静电场
目录
1 静电场标势及其方程 3
1.1 标量势 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 泊松方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 静电势的边值关系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 静电场的能量 4
3 唯一性定理 4
4 导体 6
4.1 导体存在时的唯一性定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4.2 导体系叠加原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
5 分离变量法求解电势 7
5.1 拉普拉斯方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
5.2 分离变量法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
6 格林函数法与 𝛿 函数 9
6.1 𝛿 函数表示的点电荷密度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
6.2 以泛函定义的广义函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
6.3 格林函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
6.4 格林函数求解边值问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
6.4.1 格林公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1
6.4.2 第一类边值问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
6.4.3 第二类边界条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
6.5 利用格林函数求解静电场 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
6.6 镜像法求解格林函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
6.6.1 半无限空间格林函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
6.6.2 球形空间的格林函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
6.6.3 球面上电势对空间电势的影响 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
7 电多极矩 14
7.1 有限空间电荷在远处电荷 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
7.2 电势的多极展开 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
7.3 电四极矩的另一种定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
8 外场中电荷系统的能量 15
9 外场的展开 16
10 外场中能量的级数形式 16
1 静电场标势及其方程
1.1 标量势
当体系不随时间变化时, 电场磁场可以分离. 麦克斯韦方程组的电场部分为
∇ ×E = 0
∇ · D = 𝜌
, D ≡ D(E)
可以由此解出电场.静电场是无旋场 , 可以定义标量势
E = −∇𝜑
电场的积分与路径无关
𝜑(x
1
) − 𝜑(x
2
) = −
∫
𝑥
1
x
2
E · 𝑑x
若取无穷远处电势为零
𝜑(x) =
∫
∞
x
E · 𝑑x
若空间中电荷分布给定, 则静电势可以利用上式积分求出 (写出电场并交换积分顺序)
𝜑(x) =
1
4𝜋𝜖
0
∭
𝑉
𝜌
𝑟
𝑑𝑉
′
其中 𝑟 =
|
x − x
′
|
, 是场点到源点的距离
1.2 泊松方程
对于各向同性的线性介质有 D = 𝜖E, ∇ · D = 𝜌, 代入电势得到
∇ · (𝜖 ∇𝜑) = −𝜌
若是均匀介质,𝜖 可以提出
∇
2
𝜑 = −
1
𝜖
𝜌
称为泊松方程, 是描述均匀各向同性线性介质中静电场的基本方程
1.3 静电势的边值关系
电势是连续的
𝜑
1
= 𝜑
2
若是界面两侧 𝜑 相差一个常数, 也可以保证电场平行分量连续
电势法向梯度值变化与面电荷有关
𝜖
1
𝜕𝜑
1
𝜕𝑛
− 𝜖
2
𝜕𝜑
2
𝜕𝑛
= 𝜎
这是因为
ˆ
𝑛 · (D
2
− D
1
) = 𝜎 ⇒
ˆ
𝑛 · (𝜖
1
∇𝜑
1
− 𝜖
2
∇𝜑
2
) = 𝜎
2 静电场的能量
静电场的能量有
𝑑𝑊 =
1
2
E · D · d𝑉 = −
1
2
(∇𝜑) · D · d𝑉 = −
1
2
∇ · (𝜑D − 𝜑∇ · D) · d𝑉
再利用两个高斯定理得到
𝑊 = −
1
2
∯
∞
𝜑D · 𝑑S +
1
2
∭
∞
𝜑𝜌𝑑𝑉
第一项积分是一个小量, 因而得到
𝑊 =
1
2
∭
∞
𝜑𝜌𝑑𝑉
需要注意的是, 该式仅对无限空间成立
3 唯一性定理
空间区域 𝑉 内静电场唯一确定的条件为
1. 在区域 𝑉 中每个均匀的子区域内满足泊松方程
∇
2
𝜑 = −
𝜌
𝜖
𝑖
2. 在区域 𝑉 的每两子区域边界上满足边界条件 (𝑛 由 𝑖 指向 𝑗)
𝜑
𝑖
= 𝜑
𝑗
, 𝜖
𝑖
𝜕𝜑
𝑖
𝜕𝑛
− 𝜖
𝑗
𝜕𝜑
𝑗
𝜕𝑛
= 𝜎
3. 已知区域 𝑉 内的电荷密度 𝜌, 𝜎
4. 给定区域 𝑉 表面上 𝜑 或
𝜕𝜑
𝜕𝑛
的值
欲证明唯一性定理, 假设有 𝜑
′
, 𝜑
′′
同时满足上述条件, 只需要证明 𝜑 = 𝜑
′
− 𝜑
′′
处处为零即可.∇
2
是线性
算子, 因而 𝜑 也应当满足拉普拉斯方程
∇
2
𝜑 = 0
在子区域的界面上, 两电势满足
𝜑
′
𝑖
= 𝜑
′
𝑗
, 𝜖
𝑖
𝜕𝜑
′
𝑖
𝜕𝑛
− 𝜖
𝑗
𝜕𝜑
′
𝑗
𝜕𝑛
= 𝜎, 𝜑
′′
𝑖
= 𝜑
′′
𝑗
, 𝜖
𝑖
𝜕𝜑
′′
𝑖
𝜕𝑛
− 𝜖
𝑗
𝜕𝜑
′′
𝑗
𝜕𝑛
= 𝜎
相减就有
𝜑
𝑖
= 𝜑
𝑗
, 𝜖
𝑖
𝜕𝜑
𝑖
𝜕𝑛
= 𝜖
𝑗
𝜕𝜑
𝑗
𝜕𝑛
同理在区域表面上若给定了两种边界条件之一, 就有
