静电场中的导体和电介质

1 物质的电性质 2

2 静电场中的导体 2

2.1 静电平衡的条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.2 导体处于静电平衡的性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.2.1 静电平衡时的电场 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.2.2 静电平衡时的电势 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.2.3 静电平衡时的电荷分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.3 静电屏蔽 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.4 唯一性定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.4.1 静电平衡可以叠加 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3 电像法 5

3.1 电像法的基本思想 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.2 点电荷对无限大接地导体的电像 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.2.1 电势 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.2.2 电场 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.2.3 感应电荷分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.2.4 𝑞 受到的力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.2.5 能量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.3 点电荷对接地导体球的电像 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.3.1 球外电势 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.3.2 感应电荷 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.3.3 电荷 𝑞 受到的力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.3.4 接地导体球壳内的电场 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.3.5 维持电势 𝜑

的导体球内的电场 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.4 无限长电荷对无限长接地圆柱 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.5 电中性导体球在均匀外场中 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.6 孤立旋转导体椭球 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4 电容与电容器 10

4.1 孤立导体的电容 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.2 电容器 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.3 常见电容器 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.3.1 平行板电容器 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.3.2 球形电容器 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.3.3 圆柱形电容器 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.4 电容器的联结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.4.1 串联 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.4.2 并联 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.5 导体系统的电容 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.5.1 电容系数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.6 电容系数的性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.7 电压系数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.8 电压系数的性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.9 导体系统中的两导体的电容 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.10 格林互易定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5 静电场中的电介质 14

5.1 法拉第实验 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5.2 极化的微观机制 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5.3 电极化强度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5.3.1 电场中的电介质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5.3.2 极化强度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5.3.3 极化电荷的体密度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5.3.4 极化电荷的面密度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5.3.5 退极化场 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5.3.6 介电常数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5.4

电介质中电场的含义

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5.4.1 均匀极化介质圆柱在介质外的电场 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5.4.2 均匀极化的介质圆柱在介质内的宏观电场 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5.4.3 均匀极化的介质球的电场 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5.4.4 介质中的电场 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5.5 电介质的极化规律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5.5.1 各向同性介质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5.5.2 匀强场中的介质球 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

6 电介质中静电场的基本规律 20

6.1 有电介质时的环路定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

6.1.1 环路定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

6.1.2 静电势 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

6.2 有介质时的高斯定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

6.2.1 高斯定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

6.2.2

𝐷 与

𝐸 的关系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

6.2.3 均匀介质内部的极化电荷与自由电荷的关系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

6.3 简单介质中的库伦定律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

6.4 边值关系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

6.4.1

𝐸 与

𝐷 的切向分量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

6.4.2

𝐸 与

𝐷 的法向分量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

6.4.3 折射定律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

7 唯一性定理 23

7.1 介质界面垂直于电场线 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

7.1.1 高斯定理与边界条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

7.1.2 环路定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

7.2 介质界面平行于电场线 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

7.3 电像法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1 物质的电性质

导体, 绝缘体

等离子体

物质中的静电场满足与真空中一样的基本规律: 库仑定律 + 叠加原理, 高斯定理 + 环路定理

2 静电场中的导体

导体: 包含大量的可自由移动的电荷 (载流子)

大量: 可认为是无穷

可自由移动: 可以做宏观定向运动, 电荷在导体中定向移动时会遇到粘滞性阻力

2.1 静电平衡的条件

处于电场中的导体, 当自由电荷不再定向移动, 就达到了静电平衡, 定义为定向漂移速度为零

®𝑣 =< ®𝑢 >=

𝑁

𝑘=1

®𝑢

𝑘

= 0

⇒

𝜕𝜌

𝜕𝑡

= 0

宏观电荷分布不再变化

2.2 导体处于静电平衡的性质

2.2.1

静电平衡时的电场

全空间每一点的电场

𝐸 由两部分叠加而成:

1. 外场

𝐸

2. 静电平衡时导体中重新分布后的感应电荷产生的电场

𝐸

内

𝐸

= 0

导体内部各点的电场等于零, 感应电荷的场与外场完全抵消

导体外侧附近的电场垂直于导体表面

2.2.2 静电平衡时的电势

导体是等势体, 导体表面是等势面

2.2.3 静电平衡时的电荷分布

静电平衡时, 净电荷只分布在导体的表面, 导体内部净体电荷密度处处为零

导体表明的电荷分布非常复杂, 与几何特征, 总电量和周围其他场源和导体有关

导体表面外侧处的电场与该处面电荷密度成正比 (高斯定理), 电场方向取决于电荷的正负

𝐸

外

𝜎

𝜀

𝑛

导体表面单位面积受到的静电力与面电荷密度的平方成正比, 始终指向导体外部

𝑃 = 𝜎 <

𝐸 >=



𝜎

2𝜀



𝑛

2.3 静电屏蔽

腔内电荷由腔内的电荷分布以及内表面几何特征决定, 与空腔外的电荷以及导体壳是否带电无关

腔外电场取决于外表面几何特征, 导体外的电荷分布, 导体壳总电量 + 空腔内总电量, 与空腔外的电荷

分布无关

如果让导体壳接地, 则腔内腔外互不影响

2.4 唯一性定理

设区域 𝑉 内的电荷分布已知, 若给定边界 𝑆 = 𝜕𝑉 上各点的电势, 则区域 𝑉 内的电势和电场唯一确定











∇

𝜑(®𝑟) = −

𝜌(®𝑟)

𝜀

, (®𝑟 ∈ 𝑉)

𝜑(®𝑟) = 𝑓 (®𝑟), (®𝑟 ∈ 𝑉),

⇒ 𝜑(®𝑟), (∀®𝑟 ∈ 𝑉)

注意: 导体表面自动是静电场边界, 导体边界上给定的电势必须为常数, 否则会导致无解

设区域 𝑉 的边界均为导体表面, 且 𝑉 内部电荷分布已知, 若给定每一个内导体边界上的总电量, 则区域 𝑉

内的电场唯一确定, 电势则可相差某个常数











∇

𝜑(®𝑟) = −

𝜌(®𝑟)

𝜀

, (®𝑟 ∈ 𝑉)

∯

𝑆

𝑘

𝐸 · 𝑑

𝑆 =

𝑄

𝑘

𝜀

, (𝑘 = 1, 2, ..., 𝑁)

⇒

𝐸 (®𝑟), (∀®𝑟 ∈ 𝑉)

可以无外边界 𝑆

尽管未指定电势, 但每一导体表面的电势都应该是某个常数

证明. 设 {𝜑

𝐸

= −∇𝜑

} 和 {𝜑

𝐸

= −∇𝜑

} 同时满足











∇

𝜑

(®𝑟) = −

𝜌(®𝑟)

