量子门电路

1 量子门 2

1.1 泡利门 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Hadamard 门 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 CNOT 门 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 量子电路 3

2.1 Bell 态的制备 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 bell 测量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3 量子隐形传态 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.4 远程 CNOT 门 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.5 交换门 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1

1 量子门

1.1 泡利门

泡利门是一类单量子比特门, 分为四种: 𝑋, 𝑌, 𝑍, 𝐼. 其中 𝐼 为恒等门, 不改变量子比特的状态. 其他三种门

的作用如下

1. 𝑋 门: 将量子比特沿着 𝑥 轴旋转 𝜋 角

2. 𝑌 门: 将量子比特沿着 𝑦 轴旋转 𝜋 角

3. 𝑍 门: 将量子比特沿着 𝑧 轴旋转 𝜋 角

注意此处的旋转是在布洛赫球上的旋转, 而不是在空间中的旋转. 此处的 x,y,z 轴是布洛赫球上的坐标轴,

而不是空间中的坐标轴

𝑋 门类似于非门, 将

|

0

⟩

变为

|

1

⟩

, 将

|

1

⟩

变为

|

0

⟩

. 其矩阵形式为

𝑋 =



0 1

1 0



𝑌 门和 𝑍 门的矩阵形式分别为

𝑌 =



0 −𝑖

𝑖 0



, 𝑍 =



1 0

0 −1



对于单个量子比特而言, 多个泡利门的作用顺序不影响最终的结果. 这样的矩阵相乘再交换将会相差一个

符号, 即全局相位, 不影响测量结果

1.2 Hadamard 门

Hadamard 门是一个单量子比特门, 它对

|

0

⟩

和

|

1

⟩

的作用如下

𝐻

|

0

⟩

=

1

√

2

(

|

0

⟩

+

|

1

⟩

)

𝐻

|

1

⟩

=

1

√

2

(

|

0

⟩

−

|

1

⟩

)

将 Hadamard 门写为矩阵形式

𝐻 =

1

√

2



1 1

1 −1



叠加态也可以被 Hadamard 门作用, 如

1

√

2

(

|

0

⟩

+

|

1

⟩

) 可以写为向量

1

√

2



1



作用 Hadamard 门后得到

1

√

2



1 1

1 −1



1

√

2



1



=



1

0



它将有 100% 的概率测量为

|

0

⟩

实际上, 将

|

0

⟩

和

|

1

⟩

组合表示的量子比特写为另一种形式

|

+

⟩

=

1

√

2

(

|

0

⟩

+

|

1

⟩

)

|

−

⟩

=

1

√

2

(

|

0

⟩

−

|

1

⟩

)

这两个态也可以作为基矢表示量子态.Hadamard 门的作用就是将

|

0

⟩

和

|

1

⟩

转化为

|

+

⟩

和

|

−

⟩

, 反之亦然

Hadamard 门在量子电路中写为 (图源 https://zhuanlan.zhihu.com/p/189145265)

1.3 CNOT 门

CNOT 门是一个两量子比特门, 两个比特分为控制比特和目标比特.CNOT 门在量子电路中写为 (图源

https://tensorcircuit.readthedocs.io/zh/latest/textbook/chap3.html)

其中 𝑞

1

为控制比特,𝑞

2

为目标比特. 控制比特为

|

1

⟩

时, 目标比特翻转; 为

|

0

⟩

时, 目标比特保持不变

2 量子电路

2.1 Bell 态的制备

Bell 态的制备电路由 Hadamard 门和 CNOT 门组成

若要制备 Bell 态

|

Φ

+

⟩

=

1

√

2

(

|

00

⟩

+

|

11

⟩

)

可以使用电路

分析: 不妨设上面的比特为 𝐴, 下面的比特为 𝐵, 在初始时系统的状态为

|

00

⟩

=

|

0

⟩

𝐴

|

0

⟩

𝐵

首先对 𝐴 比特作用 Hadamard 门, 得到

1

√

2

(

|

0

⟩

𝐴

+

|

1

⟩

𝐴

)

|

0

⟩

𝐵

=

1

√

2

(

|

00

⟩

+

|

10

⟩

)

