电磁感应
目录
1 电磁感应定律 2
1.1 感应电动势与非静电力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 动生电动势与感生电动势 2
2.1 闭合回路上的动生电动势 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2 一段导体上的动生电动势 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.3 感生电动势 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.4 涡旋电场 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.5 总电场 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3 互感与自感 3
3.1 互感系数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3.2 互感电动势 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.3 自感系数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.4 自感电动势 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.5 线圈系统的电感 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.6 线圈的串联和并联 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4 似稳电路 5
4.1 似稳条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4.2 集中元件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4.2.1 理想电感 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4.2.2 理想电容 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4.2.3 理想电阻 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4.3 暂态过程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4.3.1 RL 暂态过程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4.3.2 RC 暂态过程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4.3.3 RLC 暂态过程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1
1 电磁感应定律
闭合回路中的感应电动势等于磁通量变化率的负值
𝜖 = −
𝑑Φ
𝑑𝑡
对于由 𝑁 匝线圈串接组成的导体回路, 定义全磁通
Ψ =
𝑁
𝑖=1
Φ
𝑖
, 𝜖 = −
𝑑Ψ
𝑑𝑡
=
𝜖
𝑖
若穿过每一匝线圈的磁通量都相同, 则有
Ψ = 𝑁Φ, 𝜖 = −𝑁
𝑑Φ
𝑑𝑡
1.1 感应电动势与非静电力
感应电动势 � 来自于某种非静电力
𝜖 =
𝐶
®
𝑘 · 𝑑
®
𝑙 ⇒
𝐶
®
𝑘 · 𝑑
®
𝑙 = −
𝑑
𝑑𝑡
𝑆
®
𝐵 · 𝑑
®
𝑆
2 动生电动势与感生电动势
2.1 闭合回路上的动生电动势
由电磁感应定律推得闭合回路上的动生电动势
𝜖 =
𝐶
(®𝑣 ×
®
𝐵) · 𝑑
®
𝑙
动生电动势的非静电力来源于洛伦兹力
®
𝐾 = ®𝑣 ×
®
𝐵
2.2 一段导体上的动生电动势
𝜖 =
𝑏
𝑎
(
®
𝑏 ×
®
𝐵) · 𝑑
®
𝑙
定义切割磁感线:𝑑
®
𝑙 与该处的
®
𝐵 和 ®𝑣 共面
2.3 感生电动势
由于磁场变化而在导体中产生的电动势称为感生电动势
𝜖 = −
𝑑
®
Φ
𝑑𝑡
= −
𝑆
𝜕
®
𝐵
𝜕𝑡
· 𝑑
®
𝑆
则非静电力
∇ ×
®
𝐾 = −
𝜕
®
𝐵
𝜕𝑡
2.4 涡旋电场