𝜀

= ∇

𝜑

, (®𝑟)

∯

𝑆

𝑘

𝐸

· 𝑑

𝑆 =

𝑄

𝑘

𝜀

∯

𝑆

𝑘

𝐸

· 𝑑

𝑆, (𝑘 = 1, 2, ...𝑁)

作为静电问题的解, 二者必满足











𝜑

𝑆

𝑘

= 𝑐

𝑘

, 𝜑

𝑆

𝑘

= 𝑐

𝑘

, (𝑘 = 1, 2, ..., 𝑁)

𝜑

𝑆

= 𝑐

, 𝜑

𝑆

= 𝑐

二者之差 {𝜑,

𝐸 = −∇𝜑} = {𝜑

− 𝜑

𝐸

−

𝐸

} 必然满足











∇

𝜑(®𝑟) = 0, (®𝑟 ∈ 𝑉)

∯

𝑆

𝑘

𝐸 · 𝑑

𝑆 = 0, (𝑘 = 1, 2, ..., 𝑁)

𝜑

𝑆

𝑘

= 𝑐

𝑘

− 𝑐

𝑘

= 𝑐

𝑘

, (𝑘 = 1, 2, ...𝑁)

𝜑

𝑆

= 𝑐

− 𝑐

= 𝑐

且必然有:𝑐

𝑘

= 𝑐

故在 𝑉 内部各点均有 𝜑 ≡ 𝑐, 从而 𝜑

= 𝜑

+ 𝑐, 而

𝐸

□

唯一性定理意味着不管用何种方法得到静电场问题的解, 只要满足条件就是唯一正确的解

1. 符合求解区域内部的电荷分布

2. 符合所给的边界条件

3. 确实是静电学问题的解 (如导体表面电势)

2.4.1

静电平衡可以叠加

设想空间中有若干固定的导体构成的孤立体系

各导体带电量 𝑄

𝑘

, 空间中电势 𝜑

(®𝑟)⇒ 各导体电势 𝜑

𝑘

各导体带电量 𝑄

𝑘

, 空间中电势 𝜑

(®𝑟)⇒ 各导体电势 𝜑

𝑘

那么, 各导体带电量 𝑄

𝑘

= 𝑄

𝑘

+𝑄

𝑘

, 空间中电势 𝜑(®𝑟) = 𝜑

(®𝑟) + 𝜑

(®𝑟)⇒ 各导体电势 𝜑

𝑘

= 𝜑

𝑘

+ 𝜑

𝑘

3 电像法

3.1 电像法的基本思想

给定全空间的电场分布

由库仑定律和叠加原理

有电势和电场

𝐸

(®𝑟) 𝑎𝑛𝑑 𝜑

(®𝑟)

1. 设闭曲面 𝑆 是该电荷分布的某个电势为 𝑐 的等势面, 其内部的总电量设为 𝑄

= 𝑞

+ 𝑞

, 空间中任一点

的电场和电势由 𝑆 内与 𝑆 外的电荷所激发

2. 保持 𝑆 外的电荷分布不变, 将 𝑆 内填充均匀导体, 并使其带电 𝑄

或维持其电势为 𝑐, 则空间各点的

𝐸

与 𝜑 由 𝑆 外的电荷以及导体表面的感应电荷所激发

由唯一性定理, 就 𝑆 外的电场而言, 两种电荷分布的电荷是相同的, 将 1 中 𝑆 内的电荷称为像电荷, 像电

荷必须位于求解区域外部!

导体所带总电量等于像电荷电量的代数和:𝑄

= 𝑞

+ 𝑞

导体表面的感应电荷分布由外侧的电场决定:𝜎 = 𝜀

𝐸

𝑛

导体对其外部的电荷 𝑞

施加的静电力:

𝐹

= 𝑞

(

𝐸

+ ...) ,

𝐸

𝑘

= 𝑞

𝑘

在 𝑄

处产生的电场

导体受到的静电力:

𝐹 = −

𝑖

𝑞

𝑖

(

𝐸

+ ...)

3.2 点电荷对无限大接地导体的电像

无限大接地导体版上方距离为 𝑑 处有一点电荷 𝑞, 试求点电荷所在的上半空间中的电场和电势

3.2.1 电势

𝜑 =

𝑞

4𝜋𝜀



𝑟

−

𝑟



, 𝑧 ≥ 0

𝑞

4𝜋𝜀

𝑥

+ 𝑦

+ (𝑧 − 𝑑)

−

𝑥

+ 𝑦

+ (𝑧 + 𝑑)

, 𝑧 ≥ 0

3.2.2 电场

𝐸 = −∇𝜑 =

𝑞

4𝜋𝜀



®𝑟

𝑟

−

®𝑟

𝑟



, 𝑧 ≥ 0

3.2.3 感应电荷分布

𝜎 = 𝜀

𝐸

𝑧

= −

𝑞𝑑

2𝜋𝑅

< 0 ⇒ 𝑄 =

∫

𝜎𝑑𝑆 =

∫

𝜎𝑠𝑑𝑠𝑑𝜙

3.2.4 𝑞 受到的力

𝐹 = −

4𝜋𝜀

𝑞

(2𝑑)

𝑧 = −𝑞对𝑞的作用力

3.2.5 能量

𝑊 = −

4𝜋𝜀

𝑞

4𝑑

= −𝑞与𝑞的相互作用能的一半

若有多个等势面也有如下电像

需要注意的是电像 ≠ 镜像, 如电偶极子的电像

3.3 点电荷对接地导体球的电像

点电荷 𝑞 置于半径为 𝑎 的接地导体球外, 到球心距离为 𝑑 > 𝑎

设像电荷 𝑞

位于球心与 𝑞 的连线上, 到球心距离为 𝑑

< 𝑎

𝜛 =

4𝜋𝜀



𝑞

𝑟

𝑞

𝑟



, (𝑟 ≥ 𝑎)

又有边界条件 𝜑(𝑟 = 𝑎) = 0

⇒

𝑞

√

𝑑

+ 𝑎

− 2𝑑𝑎 cos 𝜃

= −

𝑞

√

𝑑

+ 𝑎

− 2𝑑

𝑎 cos 𝜃

该式对于任意角度 𝜃 都成立, 解得











𝑞

= −

𝑎

𝑑

𝑎

𝑏

3.3.1 球外电势

𝜑 =

4𝜋𝜀



𝑞

𝑟

𝑞

𝑟



3.3.2 感应电荷

𝜎 = 𝜀

𝐸

𝑟

= −

𝑞

4𝜋𝑎

𝑑

− 𝑎

𝑅

距离 𝑞 越远感应电荷越稀疏

⇒ 𝑄 =

∫

𝜎𝑑 𝑆 = −

𝑎

𝑏

𝑞

3.3.3 电荷 𝑞 受到的力

𝐹 =

𝑞𝑞

4𝜋𝜀

(𝑑 − 𝑑

)

