1 量子比特与布洛赫球
经典比特有两种取值, 0 和 1 . 与之对应, 量子比特有两种基本态
|
0
⟩
和
|
1
⟩
. 但是与经典比特不同的是,
量子比特还可以处于这两个态的叠加态
一般的量子比特可以表示为
|
𝜓
⟩
= 𝛼
|
0
⟩
+ 𝛽
|
1
⟩
其中 𝛼 和 𝛽 是复数, 且是归一的
|
𝛼
|
2
+
|
𝛽
|
2
= 1
|
𝛼
|
2
和
|
𝛽
|
2
分别表示测量后得到
|
0
⟩
和
|
1
⟩
的概率. 由于 𝛼 和 𝛽 是复数, 它们之间存在一个相位差. 不妨
认为 𝛼 是实数, 那么
|
𝜓
⟩
=
cos
𝜃
2
|
0
⟩
+ 𝑒
𝑖 𝜙
sin
𝜃
2
|
1
⟩
那么就可以将
|
𝜓
⟩
表示为一个球面上的点, 即布洛赫球. 这个球的半径是 1(图源维基百科)
其中 𝜙 是相位, 会随着时间按体系的哈密顿演化而变化. 而 𝜃 是一个角度, 表示
|
𝜓
⟩
在
|
0
⟩
和
|
1
⟩
之间的
分布. 当 𝜃 = 0 时,
|
𝜓
⟩
=
|
0
⟩
, 当 𝜃 = 𝜋 时,
|
𝜓
⟩
=
|
1
⟩
2 直积与纠缠
若体系有两个量子比特, 有以下四种情况
1. 第一个比特处于
|
0
⟩
, 第二个比特处于
|
0
⟩
, 记为
|
00
⟩
2. 第一个比特处于
|
0
⟩
, 第二个比特处于
|
1
⟩
, 记为
|
01
⟩
3. 第一个比特处于
|
1
⟩
, 第二个比特处于
|
0
⟩
, 记为
|
10
⟩
4. 第一个比特处于
|
1
⟩
, 第二个比特处于
|
1
⟩
, 记为
|
11
⟩
如果第一个比特与第二个比特之间是独立的, 那么体系的状态可以表示为
|
𝜓
⟩
= (𝛼
|
0
⟩
+ 𝛽
|
1
⟩
) ⊗ (𝛾
|
0
⟩
+ 𝛿
|
1
⟩
)
前一项表示第一个比特的状态, 后一项表示第二个比特的状态. 这种状态称为直积态. 如
|
𝜓
⟩
=
1
√
2
(
|
0
⟩
+
|
1
⟩
) ⊗
1
√
2
(
|
0
⟩
−
|
1
⟩
) =
1
2
(
|
00
⟩
−
|
01
⟩
+
|
10
⟩
−
|
11
⟩
)
直积可以以类似于” 乘法分配律” 的方式展开, 也可以由” 因式分解” 的方式合并
如果不能以” 因式分解” 的方式合并, 那么这种状态称为纠缠态. 如
|
𝜓
⟩
=
1
√
2
(
|
00
⟩
+
|
11
⟩
)
它表示两个量子比特一定处于相同的状态, 如果测量其中一个比特, 那么另一个比特的状态也会被确定.
在此处, 如果第一个比特为
|
0
⟩
, 那么第二个比特也为
|
0
⟩
, 如果第一个比特为
|
1
⟩
, 那么第二个比特也为
|
1
⟩
3 密度矩阵
对于一个量子态, 可以将其写为相量的形式. 如
|
𝜓
⟩
=
1
√
2
(|
0
⟩
+
|
1
⟩)
⇒
|
𝜓
⟩
=
1
√
2
1
1
|
𝜓
⟩
=
1
√
2
(|
00
⟩
+
|
11
⟩)
⇒
|
𝜓
⟩
=
1
√
2
1
0
0
1
定义量子态
|
𝜙
⟩
的密度矩阵为
𝜌 =
|
𝜙
⟩ ⟨
𝜙
|
如对于上面的例子
𝜌 =
1
2
1
1
1 1
=
1
2
1 1
1 1
𝜌 =
1
2
1
0
0
1
1 0 0 1
=
1
2
1 0 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0
1 0 0 1
矢量表示的量子态反映了叠加态的性质, 如
|
𝜓
⟩
=
1
√
2
1
1
表示
|
𝜓
⟩
处于
|
0
⟩
和
|
1
⟩
的等概率叠加, 并且相位为 0. 不过当有多个量子比特时就会出现问题. 如对于复
杂一些的量子态
|
𝜓
⟩
=
1
2
[|
0
⟩
(
|
0
⟩
+
|
1
⟩
) +
|
1
⟩
(
|
0
⟩
−
|
1
⟩
)
]
如果测量第一个比特, 将各有 50% 的概率得到
|
0
⟩
和
|
1
⟩
. 以下分两种情况
1. 得到
|
0
⟩
, 那么第二个比特的状态为
|
0
⟩
+
|
1
⟩
2. 得到
|
1
⟩
, 那么第二个比特的状态为
|
0
⟩
−
|
1
⟩
注意此处与叠加态的不同. 叠加态是量子比特同时处于不同的状态, 而这里对第一个比特进行测量后, 第
二个比特的状态会坍缩到
|
0
⟩
+
|
1
⟩
或
|
0
⟩
−
|
1
⟩
中的一个, 具体坍缩到哪个取决于第一个比特的测量结果
简而言之, 叠加态是量子比特未坍缩的状态, 而此处在对比特一测量后, 第二个比特的状态就已经坍缩了.
