静电能
目录
1 真空中点电荷系统的相互作用能 2
1.1 点电荷在外场中的电势能 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 点电荷系统的相互作用能 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 连续分布电荷系统的静电能 2
2.1 体电荷分布的静电能 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2 面电荷分布的静电能 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.3 另一角度看待静电能 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.4 两个带电体的静电能 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.5 多个带电体的静电能 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.6 与电偶极子有关的能量概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.7 导体系统的静电能 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.8 电场的能量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3 电介质中的静电能 4
3.1 宏观静电能与静电能 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.1.1 能量依附于自由电荷 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.1.2 能量依附于电场 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.2 极化能 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.2.1 点电荷观点 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.2.2 场的观点 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.3 极化功 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.3.1 线性无损耗介质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4 由静电能求静电力 7
4.1 由电势能求静电力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.2 由静电能求静电力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.2.1 维持导体电量不变 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.2.2 维持导体电势不变 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.3 作用在介质上的力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.3.1 线性各向同性介质受力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.3.2 线性, 均匀, 各向同性介质受力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1
1 真空中点电荷系统的相互作用能
1.1 点电荷在外场中的电势能
将点电荷 𝑞
0
从 ∞ 处无限缓慢地移动到 ®𝑟 处的过程中, 外界抵抗静电力所做的功称为 𝑞
0
在 ®𝑟 处的电势
能, 记为 𝑈(®𝑟)
若 ®𝑟 处的外场电势为 𝜑
𝑒
(®𝑟), 则
𝑈(®𝑟) = 𝑞
0
𝜑
𝑒
(®𝑟)
其中
𝜑
𝑒
(®𝑟) =
𝑘
𝑞
𝑘
4𝜋𝜖
0
ℝ
𝑘
(点电荷系统) =
𝑑𝑞
4𝜋𝜖
0
ℝ
1.2 点电荷系统的相互作用能
将点电荷从彼此相距 ∞ 处, 无限缓慢移至给定位形, 外界抵抗静电力做的功与过程无关, 称为该点电荷系
统的相互作用能
𝑊
互
=
1
2
𝑖
𝑞
𝑖
𝜑
𝑖
, 𝜑
𝑖
=
𝑗 (≠𝑖)
𝑞
𝑗
4𝜋𝜖
0
𝑟
𝑖 𝑗
(其他电荷产生的电势)
相互作用能属于点电荷系统共同拥有 (外界做功消耗的能量储存在了点电荷系统中)
2 连续分布电荷系统的静电能
将点电荷系统的相互作用能推广到连续分布的电荷体系
𝑊 =
1
2
𝜑
𝑒
𝑑𝑞 =
1
2
𝜑𝑑𝑞 −
1
2
𝜑
0
𝑑𝑞
其中 𝜑 = 𝜑
𝑒
+ 𝜑
0
是 𝑑𝑞 处的总电势,𝜑
0
是 𝑑𝑞 在自身处激发的电势
2.1 体电荷分布的静电能
电荷元 𝑑𝑞 = 𝜌𝑑𝑉 在自身处产生的电势随 𝑑𝑉 趋于零而趋于零, 从而 𝜑
𝑒
和 𝜑 = 𝜑
𝑒
+ 𝜑
0
的差别可以忽略
(证明待补), 从而得到体电荷分布的静电能 (自能) 为
𝑊 =
1
2
𝜑𝑑𝑞 =
1
2
𝑉
𝜌(®𝑟)𝜑(®𝑟)𝑑𝑉
其中 𝜑 为总电势, 积分区域 𝑉 可以是全空间, 也可以任一将所有电荷都包含在内的区域
2.2 面电荷分布的静电能
对应面电荷, 也有 𝜑
0
→ 0, 从而面电荷分布的静电能 (自能) 为
𝑊 =
1
2
𝜑𝑑𝑞 =
1
2
𝑆
𝜎(®𝑟)𝜑(®𝑟)𝑑𝑆
其中 𝜑 为总电势
2.3 另一角度看待静电能
假设已有一部分电荷聚拢, 将剩下的电荷逐步从 ∞ 聚拢, 也可以给出静电能公式
而将有限电量聚拢到一个点上或者一条线上, 外界都需要做无穷大的功. 对于点电荷或线电荷, 其自能为
∞. 通常只讨论它们之间的相互作用能以及它们处在外电场中的电势能
2.4 两个带电体的静电能
考察两个带电体 1 和 2 构成的系统, 两者在空间中激发的电势记为 𝜑
1
(®𝑟) 与 𝜑
2
(®𝑟), 则系统的总电势能为
𝑊 =
1
2
𝜑𝑑𝑞 =
1
2
(𝜑
1
+ 𝜑
2
)(𝑑𝑞
1
+ 𝑑𝑞
2
)
=
1
2
𝜑
1
𝑑𝑞
1
+
1
2
𝜑
2
𝑑𝑞
2
+
1
2
𝜑
1
𝑑𝑞
2
+
1
2
𝜑
2
𝑑𝑞
1
由格林互易定理有
𝜑
1
𝑑𝑞
2
=
𝜑
2
𝑑𝑞
1
那么总静电能可以写为
𝑊 = 𝑊
1
+ 𝑊
2
+ 𝑊