= −

𝑞

4𝜋𝜀

𝑎𝑑

(𝑑

− 𝑎

)

其中负号表示吸引力

3.3.4 接地导体球壳内的电场

𝑞

= −

𝑎

𝑑



𝑎

𝑑



3.3.5 维持电势 𝜑

的导体球内的电场

由静电平衡的叠加性, 可以叠加上一个 𝜎

𝜑

𝜎

𝑎

𝜀

⇒ 𝜎

𝜀

𝜑

𝑎

3.4 无限长电荷对无限长接地圆柱

柱外任一点的电势为

𝜑 = −

𝜆

2𝜋𝜀

𝑅

𝑑 − 𝑎

−

𝜆

2𝜋𝜀

𝑅

𝑎 − 𝑑

边界条件: 柱表面电势为零

𝜆 ln

√

𝑎

+ 𝑑

− 2𝑎𝑑 cos 𝜃

𝑑 − 𝑎

= −𝜆

√

𝑎

+ 𝑑

− 2𝑎𝑑

cos 𝜃

𝑎 − 𝑑

上式对于任意 𝜃 成立, 解得

𝑑

𝑎

𝑑

, 𝜆

= −𝜆

3.5 电中性导体球在均匀外场中

电像为理想电偶极子, 有

𝜑 = −

𝐸 · ®𝑟 +

®𝑝 · ®𝑟

4𝜋𝜀

𝑟

, 𝑟 ≥ 𝑎

边界条件: 导体表面是等势面

𝜑( 𝑟 = 𝑎) =



−𝐸

𝑎 +

𝑝

4𝜋𝜀

𝑎



cos 𝜃 = 𝑐

上式对任意 𝜃 成立, 得

®𝑝 = 4𝜋𝜀

𝑎

𝐸

3.6 孤立旋转导体椭球

𝑥

𝑎

𝑦

+ 𝑧

𝑏

= 1 , (𝑎

− 𝑏

= 𝐿

)

可以等效为长度 2𝐿 的均匀细棒的电场,𝛼 为点与棒两端张角

𝐸 =

𝜆

2𝜋𝜀

𝑠

sin

𝛼

𝑄

4𝜋𝜀

𝐿𝑠

sin

𝛼

𝑄

4𝜋𝜀

𝑎𝑏



𝑥

𝑎

𝑦

𝑏

𝑧

𝑏



−

面电荷分布为

𝜎 =

𝑄

4𝜋𝑎𝑏



𝑥

𝑎

𝑦

𝑏

𝑧

𝑏



−

4 电容与电容器

4.1 孤立导体的电容

定义鼓孤立导体的电容为其带电量与电势之比

𝐶 =

𝑄

𝜑

𝐶 取决于导体的几何特性 (大小形状等)

𝐶 反映了该导体在给定电势下储电的能力

单位: 法拉 (1𝐹 = 1𝐶/𝑉)

4.2 电容器

两导体相对的面称为电容器的两个极板, 两极板 (而非两导体) 带等量异号电荷

电容器的电容定义为

𝐶 =

𝑄

Δ𝜑

𝑄

𝜑

𝐴

− 𝜑

𝐵

电容数值取决于两极板的几何特性 (大小形状相对位置等)

电容器的电容也可以定义如下

𝐶 =

Δ𝑄

𝐴→𝐵

𝜑

𝐴

− 𝜑

𝐵

其中 Δ𝑄

𝐴→𝐵

为用导线连接两导体后由 𝐴 转移到 𝐵 的电量

4.3 常见电容器

4.3.1 平行板电容器

由两块平行放置的金属板组成的电容器, 两极板均匀带电, 带电量为 𝑄, 忽略极板的边缘效应

则有

𝑉 = 𝐸𝑑 =

𝜎

𝜀

𝑑 =

𝑄𝑑

𝜀

𝑆

⇒ 𝐶 =

𝑄

𝑉

𝜀

𝑆

𝑑

4.3.2 球形电容器

由两个同心导体球壳组成的电容器

两球壳之间的电压为

𝑉

𝑎𝑏

∫

𝑏

𝑎

𝐸 · 𝑑

𝑙 = 𝜑

𝑎

− 𝜑

𝑏

𝑄

4𝜋𝜀



𝑎

−

𝑏



⇒ 𝐶 =

𝑄

𝑉

𝑎𝑏

4𝜋𝜀

𝑎

−

𝑏

4𝜋𝜀

𝑎𝑏

𝑏 − 𝑎

当 𝑎  𝑏 时即孤立导体球

当 𝑑 = 𝑏 − 𝑎  𝑎 时即平行板电容器

4.3.3 圆柱形电容器

由两个同轴导体筒组成的电容器, 当 𝐿  𝑏 − 𝑎 时, 可近似认为无限长, 边缘效应忽略

则有

𝐸 =

𝑄/𝐿

2𝜋𝜀

𝑠

𝑠 ⇒ 𝑉

𝑎𝑏

𝑄

2𝜋𝜀

𝐿

∫

𝑎

𝑏

𝑑𝑠

𝑠

𝑄

2𝜋𝜀

𝐿

𝑏

𝑎

⇒ 𝐶 =

𝑄

𝑉

𝑎𝑏

2𝜋𝜀

𝐿

ln 𝑏/𝑎

当 𝑑 = 𝑏 − 𝑎  𝑎 时即平行板电容器,ln

𝑏

𝑎

= ln

𝑎 + 𝑑

𝑎

= ln



1 +

𝑑

𝑎



≈

𝑑

𝑎

4.4 电容器的联结

4.4.1 串联

各极板上电量的绝对值相等, 总电压等于各电容器的电压之和

𝐶

+ ... =

𝑛

𝑘=1

𝐶

𝑘

很少串联使用, 一只被击穿全部被击穿

4.4.2 并联

各电容器电压相同, 总电量等于各电容器电量之和

𝐶 = 𝐶

+ ... =

𝑛

𝑘=1

𝐶

𝑘

4.5 导体系统的电容

4.5.1 电容系数

空间中若干导体构成的孤立体系, 各导体电势给定, 分别为 𝜑

𝑘

由唯一性定理, 全空间电场给定, 从而各导体所带的总电量 𝑄

𝑘

唯一确定, 即每一个 𝑄

𝑘

均可以表示为诸

𝜑

𝑘

的函数

𝑄

𝑘

= 𝑄

𝑘

(𝜑

, 𝜑

, ..., 𝜑

𝑁

)

