从有限维空间到无限维空间
目录
1 C
𝑁
空间的无穷维推广 2
2 Hilbert 空间 6
2.1 复数域上线性空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 赋范空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 Banach 空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4 内积空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.5 两个重要的 Banach 空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.6 Hilbert 空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.6.1 正交归一序列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3 Hilbert 空间上的线性算子 11
3.1 Hilbert 空间上的线性泛函 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2 Hilbert 空间上的线性算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2.1 有界算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2.2 酉算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2.3 有界算子的伴随算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2.4 自伴算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4 位置表象 14
1
1 C
𝑁
空间的无穷维推广
假定 C
𝑁
空间中有两个观测量 𝐴 和 𝐵
𝐴
𝛼
𝑗
= 𝑎
𝑗
𝛼
𝑗
, 𝐵
𝛼
𝑗
= 𝑏
𝑗
𝛼
𝑗
若它们的本征矢满足
𝛼
𝑖
|𝛽
𝑗
=
1
√
𝑁
这意味着对 𝐴 的测量将会完全破坏 𝐵 的状态, 反之亦然. 那么称 𝐴 和 𝐵 是互补的观测量,{
𝛼
𝑗
} 和 {
𝛽
𝑗
}
是两组互补的基矢
假定存在一组基矢 {
𝜑
𝑗
}, 可以定义这样的变换 𝑈
𝑈
𝛼
𝑗
= 𝛽
𝑗
𝜑
𝑗
,
𝛽
𝑗
= 1,
𝜑
𝑗
=
𝜑
𝑗+1
那么 𝑈 可以表示为
𝑈 =
𝑁
Õ
𝑗=1
𝛽
𝑗
𝜑
𝑗+1
𝜑
𝑗
其厄米共轭为
𝑈
†
=
𝑁
Õ
𝑗=1
𝛽
∗
𝑗
𝜑
𝑗
𝜑
𝑗+1
那么
𝑈
†
𝑈 =
𝑁
Õ
𝑗=1
𝛽
𝑗
2
𝜑
𝑗
𝜑
𝑗
= I, 𝑈𝑈
†
=
𝑁
Õ
𝑗=1
𝛽
𝑗
2
𝜑
𝑗+1
𝜑
𝑗+1
= I
着说明
𝑈 是酉变换
, 记 𝑈 的正交归一本征矢为
|
𝜓
⟩
, 其对应的本征值为 𝑢
𝑗
,
酉矩阵的本征值模长为 1
, 那
么
𝑢
𝑗
= 1.𝑈 可以用自己的本征矢展开
𝑈 =
𝑁
Õ
𝑗=1
𝑢
𝑗
𝜓
𝑗
𝜓
𝑗
那么计算内积
𝜓
𝑘
|𝜑
𝑗
=
|
𝑢
𝑘
| ⟨
𝜓
𝑘
|
𝑈
𝜑
𝑗
=
⟨
𝜓
𝑘
|
𝑈
𝜑
𝑗
=
𝛽
𝑗
𝜓
𝑘
|𝜑
𝑗+1
=
𝜓
𝑘
|𝜑
𝑗+1
这意味着内积都相等
|⟨
𝜓
𝑘
|𝜑
1
⟩|
=
|⟨
𝜓
𝑘
|𝜑
2
⟩|
= ··· =
|⟨
𝜓
𝑘
|𝜑
𝑁
⟩|
又有
𝑁
Õ
𝑗=1
𝜓
𝑘
|𝜑
𝑗
2
=
𝑁
Õ
𝑗=1
𝜓
𝑘
|𝜑
𝑗
𝜑
𝑗
|𝜓
𝑘
=
⟨
𝜓
𝑘
|
𝑁
Õ
𝑗=1
𝜑
𝑗
𝜑
𝑗
!