以 𝐴 为控制比特, 则

|

00

⟩

→

|

00

⟩

,

|

10

⟩

→

|

11

⟩

, 得到

1

√

2

(

|

00

⟩

+

|

11

⟩

)

也就是 Bell 态

|

Φ

+

⟩

若要制备 Bell 态

|

Φ

−

⟩

=

1

√

2

(

|

00

⟩

−

|

11

⟩

)

只需要在上面的电路中 𝐵 比特的 CNOT 门后加一个 𝑍 门即可. 将 𝐵 比特的相位翻转, 即可由

|

Φ

+

⟩

得到

|

Φ

−

⟩

若要制备 Bell 态

|

Ψ

+

⟩

=

1

√

2

(

|

01

⟩

+

|

10

⟩

)

只需要在上面的电路中 𝐵 比特的 CNOT 门后加一个 𝑋 门即可. 将 𝐵 比特翻转, 即可由

|

Φ

+

⟩

得到

|

Ψ

+

⟩

若要制备 Bell 态

|

Ψ

−

⟩

=

1

√

2

(

|

01

⟩

−

|

10

⟩

)

只需要在上面的电路中 𝐵 比特的 CNOT 门后加一个 𝑋 门和一个 𝑍 门即可. 将 𝐵 比特翻转并相位翻转,

即可由

|

Φ

+

⟩

得到

|

Ψ

−

⟩

2.2 bell 测量

Bell 态的测量电路正是制备电路反过来

分析: 不妨设上面的比特为 𝐴, 下面的比特为 𝐵. 若输入的是

|

Φ

+

⟩

, 即

|

Φ

+

⟩

=

1

√

2

(

|

00

⟩

+

|

11

⟩

)

则经过 CNOT 门后得到

1

√

2

(

|

00

⟩

+

|

10

⟩

)

再经过 𝐴 比特的 Hadamard 门得到

1

√

2



1

√

2

(

|

0

⟩

𝐴

+

|

1

⟩

𝐴

)

|

0

⟩

𝐵

+

1

√

2

(

|

0

⟩

𝐴

−

|

1

⟩

𝐴

)

|

1

⟩

𝐵



=

|

00

⟩

若输入的是

|

Φ

−

⟩

, 即

|

Φ

−

⟩

=

1

√

2

(

|

00

⟩

−

|

11

⟩

)

则经过 CNOT 门后得到

1

√

2

(

|

00

⟩

−

|

10

⟩

)

再经过 𝐴 比特的 Hadamard 门得到

1

√

2



1

√

2

(

|

0

⟩

𝐴

+

|

1

⟩

𝐴

)

|

0

⟩

𝐵

−

1

√

2

(

|

0

⟩

𝐴

−

|

1

⟩

𝐴

)

|

0

⟩

𝐵



=

|

10

⟩

若输入的是

|

Ψ

+

⟩

, 即

|

Ψ

+

⟩

=

1

√

2

(

|

01

⟩

+

|

10

⟩

)

则经过 CNOT 门后得到

1

√

2

(

|

01

⟩

+

|

11

⟩

)

再经过 𝐴 比特的 Hadamard 门得到

1

√

2



1

√

2

(

|

0

⟩

𝐴

+

|

1

⟩

𝐴

)

|

1

⟩

𝐵

+

1

√

2

(

|

0

⟩

𝐴

−

|

1

⟩

𝐴

)

|

1

⟩

𝐵



=

|

01

⟩

若输入的是

|

Ψ

−

⟩

, 即

|

Ψ

−

⟩

=

1

√

2

(

|

01

⟩

−

|

10

⟩

)

则经过 CNOT 门后得到

1

√

2

(

|

01

⟩

−

|

11

⟩

)