若维持导体 1 的电势等于给定数值 𝜑

, 其余导体电势为 0, 则导体 𝑘 的带电量为

𝑄

𝑘,1

= 𝑄

𝑘,1

(𝜑

, 0, ..., 0)

若导体 1 的电势变为 𝜆𝜑

, 则由唯一性定理和高斯定理, 各导体电量也变为了原来的 𝜆 倍, 即

𝑄

𝑘,1

= 𝑐

𝑘1

𝜑

又由静电平衡可以叠加, 孤立导体系统中, 各导体所带电量与其电势呈线性关系

𝑄

𝑘

𝑁

𝑗=1

𝑐

𝑘 𝑗

𝜑

𝑗

, 𝑘 = 1, 2, ..., 𝑁

系数 𝑐

𝑘 𝑗

称为导体系统的电容系数, 由导体系统的几何特征所决定

4.6 电容系数的性质

对称性

𝑐

𝑗 𝑘

= 𝑐

𝑘 𝑗

麦克斯韦不等式











𝑐

𝑘𝑘

> 0

𝑐

𝑘 𝑗

≤ 0 (𝑘 ≠ 𝑗)

𝑁

𝑗=1

𝑐

𝑘 𝑗

≥ 0,

𝑁

𝑘=1

𝑐

𝑘 𝑗

≥ 0

(𝑐

𝑘 𝑗

) =



+ − − ··· −

− + − ··· −

− − + ··· −

− − − ··· +

𝑐

𝑘 𝑗

由导体系统的几何特性所决定

𝑐

𝑘 𝑗

的物理含义: 当导体 𝑗 电势为 𝜑

𝑗

= 1𝑉 其他导体接地时, 导体 𝑘 带电量为 𝑄

𝑘

= 𝑐

𝑘 𝑗

4.7 电压系数

对于孤立导体系统, 给定各导体的电量后, 全空间电场确定, 进而各导体的电势唯一确定, 各导体电势与其

所带电量呈线性关系

𝜑

𝑘

𝑁

𝑗=1

𝑝

𝑘 𝑗

𝑄

𝑗

, 𝑘 = 1, 2, ..., 𝑁

系数 𝑝

𝑘 𝑗

称为导体系统的电压系数

4.8 电压系数的性质

电压系数矩阵与电容系数矩阵互为逆矩阵

对称性:𝑝

𝑗 𝑘

= 𝑝

𝑘 𝑗

𝑝

𝑘 𝑗

由导体系统的几何特征决定

𝑝

𝑘 𝑗

的物理含义为: 当导体 𝑗 带电量为 𝑄

𝑗

= 1𝐶 其他导体不带电时, 导体 𝑘 的电势为 𝜑

𝑘

= 𝑝

𝑘 𝑗

4.9 导体系统中的两导体的电容

将导体 1, 2 用导线连接, 达到静电平衡前后:











𝜑

= 𝑝

𝑄

+ 𝑝

𝑄

+ 𝑝

𝑄

𝜑

= 𝑝

𝑄

+ 𝑝

𝑄

+ 𝑝

𝑄











𝜑

= 𝑝

𝑄

+ 𝑝

𝑄

+ 𝑝

𝑄

𝜑

= 𝑝

𝑄

+ 𝑝

𝑄

+ 𝑝

𝑄

相减得

𝜑

− 𝜑

= 𝑝

Δ𝑄 − 𝑝

Δ𝑄, 𝜑

− 𝜑

= 𝑝

Δ𝑄 − 𝑝

Δ𝑄

再减得

𝜑

− 𝜑

= (𝑝

+ 𝑝

− 𝑝

)Δ𝑄

于是可以定义处于该导体系统中的两导体之间的电容

𝑐

Δ𝑄

𝜑

− 𝜑

𝑝

+ 𝑝

− 2𝑝

4.10 格林互易定理

带电体 𝐴 产生的电势为 𝜑

, 带电体 𝐵 产生的电势为 𝜑

𝐴 在 𝐵 产生的外场中的电势能

∫

𝜑(®𝑟

)𝑑𝑞

∫

𝑑𝑞

∫

𝑑𝑞

4𝜋𝜀

®𝑟 − ®𝑟

𝐵 在 𝐴 产生的外场中的电势能

∫

𝜑

(®𝑟)𝑑𝑞 =

∫

𝑑𝑞

∫

𝑑𝑞

4𝜋𝜀

®𝑟 − ®𝑟

得到格林互易定理

⇒

∫

𝜑𝑑𝑞

∫

𝜑

𝑑𝑞

对于同一个导体系统的两个可能的平衡状态 (𝑄

𝑘

, 𝜑

𝑘

) 和 (𝑄

𝑘

, 𝜑

𝑘

), 由于静电平衡时导体为等势体, 因而

𝑁

𝑖=1

𝑄

𝑖

𝜑

𝑖

𝑁

𝑖=1

𝑄

𝑖

𝜑

𝑖

5 静电场中的电介质

5.1 法拉第实验

在维持极板所带电量不变的情形下, 将一块电分质板插入平行板电容器, 极板间的电压读数会减小 (𝑉 <

𝑉

) , 而当介质抽出后, 读数恢复原来的大小 (𝑉0)。

当电容器中有介质板时, 极板间电压与极板带电量之间仍具有正比关系, 因而电容的概念仍然有效, 但是

𝐶 =

𝑄

𝑉

𝑄

𝑉

= 𝐶

当电容器中充满均匀介质时

𝐶

= 𝜀

𝑟

𝜀

𝑟

是仅由介质特性决定的物理量, 称为介质的相对介电常数

5.2 极化的微观机制

无极分子: 在外场时正负电荷中心被拉开一定的距离形成一个电偶极子, 具有一定的电矩 (诱导电偶极矩),

称为位移极化

有极分子: 有电场时, 分子电偶极大体沿电场方向排列, 外场越强, 排列越整齐, 称为取向极化

5.3 电极化强度

5.3.1 电场中的电介质

极化产生的电荷起源于原子或分子的极化, 因而总是牢固地束缚在介质上, 它与导体上的自由电荷不同,

既不可能从介质的一处转移到另一处, 也不可能从一个物体传递给另一个物体, 若介质与导体接触, 极化

电荷亦不会与导体上的自由电荷相中和, 因此往往称极化电荷为束缚电荷

5.3.2 极化强度

电极化强度 𝑃 定义为介质内单位体积中分子电矩的矢量和

𝑃 =

®𝑝

Δ𝑉

单位:𝐶 · 𝑚

−2

, 与面电荷密度相同

反映了分子电偶极矩大小及其有序程度

在宏观小, 微观大区域 Δ𝑉 内, 每个分子可以视为具有相同的电偶极矩

𝑃 = 𝑛 ®𝑝

= 𝑛𝑞

𝑙

任一区域 𝑉 内所包含的束缚电荷的净电量等于穿过区域边界 𝑆 = 𝜕𝑉 的极化强度通量的负值

𝑑𝑄

= −

𝑃 · 𝑑

𝑆 , 𝑄

= −

∬

𝑆

𝑃 · 𝑑

𝑆

电极化强度 𝑃 可以定量描述介质中宏观的束缚电荷分布

5.3.3 极化电荷的体密度

由数学上的高斯定理, 可得极化电荷的体密度与极化强度的关系为

𝜌

= −∇ ·

𝑃

直角坐标系下, 有

𝜌

= −



𝜕𝑃

𝑥

𝜕𝑥

𝜕𝑃

𝑦

𝜕𝑦

𝜕𝑃

𝑧

𝜕𝑧



负极化电荷是电极化强度场的源头

如果电介质内各点的极化强度矢量 𝑃 的大小和方向都相同, 则称介质是均匀极化的. 对于均匀极化的介

质, 其内部无极化电荷分布; 极化电荷只能以面电荷形式出现在介质表面

极化体电荷只可能出现在极化非均匀处, 但介质内没有极化体电荷, 并不意味着 𝑃 为恒量

5.3.4 极化电荷的面密度

在介质与介质交界面或介质与真空的交界面处, 通常会出现面分布的极化电荷

穿过扁平盒子的通量为

∬

𝑆

𝑃 · 𝑑

𝑆 =



∬

𝑆

上

∬

𝑆

下

∬

𝑆

侧

𝑃 ·

𝑆 ≈

𝑃

· (𝑎

𝑛) +

𝑃

· (−𝑎

𝑛) + (𝑃𝑎ℎ)

则盒内的极化电荷为

𝑄

≈ 𝜎

𝑎

+ (𝜌

𝑎

ℎ) ⇒ 𝜎

= −

𝑛 · (

𝑃

−

𝑃

) = 𝑃

1𝑛

− 𝑃

2𝑛

若 𝑃

1𝑛

> 𝑃2𝑛，则 𝜎 > 0，即交界面上有正的极化电荷

若 𝑃

1𝑛

< 𝑃

2𝑛

，则 𝜎 < 0，即交界面上有负的极化电荷

若 𝑃

1𝑛

= 𝑃

2𝑛

，则 𝜎 = 0，即法向分量在交界面处连续时, 交界面上无极化电荷

如果第二种介质为真空, 则

𝑃

= 0, 令

𝑃

𝑃, 得

𝜎

𝑛 ·

𝑃 = 𝑃

𝑛

其中,

𝑛 指向介质外部

5.3.5 退极化场

电介质在外电场 𝐸

中极化, 出现极化电荷, 极化电荷将产生电场 𝐸, 空间任一点的电场由两者叠加而成:

𝐸 =

𝐸

在电介质内, 极化电荷产生的电场总是与外场方向相反, 故总电场随之减弱, 极化强度亦减弱, 故称退极化

场

5.3.6 介电常数

平行板电容器中的电介质:𝐸

𝜎

𝜀

𝑃

𝜀

𝐸

= −

𝑃

𝜀

实验表明: 维持电量不变, 在极板之间充满均匀电介质后, 则电压变为原来的

𝜀

𝑟

, 从而有

𝑉 =

𝑉

𝜀

𝑟

⇒

𝐸

= 𝜀

𝑟

𝐸

介质中的总场为

𝐸 =

𝐸

= 𝜀

𝑟

𝐸 −

𝑃

𝜀

⇒ 𝑃 = (𝜀

𝑟

− 1)𝜀

𝐸 = 𝜒𝜀

𝐸

其中:𝜒 介质的极化率,𝜀

𝑟

= 1 + 𝜒 相对介电常数,𝜀 = 𝜀

𝜀

𝑟

介电常数

充满介质后的电容为

𝐶 =

𝑄

𝑉

= 𝜀

𝑟

𝑄

𝑉

= 𝜀

𝑟

𝐶

5.4 电介质中电场的含义

5.4.1 均匀极化介质圆柱在介质外的电场

对于介质外一点 𝐴, 由于分子与 𝐴 点的距离远大于分子尺度, 因此 𝐴 点的电势就是每一个分子电偶极子

(可视为理想电偶极子) 所贡献的电势之和

分子电偶极子 ®𝑝

在 𝐴 点产生的电势

𝜑

𝑝

𝑃

ℝ

4𝜋𝜀

ℝ

𝑑𝑉

内的电偶极子在 𝐴 点产生的电势

𝑑𝜑 =

®𝑝

ℝ

4𝜋𝜀

ℝ

(𝑛𝑑𝑉

) =

®𝑝 ·

ℝ

4𝜋𝜀

ℝ

𝑑𝑉

𝑃

4𝜋𝜀

cos 𝜃𝑑𝑆

𝑑𝑧

ℝ

将介质圆柱划分为很多细长圆柱, 某一细长圆柱在 𝐴 点产生的电势为

𝑑𝜑 =

𝑃𝑑𝑆

4𝜋𝜀

∫

𝑧

cos 𝜃𝑑𝑧

ℝ

𝑃𝑑𝑆

4𝜋𝜀

∫

ℝ

−𝑑ℝ

𝑅

𝑑𝜑 =

𝑃𝑑𝑆

4𝜋𝜀



ℝ

−

ℝ



细长圆柱产生的电势是两个点电荷

(±

𝑃𝑑𝑆

)

的电势之和

均匀极化圆柱在介质外的电场等于面电荷密度分别为 +𝑃 和 −𝑃 的两个带电圆盘产生的电场

5.4.2 均匀极化的介质圆柱在介质内的宏观电场

考察一个扁平的均匀极化的介质圆柱, 柱外的电场由面面度分别为 +𝑃 和 −𝑃 的两个带电圆盘产生, 与面

电荷密度为

𝑃

的真空平行板电容器相同

因而, 沿着柱外的一条路径作线积分必然得到











𝑉

𝐴𝐴

= 𝜑

𝐴

− 𝜑

𝐴

∫

𝐴

𝐸 · 𝑑

𝑙 = 0

𝑉

𝐴𝐵

= 𝜑

𝐴

− 𝜑

𝐵

∫

𝐴

𝐵

𝐸 · 𝑑

𝑙 =

𝑃𝑑

𝜀

静电场是无旋场, 沿着任何一条路径 (无论介质内外) 积分必然给出相同的结果, 所以

因而, 微观电场的平均值垂直于 𝑃 的分量必然为零, 且

𝑉

𝐴𝐵

= − <

𝐸

微观

> ·

𝑑 =

𝑃𝑑

𝜀

⇒

𝐸 = −

𝑃

𝜀

5.4.3 均匀极化的介质球的电场

将极化介质球视为由电偶极子 𝑝

= 𝑞𝑙 构成, 单位体积的电偶极子数为 𝑛. 退极化场为两个球心错开一微

小距离 𝑙 的均匀带电球的电场的叠加, 带电量分别为 ±𝑄 = ±

4𝜋𝑎

𝑛𝑞

则介质球的总电矩为

⇒ ®𝑝 =

4𝜋𝑎

𝑃 =

4𝜋𝑎

𝑛𝑞𝑙 = 𝑄

𝑙

介质球外的电场为相距为 𝑙 的一对点电荷 ±𝑄 产生的电场的叠加，即位于球心处的理想电偶极子 𝑝 = 𝑄

𝑙

所产生的电场

𝐸

3( ®𝑝 ·

𝑟)

