛
(1)
𝑥
+ 𝐸
(2)
𝑛𝑥
𝑛
(0)
𝑥
左乘
D
𝑚
(0)
𝑦
注意到二阶态修正自己消失了, 得到
𝑛
(0)
𝑦
𝑉
𝑛
(1)
𝑥
= 𝐸
(1)
𝑛𝑥
𝑛
(0)
𝑦
𝑛
(1)
𝑥
这种时候就要假装已经把所有的系数都解出来了, 即代入
𝑛
(1)
𝑥
=
Õ
𝑚,𝑧
𝑐
𝑚𝑧
𝑚
(0)
𝑧
, 𝑚 = 𝑛与𝑧 = 𝑥不能同时取
得到
Õ
𝑚,𝑧
𝑛
(0)
𝑦
𝑉
𝑚
(0)
𝑧
𝑐
𝑚𝑧
= 𝐸
(1)
𝑛𝑥
𝑐
𝑛𝑦
𝑚 ≠ 𝑛 的系数 𝑐
𝑚,𝑧
刚才已经算出来了, 需要考察的是 𝑚 = 𝑛 的情况, 即求和
Õ
𝑧
𝑛
(0)
𝑦
𝑉
𝑛
(0)
𝑧
𝑐
𝑛𝑧
注意到
𝑉
𝑖 𝑗
=
D
𝑛
(0)
𝑖
𝑉
𝑛
(0)
𝑗
E
是对角阵, 这是因为
𝑛
(0)
𝑥
E
是 𝑉
𝑖 𝑗
的本征矢. 这意味着
𝑛
(0)
𝑦
𝑉
𝑛
(0)
𝑧
= 0, 𝑦 ≠ 𝑧
因此原求和只有一项
𝑛
(0)
𝑦
𝑉
𝑛
(0)
𝑦
𝑐
𝑛𝑦
这正是 𝐸
(1)
𝑛𝑦
. 所以总的方程就是
Õ
𝑚
≠
𝑛,𝑧
𝑛
(0)
𝑦
𝑉
𝑚
(0)
𝑧
𝑐
𝑚𝑧
+ 𝐸
(1)
𝑛𝑦
𝑐
𝑛𝑦
= 𝐸
(1)
𝑛𝑥
𝑐
𝑛𝑦
此处引用前面计算得到的 𝑐
𝑚𝑧
𝑐
𝑚𝑧
=
D
𝑚
(0)
𝑧
𝑉
𝑛
(0)
𝑥
E
𝐸
(0)
𝑛
− 𝐸
(0)
𝑚
代入即得到 𝑐
𝑛𝑦
𝑐
𝑛𝑦
=
1
𝐸
(1)
𝑛𝑦
− 𝐸
(1)
𝑛𝑥
Õ
𝑚
≠
𝑛,𝑧
1
𝐸
(0)
𝑛
− 𝐸
(0)
𝑚
𝑛
(0)
𝑦
𝑉
𝑚
(0)
𝑧
𝑚
(0)
𝑧
𝑉
𝑛
(0)
𝑥
那么稍加整理, 将态矢的修正写为
𝑛
(1)
𝑥
=
Õ
𝑚, 𝑦
𝑐
𝑚𝑦
𝑚
(0)
𝑦
, 𝑚 = 𝑛与𝑦 = 𝑥不能同时取
𝑐
𝑚𝑦
=
1
𝐸
(0)
𝑛
− 𝐸
(0)
𝑚
𝑚
(0)
𝑦
𝑉
𝑛
(0)
𝑥
𝑚 ≠ 𝑛
1
𝐸
(1)
𝑛𝑦
− 𝐸
(1)
𝑛𝑥
Õ
𝑘≠𝑛,𝑧
1
𝐸
(0)
𝑛
− 𝐸
(0)
𝑘
𝑛
(0)
𝑦
𝑉
𝑘
(0)
𝑧
𝑘
(0)
𝑧
𝑉
𝑛
(0)
𝑥
𝑚 = 𝑛
2.3 能级的二阶修正
考察二阶修正方程
𝐻
0
𝑛
(2)
𝑥
+ 𝑉
𝑛
(1)
𝑥
= 𝐸
(0)
𝑛
𝑛
(2)
𝑥
+ 𝐸
(1)
𝑛𝑥
𝑛
(1)
𝑥
+ 𝐸
(2)
𝑛𝑥
𝑛
(0)
𝑥
为了得到 𝐸
(2)
𝑛𝑥
, 左乘
D
𝑛
(0)
𝑥
, 得到
𝑛
(0)
𝑥
𝑉
𝑛
(1)
𝑥
= 𝐸
(1)
𝑛𝑥
𝑛
(0)
𝑥
𝑛
(1)
𝑥
+ 𝐸
(2)
𝑛𝑥
鉴于
𝑛
(1)
𝑥
E
中不含有
𝑛
(0)
𝑥
E
, 即
𝑛
(0)
𝑥
𝑛
(1)
𝑥
= 0
那么原式即
𝐸
(2)
𝑛𝑥
=
𝑛
(0)
𝑥
𝑉
𝑛
(1)
𝑥
需要代入
𝑛
(1)
𝑥
E
的表达式
𝑛
(1)
𝑥
=
Õ
𝑚, 𝑦
𝑐
𝑚𝑦
𝑚
(0)
𝑦
, 𝑚 = 𝑛与𝑦 = 𝑥不能同时取
得到
𝐸
(2)
𝑛𝑥
=
Õ
𝑚, 𝑦
𝑐
𝑚𝑦
𝑛
(0)
𝑥
𝑉
𝑚
(0)
𝑦
, 𝑚 = 𝑛与𝑦 = 𝑥不能同时取
注意到同样由于对角阵有
𝑛
(0)
𝑥
𝑉
𝑚
(0)
𝑦
= 0, 𝑥 ≠ 𝑦, 𝑚 = 𝑛
所以
𝐸
(2)
𝑛𝑥
=
Õ
𝑚≠𝑛,𝑦
𝑐
𝑚𝑦
𝑛
(0)
𝑥
𝑉
𝑚
(0)
𝑦
鉴于
𝑐
𝑚𝑦
=
1
𝐸
(0)
𝑛
− 𝐸
(0)
𝑚
𝑚
(0)
𝑦
𝑉
𝑛
(0)
𝑥
, 𝑚 ≠ 𝑛
代入即得到
𝐸
(2)
𝑛𝑥
=
Õ
𝑚≠𝑛,𝑦
1
𝐸
(0)
𝑛
− 𝐸
(0)
𝑚
𝑚
(0)
𝑦
𝑉
𝑛
(0)
𝑥
2