再经过 𝐴 比特的 Hadamard 门得到

1

√

2



1

√

2

(

|

0

⟩

𝐴

+

|

1

⟩

𝐴

)

|

1

⟩

𝐵

−

1

√

2

(

|

0

⟩

𝐴

−

|

1

⟩

𝐴

)

|

1

⟩

𝐵



=

|

11

⟩

2.3 量子隐形传态

量子隐形传态可以在不传递粒子的情况下传递量子信息. 其过程如下

初态: 系统有三个量子比特

• Alice 有一个量子比特 𝐴, 这是要传递的量子信息

• Alice 和 Bob 各有一个量子比特 𝐵 和 𝐶, 它们处于 Bell 态

|

Φ

+

⟩

|

Φ

+

⟩

𝐵𝐶

=

1

√

2

(

|

00

⟩

𝐵𝐶

+

|

11

⟩

𝐵𝐶

)

贝尔测量: 对 𝐴 和 𝐵 比特进行贝尔测量. 为了表述测量结果, 假定 A 的量子态为

|

𝜓

⟩

= 𝛼

|

0

⟩

+ 𝛽

|

1

⟩

那么整个系统的态为

|

𝜓

⟩

𝐴𝐵𝐶

=

|

𝜓

⟩

𝐴

⊗

|

Φ

+

⟩

𝐵𝐶

=

1

√

2

(𝛼

|

000

⟩

+ 𝛼

|

011

⟩

+ 𝛽

|

100

⟩

+ 𝛽

|

111

⟩

)

进行贝尔测量需要对 AB 比特进行 CNOT 操作, 控制比特为 A, 目标比特为 B, 量子态变为

1

√

2

(𝛼

|

000

⟩

+ 𝛼

|

011

⟩

+ 𝛽

|

110

⟩

+ 𝛽

|

101

⟩

)

然后对 A 比特进行 Hadamard 操作, 得到

|

𝜓

⟩

𝐴𝐵𝐶

=

1

2

[

𝛼(

|

0

⟩

+

|

1

⟩

)

|

00

⟩

𝐵𝐶

+ 𝛼(

|

0

⟩

−

|

1

⟩

)

|

11

⟩

𝐵𝐶

+ 𝛽(

|

0

⟩

+

|

1

⟩

)

|

10

⟩

𝐵𝐶

+ 𝛽(

|

0

⟩

−

|

1

⟩

)

|

01

⟩

𝐵𝐶

]

=

1

2

|

0

⟩

𝐴

[

𝛼(

|

0

⟩

+

|

1

⟩

)

|

0

⟩

𝐵

+ 𝛽(

|

0

⟩

−

|

1

⟩

)

|

1

⟩

𝐵

]

+

1

2

|

1

⟩

𝐴

[

𝛼(

|

0

⟩

−

|

1

⟩

)

|

0

⟩

𝐵

+ 𝛽(

|

0

⟩

+

|

1

⟩

)

|

1

⟩

𝐵

]

=

1

2

[|

00

⟩

𝐴𝐵

(𝛼

|

0

⟩

+ 𝛽

|

1

⟩

) +

|

10

⟩

𝐴𝐵

(𝛽

|

0

⟩

+ 𝛼

|

1

⟩

) +

|

01

⟩

𝐴𝐵

(𝛼

|

0

⟩

− 𝛽

|

1

⟩

) +

|

11

⟩

𝐴𝐵

(𝛽

|

0

⟩

− 𝛼

|

1

⟩

)

]