𝑟 − ®𝑝

4𝜋𝜀

𝑟

, (𝑟 > 𝑎)

介质球内 (两球重叠区域) 的电场为

𝐸

𝑄

4𝜋𝜀

𝑎

(®𝑟

− ®𝑟

−

) = −

𝑄

𝑙

4𝜋𝜀

𝑎

= −

𝑛𝑞

𝑙

3𝜀

= −

𝑃

3𝜀

, (𝑟 < 𝑎)

5.4.4 介质中的电场

考察介质内一个微观大, 宏观小的球形区域 Δ𝑉

Δ𝑉 外部的电荷产生的电场在球内的平均值等于在球心处的电场, 由于 Δ𝑉 外部的电荷与球心距离远大于

分子尺度, 因而该平均值也就等于宏观电荷分布在球心处产生的电场

Δ𝑉 内部的总电偶极矩为

®𝑝 =

𝜋𝑎

𝑃

那么 Δ𝑉 内部的电荷产生的电场在球内的平均值为

−

®𝑝

4𝜋𝜀

𝑎

= −

𝑃

3𝜀

即该平均值也等于球内的宏观束缚电荷分布在球心处产生的电场

5.5 电介质的极化规律

5.5.1 各向同性介质

各向同性介质的本构方程

𝑃 = 𝜒𝜀

𝐸 , (𝜀

𝑟

= 1 + 𝜒)

其中无量纲量 𝜒 称为介质的极化率, 对于均匀介质, 极化率是与位置无关的常数. 而对非均匀介质, 极化

率与位置有关

5.5.2 匀强场中的介质球

在两均匀带等量异号电荷的无限大平面导体板之间, 放一均匀的介质球, 球的半径为 𝑎, 极化率为 𝜒, 求球

内的场强. 假定介质球离两平板都相当远, 球处在场中时, 带电板上的电荷仍然均匀分布, 即自由电荷单独

产生的场仍是均匀场.

设想介质球的极化是分若干阶段进行的, 最终达到静电平衡. 在介质刚放在电场中时, 极化电荷尚未形成,

因而介质球内的电场就是外场 𝐸0, 它使介质球均匀极化, 极化强度为

𝑃

= 𝜒𝜀

𝐸

均匀极化介质球在球内产生均匀电场：

𝐸

= −

𝑃

4𝜀

= −

𝜒

𝐸

附加电场 𝐸

引起进一步的附加极化, 附加极化强度为

𝑃

= 𝜒𝜀

𝐸

= −

𝜒

𝜀

𝐸

依次递推, 于是介质球内的场强等于自由电荷和极化电荷产生的附加场强之和, 即:

𝐸 =

𝐸

+ ... =

∞

𝑛=0



−

𝜒



𝑛

𝐸

− (−

𝜒

)

𝐸

𝜀

𝑟

𝐸

进而可以求得介质球内的退极化场, 极化强度, 表面的极化电荷面密度, 总电偶极矩

也可以使用边值关系求解

由于处于均匀电场中的介质球达到静电平衡时, 正负电荷只是有微小偏移, 因此假设











𝐸

= 𝐸

𝑧 + 𝐸

𝑧

𝐸

= 𝐸

𝑧 +

𝑝

4𝜋𝜀

𝑟

[

𝑧 ·

𝑟)

𝑟 −

𝑧

]

介质球界面两侧的电场由边值关系联系

𝑟 × (

𝐸

−

𝐸

)

𝑟

→

𝑎

= 0,

𝑟 · (

𝐸

−

𝐸

)

𝑟

→

𝑎

𝜎

𝜀

其中

𝜎

= 𝑃

𝑛

= 𝜒𝜀

𝐸

cos 𝜃 = 𝜒𝜀

(𝐸

+ 𝐸

) cos 𝜃

代入边值关系给出

𝐸

= −

𝑝

4𝜋𝜀

𝑎

2𝑝

4𝜋𝜀

𝑅

− 𝐸

= 𝜒𝜀

(𝐸

+ 𝐸

)

⇒











𝐸

= −

𝜒

𝜒 + 3

𝐸

= −

𝜀

𝑟

− 1

𝜀

𝑟

+ 2

𝐸

𝑝 = 4𝜋𝑎

𝜀

(𝜀

𝑟

− 1)

𝜀

𝑟

+ 2

𝐸

从而得到

𝐸

6 电介质中静电场的基本规律

6.1 有电介质时的环路定理

6.1.1 环路定理

有介质时, 环路定理仍然成立 (静电场是无旋场)

∮

𝐶

𝐸 · 𝑑

𝑙 = 0, ∀𝐶, ∇ ×

𝐸 (®𝑟) = 0, ∀®𝑟

6.1.2 静电势

有介质存在时, 静电势的概念仍然有效

𝑑𝜑 = 𝜑(®𝑟 + 𝑑

𝑙) − 𝜑(®𝑟) = −

𝐸 · 𝑑

𝑙

电场

𝐸 = −∇𝜑 = −

𝜕𝜑

𝜕𝑛

𝑛

静电势

𝜑(®𝑟) = −

∫

𝑃

®𝑟

𝐸 · 𝑑

𝑙

电势差

𝑉

= 𝜑

− 𝜑

∫

𝐸 · 𝑑

𝑙

6.2 有介质时的高斯定理

6.2.1 高斯定理

有介质存在时, 高斯定理仍然成立

𝜀

∯

𝑆

𝐸 · 𝑑

𝑆 = 𝑄 = 𝑄

+𝑄

其中 𝑄

为自由电荷,𝑄

为束缚电荷

又有

𝑄

= −

∯

𝑆

𝑃 · 𝑑

𝑆

高斯定理即

∯

𝑆

(𝜀

𝐸 +

𝑃) · 𝑑

𝑆 = 𝑄

引入电位移矢量

𝐷 = 𝜀

𝐸 +

𝑃

则得到有介质时的高斯定理

∯

𝑆

𝐷 · 𝑑

𝑆 = 𝑄

微分形式为

∇ ·

𝐷 = 𝜌

电位移矢量的通量只与自由电荷有关, 而与极化电荷无关.