𝜑 = 0, 𝑜𝑟
𝜕𝜑
𝜕𝑛
= 0
构造积分
Õ
𝑘
∯
𝑆
𝑘
(
𝜖
𝑘
𝜑∇𝜑
)
· 𝑑S
由方向导数的定义
∇𝜑 · dS = ∇𝜑 · ˆnd𝑆 =
𝜕𝜑
𝜕𝑛
d𝑆
这个积分实际上就是
Õ
𝑘
∯
𝑆
𝑘
𝜖
𝑘
𝜑
𝜕𝜑
𝜕𝑛
𝑘
𝑑𝑆
其中 𝑛
𝑘
为 𝑆
𝑘
表面的法向
对于每一个界面的交界处, 积分都进行了两次. 由于法向方向相反, 互相抵消得零. 而对于最外侧边界,𝜑 或
𝜕𝜑
𝜕𝑛
其中一个为零即可有积分为零, 因而整个积分为零
Õ
𝑘
∯
𝑆
𝑘
𝜖
𝑘
𝜑
𝜕𝜑
𝜕𝑛
𝑘
𝑑𝑆 = 0
又由于
Õ
𝑘
∯
𝑆
𝑘
(
𝜖
𝑘
𝜑∇𝜑
)
· 𝑑S =
Õ
𝑘
∭
𝑉
𝑘
∇ · (𝜖
𝑘
𝜑∇𝜑)𝑑𝑉 =
Õ
𝑘
∭
𝑉
𝑘
𝜖
𝑘
(∇𝜑)
2
𝑑𝑉 +
∭
𝑉
𝑘
𝜖
𝑘
𝜑∇
2
𝜑
由于 ∇
2
𝜑 处处为零, 得后一项为零, 因而
Õ
𝑘
∭
𝑉
𝑘
𝜖
𝑘
(∇𝜑)
2
𝑑𝑉 = 0
因而 ∇𝜑 处处为零, 即完成了证明
4 导体
4.1 导体存在时的唯一性定理
导体的静电平衡条件
1. 导体内部无电荷, 电荷以面电荷形式分布于表面
2. (孤立) 导体内部电场为零, 导体是等势体
若区域中存在导体, 给定导体上的电势 𝜑 或总电荷 𝑄, 其他区域条件如前, 则电场唯一确定
欲证明该结论, 对于给定电势值, 将导体看作是区域边界之一由前文相同的过程即可完成证明; 对于给定
电荷值, 只需要取导体表面 𝑆, 由于导体是等势体, 内部电势梯度为零, 那么在导体外部附近就有
−𝜖
0
𝜕𝜑
𝜕𝑛
=
𝜎
𝜖
0
其中 𝜎 为此处导体表面的电荷密度. 对整个导体表面积分, 就有
∯
𝑆
𝜕𝜑
𝜕𝑛
𝑑𝑆 = −
𝑄
𝜖
其中 𝑄 为导体上的带的电荷. 仍然假设有两个电势 𝜑
′
, 𝜑
′′
满足上述条件, 那么与上文同理,𝜑 满足
∯
𝑆
𝜕𝜑
𝜕𝑛
𝑑𝑆 = 0
也就是
∯
𝑆
∇𝜑 · 𝑑S = 0
仍然考察
Õ
𝑘
∯
𝑆
𝑘
(
𝜖
𝑘
𝜑∇𝜑
)
· 𝑑S =
Õ
𝑘
∭
𝑉
𝑘
𝜖
𝑘
(∇𝜑)
2
𝑑𝑉 +
∭
𝑉
𝑘
𝜖
𝑘
𝜑∇
2
𝜑
此处的 𝑆
𝑖
包含导体表面,𝑉
𝑘
不包含导体内部. 由于导体是等势体, 因而对于导体而言
∯
𝑆
𝜑∇𝜑 · 𝑑S = 𝜑
∯
𝑆
∇𝜑 · 𝑑S = 0
因而 LHS 就不再包含导体表面. 对于导体外的空间, 由于没有自由电荷, 其中的电势满足拉普拉斯方程
∇
2
𝜑 = 0
前文已经证明了对于不含导体 LHS 为零, 因而整个积分为零, 同样可以得到
Õ
𝑘
∭
𝑉
𝑘
𝜖
𝑘
(∇𝜑)
2
𝑑𝑉 = 0
就得到了处处 ∇𝜑 为零, 完成了证明
4.2 导体系叠加原理
对由导体构成的系统, 若各导体上电荷为 𝑄
′
𝑖
时电荷密度为 𝜎
′
𝑖
, 电荷为 𝑄
′′
𝑖
时电荷密度为 𝜎
′′
𝑖
, 则当各导体
上电荷为 𝑄
′
𝑖
+ 𝑄
′′
𝑖
时, 电荷密度为 𝜎
′
𝑖
+ 𝜎
′′
𝑖
利用空间中的电势表达式即可证明:
𝜑 =
Õ
𝑖
∯
𝑆
𝑖
𝜎
′
𝑖
+ 𝜎
′′
𝑖
𝑟
𝑑𝑆 =
Õ
𝑖
∯
𝑆
𝑖
𝜎
′
𝑖
𝑟
𝑑𝑆 +
Õ
𝑖
∯
𝑆
𝑖
𝜎
′′
𝑖
𝑟
𝑑𝑆 = 𝜑
′
+ 𝜑
′′
5 分离变量法求解电势
5.1 拉普拉斯方程