测量: 此时对 AB 比特进行测量, 将会有四种情况

• 若测量结果为

|

00

⟩

, 则 𝐶 比特的状态为 𝛼

|

0

⟩

+ 𝛽

|

1

⟩

• 若测量结果为

|

10

⟩

, 则 𝐶 比特的状态为 𝛽

|

0

⟩

+ 𝛼

|

1

⟩

• 若测量结果为

|

01

⟩

, 则 𝐶 比特的状态为 𝛼

|

0

⟩

− 𝛽

|

1

⟩

• 若测量结果为

|

11

⟩

, 则 𝐶 比特的状态为 𝛽

|

0

⟩

− 𝛼

|

1

⟩

已经和原始的 𝐴 比特状态非常相近了! 对应做四种操作

• 若测量结果为

|

00

⟩

, 则不做任何操作

• 若测量结果为

|

10

⟩

, 则对 𝐶 比特做 𝑋 门操作

• 若测量结果为

|

01

⟩

, 则对 𝐶 比特做 𝑍 门操作

• 若测量结果为

|

11

⟩

, 则对 𝐶 比特做 𝑋 门和 𝑍 门操作

即可得到 𝐶 比特的态

𝛼

|

0

⟩

+ 𝛽

|

1

⟩

这正是原来的 𝐴 比特的态

2.4 远程 CNOT 门

远程 CNOT 门可以利用纠缠实现空间上分离的两个量子比特之间进行 CNOT 操作. 其过程如下

初态

:

系统有四个量子比特

,

两个

Alice

的量子比特

𝐴

1

, 𝐴

2

,

两个

Bob

的量子比特

𝐵

1

, 𝐵

2

.

其中

𝐴

1

, 𝐵

1

处

于 Bell 态

|

Φ

+

⟩

𝐴

1

𝐵

1

=

1

√

2

(

|

00

⟩

𝐴

1

𝐵

1

+

|

11

⟩

𝐴

1

𝐵

1

)

为了方便表述, 假设 𝐴

2

和 𝐵

2

的量子态分别为

|

𝜓

⟩

𝐴

2

= 𝛼

|

0

⟩

+ 𝛽

|

1

⟩

,

|

𝜙

⟩

𝐵

2

= 𝛾

|

0

⟩

+ 𝛿

|

1

⟩

那么整个系统的态为 (省略系数)

|

𝜓

⟩

𝐴

1

𝐴

2

𝐵

1

𝐵

2

= (𝛼

|

0

⟩

+ 𝛽

|

1

⟩

)

𝐴

2

⊗ (

|

00

⟩

+

|

11

⟩

)

𝐴

1

𝐵

1

⊗ (𝛾

|

0

⟩

+ 𝛿

|

1

⟩

)

𝐵

2

Alice 操作: 对 𝐴

1

和 𝐴

2

比特进行 CNOT 操作, 以 𝐴

2

为控制比特,𝐴

1

为目标比特, 得到

|

𝜓

⟩

𝐴

1

𝐴

2

𝐵

1

= 𝛼

|

0

⟩

𝐴

2

(

|

00

⟩

𝐴

1

𝐵

1

+

|

11

⟩

𝐴

1

𝐵

1

) + 𝛽

|

1

⟩

𝐴

2

(

|

10

⟩

𝐴

1

𝐵

1

+

|

01

⟩

𝐴

1

𝐵

1

)

