电流场

1 电流的描述 2

1.1 电流强度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 电流密度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1 电流体密度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.2 面电流密度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.3 线电流 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 电流连续性方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 稳恒电流 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4.1 定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4.2 稳恒电流线和电流管 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4.3 稳恒电场 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 欧姆定律 3

2.1 欧姆定律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 焦耳定律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2.1 欧姆定律的微观解释 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3 导电介质 4

3.1 导电介质中电磁问题的完备方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3.2 导电介质中的势方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.3 电阻与电容的关系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

4 电源 5

4.1 全欧姆定律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

4.2 电动势 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

5 基尔霍夫定律 5

5.1 基尔霍夫第一定律 (节点定律) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

5.2 基尔霍夫第二定律 (回路电压定律) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

5.3 叠加原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1 电流的描述

1.1

电流强度

穿过某个曲面的电流强度定义为单位时间穿过该曲面的电量

𝐼 =

𝑑𝑄

𝑑𝑡

1.2 电流密度

1.2.1 电流体密度

电流体密度定义为

𝐽 =

𝑑𝐼

𝑑𝑆

⊥

𝑛

有电流强度与体电流密度的关系为

𝑑𝐼 =

𝐽 · 𝑑

𝑆

穿过任一给定曲面 𝑆 的电流强度为

𝐼 =

∬

𝑆

𝐽 · 𝑑

𝑆

对于只有一种载流子, 若 𝑞 为载流子电量,®𝑣 为载流子的定向漂移速度, 载流子数密度与体密度分别为

𝑛, 𝜌 = 𝑛𝑞, 则

𝐽 = 𝑛𝑞®𝑣 = 𝜌®𝑣

若有若干种载流子

𝐽 =

∑

𝑘

𝑛

𝑘

𝑞

𝑘

®𝑣

𝑘

∑

𝑘

𝜌

𝑘

®𝑣

𝑘

1.2.2 面电流密度

𝐾 =

𝑑𝐼

𝑑

𝑙

⊥

𝑛

有

𝐾 =

𝐽𝑑

⊥

= 𝜎®𝑣

穿过任一给定曲线 𝐶 的电流强度为

𝐼 =

∫

𝐶

𝐾𝑑𝑙

⊥

∫

𝐶

𝐾 cos 𝜃𝑑𝑙

1.2.3 线电流

𝐼 = 𝐼

𝑛

有

𝐼 =

𝐽𝑆

⊥

= 𝜆®𝑣

1.3 电流连续性方程

即电荷守恒定律

−

𝑑𝑄

𝑑𝑡

= 𝐼

也可以写出积分形式

−

𝑑

𝑑𝑡

∭

𝑣

𝜌(®𝑟, 𝑡)𝑑𝑉 =

∯

𝜕𝑉

𝐽 (®𝑟, 𝑡) · 𝑑

𝑆

由高斯定理可以给出微分形式