在无自由电荷的空间区域, 泊松方程变为
∇
2
𝜑 = 0
称为拉普拉斯方程. 区域外可以有电荷, 可以通过边界条件影响内部
利用拉普拉斯算符写为
Δ𝜑 = 0
在直角坐标系下
Δ =
𝜕
2
𝜕𝑥
2
+
𝜕
2
𝜕𝑦
2
+
𝜕
2
𝜕𝑧
2
柱坐标下
Δ =
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
+
1
𝑟
2
𝜕
2
𝜕𝜃
2
+
𝜕
2
𝜕𝑧
2
球坐标下
Δ =
1
𝑟
2
𝜕
𝜕𝑟
𝑟
2
𝜕
𝜕𝑟
+
1
𝑟
2
sin 𝜃
𝜕
𝜕𝜃
sin 𝜃
𝜕
𝜕𝜃
+
1
𝑟
2
sin
2
𝜃
𝜕
2
𝜕𝜙
2
5.2 分离变量法
如果多变量函数可以分离
𝜑(𝑟, 𝜃, 𝜑) = 𝑓 (𝑟)𝑔(𝜃)ℎ(𝜙 )
拉普拉斯方程可以写为
1
𝑟
2
d
d𝑟
𝑟
2
d 𝑓
d𝑟
𝑔ℎ +
1
𝑟
2
sin 𝜃
d
d𝜃
sin 𝜃
d𝑔
d𝜃
𝑓 ℎ +
1
𝑟
2
sin
2
𝜃
d
2
ℎ
d𝜙
2
𝑓 𝑔 = 0
或是
1
𝑓
d
d𝑟
𝑟
2
d 𝑓
d𝑟
+
1
𝑔 sin 𝜃
d
d𝜃
sin 𝜃
d𝑔
d𝜃
+
1
ℎ sin
2
𝜃
d
2
ℎ
d𝜙
2
= 0
前一项仅与 𝑟 有关, 后一项与 𝑟 无关. 因而这两项必须是与变量无关的常数 𝜆, −𝜆
1
𝑓
d
d𝑟
𝑟
2
d 𝑓
d𝑟
= 𝜆
1
𝑔 sin 𝜃
d
d𝜃
sin 𝜃
d𝑔
d𝜃
+
1
ℎ sin
2
𝜃
d
2
ℎ
d𝜙
2
= −𝜆
第二个方程可以变形为
sin 𝜃
𝑔
d
d𝜃
sin 𝜃
d𝑔
d𝜃
+ 𝜆
2
sin 𝜃
+
1
ℎ
d
2
ℎ
d𝜙
2
= 0
同样地, 前一项仅与 𝜃 有关, 后一项仅与 𝜙 有关系, 可以进一步分离
sin 𝜃
d
d𝜃
𝜃
d𝑔
d𝜃
+ (𝜆 sin
2
𝜃 − 𝜇)𝑔 = 0
d
2
ℎ
d𝜙
2
+ 𝜇ℎ = 0
由电势的
单值性要求,ℎ(𝜙) 应为周期 2𝜋 的周期函数
, 因而要求 𝜇 是某个整数的平方
𝜇 = 𝑚
2
, 𝑚 ∈ Z
该方程的通解就是
ℎ(𝜙) = sin 𝑚𝜙, cos 𝑚𝜙
代回 𝑔 式得
sin 𝜃
d
d𝜃
𝜃
d𝑔
d𝜃
+ (𝜆 sin
2
𝜃 − 𝑚
2
)𝑔 = 0
作变换 𝑧 = cos 𝜃, 𝑑𝑧 = −sin 𝜃𝑑𝜃, 那么
d
d 𝑧
(1 − 𝑧
2
)
d𝑔
d 𝑧
+
𝜆 −
𝑚
2
1 − 𝑧
2
𝑔 = 0
这是缔合勒让德方程, 在
|
𝑧
|
≤ 1 内具有有限解的条件
𝜆 = 𝑛(𝑛 + 1), 𝑛 ∈ Z
它的解是勒让德函数
𝑃
𝑚
𝑛
(𝑧)
代入 𝑓 方程得到
1
𝑓
d
d𝑟
𝑟
2
d 𝑓
d𝑟
= 𝑛(𝑛 + 1)
它的解是
𝑓 (𝑟) = 𝑟
𝑛
, 𝑟
−(𝑛+1)
那么球坐标下拉普拉斯方程的通解就是
𝜑 =
Õ
𝑛,𝑚
h
𝑎
𝑛𝑚
𝑟
𝑛
+ 𝑏
𝑛𝑚
𝑟
−(𝑛+1)
cos 𝑚𝜙 +
𝑎
′
𝑛𝑚
𝑟
𝑛
+ 𝑏
′
𝑛𝑚
𝑟
−(𝑛+1)
sin 𝑚𝜙
i
𝑃
𝑚
𝑛
(cos 𝜃)
若系统具有轴对称性, 取对称轴为 𝑧 轴, 那么
𝜕𝜑
𝜕𝜙
= 0 ⇒ 𝑚 = 0
𝜑(𝑟, 𝜃) =
Õ
𝑛
𝑎
𝑛
𝑟
𝑛
+ 𝑏
𝑛
𝑟
−(𝑛+1)
𝑃
𝑛
(cos 𝜃)
其中
𝑃
𝑛
=
1
2
𝑛
𝑛!
