真空中的静磁场

1 BSL 定律 2

1.1 BSL 定律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 BSL 定律的对称性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 任意载流线圈的磁场 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.4 小载流线圈的磁场 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 静磁场的基本规律 3

2.1 高斯定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 安培环路定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.3 面电流两侧的边值关系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3 磁矢势 3

3.1 磁矢势 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3.2 对称性与磁矢势的方向 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3.3 小载流线圈的磁矢势 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

4 磁场对电流的作用 4

4.1 安培力和安培力矩 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

4.2 外磁场中的载流线圈 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

4.2.1 任意载流线圈受到的安培力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

4.2.2 载流线圈的力学势能 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

4.2.3 载流线圈在磁场中受到的安培力矩 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

4.3 体电流受力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

4.4 面电流受力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

5 磁场对电荷的作用 5

5.1 轴对称、缓变、非均匀磁场中的运动 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

5.1.1 磁镜 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1 BSL 定律

1.1 BSL 定律

若取

𝑅 为源点到场点的矢量, 那么对于电流元有

𝑑

𝐵 =

𝜇

4𝜋

𝑑

𝐼 ×

ℝ

其中 𝑑

𝐼 = 𝐼𝑑

𝑙 =

𝐾𝑑𝑆 =

𝐽𝑑𝑉, 任意稳恒电流激发的磁场都可以由 𝐵𝑆𝐿 定律和叠加原理给出

1.2 BSL 定律的对称性

若电流分布满足” 照镜子”, 则

𝐵 垂直对称面, 若” 照镜子转 180

◦

”, 则

𝐵 在对称面内, 若电流分布有对称

轴, 则

𝐵 沿对称轴方向

1.3 任意载流线圈的磁场

若定义立体角,

𝑆 的法向由电流绕行方向及右手定则确定

Ω = −

∬

𝑆

ℝ

· 𝑑

𝑆

ℝ

那么就有

𝐵 · 𝑑

𝑙 =

𝜇

4𝜋

𝑑Ω

其中 Ω 为任意选定的曲面 (需确保场点不在曲面上). 若定义磁标势 𝜓

𝜓 = −

𝜇

4𝜋

则有

𝐵 = −∇𝜓

1.4 小载流线圈的磁场

若线圈很小, 可以认为

Ω(®𝑟) = −

𝑟 ·

𝑆

𝑟

其中 ®𝑟 为线圈到场点的矢量,

𝑆 有

𝑆 =

∬

𝑆

𝑑

𝑆

若定义磁偶极矩 ®𝑚

®𝑚 = 𝐼

𝑆

那么类比电偶极子得到

𝐵(®𝑟) = −

𝜇

4𝜋

∇

(

®𝑚 · ®𝑟

𝑟

)

𝜇

4𝜋𝑟

[3( ®𝑚 ·

𝑟) − ®𝑚]