感生电动势的本质是变化的磁场会在空间中激发涡旋电场
∇ ×
®
𝐸
旋
= −
𝜕
®
𝐵
𝜕𝑡
⇔
𝐶
®
𝐸
旋
· 𝑑
®
𝑙 = −
𝑆
𝜕
®
𝐵
𝜕𝑡
· 𝑑
®
𝑆
麦克斯韦还假设涡旋电场是无源的, 即
∇ ·
®
𝐸
旋
= 0 ⇔
𝑆
®
𝐸
旋
· 𝑑
®
𝑆 = 0
由于
®
𝐵 = ∇ ×
®
𝐴
®
𝐸
旋
= −
𝜕
®
𝐴
𝜕𝑡
2.5 总电场
空间的总电场是静电场与涡旋电场的叠加
®
𝐸 =
®
𝐸
势
+
®
𝐸
旋
总电场的基本方程
∇ ·
®
𝐸 =
𝜌
𝜖
0
, ∇ ×
®
𝐸 = −𝜕
𝑡
®
𝐵
总电场的标量势和矢量势
®
𝐸 = −∇𝜙 − 𝜕
𝑡
®
𝐴
3 互感与自感
当线圈 1 中的电流发生变化时, 在线圈 2 中产生的感应电动势称为互感电动势, 这种现象称为互感, 线圈
1 称为初级线圈; 线圈 2 称为次级线圈
当线圈中电流变化时, 它所激发的磁场穿过自身每匝线圈的磁通量也随之改变, 于是线圈产生感应电动势,
称为自感电动势, 这种现象称为自感
3.1 互感系数
通有电流的线圈 1 激发的磁场穿过线圈 2 的磁通匝链数与线圈 1 的电流成正比
Ψ
21
= 𝑀
21
𝐼
1
比例系数为互感系数
𝑀
21
=
Ψ
21
𝐼
1
同样的有
𝑀
12
=
Ψ
12
𝐼
2
互感系数基本上是两线圈的一个几何因数, 两线圈之间的互感系数对称
𝑀
𝑖 𝑗
= 𝑀
𝑗𝑖
=
𝜇
0
4𝜋
𝐶
𝑖
𝐶
𝑗
𝑑
®
𝑙
𝑖
· 𝑑
®
𝑙
𝑗
𝑟
𝑖 𝑗
3.2 互感电动势
设两线圈固定不动, 那么线圈 1 中电流变化在线圈 2 中诱导的感应电动势为
𝜖
21
=
𝑑Ψ
21
𝑡
= −𝑀
21
𝑑𝐼
1
𝑑𝑡
线圈 2 中电流变化在线圈 1 中诱导的感应电动势为
𝜖
12
= −𝑀
12
𝑑𝐼
2
𝑑𝑡
3.3 自感系数
线圈激发的磁场穿过自身的磁通匝链数与所载电流成正比, 比例系数 𝐿 称为自感系数, 即
Ψ = 𝐿𝐼 ⇒ 𝐿 =
Ψ
𝐼
类似于互感系数, 有
𝐿 =
𝜇
0
4𝜋
𝐶
1
𝐶
2
𝑑
®
𝑙
1
· 𝑑
®
𝑙
2
𝑟
12
3.4 自感电动势
线圈中电流 𝐼 变化激发的自感电动势
𝜖 = −
𝑑Ψ
𝑑𝑡
= −𝐿
𝑑𝑙
𝑑𝑡
3.5 线圈系统的电感
穿过第 𝑖 个线圈的磁通量
Φ
𝑖
=
𝑁
𝑗=1
𝑀
𝑖 𝑗
𝐼
𝑗
感应电动势为
𝜖
𝑖
= −
𝑑Φ
𝑖
𝑑𝑡
= −
𝑁
𝑗=1
𝑀
𝑖 𝑗
𝑑𝐼
𝑗
𝑑𝑡
3.6 线圈的串联和并联
串联顺接
𝐿 = 𝐿
1
+ 𝐿
2
+ 2𝑀
串联反接
𝐿 = 𝐿
1
+ 𝐿
2
− 2𝑀
并联同名端连接
𝐿 =
𝐿
1
𝐿
2
− 𝑀
2
𝐿
1
+ 𝐿
2
− 2𝑀
并联异名端连接
𝐿 =
𝐿
1
𝐿
2
− 𝑀
2
𝐿
1
+ 𝐿
2
+ 2𝑀
两线圈间的互感一般可表示为
𝑀 = 𝑘
𝐿
1
𝐿
2
𝐾 = 0 称为无耦合,𝑘 = 1 称为理想耦合,𝑀 =
√
𝐿
1
𝐿
2
, 无耦合时
串联
𝐿 = 𝐿
1
+ 𝐿
2
并联
1
𝐿
=
1
𝐿
1
+
1
𝐿
2
4 似稳电路
4.1 似稳条件
设 Δ𝑡 为电磁信号穿过所考察区域的时间, 尺度为 𝑙 ∼ 𝑐Δ𝑡,𝑇 为电场周期, 那么似稳条件
Δ𝑡 << 𝑇 ⇔ 𝑙 << 𝜆
4.2 集中元件
4.2.1 理想电感
𝑉
𝑎𝑏
= 𝐿
𝑑𝐼
𝑑𝑡
4.2.2 理想电容
𝑉
𝑎𝑏
=
𝑄
𝐶
4.2.3 理想电阻
𝑉
𝑎𝑏
= 𝐼 𝑅
进而可以用基尔霍夫定律确定电流
4.3 暂态过程
4.3.1 RL 暂态过程
接通电源
𝐿
𝑑𝐼
𝑑𝑡
+ 𝐼 𝑅 = 𝜖
解得
𝐼 =
𝜖
𝑅
1 − 𝑒
−
𝑅
𝐿
𝑡
定义时间常数
𝜏 =
𝐿
𝑅
则
𝐼 = 𝐼
0
(1 − 𝑒
−
𝑡
𝜏
)
断开开关
𝐿
𝑑𝐼
𝑑𝑡
+ 𝐼 𝑅 = 0
解得
𝐼 = 𝐼
0
𝑒
−
𝑡
𝜏
4.3.2 RC 暂态过程
接通电源
𝑅𝐼 +
𝑄
𝐶
= 𝜖
得到
𝑄 = 𝐶𝜖
1 − 𝑒
𝑡
𝑅𝐶
定义时间常数
𝜏 = 𝑅𝐶
则
𝐼 = 𝐼
0
𝑒
−
𝑡
𝜏
断开开关
𝑅𝐼 +
𝑄
𝐶
= 0
解得
𝐼 = −𝐼
0
𝑒
−
𝑡
𝜏
电源提供的能量, 最终有一半以焦耳热的形式损耗掉, 另一半以静电能的形式存储在电容器内
4.3.3 RLC 暂态过程
断开电源
𝐿
𝑑𝐼
𝑑𝑡
+ 𝐼 𝑅 +
𝑄
𝐶
= 0
若定义
𝜔
0
=
1
√
𝐿𝐶
, 𝛾 =
𝑅
2𝐿
那么
𝑑
2
𝑄
𝑑𝑡
2
+ 2𝛾
𝑑𝑄
𝑑𝑡
+ 𝜔
2
0
𝑄 = 0
化为阻尼振动方程
