塞曼效应
目录
1 匀强磁场中氢原子的哈密顿量 2
2 正常塞曼效应 2
3 无自旋-轨道耦合的塞曼效应 3
4 自旋-轨道耦合下的塞曼效应 4
4.1 弱场 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4.2 强场 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4.3 一般情况 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1
1 匀强磁场中氢原子的哈密顿量
考虑自旋的情形, 氢原子在匀强磁场中的哈密顿量为
𝐻 =
1
2𝜇
(
P − 𝑞A
)
2
−
𝑞
2
4𝜋𝜖
0
𝑅
− M
𝑒
· B
这相比电磁场中的带电粒子文中增加了自旋磁矩和来自质子的电场势. 其中 M
𝑒
是自旋磁矩
M
𝑒
=
𝑞
𝜇
S
简单起见设磁场方向为 𝑧 方向 (反正坐标系可以任意选取), 再选取 Coulomb 规范
B = 𝐵e
𝑧
, A =
1
2
B × R
代入哈密顿量得到
𝐻 =
𝑃
2
2𝜇
−
𝑞
2𝜇
(A · P + P · A) +
𝑞
2
2𝜇
𝐴
2
−
𝑞
2
4𝜋𝜖
0
𝑅
−
𝑞
𝜇
S · B
鉴于
A · P − P · A = [ 𝐴
𝑥
, 𝑃
𝑥
] + [𝐴
𝑦
, 𝑃
𝑦
] + [𝐴
𝑧
, 𝑃
𝑧
] =
𝜕 𝐴
𝑥
𝜕𝑥
𝑖ℏ +
𝜕 𝐴
𝑦
𝜕𝑦
𝑖ℏ +
𝜕 𝐴
𝑧
𝜕𝑧
𝑖ℏ = −𝑖ℏ∇ · A
在 Coulomb 规范下 ∇ · A = 0, 因此
𝐻 =
𝑃
2
2𝜇
−
𝑞
𝜇
A · P +
𝑞
2
2𝜇
𝐴
2
−
𝑞
2
4𝜋𝜖
0
𝑅
−
𝑞
𝜇
S · B
代入 A 得到
A · P =
1
2
(B × R) · P
鉴于混合积的顺序可以轮换, 那么
A · P =
1
2
B · (R × P ) =
1
2
B · L
再代入沿 𝑧 方向的磁场 B = 𝐵e
𝑧
得到
𝐻 =
𝑃
2
2𝜇
−
𝑞𝐵
2𝜇
𝐿
𝑧
+
𝑞
2
𝐵
2
8𝜋𝜖
0
𝜇
𝑋
2
+ 𝑌
2
−
𝑞
2
4𝜋𝜖
0
𝑅
−
𝑞𝐵
𝜇
𝑆
𝑧
2 正常塞曼效应
注意到 𝐴
2
项
𝑞
2
𝐵
2
8𝜋𝜖
0
𝜇
𝑋
2
+ 𝑌
2
一半比较小, 可以忽略; 如果再不考虑自旋, 则为正常 Zeeman 效应. 以微扰论的方法求解, 未受扰的哈
密顿量为
𝐻
0
=
𝑃
2
2𝜇
−
𝑞
2
4𝜋𝜖
0
𝑅
这就是正常的氢原子哈密顿量, 其本征态已知
𝐻
0
|
𝑛, 𝑙, 𝑚
𝑙
⟩
= 𝐸
(0)
𝑛
|
𝑛, 𝑙, 𝑚
𝑙
⟩
另有一个微扰项
𝑉 = −
𝑞𝐵
2𝜇
𝐿
𝑧
希望求解能级的一阶修正, 这属于存在简并的情况, 考察 𝐸
𝑛
简并子空间
⟨
𝑛, 𝑙, 𝑚