为了描述对比特一测量后第二个比特的状态, 需要用到密度矩阵. 用于表示经典概率的密度矩阵是如下定
义的
𝜌 =
𝑖
𝑝
𝑖
|
𝑖
⟩ ⟨
𝑖
|
其中 𝑝
𝑖
是量子比特处于
|
𝑖
⟩
的概率, 作为概率, 它应当是归一的
𝑖
𝑝
𝑖
= 1
注意到密度矩阵的对角元是概率, 而非对角元是相位. 下面来验证它. 假定有一个多量子比特的系统, 它的
状态为
|
𝜓
⟩
=
𝑖
𝑐
𝑖
|
𝑖
⟩
其中 𝑐
𝑖
是复数, 将其写为指数形式
𝑐
𝑖
=
|
𝑐
𝑖
|
𝑒
𝑖 𝜃
𝑖
考察
|
𝜓
⟩
的密度矩阵 𝜌 =
|
𝜓
⟩ ⟨
𝜓
|
, 有
𝜌
𝑖 𝑗
= 𝑐
𝑖
𝑐
𝑗
因而对角元
𝜌
𝑖𝑖
=
|
𝑐
𝑖
|
2
这正是概率, 称对角元为概率项. 它反映了量子比特处于
|
𝑖
⟩
的概率
对于非对角元而言, 若
|
𝜓
⟩
是一个叠加态, 即
|
𝜓
⟩
中
|
𝜓
⟩
=
𝑖
𝑐
𝑖
|
𝑖
⟩
中有多个 𝑐
𝑖
不为 0, 那么它们两两组合得到的非对角元 𝑐
𝑖
𝑐
𝑗
一定不为零. 反过来也就是说, 若密度矩阵
的
非对角元不为零, 那么这个量子态就是一个叠加态
, 否则则是经典的概率分布
若一个量子态处于多个基态的叠加态, 称这些基态相干. 非对角元描述了这些基态之间的相干性. 非对角
元越大, 这些态之间的相干性越强. 若非对角元为 0, 则这些基态之间不相干
用上面的例子来说明叠加态和经典概率分布的区别. 假定有一个单量子比特的系统, 它的状态为
|
𝜓
⟩
=
1
√
2
(
|
0
⟩
+
|
1
⟩
)
显然它处于
|
0
⟩
和
|
1
⟩
的等概率叠加态. 它的密度矩阵为
𝜌 =
1
2
1 1
1 1
再考虑一个经典混合态, 这个量子比特的状态为 1/2 的概率处于
|
0
⟩
, 1/2 的概率处于
|
1
⟩
. 这个比特的状
态在实验前就是确定的, 只是我们不知道它的状态. 它的密度矩阵为
𝜌 =
1
2
1 0
0 1
下面来讨论这两种情况的差异. 为了具体地说明, 此处使用原子的自旋态来表示量子比特的状态. 原子的
自旋有两个本征态, 分别为
|
↑
⟩
,
|
↓
⟩
可以通过微波操控原子的自旋. 并且由于原子不同自旋能级能量不同, 在演化过程中会积累相位差
首先讨论叠加态. 假定有一个原子, 它的自旋态为
|
𝜓
⟩
=
1
√
2
(
|
↑
⟩
+
|
↓
⟩
)
这个状态应当在布洛赫球的赤道面上, 并且两个本征态没有相位差, 不妨指定为 𝑥 轴. 令系统演化一段时
间, 使其偏离 𝑥 轴一个角度 𝜙, 那么此时原子的自旋态为
|
𝜓
⟩
=
1
√
2
(
|
↑
⟩
+ 𝑒
𝑖 𝜙
|
↓
⟩
)
然后再施加一个微波脉冲, 使自旋态沿着 𝑥 轴逆时针旋转 𝜋/2, 那么此时原子的自旋态为
|
𝜓
⟩
= sin
𝜙
2
|
↑
⟩
+ cos
𝜙
2
|
↓
⟩
此时进行测量, 将有 sin
2
(𝜙/2) 的概率得到
|
↑
⟩
, 有 cos
2
(𝜙/2) 的概率得到
|
↓
⟩
. 随着时间不同, 得到
|
↑
⟩
和
|
↓
⟩
的概率也不同. 这是一种广义的” 干涉条纹”
而对于经典概率分布, 假定有一个原子, 它的自旋态为相等概率的
|
↑
⟩
或
|
↓
⟩
, 至于具体处于哪个状态在实
验前就确定了. 让系统演化一段时间, 原子的自旋态不会改变. 再施加一个微波脉冲, 使自旋态沿着 𝑥 轴逆
时针旋转 𝜋/2, 那么此时原子的自旋态为
|
↑
⟩
和
|
↓
⟩
的等概率叠加态. 此时进行测量, 将有 1/2 的概率得到
|
↑
⟩
, 有 1/2 的概率得到
|
↓
⟩
, 这与演化时间无关
由此便能看出经典混合态与量子叠加的区别: 量子叠加态具有量子性质, 是一种状态; 而经典混合态是一
种概率分布, 描述处于不同状态的概率
