分形与维数
目录
1 分形与其维数 2
2 常见分形维数的例子 2
2.1 Cantor 集 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2 Koch 曲线 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.3 Sierpinski 三角形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3 不规则分形 4
3.1 布朗运动 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.2 粗糙曲线的圆规计数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.3 周长-面积法与表面积-体积法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.4 盒计数法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.5 Sandbox 法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.6 面积-回转半径法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1
1 分形与其维数
分形是局部与整体相似的几何图形, 具有自相似性
为了确定分形的维数, 引入一个测量单元 𝜖, 用它不断的连续覆盖图形, 对图形上覆盖的测量单元数目进
行计数, 得到
𝑁 (𝜖 )
如果使得测量单元缩小 (传统维度意义上的缩小, 即每个维度上都缩小一定比例), 那么计数就会增大, 但
增大的速率会有规律. 定义分形的维数为
𝐷 = lim
𝜖 →0
ln 𝑁 (𝜖 )
ln(1/ 𝜖 )
对于一维的线段而言, 取测量单元为一根小线段. 在极限情况下, 当其长度变为原来的一半时, 测量计数变
为两倍, 因而线段的维数为 1
对于平面上的正方形, 取测量单元为一个小正方形. 在极限情况下, 当其边长变为原来的一半时, 测量计数
变为四倍, 因而正方形的维数为 2
对于三维空间中的立方体, 取测量单元为一个小立方体. 在极限情况下, 当其边长变为原来的一半时, 测量
计数变为八倍, 因而立方体的维数为 3
2 常见分形维数的例子
2.1 Cantor 集
Cantor 集是将一个线段不断挖去中间的三分之一, 形成的一个分形集
取测量单元为与初始线段一样长的线段, 不断令其长度变为原来的
1
3
, 对于长度为
1
3
𝑛
的线段, 显然其计数为
2
𝑛
那么得到它的维数为
𝐷 =
ln 2
ln 3
= 0.6309
2.2 Koch 曲线
Koch 曲线是将直线段如下迭代形成的图形
1. 将图形中每条线段分成三等分
2. 在中间的线段上构造一个等边三角形, 并去掉底边
它是折线, 应该用一维线段作为尺子测量. 初始尺子是原始线段, 不断令其长度变为原来的
1
3
, 计数则不断
变成原来的 4 倍, 因而得到它的维数为
𝐷 =
ln 4
ln 3
= 1.2619
2.3 Sierpinski 三角形
按照如下迭代构造 Sierpinski 三角形
1. 将一个正三角形分成四个小的正三角形
2. 去掉中间的那个小正三角形
用原始的正三角形作为测量单元, 不断令其边长变为原来的
1
2
, 计数则不断变成原来的 3 倍, 因而得到它
的维数为
𝐷 =
ln 3
ln 2
= 1.5850
3 不规则分形
3.1 布朗运动
布朗运动的总位移可以表示为
R =
∑
r
𝑖
那么其平方
𝑅
2
=
⟨
𝑅
2
⟩
=
∑
⟨
𝑟
2
𝑖
⟩
+
∑
𝑖≠ 𝑗
⟨
𝑟
𝑖
𝑟
𝑗
⟩
=
∑
⟨
𝑟
2
𝑖
⟩
如果记每一步位移长度的均值为
ℓ
,
则
𝑅
2
= 𝑁 ℓ
2
⇔ 𝑁 =
(
𝑅
ℓ
)
2
这里的 ℓ 即为单元长度,𝑁 即为图形包含的单元数目,𝑅/ℓ 即图形的放大倍数, 由于
ln 𝑁
ln 𝑅/ℓ
= 2
因此分形的维数是 2
3.2 粗糙曲线的圆规计数
在曲线的一端画半径为 𝜖 的圆, 在圆与曲线的交点上不断重复这个过程, 计数交点的个数 𝑁, 则这样定义
维数 𝐷
𝑁 ∝ 𝜖
−𝐷
如果这样测量一条直线段, 则 𝐷 = 1
3.3 周长-面积法与表面积-体积法
如果粗糙曲线是封闭的, 可以利用周长-面积法求分维, 也称小岛法. 对于规程图形而言
• 周长计数与测量单元尺寸成正比
• 面积计数与测量单元尺寸的平方成正比
因而对于规则图形有
𝑃 ∝ 𝐴
1/2
用分形周长代替光滑周长, 则对于分形而言有
[𝑃(𝜖 )]
1/𝐷
∝ 𝜖
(1−𝐷)/𝐷
[𝐴(𝜖 )]
1/2
取对数后有
1
𝐷
ln[𝑃 (𝜖 )/𝜖 ] = ln[𝐴(𝜖 )
1/2
/𝜖 ] + const
可以推广至粗糙曲面. 三维规则图形有
𝐴
1/2
∝ 𝑉
1/3
那么对于分形图形有
𝐴(𝜖 )
1/𝐷
∝ 𝜖
(2−𝐷)/𝐷
𝑉 (𝜖)
1/3
取对数后有
1
𝐷
ln[𝐴(𝜖)/𝜖
2
] = ln[𝑉 (𝜖)
1/3
/𝜖 ] + const
3.4 盒计数法
将分形图形用边长为 𝜖 的正方形盒子覆盖, 计数盒子的个数 𝑁 (𝜖), 则
𝑁 (𝜖 ) ∝ 𝜖
−𝐷
对与一维空间中的分形, 用线段覆盖; 对于三维空间中的分形, 用立方体覆盖
3.5 Sandbox 法
Sandbox 法是将分形图形放在一个正方形盒子中, 盒子的边长为 𝐿, 盒子中的分形像素计数为 𝑁 (𝐿), 则
𝑁 (𝐿) ∝ 𝐿
𝐷
当盒子接近分形图形的边界时, N 不再变化
3.6 面积-回转半径法
已知分形中心或是质心时, 回转半径定义为点到中心的距离的平方平均值
𝑅
2
𝑔
=
1
𝑁
∑
𝑟
2
𝑖
或是遍历所有像素, 计算
𝑅
2
𝑔
=
1
2𝑁 (𝑁 − 1)
∑
( 𝑟
𝑖
− 𝑟
𝑗
)
2
计算各个分形团簇的面积 N 和回转半径 𝑅
𝑔
, 则
𝑁 ∝ 𝑅
𝐷
𝑔