𝐷 线发起于正自由电荷, 终止于负自由电荷

6.2.2

𝐷 与

𝐸 的关系

对于简单介质, 利用本构关系

𝑃 = 𝜒𝜀

𝐸

可得

𝐷 = 𝜀

𝐸 +

𝑃 = 𝜀

𝐸 + 𝜒𝜀

𝐸 = 𝜀

(1 + 𝜒)

𝐸

故

𝐷(®𝑟) = 𝜀

𝜀

𝑟

(®𝑟)

𝐸 (®𝑟) = 𝜀(®𝑟)

𝐸 (®𝑟)

简单介质的介电常数可能因地而异非均匀

简单介质内任一点处的

𝐷 和

𝑃 总是与该点处的

𝐸 平行

6.2.3 均匀介质内部的极化电荷与自由电荷的关系

设 𝑆 是均匀介质内部 (𝜀 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.) 的任一给定闭曲面, 由于











∯

𝑆

𝐷 ·

𝑆 = 𝑄

∯

𝑆

𝐷 · 𝑑

𝑆 =

∯

𝑆

𝜀

𝑟

𝐸 · 𝑑

𝑆 = 𝜀

𝜀

𝑟

∯

𝑆

𝐸 · 𝑑

𝑆 = 𝜀

𝑟

(𝑄

+𝑄

)

因此,𝑆 内包含的极化电荷 𝑄

和总电荷 𝑄 与自由电荷 𝑄

满足

𝑄

= −



1 −

𝜀

𝑟



𝑄

, 𝑄 =

𝜀

𝑟

𝑄

均匀介质内部, 极化电荷总与自由电荷相伴出现

若均匀介质内部没有自由电荷, 则内部也不会有极化电荷, 极化电荷只能分布在在介质表面

在均匀介质内部, 由于

总电荷密度:𝜌 = 𝜌

+ 𝜌

= 𝜀

∇ ·

𝐸

自由电荷密度:𝜌

= ∇ ·

𝐷 = 𝜀

𝜀

𝑟

∇ ·

𝐸

极化电荷密度:𝜌

= −∇ ·

𝑃 = −𝜀

(𝜀

𝑟

− 1)∇ ·

𝐸

因此, 电荷的体密度之间存在简单的比例关系

𝜌

= −𝜒𝜌 = −



1 −

𝜀

𝑟



𝜌

, 𝜌 =

𝜀

𝑟

𝜌

一般而言, 介质界面上的极化电荷与自由电荷的面密度之间没有简单的比例关系

6.3 简单介质中的库伦定律

设在均匀介质内有一点电荷 𝑄

, 对于任一包含 𝑄

的小的闭曲面 𝑆, 其内部的极化电荷电量必然为

𝑄

= −



1 −

𝜀

𝑟



𝑄

宏观电磁学中, 点电荷 𝑄

周围的这部分极化电荷 𝑄

只能视为与 𝑄

重叠的点电荷, 因而该处总电量为

𝑄 = 𝑄

+𝑄

𝜀

𝑟

𝑄

对于空间中任一给定点 ®𝑟 , 无论介质内还是介质外,𝑄

与 𝑄

激发的电场之和为

𝐸 (®𝑟) =

𝑄

4𝜋𝜀

𝜀

𝑟

𝑄

4𝜋𝜀

𝑟

即简单介质中的库仑定律

空间任一给定点 ®𝑟 处的总电场还应加上介质界面处的极化电荷以及其他可能的自由电荷和极化电荷的贡

献

6.4 边值关系

边值关系实际上是界面处的场方程

6.4.1

𝐸 与

𝐷 的切向分量

在介质交界面附近, 环路定理表示为

𝑛 × (

𝐸

−

𝐸

) = 0

即

𝐸

2𝜏

𝐸

1𝜏

利用本构关系得

𝐷

2𝜏

𝜀

𝐷

1𝜏

𝜀

⇒

𝐷

2𝜏

𝐷

1𝜏

𝜀

在两种介质的交界面上, 电场的切线分量连续, 电位移矢量的切向分量不连续

6.4.2

𝐸 与

𝐷 的法向分量

在介质交界面附近, 高斯定理表示为

𝑛 · (

𝐷

−

𝐷

) = 𝜀

若两种简单介质的界面处无自由面电荷分布, 则

𝐷 的法向分量连续, 即

𝑛 · (

𝐷

−

𝐷

) = 0

即 𝐷

2𝑛

= 𝐷

1𝑛

, 利用本构关系得

𝜀

𝐸

2𝑛

= 𝜀

𝐸

1𝑛

⇒

𝐸

2𝑛

𝐸

1𝑛

𝜀

在两种介质的交界面上, 电场的法向分量不连续, 电位移矢量的法向分量连续

6.4.3 折射定律

若两种简单介质的交界面上没有自由电荷分布, 则利用

tan 𝜃

𝐷

2𝜏

/𝐷

2𝑛

𝐷

1𝜏

/𝐷

1𝑛

𝐷

2𝜏

𝐷

1𝜏

或

tan 𝜃

𝐸

2𝜏

/𝐸

2𝑛

𝐸

1𝜏

/𝐸

1𝑛

𝐸

1𝑛

𝐸

2𝑛

可得到

tan 𝜃

𝜀

7 唯一性定理

设求解区域 𝑉 的边界 𝑆 = 𝜕𝑉 = 𝑆

+ 𝑆

+ ... + 𝑆

𝑁

均为导体表面 (可无外边界 𝑆

)

