1 迭代
如果一个物理量的表达式含有它本身, 则求解可以使用迭代法
𝑥 = 𝑓 (𝑥)
一般需要求解的方程是
𝑔(𝑥) = 0
通常使用牛顿迭代法
𝑥
𝑛+1
= 𝑥
𝑛
−
𝑔(𝑥
𝑛
)
𝑔
′
(𝑥
𝑛
)
即
𝑓 (𝑥) = 𝑥 −
𝑔(𝑥)
𝑔
′
(𝑥)
迭代得到的根需要是收敛的
|
𝑔(𝑥
𝑛+1
)
|
< 𝛿
如果物理系统很复杂, 迭代法可能不收敛, 但是解是应该存在的, 只是迭代方法态太粗糙了. 那么可以使
用混合输入迭代法, 新的输入为
𝑥
𝑛+1
= 𝛼𝑥
𝑛
+ (1 − 𝛼) 𝑓 (𝑥
𝑛
)
其中 0 < 𝛼 < 1 是混合系数, 进而得到新的输入
𝑥
𝑛+1
= 𝑓 (𝑥
𝑛+1
) = 𝑓 (𝛼𝑥
𝑛
+ (1 − 𝛼)𝑥
𝑛−1
)
在更复杂的系统中, 混合两步也不够, 那么就可以混合三步
2 一维迭代 Logistic 方程
Logistic 方程为
𝑦 = 𝜆𝑥(1 − 𝑥), 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝜆 ≤ 4
其迭代形式
𝑥
𝑛+1
= 𝜆𝑥
𝑛
(1 − 𝑥
𝑛
)
在不同参数下, 迭代行为不同
1. 𝜆 = 0.8 迭代收敛到 0
2. 𝜆 = 2.5 迭代收敛到 0.6
3. 𝜆
=
3
.
1
迭代在两个点之间轮流交替
,
一个点是另一个点的迭代结果
4. 𝜆 = 3.8 无数点无规则出现, 进入混沌
这体现出系统的几种状态
1. 绝灭: 0 ≤ 𝜆 ≤ 1, 迭代收敛到 0
2. 稳定点: 1 < 𝜆 ≤ 3, 迭代收敛到 1 − 1/𝜆
3. 倍周期分叉: 3 < 𝜆 ≤ 3.57, 迭代数目间断地翻倍
4. 混沌: 3.57 < 𝜆 ≤ 4, 迭代无规则出现
5. 周期窗口: 在混沌中, 仍然存在一些稳定的周期点
如果以 𝜆 为横坐标, 迭代的极限值为纵坐标, 则可以画出分岔图
在混沌状态, 迭代的结果是初值敏感的. 即使初值非常接近, 迭代的结果也会有很大差异
3 Feigenbaum 常数
在倍周期分叉中, 相邻两个分叉点的间距比值趋向于一个常数
利用重正化群可以得到常数为
𝛿 = 4.6692016091029906718532038
它是不依赖于迭代函数的普适常数, 如迭代方程
𝑥
𝑛+1
= 𝜆 sin 𝜋𝑥
𝑛
倍周期分叉的分叉点按照几何级数收敛
𝜆
∞
= 𝜆
𝑚
+ 𝐴𝛿
−𝑚
其中 𝐴 与迭代函数有关. 分叉的纵向间距也有相似的性质, 有
𝑑
𝑚
𝑑
𝑚+1
→ 𝛼
𝛼 也是一个普适常数
𝛼 = 2.50290787509589282228390287
4 Lyapunov 指数
Lyapunov 指数用于量化混沌系统的敏感性. 设有两个初值 𝑥
0
和 𝑥
0
+ d𝑥, 在混沌状态两个初值的迭代结
果分离得越来越快. 记
d𝑥
𝑛
= d𝑥
0
𝑒
𝜆
′
𝑛
取其极限得到 Lyapunov 指数
𝜆
′
= lim
𝑛→∞
1
𝑛
ln
d𝑥
𝑛
d𝑥
0
Lyapunov 指数为正则表明运动轨道在每个局部都不稳定, 相邻轨道指数分离, 形成混沌吸引子; 指数为负
则表明轨道收敛. 指数由负转正时, 系统从稳定变为混沌
5 Julia 集与 Mandelbrot 集
复平面上有迭代方程
𝑍
𝑛+1
= 𝑍
2
𝑛
+ 𝐶
如果某个初值 𝑧
0
的迭代结果不会发散, 则 𝑧
0
属于 Julia 集. 一些好看的参数是
𝐶 = 0.11 + 0.66𝑖
如果取定 𝑧
0
= 0, 令使得结果不会发散的 𝐶 值组成的集合称为 Mandelbrot 集. 它有性质
1. 自相似: Mandelbrot 集放大很多后会看起来和原来相似
2. Julia 集的微缩字典: Mandelbrot 集的每个点附近能找到该 𝐶 对应的 Julia 集