d
𝑛
d𝑥
𝑛
(𝑥
2
− 1)
𝑛
特别地有
𝑃
0
(𝑥) = 1, 𝑃
1
(𝑥) = 𝑥, 𝑃
2
(𝑥) =
1
2
(3𝑥
2
− 1)
6 格林函数法与 𝛿 函数
6.1 𝛿 函数表示的点电荷密度
电荷为 𝑄 的点电荷的电荷密度记为
𝜌(X) = 𝑄𝛿(X − X
′
)
𝛿 函数具有下面的性质
1. 除零点外处处为零
𝛿(X) = 0, (X ≠ 0)
2. 在零处趋于无穷
𝛿(X) → ∞, (X → 0)
3. 包含 0 的区域积分为 1
∭
𝑉
𝛿(X)𝑑 𝑉 = 1, (0 ∈ 𝑉)
4. 𝛿 函数的选择性质 (利用中值定理得到)
∭
𝑉
𝜑(X)𝛿(X − X
′
)𝑑𝑉 = 𝜑(X
′
)
特别地
∭
𝑉
𝜑(X)𝛿(X)𝑑𝑉 = 𝜑(0)
6.2 以泛函定义的广义函数
泛函是函数到实数的映射.𝛿 函数是通过如下正则泛函定义的函数的特例
(
𝑓 (𝑥), 𝑔(𝑥)
)
≡
∫
+∞
−∞
𝑓 (𝑥)𝜑(𝑥)𝑑𝑥
若对于任意的
𝜑
(
𝑥
)
,
有
( 𝑓 (𝑥), 𝜑(𝑥)) = 𝜑(0)
那么 𝑓 (𝑥) → 𝛿(𝑥). 广义函数微商的定义
d 𝑓 (𝑥)
d𝑥
, 𝜑(𝑥)
=
∫
+∞
−∞
𝑚𝑑 𝑓 (𝑥)𝑥𝜑(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓 (𝑥)𝜑(𝑥)
+∞
−∞
−
∫
+∞
−∞
𝑓 (𝑥)
d𝜑(𝑥)
d𝑥
𝑑𝑥
认为函数足够好可以使得前一项为零
−
∫
+∞
−∞
𝑓 (𝑥)
d𝜑(𝑥)
d𝑥
𝑑𝑥 = −
𝑓 (𝑥),
d𝜑(𝑥)
d𝑥
那么
d 𝑓 (𝑥)
d𝑥
, 𝜑(𝑥)
= −
𝑓 (𝑥),
d𝜑(𝑥)
d𝑥
如此就可以用普通函数的微商定义广义函数的微商. 例如对于 Heaviside 函数
𝐻(𝑥) =
0 𝑥 < 0
1 𝑥 ≥ 0
⇒
d𝐻(𝑥)
d𝑥
= 𝛿(𝑥)
这是因为 (认为 𝜑 足够好在无穷处为零)
∫
+∞
−∞
d𝐻(𝑥)
d𝑥
𝜑(𝑥) = −
∫
+∞
−∞
𝐻(𝑥)
d𝜑(𝑥)
d𝑥
𝑑𝑥 = −
∫
−∞
0
d𝜑
d𝑥
𝑑𝑥 = 𝜑(0)
这就是 𝛿 函数的定义
6.3 格林函数
位于 X
′
点的单位点电荷产生的电势满足方程
∇
2
𝜑(X) = −
1
𝜖
0
𝛿(X − X
′
)
若加上边界条件
𝜑
𝑆
= 0
则解称为第一类边值问题的格林函数. 若边界条件为
𝜕𝜑
𝜕𝑛
𝑆
= −
1
𝜖
0
𝑆
(常数)
注意该常数不能为零, 否则运用高斯定理化为边界上面积分时会存在矛盾. 则称解为此区域内的第二类边
值问题的格林函数
第一类格林函数 𝐺
1
(X, X
′
)
∇
2
𝐺
1
= −
1
𝜖
0
𝛿(X − X
′
)
𝐺
1
𝑆
= 0
第二类格林函数
∇
2
𝐺
2
= −
1
𝜖
0
𝛿(X − X
′
)
𝜕𝐺
2
𝜕𝑛
𝑆
= −
1
𝜖
0
𝑆
6.4 格林函数求解边值问题
6.4.1 格林公式