|
𝜓
𝑘
⟩
=
⟨
𝜓
𝑘
|
I
|
𝜓
𝑘
⟩
= 1
因而
𝜓
𝑘
|𝜑
𝑗
=
1
√
𝑁
这说明 {
𝜑
𝑗
} 和 {
𝜓
𝑗
} 是两组互补的基矢. 可以证明,任意维数的复空间都存在三组互补的基矢
由内积关系考虑一种特殊的坐标变换关系. 设 {
|
𝜓
𝑘
⟩
} 是 C
𝑑
空间的一组正交归一基矢,𝑘 = 0, 1, 2, ··· , 𝑑 −1,
取
|
𝜑
𝑙
⟩
为
|
𝜓
𝑘
⟩
的离散傅里叶变换
|
𝜑
𝑙
⟩
=
1
√
𝑑
𝑑−1
Õ
𝑘=0
𝛾
𝑘𝑙
|
𝜓
𝑘
⟩
, 𝛾 = 𝑒
𝑖2 𝜋/𝑑
, 𝑙 = 0, 1, 2, ··· , 𝑑 − 1
那么
⟨
𝜑
𝑙
|𝜑
𝑙
′
⟩
=
1
𝑑
𝑑−1
Õ
𝑘=0
𝛾
𝑘𝑙
𝛾
−𝑘𝑙
′
=
1
𝑑
𝑑−1
Õ
𝑘=0
𝛾
𝑘 (𝑙−𝑙
′
)
=
1
𝑑
1 − 𝛾
𝑑 (𝑙−𝑙
′
)
1 − 𝛾
𝑙−𝑙
′
= 𝛿
𝑙𝑙
′
这说明 {
|
𝜑
𝑙
⟩
} 也是正交归一的. 由构造显然有
⟨
𝜓
𝑘
|𝜑
𝑙
⟩
=
1
√
𝑑
𝛾
𝑘𝑙
那么 {
|
𝜓
𝑘
⟩
} 与 {
|
𝜑
𝑙
⟩
} 就是一对互补基. 依照上面的讨论可以构造两个算子
𝑈 =
𝑑−1
Õ
𝑘=0
𝛾
𝑘
|
𝜓
𝑘
⟩ ⟨
𝜓
𝑘
|
, 𝑉 =
𝑑−1
Õ
𝑙=0
𝛾
𝑙
|
𝜑
𝑙
⟩ ⟨
𝜑
𝑙
|
它们都是幂循环的, 即
𝑈
𝑑
=
𝑑−1
Õ
𝑘=0
𝛾
𝑘𝑑
|
𝜓
𝑘
⟩ ⟨
𝜓
𝑘
|
=
𝑑−1
Õ
𝑘=0
|
𝜓
𝑘
⟩ ⟨
𝜓
𝑘
|
= I, 𝑉
𝑑
=
𝑑−1
Õ
𝑙=0
𝛾
𝑙𝑑
|
𝜑
𝑙
⟩ ⟨
𝜑
𝑙
|
=
𝑑−1
Õ
𝑙=0
|
𝜑
𝑙
⟩ ⟨
𝜑
𝑙
|
= I
𝑈 作用在
|
𝜑
𝑙
⟩
上有
𝑈
|
𝜑
𝑙
⟩
=
𝑑−1
Õ
𝑘=0
𝛾
𝑘
|
𝜓
𝑘
⟩ ⟨
𝜓
𝑘
|𝜑
𝑙
⟩
=
𝑑−1
Õ
𝑘=0
𝛾
𝑘
|
𝜓
𝑘
⟩
1
√
𝑑
𝛾
𝑘𝑙
=
1
√
𝑑
𝑑−1
Õ
𝑘=0
𝛾
𝑘 (𝑙+1)
|
𝜓
𝑘
⟩
=
|
𝜑
𝑙+1
⟩
同样 𝑉 作用在
|
𝜓
𝑘
⟩
上有
𝑉
|
𝜓
𝑘
⟩
=
𝑑−1
Õ
𝑙=0
𝛾
𝑙
|
𝜑
𝑙
⟩ ⟨
𝜑
𝑙
|𝜓
𝑘
⟩
=
𝑑−1
Õ
𝑙=0
𝛾
𝑙
|
𝜑
𝑙
⟩
1
√
𝑑
𝛾
𝑘𝑙
=
1
√
𝑑
𝑑−1
Õ
𝑙=0
𝛾
𝑙 (𝑘+1)
|
𝜑
𝑙
⟩
=
|
𝜓
𝑘−1
⟩
自然也会有
⟨
𝜑
𝑙
|
𝑈 =
⟨
𝜑
𝑙−1
|
,
⟨
𝜓
𝑘
|
𝑉 =
⟨
𝜓
𝑘+1
|
这正是本节开始时的假设
令空间维数 𝑑 → +∞, 取
𝜖
2
=
2𝜋
𝑑
→ 0