12
其中 𝑊
1
𝑊
2
分别为各自的自能
𝑊
1
=
1
2
𝜑
1
𝑑𝑞
1
, 𝑊
2
=
1
2
𝜑
2
𝑑𝑞
2
𝑊
12
称为两带电体之间的互能
𝑊
12
=
𝜑
1
𝑑𝑞
2
=
𝜑
2
𝑑𝑞
1
2.5 多个带电体的静电能
多个带电体的静电能等于每一个带电体的自能与两两带电体之间的互能之和
𝑊 =
𝑖
𝑊
𝑖
𝑖< 𝑗
𝑊
𝑖 𝑗
= 𝑊
自
+ 𝑊
互
设 𝜑
(𝑖)
是第 𝑖 个带电体产生的电势,𝜑
𝑖
是第 𝑖 个带电体之外其他带电体产生的电势, 有
𝑊
自
=
𝑖
𝑊
𝑖
=
1
2
𝑖
𝜑
(𝑖)
𝑑𝑞
𝑖
𝑊
互
=
𝑖< 𝑗
𝑊
𝑖 𝑗
=
1
2
𝑖
𝜑
𝑖
𝑑𝑞
𝑖
当所有带电体尺度都远小于它们间的距离时与点电荷系统的相互作用能一致
2.6 与电偶极子有关的能量概念
一个电偶极子 ®𝑝
0
在电场
®
𝐸
𝑒
= −∇𝜑
𝑒
中的电势能为
𝑈 = 𝑞𝜑
𝑒
(®𝑟
+
) − 𝑞𝜑
𝑒
(®𝑟
−
)
= 𝑞
𝜑
𝑒
(®𝑟 +
®
𝑙/2) − 𝜑
𝑒
(®𝑟 −
®
𝑙/2)
= 𝑞
®
𝑙 · ∇𝜑
𝑒
(®𝑟)
= − ®𝑝
0
·
®
𝐸
两个电偶极子之间的相互作用能
𝑊
12
= − ®𝑝
1
·
®
𝐸
12
= − ®𝑝
1
·
1( ®𝑝
2
·
ˆ
𝑟
12
) − ®𝑝
2
4𝜋𝜖
0
𝑟
3
12
两个电偶极子之间的相互作用能可以表示为
𝑊
12
=
®𝑝
1
· ®𝑝
2
− 3( ®𝑝
1
·
ˆ
𝑟
12
)( ®𝑝
2
·
ˆ
𝑟
12
)
4𝜋𝜖
0
𝑟
3
12
=
1
2
( ®𝑝
1
·
®
𝐸
12
+ ®𝑝
2
·
®
𝐸
21
)
那么 𝑁 个电偶极子之间的相互作用能
𝑊 = −
1
2
𝑁
𝑖=1
®𝑝
𝑖
·
®
𝐸
𝑖
其中，
®
𝐸
𝑖
为除 ®𝑝
𝑖
外其它电偶极子在 ®𝑝
𝑖
处产生的电场
电偶极子的相互吸引与排斥也可以用相互作用能得出
2.7 导体系统的静电能
由于净电荷只分布于导体表面，每个导体表面都为等势面，导体系统的静电能可以表示为
𝑊 = 𝑑𝑓 𝑟𝑎𝑐12
𝑖
𝑄
𝑖
𝜑
𝑖
其中 𝑄
𝑖
和 𝜑
𝑖
分别为第 𝑖 个导体的总电量与总电势
2.8 电场的能量
除了可以将静电能视为电荷的能量, 也可以视为电场的能量. 静电能一般可以表示为
𝑊 =
1
2
𝜖
0
𝐸
2
𝑑𝑉
单位体积的静电能 𝑤 称为电场的能量密度
𝑤 =
1
2
𝜖
0
𝐸
2
两种观点的等价证明待补
3 电介质中的静电能
3.1 宏观静电能与静电能
有介质存在时, 宏观静电能 𝑊
0
定义为
𝑊
0
=
1
2
𝜌(®𝑟)𝜑(®𝑟)𝑑𝑉
=
1
2
𝜌
0
(®𝑟)𝜑(®𝑟)𝑑𝑉 +
1
2
𝜌
0
(®𝑟)𝜑(®𝑟)𝑑𝑉
宏观静电能意指:(假如没有介质) 无限缓慢地建立宏观电荷分布 𝜌 = 𝜌
0
+ 𝜌
0
的过程中外界抵抗静电力做
的功。
有介质存在时, 静电能 𝑊 定义为: 建立自由电荷过程中外界抵抗静电力做的功
在此过程中, 极化电荷作为被动的响应自动出现, 不仅出现了宏观的极化电荷分布, 介质内部的围观电荷
分布也会由于极化发生变化
3.1.1 能量依附于自由电荷
有介质存在时, 体系的静电能为
𝑊 =
1
2
𝜑𝑑𝑞
0
=
1
2
𝜌
0
(®𝑟)𝜑(®𝑟)𝑑𝑉 +
1
2
𝜎
0
(®𝑟)𝜑(®𝑟)𝑑𝑆
对应导体和简单介质构成的系统, 其静电能为