对区域 𝑉 内任意的两函数 𝜑, 𝜓 有
∭
𝑉
(𝜓∇
2
𝜑 − 𝜑∇
2
𝜓)𝑑𝑉 =
∯
𝑆
𝜓
𝜕𝜑
𝜕𝑛
− 𝜑
𝜕𝜙
𝜕𝑛
𝑑𝑆
证明只需要
∇ · (𝜓∇𝜑) = ∇𝜓 · ∇𝜑 + 𝜓∇
2
𝜑, ∇ · (𝜑∇𝜓) = ∇𝜑 · ∇𝜓 + 𝜑∇
2
𝜓
相减得到
∇ · (𝜓∇𝜑 − 𝜑∇𝜓) = 𝜓∇
2
− 𝜑∇
2
𝜓
6.4.2 第一类边值问题
若给定区域电荷分布, 同时给定第一类边界条件, 即
∇
2
𝜑 = −
1
𝜖
0
𝜌, 𝜑
𝑆
= 0
令 𝜓 = 𝐺
1
(X, X
′
), 由格林公式
∭
𝑉
𝐺
1
(X
′
, X)∇
2
𝜑(X
′
) − 𝜑(X
′
)∇
2
𝐺
1
(X
′
, X)
𝑑𝑉
′
=
∯
𝑆
𝐺
1
𝜕𝜑
𝜕𝑛
′
− 𝜑
𝜕𝐺
𝜕𝑛
′
𝑑𝑆
′
由于
∇
2
𝜑 = −
1
𝜖
0
𝜌, ∇
2
𝐺 (x, x
′
) = −
1
𝜖
0
𝛿(x − x
′
)
再利用第一类边值问题边界上格林函数为零, 消去 RHS 第一项得到
−
1
𝜖
0
∭
𝑉
𝐺
1
𝜌(X
′
) − 𝜑(X
′
)𝛿(X
′
− X)
𝑑𝑉
′
= −
∯
𝑆
𝜑(X
′
)
𝜕𝐺
1
𝜕𝑛
′
𝑑𝑆
′
利用 𝛿 函数的选择性得到
𝜑(X) =
∭
𝑉
𝐺
1
𝜌(X
′
)
𝑑𝑉
′
− 𝜖
0
∯
𝑆
𝜑(X
′
)
𝜕𝐺
1
𝜕𝑛
′
𝑑𝑆
′
6.4.3 第二类边界条件
给定第二类边界条件
∇
2
𝜑 = −
1
𝜖
0
𝜌,
𝜕𝜑
𝜕𝑛
𝑆
令 𝜓 = 𝐺
2
(X, X
′
), 由格林公式
∭
𝑉
=
𝐺
2
(X
′
, X)∇
2
𝜑(X
′
) − 𝜑(X
′
)∇
2
𝐺
2
(X
′
, X)
𝑑𝑉
′
=
∯
𝑆
𝐺
2
𝜕𝜑
𝜕𝑛
′
− 𝜑
𝜕𝐺
2
𝜕𝑛
′
𝑑𝑆
′
第二类格林函数有边值
𝜕𝐺
2
𝜕𝑛
′
𝑆
= −
1
𝜖
0
𝑆
与第一类边值问题相同, 但是此时边界上格林函数不为零, 需要代入上式. 得到
−
1
𝜖
0
∭
𝑉
𝐺
2
𝜌(X
′
) − 𝜑(X
′
)𝛿(X
′
− X)
𝑑𝑉
′
= −
∯
𝑆
𝐺
2
𝜕𝜑
𝜕𝑛
′
𝑑𝑆
′
+
1
𝜖
0
𝑆
∯
𝑆
𝜑(X
′
)𝑑𝑆
′
同样再利用 𝛿 函数的选择性得到
𝜑(X) =
∭
𝑉
𝐺
2
𝜌(X
′
)
𝑑𝑉 + 𝜖
0
∯
𝑆
𝐺
2
𝜕𝜑
𝜕𝑛
′
𝑑𝑆
′
+
⟨
𝜑
⟩
𝑆
6.5 利用格林函数求解静电场
边界条件对空间电场的贡献可以分离, 具有叠加性质
𝜑(X) =
∭
𝑉
𝐺
1
𝜌(X
′
)
𝑑𝑉
′
− 𝜖
0
∯
𝑆
𝜑(X
′
)
𝜕𝐺
1
𝜕𝑛
′
𝑑𝑆
′
𝜑(X) =
∭
𝑉
𝐺
2
𝜌(X
′
)
𝑑𝑉 + 𝜖
0
∯
𝑆
𝐺
2
𝜕𝜑
𝜕𝑛
′
𝑑𝑆
′
对于无限大的空间区域, 两类格林函数相同
𝐺
1
= 𝐺
2
=
1
4𝜋𝜖
0
1
|
X
′
− X
|
=
1
4𝜋𝜖
0
1
𝑟