𝑈 的本征值就变为
𝑢
𝑘
= 𝑒
𝑖 𝜖
2
𝑘
, 𝑘 = 0, 1, 2, ··· , 𝑑 − 1
此时 𝑈 已经接近一个连续的变换, 考虑其生成元 𝑄, 设
𝑈 = 𝑒
𝑖 𝜖 𝑄
近似保留一阶小量, 有
𝑈 = 1 +𝑖𝜖𝑄
由于
𝑈
|
𝜓
𝑘
⟩
= 𝑒
𝑖 𝜖
2
𝑘
|
𝜓
𝑘
⟩
≈ (1 + 𝑖𝜖
2
𝑘)
|
𝜓
𝑘
⟩
这就要求
𝑄
|
𝜓
𝑘
⟩
= 𝜖 𝑘
|
𝜓
𝑘
⟩
这说明 𝜖 𝑘 是 𝑄 的本征值,
|
𝜓
𝑘
⟩
是 𝑄 的本征矢,𝑄 可以在自己的本征矢下展开
𝑞
𝑘
= 𝜖 𝑘,
|
𝑞
𝑘
⟩
=
|
𝜓
𝑘
⟩
, 𝑄 =
𝑑−1
Õ
𝑘=0
𝑞
𝑘
|
𝑞
𝑘
⟩ ⟨
𝑞
𝑘
|
同样若设 𝑉 = 𝑒
𝑖 𝜖 𝑃
, 那么
𝑝
𝑙
= 𝜖𝑙,
|
𝑝
𝑙
⟩
=
|
𝜑
𝑙
⟩
, 𝑃 =
𝑑−1
Õ
𝑙=0
𝑝
𝑙
|
𝑝
𝑙
⟩ ⟨
𝑝
𝑙
|
考虑到上一部分得到
𝑈
|
𝜑
𝑙
⟩
=
|
𝜑
𝑙+1
⟩
, 𝑉
|
𝜓
𝑘
⟩
=
|
𝜓
𝑘−1
⟩
那么
𝑈
𝑘
|
𝑝
𝑙
⟩
=
|
𝑝
𝑙+𝑘
⟩
, 𝑉
𝑙
|
𝑞
𝑘
⟩
=
|
𝑞
𝑘−𝑙
⟩
由于 𝑃, 𝑄 与自己应该是对易的, 此时的算子 𝑈
𝑘
, 𝑉
𝑙
可以写为
𝑈
𝑘
= 𝑒
𝑖 𝜖 𝑘𝑄
= 𝑒
𝑖 𝑝
𝑘
𝑄
, 𝑉
𝑙
= 𝑒
𝑖 𝜖 𝑙𝑃
= 𝑒
𝑖𝑞
𝑙
𝑃
, 𝑝
𝑘
= 𝜖 𝑘, 𝑞
𝑙
= 𝜖𝑙
𝑈, 𝑉 平移的步长为 𝜖
变换的生成元应当是物理量, 为了考虑 𝑃, 𝑄 的变换, 考察 𝑈, 𝑉 的对易关系
𝑉
𝑙
𝑈
𝑘
|
𝜓
𝑚
⟩
= 𝛾
𝑚𝑘
𝑉
𝑙
|
𝜓
𝑚
⟩
= 𝛾
𝑚𝑘
|
𝜓
𝑚−𝑙
⟩
𝑈
𝑘
𝑉
𝑙
|
𝜓
𝑚
⟩
= 𝑈
𝑘
|
𝜓
𝑚−𝑙
⟩
= 𝛾
(𝑚−𝑙)𝑘
|
𝜓
𝑚−𝑙
⟩
这就意味着
𝑉
𝑙
𝑈
𝑘
= 𝛾
𝑘𝑙
𝑈
𝑘
𝑉
𝑙
左乘 𝑉
†𝑙
即左乘 𝑉
−𝑙
, 即可得到
𝑉
−𝑙
𝑈
𝑘
𝑣
𝑙
= 𝛾
−𝑘𝑙
𝑈
𝑘
同理右乘 𝑈
−𝑘
即可得到
𝑈
𝑘
𝑉
𝑙
𝑈
−𝑘
= 𝛾
−𝑘𝑙
𝑉
𝑙
将其写为生成元的形式即
𝑒
−𝑖𝑞
𝑙
𝑃
𝑒
𝑖 𝑝
𝑘
𝑄
𝑒
𝑖𝑞
𝑙
𝑃
= exp{𝑖 𝑝
𝑘
(𝑄 − 𝑞
𝑙
I)}
𝑒
𝑖 𝑝
𝑘
𝑄
𝑒
𝑖𝑞
𝑙
𝑃
𝑒
−𝑖 𝑝
𝑘
𝑄
= exp{𝑖𝑞
𝑙
(𝑃 − 𝑝
𝑘
I)}
若是将中间的指数展开, 应有
𝑒
−𝑖𝑞
𝑙
𝑃
𝑒
𝑖 𝑝
𝑘
𝑄
𝑒
𝑖𝑞
𝑙
𝑃
= 𝑒
−𝑖𝑞
𝑙
𝑃
I + 𝑖 𝑝
𝑘
𝑄 −
1
2
𝑝
2
𝑘
𝑄
2
+ · ··
𝑒
𝑖𝑞
𝑙
𝑃
= I +𝑖 𝑝
𝑘