𝑊 =
1
2
𝑖
𝑄
𝑖
𝜑
𝑖
𝑄
𝑖
与 𝜑
𝑖
为第 𝑖 个导体的总电量与电势
3.1.2 能量依附于电场
有介质存在时, 体系的静电能为
𝑊 =
1
2
®
𝐷 ·
®
𝐸
𝑑𝑉
能量密度为
𝑤 =
1
2
®
𝐷 ·
®
𝐸
在简单介质中,𝑤 =
1
2
𝜖 𝐸
2
等价证明略
3.2 极化能
在建立给定的自由电荷分布的过程中, 极化电荷会自动出现. 介质内部的微观电荷会重新分布, 因此, 外界
还要克服分子内部或之间的相互作用做功, 称为极化功. 对于线性介质, 极化功转变为了极化能储存在了
介质内部
3.2.1 点电荷观点
𝑊 =
1
2
𝜌
0
𝜑𝑑𝑉 =
1
2
(𝜌
0
+ 𝜌
0
)𝜑𝑑𝑉 −
1
2
𝜌
0
𝜑𝑑𝑉
右边第一项为宏观静电能 𝑊
0
, 第二项则给出了极化能, 负号表示电场对极化电荷做功
𝑊
极
= −
1
2
𝜌
0
𝜑𝑑𝑉
3.2.2 场的观点
𝑊 =
1
2
®
𝐷 ·
®
𝐸
𝑑𝑉 =
1
2
𝜖
0
𝐸
2
+
⨌
1
2
®
𝑃 ·
®
𝐸
𝑑𝑉
第二项给出了极化能
𝑊
极
=
1
2
®
𝑃 ·
®
𝐸
𝑑𝑉
被积函数表示单位体积介质中的极化能, 称为极化能密度
3.3 极化功
移动自由电荷 𝛿𝜌
0
(®𝑟) 的过程中, 外界抵抗静电力做的功为
𝛿𝐴 =
®
𝐸 · 𝛿
®
𝐷𝑑𝑉
电源由于做功而在空间单位体积内消耗的能量为
𝛿𝑎 =
®
𝐸 · 𝛿
®
𝐷 = 𝜖
0
®
𝐸 · 𝛿
®
𝐸 +
®
𝐸 · 𝛿
®
𝑃
右边第一项与过程无关
𝜖
0
®
𝐸 · 𝛿
®
𝐸 = 𝛿
1
2
𝜖
0
𝐸
2
右边第二项为电源对单位体积介质做的极化功, 即极化功密度, 通常与过程有关
𝛿𝑎
0
=
®
𝐸 · 𝛿
®
𝑃
3.3.1 线性无损耗介质
简单介质本构方程为
®
𝑃(®𝑟) = 𝜒(®𝑟)𝜖
0
®
𝐸 (®𝑟)
得到
®
𝐸 · 𝛿
®
𝑃 = 𝛿
1
2
®
𝑃 ·
®
𝐸
极化功与过程无关 (对线性各项异性介质也成立)
4 由静电能求静电力
4.1
由电势能求静电力
虚功原理: 维持外部电荷不动, 设想粒子位置改变 𝛿®𝑟, 外力做功等于电势能的增量
−
®
𝐹 · 𝛿®𝑟 = 𝛿𝑈 = 𝑈 (®𝑟 + 𝛿®𝑟) − 𝑈(®𝑟) = (∇𝑈) · 𝛿®𝑟
若 𝛿®𝑟 表示沿
ˆ
𝑥,
ˆ
𝑦,
ˆ
𝑧 方向的平移, 则
𝛿®𝑟 =
ˆ
𝑥𝛿𝑥 ⇒ 𝐹
𝑥
= −𝜕
𝑥
𝑈
𝛿
®
𝑟
=
ˆ
𝑦𝛿𝑦 ⇒ 𝐹
𝑦
= −𝜕
𝑦
𝑈
𝛿®𝑟 =
ˆ
𝑧𝛿𝑧 ⇒ 𝐹
𝑧
= −𝜕
𝑧
𝑈
⇔
®
𝐹 = −∇𝑈
若 𝛿®𝑟 表示绕着原点的
ˆ
𝑛 轴转过角度, 即
𝛿®𝑟 = (
ˆ
𝑛 × ®𝑟)𝛿𝜃
由于
®
𝐹 · 𝛿®𝑟 =
®
𝐹 · (
ˆ
𝑛 × ®𝑟)𝛿𝜃 =
ˆ
𝑛 · (®𝑟 ×
®
𝐹)𝛿𝜃
𝛿𝑈 =
𝜕𝑈
𝜕𝜃
𝑑𝜃
因而点电荷所受 (相对于 𝑂 点的) 力矩在
ˆ
𝑛 方向的投影为
𝜏
𝑛
=
ˆ
𝑛 · ®𝜏 =
ˆ
𝑛 · (®𝑟 ×
®
𝐹) = −
𝜕𝑈
𝜕𝜃
推广! 设在外场 𝜑
𝑒
中的带电体的总电势能为 𝑈, 假想带电体有一个刚性运动, 带电体受到的总静电力与
静电力矩表示为
®
𝐹 = −∇𝑈 = −(∇𝑈)
𝜌
ˆ
𝑛 · ®𝜏 = −
𝜕𝑈
𝜕𝜃
= −
𝜕𝑈
𝜕𝜃
𝜌
不适用于讨论存在导体或电介质的情况!