那么无限大空间的电势
𝜑(X) =
1
4𝜋𝜖
0
∭
𝑉
𝜌(X
′
)
𝑟
𝑑𝑉
′
得到了库仑定律. 若给定区域无电荷, 区域内拉普拉斯方程的解为
𝜑(X) = −𝜖
0
∯
𝑆
𝜑(X)
𝜕𝐺
1
𝜕𝑛
′
𝑑𝑆
′
, 𝜑(X) = 𝜖
0
∯
𝑆
𝐺
2
𝜕𝜑
𝜕𝑛
′
𝑑𝑆
′
6.6 镜像法求解格林函数
6.6.1 半无限空间格林函数
接地无限大导体板附近一点电荷 𝑄, 求空间电势
设电荷位置 X
′
= (𝑥
′
, 𝑦
′
, 𝑧
′
), 则在 (𝑥
′
, 𝑦
′
, −𝑧
′
) 处设置 −𝑄, 可取消导体表面. 得到电势
𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
𝑄
4
𝜋𝜖
0
"
1
p
(𝑥 − 𝑥
′
)
2
+ (𝑦 − 𝑦
′
)
2
+ (𝑧 − 𝑧
′
)
2
−
1
p
(𝑥 − 𝑥
′
)
2
+ (𝑦 − 𝑦
′
)
2
+ (𝑧 + 𝑧
′
)
2
#
唯一性定理保证解的唯一性
得到半无限空间的第一类格林函数
𝐺
1
(X, X
′
) =
1
4𝜋𝜖
0
"
1
p
(𝑥 − 𝑥
′
)
2
+ (𝑦 − 𝑦
′
)
2
+ (𝑧 − 𝑧
′
)
2
−
1
p
(𝑥 − 𝑥
′
)
2
+ (𝑦 − 𝑦
′
)
2
+ (𝑧 + 𝑧
′
)
2
#
6.6.2 球形空间的格林函数
接地导体球外一点电荷 𝑄, 求空间电势. 设电荷位置 X
′
= (0, 0, 𝑎), 镜像电荷在 (0, 0, 𝑏) 处, 电势为 −𝑄
′
,
那么
𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
1
4𝜋𝜖
0
"
𝑄
p
𝑥
2
+ 𝑦
2
+ (𝑧 − 𝑎
2
)
−
𝑄
′
p
𝑥
2
+ 𝑦
2
+ (𝑧 − 𝑏)
2
#
边界条件:𝜑
𝑟=𝑅
0
= 0, 那么
𝑄
p
𝑅
2
0
+ 𝑎
2
− 2𝑎𝑧
−
𝑄
′
p
𝑅
2
0
+ 𝑏
2
− 2𝑏𝑧
= 0
解得
𝑏 =
𝑅
2
0
𝑎
𝑄
′
=
𝑅
0
𝑎
𝑄
就得到了空间电势
𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
𝑄
4𝜋𝜖
0
"
1
p
𝑥
2
+ 𝑦
2
+ (𝑧 − 𝑎
2
)
−
𝑅
0
/𝑎
p
𝑥
2
+ 𝑦
2
+ (𝑧 − 𝑅
2
0
/𝑎)
2
#
求外区域的第一类格林函数
𝑄 = 1, 𝑄
′
=
𝑅
0
𝑅
′
, X
′′
=
𝑅
0
𝑅
′
2
X
′
则
𝐺
1
=
1
4𝜋𝜖
0
1
p
(𝑥 − 𝑥
′
)
2
+ (𝑦 − 𝑦
′
)
2
+ (𝑧 − 𝑧
′
)
2
−
1
4𝜋𝜖
0
1
s
𝑥 −
𝑅
2
0
𝑅
′2
𝑥
′
2
+
𝑦 −
𝑅
2
0
𝑅
′2
𝑦
′
2
+
𝑧 −
𝑅
2
0
𝑅
′2
𝑧
′
2
写成球坐标就是
𝐺
1
=
1
4𝜋𝜖