=

|

0

⟩

𝐴

1



𝛼

|

00

⟩

𝐴

2

𝐵

1

+ 𝛽

|

11

⟩

𝐴

2

𝐵

1



+

|

1

⟩

𝐴

1



𝛼

|

10

⟩

𝐴

2

𝐵

1

+ 𝛽

|

01

⟩

𝐴

2

𝐵

1



对 𝐴

1

比特进行测量, 得到

• 若测量结果为

|

0

⟩

, 则 𝐴

2

𝐵

1

比特的状态为 𝛼

|

00

⟩

+ 𝛽

|

11

⟩

• 若测量结果为

|

1

⟩

, 则 𝐴

2

𝐵

1

比特的状态为 𝛼

|

10

⟩

+ 𝛽

|

01

⟩

Alice 将测量结果发送给 Bob, 根据测量结果,Bob 对 𝐵

1

进行操作

• 若测量结果为

|

0

⟩

, 则不做任何操作

• 若测量结果为

|

1

⟩

, 则对 𝐵

1

比特做 𝑋 门操作

这样一来, 得到 𝐴

2

𝐵

1

比特的状态

• 若测量结果为

|

0

⟩

, 则 𝐴

2

𝐵

1

比特的状态为 𝛼

|

00

⟩

+ 𝛽

|

11

⟩

• 若测量结果为

|

1

⟩

, 则 𝐴

2

𝐵

1

比特的状态为 𝛼

|

11

⟩

+ 𝛽

|

00

⟩

不难发现, 测量结果为

|

0

⟩

或

|

1

⟩

区别仅在于 𝛼 和 𝛽 互换了一下. 不妨假设测量结果为

|

0

⟩

, 则整个系统的

态为

|

𝜓

⟩

𝐴

2

𝐵

1

𝐵

2

= (𝛼

|

00

⟩

+ 𝛽

|

11

⟩

)

𝐴

2

𝐵

1

⊗ (𝛾

|

0

⟩

+ 𝛿

|

1

⟩

)

𝐵

2

Bob 操作: 对 𝐵

1

和 𝐵

2

比特进行 CNOT 操作. 以 𝐵

1

为控制比特,𝐵

2

为目标比特, 得到

|

𝜓

⟩

𝐴

2

𝐵

1

𝐵

2

= 𝛼

|

00

⟩

𝐴

2

𝐵

1

(𝛾

|

0

⟩

+ 𝛿

|

1

⟩

)

𝐵

2

+ 𝛽

|

11

⟩

𝐴

2

𝐵

1

(𝛿

|

0

⟩

+ 𝛾

|

1

⟩

)

𝐵

2

=

|

0

⟩

𝐵

1

(𝛼𝛾

|

00

⟩

+ 𝛼𝛿

|

01

⟩

) +

|

1

⟩

𝐵

1

(𝛽𝛿

|

10

⟩

+ 𝛽𝛾

|

11

⟩

)

然后 Bob 对 𝐵

1

进行 Hadamard 操作, 得到

|

𝜓

⟩

𝐴

2

𝐵

1

𝐵

2

= (

|

0

⟩

+

|

1

⟩

)

𝐵

1

(𝛼𝛾

|

00

⟩

+ 𝛼𝛿

|

01

⟩

) + (

|

0

⟩

−

|

1

⟩

)

𝐵

1

(𝛽𝛿

|

10

⟩

+ 𝛽𝛾

|

11

⟩

)

=

|

0

⟩

𝐵

1

(𝛼𝛾

|

00

⟩

+ 𝛼𝛿

|

01

⟩

+ 𝛽𝛿

|

10

⟩

+ 𝛽𝛾

|

11

⟩

) +

|

1

⟩

𝐵

1

(𝛼𝛾

|

00

⟩

+ 𝛼𝛿

|

01

⟩

− 𝛽𝛿

|

10

⟩

− 𝛽𝛾

|

11

⟩

)

=

|

0

⟩

𝐵

1

(𝛼

|

0

⟩

𝐴

2

(𝛾

|

0

⟩

+ 𝛿

|

1

⟩

)

𝐵

2

+ 𝛽

|

1

⟩

𝐴

2

(𝛿

|

0

⟩

+ 𝛾

|

1

⟩

)

𝐵

2

)

+

|

1

⟩

𝐵

1

(𝛼

|

0

⟩

𝐴

2

(𝛾

|

0

⟩

+ 𝛿

|

1

⟩

)

𝐵

2

− 𝛽

|

1

⟩

𝐴

2

(𝛿

|

0

⟩

+ 𝛾

|

1

⟩

)

𝐵

2

)

随后对 𝐵

1

进行测量, 得到

• 若测量结果为

|

0

⟩

, 则 𝐴

2

𝐵

2

比特的状态为

𝛼

|

0

⟩

𝐴

2

(𝛾

|

0

⟩

+ 𝛿

|

1

⟩

)

𝐵

2

+ 𝛽

|

1

⟩

𝐴

2

(𝛿

|

0

⟩

+ 𝛾

|

1

⟩

)