4.2 由静电能求静电力
4.2.1 维持导体电量不变
虚拟过程: 设想某个带电体发生一小段位移 𝛿®𝑟 的过程中, 维持各导体电量不变
设 𝑊 为体系的静电能,
®
𝐹 是所研究带电体受到的静电力, 则
−
®
𝐹 · 𝛿®𝑟 = +(𝛿𝑊)
𝑄
(外界做功电场能量增加)
®
𝐹 · 𝛿®𝑟 = −(𝛿𝑊)
𝑄
(电场做功电场能量减小)
那么
®
𝐹 = −∇𝑊 = −(∇𝑊)
𝑄
ˆ
𝑛 · ®𝜏 = −
𝜕 𝑊
𝜕𝜃
= −
𝜕𝑊
𝜕𝜃
𝑄
4.2.2 维持导体电势不变
虚拟过程: 设想某个带电体发生一小段位移 𝛿®𝑟 的过程中, 维持各导体电势不变 (外接电源)
外界做功包含:
1. 外界抵抗静电力做功 −
®
𝐹 · 𝛿®𝑟
2. 电源为维持导体电势不变做功 𝛿𝐴
0
𝛿𝐴
0
−
®
𝐹 · 𝛿𝑣𝑒𝑐 𝑟 = +(𝛿𝑊)
𝜑
外界做功等于电场能量的增加
𝛿𝐴
0
=
®
𝐹 · 𝛿®𝑟 + (𝛿𝑊)
𝜑
电源提供的能量一部分用于电场对外界做功, 一部分使得电场能量增加
电源做功为
𝛿𝐴
0
=
𝑖
𝜑
𝑖
𝛿𝑄
𝑖
在自由电荷完全由导体携带的情形下, 静电能的增加为
(𝛿𝑊)
𝜑
=
𝛿
1
2
𝑖
𝑄
𝑖
𝜑
𝑖
𝜑
=
1
2
𝑖
𝜑
𝑖
𝛿𝑄
𝑖
故
𝛿𝐴
0
= 2(𝛿𝑊)
𝜑
因此
®
𝐹 · 𝛿®𝑟 = (𝛿𝑊)
𝜑
电场做功等于静电能的增加
−
®
𝐹 · 𝛿®𝑟 = −(𝛿𝑊)
𝜑
外力做功等于静电能的减少
得到
®
𝐹 = +(∇𝑊)
𝜑
ˆ
𝑛 · ®𝜏 = +
𝜕 𝑊
𝜕𝜃
𝜑
4.3 作用在介质上的力
考察外场 𝐸
0
中的一块电介质, 假设介质内部无自由电荷, 极化电荷产生的场设为
®
𝐸
0
, 总场为
®
𝐸 =
®
𝐸
0
+
®
𝐸
0
作用于单位体积电介质上的外力为作用在每个分子电偶极子 ®𝑝
0
上的外力之和
®
𝑓 = 𝑛( ®𝑝
0
· ∇
®
𝐸
0
) =
®
𝑃 · ∇
®
𝐸
0
整块介质受到的外力即为
®
𝐹 =
®
𝑓 𝑑𝑉 =
(
®
𝑃 · ∇
®
𝐸
0
)𝑑𝑉
电介质不会对自身施加力的作用, 外场中的一块孤立的电介质受到的静电力可以写为
®
𝐹 =
(
®
𝑃 · ∇
®
𝐸)𝑑𝑉
4.3.1 线性各向同性介质受力
由
®
𝑃(®𝑟) = 𝜒(®𝑟)𝜖
0
®
𝐸 (®𝑟)
得
®
𝑃 · ∇
®
𝐸 =
1
2
(𝜖 − 𝜖
0
)∇𝐸
2
4.3.2 线性, 均匀, 各向同性介质受力
由 𝜖 为常数, 得
®
𝑃 · ∇
®
𝐸 =
1
2
(𝜖 − 𝜖
0
)∇𝐸
2
=
𝜖 − 𝜖
0
𝜖
∇
1
2
𝜖 𝐸
2
=
𝜖 − 𝜖
0
𝜖
∇𝑊
介质受力指向静电能密度增加最快的方向, 介质具有向着静电能密度更大的区域运动的趋势