𝑙
|
𝑉
𝑛, 𝑙
′
, 𝑚
′
𝑙
= −
𝑞𝐵
2𝜇
⟨
𝑛, 𝑙, 𝑚
𝑙
|
𝐿
𝑧
𝑛, 𝑙
′
, 𝑚
′
𝑙
= −
𝑞𝐵
2𝜇
𝑚
𝑙
ℏ𝛿
𝑙𝑙
′
𝛿
𝑚
𝑙
𝑚
′
𝑙
这意味着简并子空间中的扰动项矩阵是对角的, 并且对角元是
𝑉
𝑖𝑖
= −
𝑞𝐵
2𝜇
𝑚
𝑙
ℏ
能级的一阶修正应该满足的方程是
det
𝑉
𝑖 𝑗
− 𝐸
(1)
𝑛
I
= 0
对于对角的 𝑉
𝑖 𝑗
, 解是显然的
𝐸
(1)
𝑛,𝑙,𝑚
𝑙
= −
𝑞𝐵
2𝜇
𝑚
𝑙
ℏ
那么磁量子数的 2𝑙 + 1 重简并解除, 不过不同的 𝑙 仍然维持简并
3 无自旋-轨道耦合的塞曼效应
如果不考虑自旋-轨道耦合, 那么哈密顿量为
𝐻 =
𝑃
2
2𝜇
−
𝑞
2
4𝜋𝜖
0
𝑅
−
𝑞𝐵
2𝜇
𝐿
𝑧
−
𝑞𝐵
𝜇
𝑆
𝑧
鉴于自旋与位置表象分属两个空间, 它们自然是对易的. 扰动项是
𝑉 = −
𝑞𝐵
2𝜇
(𝐿
𝑧
+ 2𝑆
𝑧
)
扰动项依旧维持对角形式, 进而一阶修正是容易得到的
𝐸
(1)
𝑛,𝑙,𝑚
𝑙
,𝑚
𝑠
= −
𝑞𝐵
2𝜇
(𝑚
𝑙
+ 2𝑚
𝑠
)ℏ
也可以在总角动量表象下求解. 在角动量中 Wigner-Eckart 定理的讨论中得到了任意的向量算子 𝑉 在 𝑗
子空间中的矩阵应满足
V =
⟨
V · J
⟩
𝑗
𝑗 ( 𝑗 + 1)ℏ
2
J
而 L 和 S 显然都应该是向量算子, 所以
L =
⟨
L · J
⟩
𝑗
𝑗 ( 𝑗 + 1)ℏ
2
J , S =
⟨
S · J
⟩
𝑗
𝑗 ( 𝑗 + 1)ℏ
2
J
注意到
L · J = 𝐿
2
+
1
2
(𝐽
2
− 𝐿
2
− 𝑆
2
), S · J = 𝑆
2
+
1
2
(𝐽
2
− 𝐿
2
− 𝑆
2
)
因此
⟨
L · J
⟩
𝑛,𝑙,
1
2
, 𝑗
= 𝑙 (𝑙 + 1)ℏ
2
+
ℏ
2
2
𝑗 ( 𝑗 + 1) − 𝑙(𝑙 + 1) −
3
4
⟨
S · J
⟩
𝑛,𝑙,
1
2
, 𝑗
=
3
4
ℏ
2
+
ℏ
2
2
𝑗 ( 𝑗 + 1) − 𝑙(𝑙 + 1) −
3
4
代入得到扰动项在 𝑗 子空间中的矩阵
𝑉 = −
𝑞𝐵
2𝜇
"
3
2
+
3
4
− 𝑙 (𝑙 + 1)
2 𝑗 ( 𝑗 + 1)
#
𝐽
𝑧
定义朗德 𝑔 因子
𝑔
𝑗
=
3
2
+
3
4
− 𝑙 (𝑙 + 1)
2 𝑗 ( 𝑗 + 1)
那么
𝑉 = −
𝑞𝐵
2𝜇
𝑔
𝑗
𝐽
𝑧
所以能级的一阶修正是
𝐸
(1)
𝑛,𝑙,
1
2
, 𝑗,𝑚
𝑗
= −
𝑞𝐵
2𝜇
𝑔
𝑗
𝑚
𝑗
ℏ
此处结果形式上的差别来自于两个表象的变换, 实际上是一致的
4 自旋-轨道耦合下的塞曼效应
如果考虑自旋-轨道耦合, 那么哈密顿量为
𝐻 =
𝑃
2
2𝜇
−
𝑞
2
4𝜋𝜖
0
𝑅
−
𝑞𝐵
2𝜇
(𝐿