𝑒
−𝑖𝑞
𝑙
𝑃
𝑄𝑒
𝑖𝑞
𝑙
𝑃
+
1
2
𝑖𝑝
𝑘
𝑒
−𝑖𝑞
𝑙
𝑃
𝑄𝑒
𝑖𝑞
𝑙
𝑃
2
+ · ··
右侧正好是 𝑒 指数的展开形式, 那么
𝑒
−𝑖𝑞
𝑙
𝑃
𝑄𝑒
𝑖𝑞
𝑙
𝑃
= exp{𝑖 𝑝
𝑘
𝑒
−𝑖𝑞
𝑙
𝑃
𝑄𝑒
𝑖𝑞
𝑙
𝑃
}
同理
𝑒
𝑖 𝑝
𝑘
𝑄
𝑃𝑒
−𝑖 𝑝
𝑘
𝑄
= exp{𝑖𝑞
𝑙
𝑒
𝑖 𝑝
𝑘
𝑄
𝑃𝑒
−𝑖 𝑝
𝑘
𝑄
}
对比
𝑒
−𝑖𝑞
𝑙
𝑃
𝑒
𝑖 𝑝
𝑘
𝑄
𝑒
𝑖𝑞
𝑙
𝑃
= exp{𝑖 𝑝
𝑘
(𝑄 − 𝑞
𝑙
I)}
𝑒
𝑖 𝑝
𝑘
𝑄
𝑒
𝑖𝑞
𝑙
𝑃
𝑒
−𝑖 𝑝
𝑘
𝑄
= exp{𝑖𝑞
𝑙
(𝑃 − 𝑝
𝑘
I)}
得到
𝑒
−𝑖𝑞
𝑙
𝑃
𝑄𝑒
𝑖𝑞
𝑙
𝑃
= 𝑄 − 𝑞
𝑙
I, 𝑒
𝑖 𝑝
𝑘
𝑄
𝑃𝑒
−𝑖 𝑝
𝑘
𝑄
= 𝑃 − 𝑝
𝑘
I
这是一种类似于平移的变换
在空间维数 𝑑 趋于无穷的情况下,𝑞
𝑙
, 𝑝
𝑘
变为连续变量, 分别记为 𝑞
′
, 𝑝
′
, 则基矢
|
𝑞
𝑘
⟩
,
|
𝑝
𝑙
⟩
和算子 𝑈, 𝑉 的
作用也是连续的
𝑒
−𝑖𝑞
′′
𝑃
|
𝑞
′
⟩
=
|
𝑞
′
+ 𝑞
′′
⟩
,
⟨
𝑞
′
|
𝑒
𝑖𝑞
′′
𝑃
=
⟨
𝑞
′
+ 𝑞
′′
|
𝑒
𝑖 𝑝
′′
𝑃
|
𝑝
′
⟩
=
|
𝑝
′
+ 𝑝
′′
⟩
,
⟨
𝑝
′
|
𝑒
𝑖 𝑝
′′
𝑃
=
⟨
𝑝
′
+ 𝑝
′′
|
则上式变为
𝑒
−𝑖𝑞
′
𝑃
𝑄𝑒
𝑖𝑞
′
𝑃
= 𝑄 − 𝑞
′
I, 𝑒
𝑖 𝑝
′
𝑄
𝑃𝑒
−𝑖 𝑝
′
𝑄
= 𝑃 − 𝑝
′
I
𝑄, 𝑃 是两个物理量, 其本征矢分别为
|
𝑞
′
⟩
,
|
𝑝
′
⟩
. 希望求解 𝑃 在 𝑄 表象下的形式, 假定有一个量子态
|
𝜓
⟩
,
其在 𝑄 表象下可以表示为
|
𝜓
⟩
=
∫
⟨
𝑞
′
|𝜓
⟩ |
𝑞
′
⟩
d𝑞
′
对其做一个平移变换可得
𝑒
𝑖𝑞
′′
𝑃
|
𝜓
⟩
=
∫
⟨
𝑞
′
|
𝑒
𝑖𝑞
′′
𝑃
|
𝜓
⟩ |
𝑞
′
⟩
d𝑞
′
=
∫
⟨
𝑞
′
+ 𝑞
′′
|𝜓
⟩ |
𝑞
′
⟩
d𝑞
′
如果 𝑞
′′
很小, 则应有
⟨
𝑞
′
+ 𝑞
′′
|𝜓
⟩
=
⟨
𝑞
′
|𝜓
⟩
+ 𝑞
′′
d
d𝑞
′
⟨
𝑞
′
|𝜓
⟩
=
1 + 𝑞
′′
d
d𝑞
′
⟨
𝑞
′
|𝜓
⟩
那么
𝑒
𝑖𝑞
′′
𝑃
|
𝜓
⟩
=
∫
⟨
𝑞
′
|𝜓
⟩ |
𝑞
′
⟩
d𝑞
′
+ 𝑞
′′
∫
d
d𝑞
′
⟨
𝑞
′
|𝜓
⟩ |
𝑞
′
⟩
d𝑞
′
对于无穷小变换有 𝑒
𝑖𝑞
′′
𝑃
→ 1 +𝑖𝑞