电流分布的 ®𝑚 可以写为

®𝑚 =

∫

®𝑟 × 𝑑

𝐼 =

𝐼

∮

®𝑟 × 𝑑

𝑙 =

∬

𝑆

®𝑟 × 𝐾𝑑𝑆 =

∭

𝑉

®𝑟 ×

𝐽𝑑𝑉

2 静磁场的基本规律

2.1 高斯定理

𝐵

∯

𝑆

𝐵 · 𝑑

𝑆 = 0, ∇ ×

𝐵 = 0

2.2 安培环路定理

∮

𝐶

𝐵 · 𝑑

𝑙 = 𝜇

𝐼, ∇ ×

𝐵 = 𝜇

𝐽

2.3 面电流两侧的边值关系

设

𝐵

为外侧磁场,

𝐵

为内侧磁场, 则由高斯定理得到

𝑛 · (

𝐵

−

𝐵

) = 0

由环路定理得到

𝑛 × (

𝐵

−

𝐵

) = 𝜇

𝐾

3 磁矢势

3.1 磁矢势

磁矢势

𝐴 定义为

∮

𝐶

𝐴

𝑑

𝑙

∬

𝑆

𝐵 · 𝑑

𝑆,

𝐵 = ∇ ×

𝐴

为确定

𝐴, 取库伦规范

∇ ·

𝐴 = 0

且规定某个边界或者无穷远出

𝐴 = 0, 那么

∇

𝐴 = −𝜇

𝐽

类比局域电荷的静电势得, 局域电流分布的磁矢势为

𝐴(®𝑟) =

𝑚𝑢

4𝜋

∫

𝑑

𝐼

ℝ

其中

𝑑

𝐼

𝐽

(®𝑟

)𝑑𝑉

𝐾

(®𝑟

)𝑑𝑆

= 𝐼 𝑑

𝑙

3.2 对称性与磁矢势的方向

若电流分布满足” 照镜子”, 则

𝐴 在对称面内, 若” 照镜子转 180

◦

”, 则

𝐴 垂直对称面

3.3 小载流线圈的磁矢势

对于小载流线圈有

𝐴(®𝑟) =

𝜇

4𝜋𝑟

®𝑚 × ®𝑟

4 磁场对电流的作用

4.1 安培力和安培力矩

𝐹 =

∫

𝑑

𝐼 ×

𝐵

𝑒

, ®𝜏 =

∫

®𝑟 × (𝑑

𝐼 ×

𝐵

𝑒

)

4.2 外磁场中的载流线圈

4.2.1 任意载流线圈受到的安培力

由安培力做功可以推得

𝐹 = 𝐼∇Φ

𝑒

4.2.2 载流线圈的力学势能

载流线圈在外磁场中的力学势能定义为: 在维持电流不变的情形下, 将载流线圈从参考点无限缓慢地移至

给定位置过程中, 外界抵抗安培力所做的功即

𝑈(®𝑥) = −

∫

®𝑥

∞

𝐹 · 𝑑

𝑙,

𝐹 = −∇𝑈

则

𝑈 = −𝐼Φ

𝑒

若外磁场均匀或线圈很小, 则

𝑈 = − ®𝑚 ·

𝐵

𝑒

设线圈所处区域无外部电流, 即磁场无旋, 那么得到安培力

𝐹 = ®𝑚 · ∇

𝐵

𝑒

4.2.3 载流线圈在磁场中受到的安培力矩

若外场均匀或是线圈很小, 那么

®𝜏 = ®𝑚 ×

𝐵

𝑒

4.3 体电流受力

假设所考察的体电流分布或面电流分布构成了闭合回路, 那么由于闭合回路之间的安培力满足牛顿第三

定律, 因而此处考察的电流分布对自身的作用力为零. 又有体电流元在自身产生的磁场为零, 则

𝐹 =

∫

𝐽 ×

𝐵𝑑𝑉

其中

𝐵 是此处的实际磁感应强度, 表示式表示体电流受到总磁场的安培力, 当构成闭合回路时等于体电

流受到外磁场的安培力, 即

𝐹 =

∫

𝐽 ×

𝐵

𝑒

𝑑𝑉

单位体积电流受到的安培力, 即安培力密度为

𝑓 =

𝑑

𝐹

𝑑𝑉

𝐽 ×

𝐵

4.4 面电流受力

与体电流相同, 面电流受到外磁场安培力为

𝐹 =

∫

𝐾 × 𝐵

𝑒

𝑑𝑆

受到总磁场的安培力为

𝐹 =

∫

𝐾 ×

⟨

𝐵

⟩

𝑑𝑆

仅当面电流构成闭合回路时二式给出相同的结果. 单位面积受到的安培力为

𝑑

𝐹

𝑑𝑆

𝐾 ×

⟨

𝐵

⟩

5 磁场对电荷的作用

有洛伦兹公式

𝐹 = 𝑞

𝐸 + 𝑞®𝑣 ×

𝐵

若定义

®𝜔 = −

𝑞

𝐵

𝑚

, ®𝑣

𝐸

𝐸 ×

𝐵

, ®𝑎

𝐸

𝑞

𝑚

(

𝐸 ·

𝐵)

𝐵

那么有运动方程

𝑑®𝑣

𝑑𝑡

= ®𝑎

𝐸

+ 𝜔 × (®𝑣 − ®𝑣

𝐸

)

5.1 轴对称、缓变、非均匀磁场中的运动

对于非均匀磁场, 若磁场非均匀尺 >> 粒子回旋半径, 则运动可近似视为绕 𝐵 线的螺旋运动一种重要的近

似守恒量是粒子的回旋磁矩

𝜇 =

𝑞𝑠𝑣

𝑚𝑣

2𝐵

𝑞

2𝜋𝑚

5.1.1 磁镜

设磁镜极大磁场为

𝐵

𝑚

, 则发射角大于 𝜃

𝑚

的粒子被捕获

sin

𝜃

𝑚

𝐵

𝑚

𝑅

𝑚𝑖

其中 𝑅

𝑚𝑖

称为磁镜比