∇ ·

𝐽 = −

𝜕𝜌

𝜕𝑡

在两种材料的界面可以取高斯盒子写为边值关系

ˆ·(

𝐽

−

𝐽

) = −𝜕

𝑡

𝜎

1.4 稳恒电流

1.4.1 定义

稳恒电流不随时间变化, 由连续性方程以及物理上电荷积累得到稳恒条件

𝑑𝑄

𝑑𝑡

= 0

积分形式为

∯

𝑆

𝐽 · 𝑑

𝑆 = 0 ⇒

𝑑𝑄

𝑑𝑡

= 0

微分形式为

∇ ·

𝐽 = 0 ⇒

𝜕𝜌

𝜕𝑡

= 0

边值关系写为

𝑛 · (

𝐽

−

𝐽

) = 0 ⇒

𝜕𝜎

𝜕𝑡

1.4.2 稳恒电流线和电流管

稳恒电流的闭合性: 稳恒电流的电流线只可能是无头无尾的闭合曲线支路定律: 对于稳恒电流，通过给定

电流管的各截面的电流强度相同节点定律: 稳恒电流穿过任一闭曲面的通量为零

1.4.3 稳恒电场

在稳恒电流情形下, 电荷分布不随时间变化, 产生的电场亦不随时间变化, 这种电场称为稳恒电场, 与静电

场服从相同的基本方程

回路定律: 沿着某根闭合电流管或者电路中的某闭合回路, 总电势降为零

2 欧姆定律

2.1 欧姆定律

当导体中的载流子受到外力作用时, 载流子定向移动的速度, 与外力成正比, 从而电流密度与单位载流子

受到的力

𝑓 成正比

𝐽 = 𝜎

𝑓

得到微分形式的欧姆定律. 若载流子仅受到电场力的作用, 则欧姆定律表示为

𝐽 = 𝜎

𝐸

𝜎 称为导体的电导率, 倒数 𝜌 =

𝜎

称为电阻率

欧姆定律对于均匀各向同性的材料成立, 并且, 大多数情况下, 欧姆定律对于非稳恒电流也成立

假定稳恒电流中载流子仅受电场力作用, 沿一根电流线积分得到积分形式

𝑉

∫

𝐸 · 𝑑

𝑙 = 𝐼

∫

𝑑𝑙

𝜎𝑆

⊥

定义该段导体电阻为

𝑅 =

∫

𝑑𝑙

𝜎𝑆

⊥

∫

𝜌𝑑𝑙

𝑆

⊥

得到

𝑉 = 𝐼𝑅, 𝑅 =

𝑉

𝐼

积分形式的欧姆定律仅适用于稳恒电流的情形

2.2 焦耳定律

由电场对载流子功率得到电场消耗的功率密度为

𝑝 =

𝐸 ·

𝐽

若对欧姆型导体由

𝐽 = 𝜎

𝐸

𝑝

𝜎𝐸

= 𝜌𝐽

得到微分形式的焦耳定律, 将区域划分为电流管积分得到

𝑃

𝑒

= 𝐼𝑉

对于欧姆型导体电功率可以写为

𝑃

𝑒

= 𝐼

𝑅 =

𝑉

𝑅

得到积分形式的焦耳定律

2.2.1 欧姆定律的微观解释

待补

3 导电介质

3.1 导电介质中电磁问题的完备方程

环路定理

∮

𝐶

𝐸 · 𝑑

𝑙 = 0, ∇ ×

𝐸 = 0,

𝑛 × (

𝐸

−

𝐸

)

稳恒条件

∯

𝑆

𝐽 · 𝑑

𝑆 = 0, ∇ ·

𝐽 = 0, ˆ·(

𝐽

−

𝐽

)

导电介质的本构方程

𝐽 = 𝜎

𝐸

再与介质中电场方程联立, 能完全确定

𝐸 与

𝐽

3.2 导电介质中的势方程

将

𝐸 = −∇𝜑,

𝐽 = 𝜎

𝐸 代入稳恒条件得到在均匀导电介质内部, 电势满足拉普拉斯方程

∇

𝜑 = 0

在导电介质界面处, 电势满足边值关系

𝐸

1𝜏

𝐸

2𝜏

, 𝐽

1𝑛

= 𝐽

2𝑛

给定区域边界上各点的电势或电场法向分量或二者的混合都可以唯一确定内部电场

3.3 电阻与电容的关系

两个电极 (理想导体) 嵌入无限的均匀导电介质, 电阻率为 𝜌, 介电常数为 𝜖, 设 𝑆 是任一完全包含某一电

极的曲面, 将 𝑅, 𝐶 用 𝐷, 𝐸 表示可得

𝑅𝐶 = 𝜌𝜖

4 电源

4.1 全欧姆定律

用

𝐾 表示示电源对单位电荷提供的非静电力, 欧姆定律就写为

𝐽 = 𝜎

𝑓 = 𝜎(

𝐸 +

𝐾)

4.2 电动势

定义电动势为在电源内部的积分

𝜖 =

∫

−

𝐾 · 𝑑

𝑙

若无法区分内部外部, 则定义为闭合回路的积分, 称它为整个闭合回路的电动势

5 基尔霍夫定律

5.1 基尔霍夫第一定律 (节点定律)

∯

𝑆

𝐽 · 𝑑

𝑆 ⇒

∑

𝑘

𝐼

𝑘

= 0

流出为正, 流入为负

5.2 基尔霍夫第二定律 (回路电压定律)

由于稳定电场是无旋场, 因而沿着任一闭合回路的电势降为零

∮

𝐶

𝐸 · 𝑑

𝑙 =

∮

𝐶

𝜌

𝐽 · 𝑑

𝑙 −

∮

𝐶

𝐾 · 𝑑

𝑙 = 0 ⇒

∑

𝑉 = 0

电源从正极到负极的电势降为 +𝜖

沿着电流的方向, 电阻两端的电势降为 +𝐼 𝑅

5.3 叠加原理

在具有几个电动势的电路中, 几个电动势共同在某一支路中引起的电流, 等于每个电动势单独存在时在该

支路上所产生的电流之和