′′
𝑃, 那么
(
I + 𝑖𝑞
′′
𝑃
) |
𝜓
⟩
=
|
𝜓
⟩
+𝑖𝑞
′′
𝑃
|
𝜓
⟩
=
∫
⟨
𝑞
′
|𝜓
⟩ |
𝑞
′
⟩
d𝑞
′
+𝑖𝑞
′′
∫
⟨
𝑞
′
|
𝑃
|
𝜓
⟩ |
𝑞
′
⟩
d𝑞
′
故
⟨
𝑞
′
|
𝑃
|
𝜓
⟩
= −𝑖
d
d𝑞
′
⟨
𝑞
′
|𝜓
⟩
也就是说 𝑃 有导数的含义
𝑃 → −𝑖
d
d𝑞
′
同样可以得到
𝑄 → 𝑖
d
d𝑝
′
2 Hilbert 空间
2.1 复数域上线性空间
若有非空集合 𝑉, 对于任意的 𝜓, 𝜑 ∈ 𝑉, 以及任意的复数 𝑎, 𝑏, 都有
𝑎𝜓 + 𝑏𝜑 ∈ 𝑉
并且满足
1. 交换律
𝜓 + 𝜑 = 𝜑 + 𝜓
2. 结合律
(𝜓 + 𝜑) + 𝜔 = 𝜓 + (𝜑 + 𝜔)
𝑎(𝑏𝜓) = (𝑎𝑏)𝜓
3. 分配律
𝑎(𝜓 + 𝜑) = 𝑎𝜓 + 𝑎𝜑
(𝑎 + 𝑏)𝜓 = 𝑎𝜓 + 𝑏𝜓
4. 零元和一元存在
0𝜓 = 0
1𝜓 = 𝜓
对于有限个向量的集合 {𝜓
𝑖
}, 如果
𝑛
Õ
𝑖=1
𝑎
𝑖
𝜓
𝑖
= 0 ⇒ 𝑎
𝑖
= 0
那么称 {𝜓
𝑖
} 是线性无关的. 对于无限多个向量的集合 {𝜓
𝑖
}, 如果其中任意有限个向量都是线性无关的, 那
么称
{
𝜓
𝑖
}
是线性无关的
线性无关的向量组可以张成一个线性空间
𝑉 =
𝑛
Õ
𝑖=1
𝑎
𝑖
𝜓
𝑖
𝑎
𝑖
∈ C
这个空间称为 {𝜓
𝑖
} 张成的空间, 向量组 {𝜓
𝑖
} 称为这个空间的一组基
2.2 赋范空间
范数可以认为是向量的模长. 一个线性空间的范数需要满足
1. 𝜓 = 0 ⇒ ||𝜓|| = 0
2. 对于任意的 𝑐 ∈ C, 有
||𝑐𝜓|| = |𝑐| · ||𝜓||
3. 三角不等式
||𝜓 + 𝜑|| ≤ ||𝜓|| + ||𝜑||
如果一个线性空间 𝑉 上定义了范数, 那么称 𝑉 是赋范空间, 记为 (𝑉, || · ||). 极限由范数定义
lim
𝑛→∞
𝜓
𝑛
= 𝜓 ⇔ ∀𝜖 > 0, ∃𝑁 ∈ N, 𝑠.𝑡.∀𝑛 > 𝑁, ||𝜓
𝑛
− 𝜓|| < 𝜖
2.3 Banach 空间
对于赋范空间 𝑉, 中的一个序列 {𝜓
𝑛
}, 若对于任意的 𝜖 > 0, 都存在 𝑛
0
∈ N, 使得 𝑛 > 𝑛
0
时有
||𝜓
𝑛
− 𝜓|| < 𝜖
则称 {𝜓
𝑛
} 为一个 Cauchy 序列. 收敛序列一定是 Cauchy 序列, 但 Cauchy 序列不一定收敛. 这是因为序
列的极限不一定在 𝑉 中, 如在多项式空间 𝑃[0, 1] 中
𝜓
𝑛
= 1 + 𝑥 +
𝑥
2
2!
+ · ·· +
𝑥
𝑛
𝑛!