𝐵

2

• 若测量结果为

|

1

⟩

, 则 𝐴

2

𝐵

2

比特的状态为

𝛼

|

0

⟩

𝐴

2

(𝛾

|

0

⟩

+ 𝛿

|

1

⟩

)

𝐵

2

− 𝛽

|

1

⟩

𝐴

2

(𝛿

|

0

⟩

+ 𝛾

|

1

⟩

)

𝐵

2

Bob 将测量结果发送给 Alice, 根据测量结果,Alice 对 𝐴

2

进行操作

• 若测量结果为

|

0

⟩

, 则不做任何操作

• 若测量结果为

|

1

⟩

, 则对 𝐴

2

比特做 𝑍 门操作, 即将 𝐴

2

比特的相位翻转

这样一来, 得到 𝐴

2

𝐵

2

比特的状态就变为

𝛼

|

0

⟩

𝐴

2

(𝛾

|

0

⟩

+ 𝛿

|

1

⟩

)

𝐵

2

+ 𝛽

|

1

⟩

𝐴

2

(𝛿

|

0

⟩

+ 𝛾

|

1

⟩

)

𝐵

2

显然, 𝐴

2

为

|

0

⟩

时对应 𝐵

2

的态不变,𝐴

2

为

|

1

⟩

时对应 𝐵

2

的态与原来的相反. 若 𝐴

1

的测量结果为

|

1

⟩

, 则

只是将 𝛼 和 𝛽 互换一下,𝐵

2

的态不受影响. 这样就实现了远程 CNOT 门

2.5 交换门

交换门是一个两量子比特门, 它将两个量子比特的状态交换. 其实现如下

假定有两个量子比特 𝐴, 𝐵, 初始时的状态为

|

𝜓

⟩

𝐴

= 𝛼

|

0

⟩

+ 𝛽

|

1

⟩

,

|

𝜓

⟩

𝐵

= 𝛾

|

0

⟩

+ 𝛿

|

1

⟩

那么系统的状态为

|

𝜓

⟩

𝐴𝐵

= (𝛼

|

0

⟩

+ 𝛽

|

1

⟩

)

𝐴

⊗ (𝛾

|

0

⟩

+ 𝛿

|

1

⟩

)

𝐵

= 𝛼𝛾

|

00

⟩

𝐴𝐵

+ 𝛼𝛿

|

01

⟩

𝐴𝐵

+ 𝛽𝛾

|

10

⟩

𝐴𝐵

+ 𝛽𝛿

|

11

⟩

𝐴𝐵

首先以 𝐴 为控制比特,𝐵 为目标比特, 进行 CNOT 操作, 得到

𝜓

𝐴𝐵

= 𝛼𝛾

|

00

⟩

𝐴𝐵

+ 𝛼𝛿

|

01

⟩

𝐴𝐵

+ 𝛽𝛾

|

11

⟩

𝐴𝐵

+ 𝛽𝛿

|

10

⟩

𝐴𝐵

再以 𝐵 为控制比特,𝐴 为目标比特, 进行 CNOT 操作, 得到

𝜓

𝐴𝐵

= 𝛼𝛾

|

00

⟩

𝐴𝐵

+ 𝛼𝛿

|

11

⟩

𝐴𝐵

+ 𝛽𝛾

|

01

⟩

𝐴𝐵

+ 𝛽𝛿

|

10

⟩

𝐴𝐵

最后再以 𝐴 为控制比特,𝐵 为目标比特, 进行 CNOT 操作, 得到

𝜓

𝐴𝐵

= 𝛼𝛾

|

00

⟩

𝐴𝐵

+ 𝛼𝛿

|

10

⟩

𝐴𝐵

+ 𝛽𝛾

|

01

⟩

𝐴𝐵

+ 𝛽𝛿

|

11

⟩

𝐴𝐵

= (𝛾

|

0

⟩

+ 𝛿

|

1

⟩

)

𝐴

⊗ (𝛼

|

0

⟩

+ 𝛽

|

1

⟩

)

𝐵

即实现了两个量子比特的状态交换