𝑧
+ 2𝑆
𝑧
) +
1
2𝜇
2
𝑐
2
𝑒
2
4𝜋𝜖
0
1
𝑅
3
L · S
此处有两个扰动项
𝐻
𝑧
= −
𝑞𝐵
2𝜇
(𝐿
𝑧
+ 2𝑆
𝑧
), 𝐻
𝑆−𝐿
=
1
2𝜇
2
𝑐
2
𝑒
2
4𝜋𝜖
0
1
𝑅
3
L · S
根据它们的大小关系可以分情况讨论
4.1 弱场
如果磁场较弱, 即 𝐻
𝑧
≪ 𝐻
𝑆−𝐿
, 那么可以认为 𝐻
𝑧
是微扰项. 对于这样的未受扰哈密顿量
𝐻
0
=
𝑃
2
2𝜇
−
𝑞
2
4𝜋𝜖
0
𝑅
+ 𝐻
𝑆−𝐿
𝐽
2
, 𝐽
𝑧
与它对易, 而 𝐿
𝑧
, 𝑆
𝑧
与哈密顿量不对易, 所以其本征矢为
𝐻
0
𝑛, 𝑙, 𝑗, 𝑚
𝑗
= 𝐸
(0)
𝑛,𝑙, 𝑗
𝑛, 𝑙, 𝑗, 𝑚
𝑗
其中的 𝐸
(0)
𝑛,𝑙, 𝑗
是在氢原子能级的精细结构中考虑自旋-轨道耦合时的能级一阶修正
不过这不重要. 利用上一节不考虑自旋-轨道耦合的塞曼效应中的扰动项有
𝐻
𝑧
= −
𝑞𝐵
2𝜇
𝑔
𝑗
𝐽
𝑧
, 𝑔
𝑗
=
3
2
+
3
4
− 𝑙 (𝑙 + 1)
2 𝑗 ( 𝑗 + 1)
所以 𝐻
𝑧
在 𝑗 子空间中的矩阵是对角的, 一阶修正就容易得到
𝐸
(1)
𝑛,𝑙, 𝑗 ,𝑚
𝑗
= −
𝑞𝐵
2𝜇
𝑔
𝑗
𝑚
𝑗
ℏ
如果在代入 𝑗 = 𝑙 ±
1
2
, 就进一步得到
𝐸
(1)
𝑗=𝑙±
1
2
= −
𝑞𝐵
2𝜇
𝑙 ±
1
2𝑙 + 1
𝑚
𝑗
ℏ
4.2 强场
如果磁场较强, 即 𝐻
𝑧
≫ 𝐻
𝑆−𝐿
, 那么可以认为 𝐻
𝑆−𝐿
是微扰项. 对于这样的未受扰哈密顿量
𝐻
0
=
𝑃
2
2𝜇
−
𝑞
2
4𝜋𝜖
0
𝑅
+ 𝐻
𝑧
此时 𝐿
𝑧
, 𝑆
𝑧
与哈密顿量对易, 而 𝐽
𝑧
与它不对易, 所以其本征矢为
𝐻
0
|
𝑛, 𝑙, 𝑚
𝑙
, 𝑚
𝑠
⟩
= 𝐸
(0)
𝑛,𝑙,𝑚
𝑙
,𝑚
𝑠
|
𝑛, 𝑙, 𝑚
𝑙
, 𝑚
𝑠
⟩
其中
𝐸
(0)
𝑛,𝑙,𝑚
𝑙
,𝑚
𝑠
= −
𝑞𝐵
2𝜇
(𝑚
𝑙
+ 2𝑚
𝑠
)ℏ
磁场使得不同的 𝑚
𝑙
+ 2𝑚
𝑠
能级简并解除, 依然会有简并的能级. 不过在简并子空间中 L · S 是对角的, 得
到的一阶修正是
𝐸
(1)
𝑛,𝑙,𝑚
𝑙
,𝑚
𝑠
= −
𝑞
2
4𝜋𝜖
0
1
2𝜇
2
𝑐
2
1
𝑅
3
𝑛,𝑙
(𝑚
𝑙
ℏ𝑚
𝑠
ℏ)
4.3 一般情况
如果磁场既不强也不弱, 那么就需要同时考虑两个扰动项
𝑉 = 𝐻
𝑧
+ 𝐻
𝑆−𝐿
更加一般地, 需要考虑
𝑉 = 𝜆 L · S + 𝜉 𝐿
𝑧
+ 𝜂𝑆
𝑧
将 L · S 写为角动量平方算子
𝑉 =
𝜆
2
(𝐽
2
− 𝐿
2
− 𝑆
2
) + 𝜉 𝐿
𝑧
+ 𝜂𝑆
𝑧
在 𝐽
2
, 𝐽
𝑧
表象下考虑问题, 可以由角动量相加法则得到其他角动量算子的矩阵, 进而计算一阶微扰