若赋范空间 𝑉 中的任意 Cauchy 序列都收敛, 则称 𝑉 是完备的, 这样的赋范空间称为 Banach 空间
2.4 内积空间
内积将两个向量映射为一个复数, 满足
1. 共轭对称
(𝜓, 𝜑) = (𝜑, 𝜓)
∗
2. 线性
(𝑎𝜓 + 𝑏𝜔, 𝜑) = 𝑎(𝜓, 𝜑) + 𝑏(𝜔, 𝜑)
3. 正定
(𝜓, 𝜓) ≥ 0, (𝜓, 𝜓) = 0 ⇒ 𝜓 = 0
定义了内积的空间称为内积空间, 记为
𝑉, (·, ·)
. 可以由内积定义范数
||𝜓|| =
p
(𝜓, 𝜓)
有 Schwarz 不等式
|
(𝜓, 𝜑)
|
≤ ||𝜓|| · ||𝜑||
等号成立当且仅当 𝜓 与 𝜑 线性相关. 每一个内积空间都是赋范空间, 但反之不成立. 赋范空间成为内积空
间的充要条件是满足平行四边形法则
||𝜓 + 𝜑||
2
+ ||𝜓 − 𝜑||
2
= 2||𝜓||
2
+ 2||𝜑||
2
2.5 两个重要的 Banach 空间
𝐿
2
空间是一个复数域上的无穷维数组空间, 其中的向量 (𝑧
1
, 𝑧
2
, ···) 满足
∞
Õ
𝑛=1
|
𝑧
𝑛
|
2
< ∞, 𝑧
𝑛
∈ C
一般地可以定义 𝑙
𝑝
空间, 其中的向量 (𝑧
1
, 𝑧
2
, ···) 满足
∞
Õ
𝑛=1
|
𝑧
𝑛
|
𝑝
< ∞, 𝑧
𝑛
∈ C
其范数
||𝑧||
𝑝
=
∞
Õ
𝑛=1
|
𝑧
𝑛
|
𝑝
!
1/𝑝
仅当 𝑝 = 2 时, 该范数满足平行四边形法则,𝑙
2
空间的内积定义为
(𝑧, 𝑤) =
∞
Õ
𝑛=1
𝑧
∗
𝑛
𝑤
𝑛
𝐿
2
空间是局部平方可积的复函数的集合, 满足
∫
𝑏
𝑎
|
𝑓 (𝑥)
|
2
d𝑥 < ∞
可以定义范数
|| 𝑓 ||
2
=
∫
𝑏
𝑎
|
𝑓 (𝑥)
|
2
d𝑥
1/2
同样仅当 𝑝 = 2 时, 该范数满足平行四边形法则,𝐿
2
空间的内积定义为
( 𝑓 , 𝑔) =
∫
𝑏
𝑎
𝑓
∗
(𝑥)𝑔(𝑥)d𝑥
那么
|| 𝑓 ||
2
=
p
( 𝑓 , 𝑓 )
2.6 Hilbert 空间
Hilbot 空间是一个完备的内积空间. 希望找到一组基 {𝜑
𝑘
}, 使得任意的向量 𝜓 满足
𝜓 =
∞
Õ
𝑘=1
(𝜑
𝑘
, 𝜓)𝜑
𝑘
||𝜓||
2
=
∞
Õ
𝑘=1
|
(𝜑
𝑘
, 𝜓)
|
2
2.6.1 正交归一序列
在内积空间 𝑉 中可以定义正交
(𝜑, 𝜑) = 0, 则称𝜑与𝜑正交
若对于序列 {𝜑
𝑘
} 中的任意元素 𝜑
𝑖
和 𝜑
𝑗
都有
(𝜑
𝑖
, 𝜑
𝑗
) = 𝛿
𝑖 𝑗
则称 {𝜑
𝑘
} 是一组正交归一序列.𝑙
2
空间中的正交归一序列是显然的
𝑙
1
= (1, 0, 0, ···), 𝑙
2
= (0, 1, 0, ···), 𝑙
3
= (0, 0, 1, ···), ···
𝐿
2
空间中的正交归一序列复杂了亿点
𝜓
𝑛
(𝑥) =
1
p
2
𝑛
𝑛!