设区域 𝑉 内部有已知的自由电荷分布和已知的分区均匀介质

1. 若给定各导体边界的电势 𝑐

𝑖

, (𝑖 = 0, 1, 2, ..., 𝑁) 则 𝑉 内的电势唯一确定

2. 若给定各内导体边界的总电量 𝑄

𝑘

, (𝑘 = 1, 2, ..., 𝑁) 则 𝑉 内的电场唯一确定

证明: 假设存在两解, 相减, 证明 𝐷 线无处起落即可

7.1 介质界面垂直于电场线

若空间中有若干种分区均匀介质, 并且每一种介质都充满两个等势面之间的区域, 则

𝐷 =

𝐷

= 𝜀

𝐸

其中,

𝐸

和

𝐷

分别是空间中没有介质时的电场和电位移

填充介质后

电位移矢量不变

填充介质后自由电荷的分布不变

填充介质后，各介质中的电场变为原来的 1/𝜀

𝑟

倍, 即

𝐸 =

𝐸

/𝜀

𝑟

填充介质后等势面不变, 但等势面的电势一般是不同的

证明: 满足环路定理和高斯定理, 即符合于已知的自由电荷分布, 由唯一性定理即证

7.1.1 高斯定理与边界条件

由

𝐷 =

𝐷

= 𝜀

𝐸

, 对 ∀ 闭曲面 𝑆 = 𝜕𝑉 有

∯

𝑆

𝐷 · 𝑑

𝑆 =

∯

𝑆

𝐷

· 𝑑

𝑆 = 𝑄

此处 𝑉 可以是完全包含在区域内部的任一区域, 因而上式意味着所猜解符合于区域内部已知的自由电荷

分布

若边界条件为给定每个内导体电量, 则令 𝑆 分别为各个内导体表面, 因而上式意味着所猜解符合于该边界

条件

若边界条件为给定每个导体的电势 𝑉

𝑖

, 则不妨将 𝑁 个内导体电量 𝑄

𝑖

设为未知量, 下面的方程组在求出

𝑄

𝑖

的同时也就意味着该边界条件自动成立 (𝐶

𝑖

从 ∞ 至导体 𝑖 表面上某点)

𝑉

𝑖

= −

∫

𝐶

𝑖

𝐸 · 𝑑

𝑙 = −

∫

𝐶

𝑖

𝐷

𝜀

· 𝑑

𝑙, (𝑖 = 1, 2, ..., 𝑁)

7.1.2 环路定理

电场

𝐸 =

𝐸

/𝜀

𝑟

沿任一闭曲线 𝐶 的环量为

∮

𝐶

𝐸·𝑑

𝑙 =



𝜀

𝑟1

∫

𝐴

𝐵

𝜀

𝑟2

∫

𝐵

𝜀

𝑟3

∫

𝐵



𝐸

·𝑑

𝑙+



𝜀

𝑟4

∫

𝐵

𝐴

𝜀

𝑟3

∫

𝐴

𝜀

𝑟2

∫

𝐴



𝐸

·𝑑

𝑙

由于 𝜑(𝐴

𝑖

) = 𝜑(𝐵

𝑖

), 故

∮

𝐶

𝐸 · 𝑑

𝑙 = 0

若整个空间充满同一种简单介质, 由于此时 𝜀

𝑟

为常数, 因此

∮

𝐶

𝐸 · 𝑑

𝑙 =

∮

𝐶

𝐷

𝜀

𝑟

· 𝑑

𝑙 =

∮

𝐶

𝐸

𝜀

𝑟

· 𝑑

𝑙 =

𝜀

𝑟

∮

𝐶

𝐸

· 𝑑

𝑙

所以也有

∮

𝐶

𝐸 · 𝑑

𝑙 = 0

7.2 介质界面平行于电场线

若空间中有若干种分区均匀介质, 并且每一种介质都充满某根电场线管, 并且自由电荷完全由导体所携带,

则

𝐸 = 𝛼

𝐸

𝑜

其中,𝛼 是某个常数

填充介质后, 电场的构形不变, 后等势面不变, 但等势面的电势一般是不同的, 时每一点的总电荷密度 ∝

无介质时的自由电荷密度

填充介质前后, 电位移矢量的构形不同:

𝐷 = 𝜀

𝐸 = 𝛼𝜀

𝐸

, 自由电荷分布改变

适用条件

1. 一个导体

2. 一个导体完全被另一导体所包围

3. 带等量异号电荷的两个导体

对于其他情形这样的解通常是错误的!

证明: 验证环路定理高斯定理和导体边界条件 (电荷)

7.3 电像法

相对介电常数分别为 𝜀

和 𝜀

的两种介质充满全空间, 分界面为 𝑥𝑦 平面. 第

一种介质中到分界面的距离为 𝑑 处有一点电荷 𝑞, 求电场以及界面上的极化电

荷分布, 求各区域的电场和各界面的电荷

空间任一点处的电场由三部分电荷按照真空中的库仑定律和叠加原理产生:

1. 点电荷 𝑞

2. 与 𝑞 处于同一位置的极化点电荷

3. 由于介质不均匀而在 𝑥𝑦 平面上出现的极化面电荷

上半空间的电场

像电荷 𝑄

位于下半空间, 全空间无介质

𝐸

4𝜋𝜀



𝑞

𝜀

𝑟

+𝑄

®𝑟

𝑟



下半空间的电场

像电荷 𝑄

与 𝑞 处于同一位置, 全空间无介质

𝐸

4𝜋𝜀



𝑞

𝜀

+𝑄



®𝑟

𝑟

当 𝑧 → 0 时,𝑟

= 𝑟

= 𝑅, 利用 𝑥𝑦 平面上的边值关系

𝐸

1𝜏

𝐸

2𝜏

, 𝐷

1𝑧

= 𝐷

2𝑧

以及

𝐷

= 𝜀

𝜀

𝐸

和

𝐷

= 𝜀

𝜀

𝐸

得











𝑞

𝜀

+𝑄

𝑞

𝜀

+𝑄

− 𝑞 + 𝜀

𝑄

= −



𝜀

𝑞 + 𝜀

𝑄



解得

𝑄

= 𝑄

𝜀

− 𝜀

𝜀

+ 𝜀

𝑞

𝜀

也可以使用边值关系求解

任一点 ®𝑟 处的电场 𝐸 可以写为

𝐸 =

𝐸

其中 𝐸

是介质界面处极化面电荷激发的电场, 而 𝐸

则是点电荷 𝑞/𝜀

所激发的电场

𝐸

𝑞/𝜀

4𝜋𝜀

®𝑟

𝑟

由于 𝐸

在界面处连续, 因而在界面上下两侧的电场为











𝐸

𝑞

4𝜋𝜀

𝜀

𝑅

𝜎

2𝜀

𝑧

𝐸

−

𝐸

−

𝑞

4𝜋𝜀

𝜀

𝑅

−

𝜎

2𝜀

𝑧

电场的切向分量自动连续, 而由于

𝐷

= 𝜀

𝜀

𝐸

, 故

𝐷

= 𝜀

𝜀

𝑞

4𝜋𝜀

𝜀

𝑅

𝜎

2𝜀

𝑧

𝐷

−

= 𝜀

𝜀

𝑞

4𝜋𝜀

𝜀

𝑅

−

𝜎

2𝜀

𝑧

由电位移的法向分量连续

𝜀

𝑞

4𝜋𝜀

𝜀

𝑅

𝜎

2𝜀

𝑧

= 𝜀

𝑞

4𝜋𝜀

𝜀

𝑅

−

𝜎

2𝜀

𝑧

得

𝜎

= −

𝑞𝑑

2𝜋𝑅

𝜀

− 𝜀

𝜀

(𝜀

+ 𝜀

)