√
𝜋
exp{−𝑥
2
/2}𝐻
𝑛
(𝑥), 𝐻
𝑛
(𝑥) = (−1)
𝑛
𝑒
𝑥
2
d
𝑛
d𝑥
𝑛
𝑒
−𝑥
2
在内积空间 𝑉 中取一组有限多的正交归一向量 {𝜑
𝑛
}, 对于 ∀𝜓 ∈ 𝑉, 有 Bessel 等式与不等式
𝜓 −
𝑛
Õ
𝑘=1
(𝜑
𝑘
, 𝜓)𝜑
𝑘
2
= ||𝜓||
2
−
𝑛
Õ
𝑘=1
|
(𝜑
𝑘
, 𝜓)
|
2
𝑛
Õ
𝑘=1
|
(𝜑
𝑘
, 𝜓)
|
2
≤ ||𝜓||
2
这就意味着 𝑛 → ∞ 时, 有
∞
Õ
𝑘=1
|
(𝜑
𝑘
, 𝜓)
|
2
≤ ||𝜓||
2
那么就有
(𝜑
1
, 𝜓), (𝜑
2
, 𝜓), ···
∈ 𝑙
2
在 Hilbert 空间中有 Parseval 等式
∞
Õ
𝑘=1
𝑐
𝑘
𝜑
𝑘
2
=
∞
Õ
𝑘=1
|
𝑐
𝑘
|
2
其中 𝑐
𝑘
∈ C, 𝜑
𝑘
是 Hilbert 空间 𝑉 中的一组正交归一序列, 并且
∞
Õ
𝑘=1
|
𝑐
𝑘
|
2
< ∞
此时级数收敛
∞
Õ
𝑘=1
𝑐
𝑘
𝜑
𝑘
由于
(𝜑
1
, 𝜓), (𝜑
2
, 𝜓), ···
∈ 𝑙
2
, 那么级数
∞
Õ
𝑘=1
(𝜑
𝑘
, 𝜓)𝜑
𝑘
是收敛的. 这称为广义 Fourier 级数
𝜓 ∼
∞
Õ
𝑘=1
(𝜑
𝑘
, 𝜓)𝜑
𝑘
其中 (𝜑
𝑘
, 𝜓) 称为广义 Fourier 系数. 不过其极限不一定是 𝜓, 因为该正交归一序列不一定是完备的, 一
个反例是
𝜑
𝑛
(𝑥) =
1
√
𝜋
sin 𝑛𝑥, 𝑛 = 1, 2, 3, ···
它是 Hilbert 空间 𝐿
2
[−𝜋, 𝜋] 中的一组正交归一序列, 考虑 𝜓 (𝑥) = cos 𝑥, 那么
∞
Õ
𝑛=1
(𝜑
𝑛
, 𝜓)𝜑
𝑛
(𝑥) =
∞
Õ
𝑛=1
1
√
𝜋
∫
𝜋
−𝜋
sin 𝑛𝑥 cos 𝑥d𝑥
sin 𝑛𝑥
√
𝜋
= 0
正交归一序列完备等价于下面的说法
1. 若 𝜓 ∈ ℋ 与每一个 𝜑
𝑘
正交, 那么 𝜓 = 0
(𝜑
𝑘
, 𝜓) = 0, ∀𝑘 ⇒ 𝜓 = 0
2. 对于任意的 𝜓 ∈ ℋ, 都有
𝜓 =
∞
Õ
𝑘=1
(𝜑
𝑘
, 𝜓)𝜑
𝑘
3. 对于任意的 𝜓 ∈ ℋ, 都有
||𝜓||
2
=
∞
Õ
𝑘=1
|
(𝜑
𝑘
, 𝜓)
|
2
𝐿
2
[−𝜋, 𝜋] 中一组完备的正交归一序列是
𝜑
𝑛
(𝑥) =
1
√
2𝜋
𝑒
𝑖𝑛𝑥
, 𝑛 = 0, ±1, ±2, ···
也就是
1
√
2𝜋
,
cos 𝑥
√
𝜋
,
sin 𝑥
√
𝜋
,
cos 2𝑥
√
𝜋
,
sin 2𝑥
√
𝜋
, ···
若一个 Hilbert 空间中存在一组完备的正交归一序列, 那么称这个 Hilbert 空间是可分的.𝑙
2
空间和 𝐿
2
空
间都是可分的. 实际上可以证明
有限维的可分
Hilbert
空间同构于
C
𝑛
,
无限维的可分
Hilbert
空间同构于
𝑙
2
3 Hilbert 空间上的线性算子
3.1 Hilbert 空间上的线性泛函
设 𝜓
0
是内积空间 (𝑉, (·, ·)) 上的一个固定点, 则可以由内积定义一个有界线性泛函
𝑓 (𝜓) = (𝜓
0
, 𝜓)
在
Hilbert 空间中, 每一个有界线性泛函都可以表示为内积
. 一个例子是 ℋ = 𝐿
2
[𝑎, 𝑏], 𝜓 ∈ ℋ
𝑓 (𝜓) =
∫
𝑏
𝑎
𝜑(𝑥)d𝑥
它可以表示为
𝑓 (𝜓) = (1, 𝜓)
这由里斯表示定理 (Riesz representation theorem) 保证
设 ℋ 是一个 Hilbert 空间, 对于任意的有界线性泛函 𝑇 (𝜓), 都存在唯一的 𝜑
𝑇
∈ ℋ, 使得
𝑇 (𝜓) = (𝜑
𝑇
, 𝜓)
ℋ 上的所有有界线性泛函构成线性空间 ℋ
†
, 它是 ℋ 的对偶空间, 并且与 ℋ 同构, 由此定义左矢
(𝜑, 𝜓) ≡ 𝑇 (𝜓) ≡
⟨
𝜑|𝜓
⟩
|
𝜑
⟩
∈ ℋ
†
, 又称为左矢空间
3.2 Hilbert 空间上的线性算子
线性算子构成线性空间
𝐴(𝜓 + 𝜑) = 𝐴𝜓 + 𝐴𝜑, 𝐴(𝑐𝜓) = 𝑐𝐴𝜓
(𝐴 + 𝐵)𝜓 = 𝐴𝜓 + 𝐵𝜓, (𝑐𝐴)𝜓 = 𝑐(𝐴𝜓)
(𝐴𝐵)𝜓 = 𝐴(𝐵𝜓)
不过线性算子不能作用于 Hilbert 空间的所有元素, 一个例子是
𝐴 = (𝑎
𝑚𝑛
), 𝑎
𝑚𝑛
= 𝛿
1𝑚
+ 𝛿
1𝑛
给定一个 𝑙
2
上的向量 𝜑, 那么计算 𝜓 = 𝐴𝜑
𝜓
1
=
∞
Õ
𝑛=1
𝑎
1𝑛
𝜑
𝑛
= 𝜑
1
+
∞
Õ
𝑛=1
𝜑
𝑛
, 𝜓
𝑚
= 𝜑
1
显然
∞
Õ
𝑚=1
|
𝜓
𝑚
|
2
≥
∞
Õ
𝑛=2
|
𝜑
1
|
2
若 𝜑
1
≠ 0, 它是发散的. 因而线性算子 𝐴 需要定义域
𝒟(𝐴) = {𝜓 ∈ ℋ | 𝐴𝜓 ∈ ℋ}
3.2.1 有界算子
若存在一个常数 𝐾, 使得对于任意的 𝜓 ∈ 𝒟(𝐴), 都有
||
𝐴𝜓
|| ≤
𝐾
||
𝜓
||
可以由此定义算子的范数
||𝐴|| = sup
𝜓∈𝒟(𝐴), 𝜓≠0
||𝐴𝜓||
||𝜓||
定义域为整个 Hilbert 空间的算子只能是有界算子. 算子连续等价于算子有界, 无限维空间中的有界算子
可以表示为无限维的矩阵
3.2.2 酉算子
若 ℋ 上的线性算子 𝑈 有逆, 并且对于任意的 𝜓 都有
||𝑈𝜓|| = ||𝜓||
那么称 𝑈 是酉算子. 有逆可以如下定义
线性算子 𝐴 有逆当且仅当对于任意的 𝜓 ∈ ℋ, 都有且仅有一个 𝜑 ∈ ℋ, 使得
𝐴𝜑 = 𝜓
酉算子是有界的, 并且不改变任意两个向量的内积, 这意味着酉算子可以将一组正交归一基变换为另一组
正交归一基
3.2.3 有界算子的伴随算子
若 ℋ 上的有界算子 𝐴, 其伴随算子 𝐴
†
满足对于任意的 𝜓, 𝜑 ∈ ℋ, 都有
(
𝜓, 𝐴𝜑
)
=
(
𝐴
†
𝜓, 𝜑), (𝜑, 𝐴
†
𝜓) = (𝜓, 𝐴𝜑)
∗
有界算子的伴随算子也是有界的, 并且满足
||𝐴
†
|| = ||𝐴||
它们的定义域都是整个 Hilbert 空间. 伴随操作有性质
(𝐴
†
)
†
= 𝐴, (𝐴𝐵)
†
= 𝐵
†
𝐴
†
, (𝑐𝐴)
†
= 𝑐
∗
𝐴
†
, (𝐴 + 𝐵)
†
= 𝐴
†
+ 𝐵
†
3.2.4 自伴算子
若算子 𝐴 的定义域 𝒟 是稠密的, 并且对于任意的 𝜓, 𝜑 ∈ 𝒟, 都有
(𝐴𝜓, 𝜑) = (𝜓, 𝐴𝜑)
那么 𝐴 是对称算子. 而
(𝜓, 𝐴𝜑) = (𝐴
†
𝜓, 𝜑)
这说明 𝐴
†
的定义域比 𝐴 的定义域要大
𝒟(𝐴) ⊂ 𝒟(𝐴
†
)
𝐴
†
称为 𝐴 的扩张, 对于任意的 𝜓 ∈ 𝒟, 都有
𝐴𝜓 = 𝐴
†
𝜓
那么称 𝐴 是自伴算子, 此时两个定义域相等
𝒟(𝐴) = 𝒟(𝐴
†
)
4 位置表象
利用归一化条件得到
⟨
𝑥
′
|
𝑃
|
𝜑
⟩
=
∫
+∞
−∞
⟨
𝑥
′
|
𝑃
|
𝑥
′′
⟩