0
1
√
𝑅
2
+ 𝑅
′2
− 2𝑅𝑅
′
cos 𝛼
−
1
4𝜋𝜖
0
1
p
(𝑅𝑅
′
/𝑅
0
)
2
+ 𝑅
2
0
− 2𝑅𝑅
′
cos 𝛼
, 𝛼 = arg(X, X
′
)
6.6.3 球面上电势对空间电势的影响
𝜑(X) = −𝜖
0
∯
𝑠
𝜑(X
′
)
𝜕𝐺
1
𝜕𝑛
′
𝑑𝑆
′
= ±𝜖
0
∯
𝑆
𝜑(𝑅
0
, 𝜃
′
𝜙
′
)
𝜕𝐺
1
𝜕𝑅
′
𝑅
2
0
𝑑Ω
′
球外取 + , 球内取 − . 那么
𝜑(X) = ±
1
4𝜋
∯
𝑆
𝜑(𝑅
2
− 𝑅
2
0
)
𝑅
0
(𝑅
2
+ 𝑅
2
0
− 2𝑅𝑅
0
cos 𝛼)
3/2
𝑅
2
0
𝑑Ω
展开就是
𝜑(X) = ±
𝑅
0
(𝑅
2
− 𝑅
2
0
)
4𝜋
∫
𝜋
0
sin 𝜃
′
𝑑𝜃
′
∫
2 𝜋
0
𝑑𝜙
′
𝜑
𝑅
0
(𝑅
2
+ 𝑅
2
0
− 2𝑅𝑅
0
cos 𝛼 )
3/2
𝑑Ω
7 电多极矩
7.1 有限空间电荷在远处电荷
若电荷分布在有限的空间, 空间的线度为 𝑙, 则该电荷分布对空间较远处 𝑟 产生的场, 可以按小参量
𝑙
𝑟
展
开
𝜑(X) =
1
4𝜋𝜖
0
∭
𝑉
𝜌(X
′
)
|
X − X
′
|
𝑑𝑉
′
=
1
4𝜋𝜖
0
∭
𝑉
𝜌(X
′
)
𝑟
𝑑𝑉
′
记
𝑟 ≡
X − X
′
, 𝑅 ≡
|
X
|
, 𝑟
′
≡
X
′
展开
𝑓 (X − X
′
) = 𝑓 (X) −
3
Õ
𝑖=1
𝑥
′
𝑖
𝜕
𝜕𝑥
𝑖
𝑓 (X) +
1
2!
3
Õ
𝑖, 𝑗=1
𝑥
′
𝑖
𝑥
′
𝑗
𝜕
2
𝜕𝑥
𝑖
𝜕𝑥
𝑗
𝑓 (X) + · ··
= 𝑓 (X) − X
′
· ∇𝑓 (X) +
1
2!
(X
′
X
′
) : (∇∇) 𝑓 (X) + ···
其中 (X
′
X
′
) 是一个张量 (并矢)
(X
′
X
′
)
𝑖 𝑗
= 𝑋
′
𝑖
𝑋
′
𝑗
冒号 : 表示” 点乘”, 即相同分量相乘再相加
7.2 电势的多极展开
1
𝑟
可以展开
1
𝑟
=
1
𝑅
−
3
Õ
𝑖=1
𝑥
′
𝑖
𝜕
𝜕𝑥
′
𝑖
1
𝑅
+
1
2!
3
Õ
𝑖, 𝑗=1
𝑥
′
𝑖
𝑥
′
𝑗
𝜕
2
𝜕𝑥
𝑖
𝜕𝑥
𝑗
1
𝑅
那么电势也可以展开成级数
𝜑(X) =
≡ 𝜑
(0)
(X) + 𝜑
(1)
(X) + ···
其中
𝜑
(0)
(X) =
1
4𝜋𝜖
0
𝑄
𝑅
𝜑
(1)
(X) = −
1
4𝜋𝜖
0
3
Õ
𝑖=1
∭
𝑉
𝜌(X
′
)𝑥
′
𝑖
𝑑𝑉
′
𝜕
𝜕𝑥
𝑖
1
𝑅
= −
1
4𝜋𝜖
0
∭
𝑉
𝜌(X
′
)X
′
𝑑𝑉
′
∇
1
𝑅
𝜑
(2)
(X) =
1
4𝜋𝜖
0
1
6
3
Õ
𝑖, 𝑗=1
∭
𝑉
3𝑥
′
𝑖
𝑥
′
𝑗
𝜌(X
′
)𝑑𝑉
′
𝜕
2
𝜕𝑥
𝑖
𝜕𝑥
𝑗
1
𝑅
=
1
4𝜋𝜖
0
1
6
3
Õ
𝑖, 𝑗=1
𝐷
𝑖 𝑗
𝜕
2
𝜕𝑥
𝑖
𝜕𝑥
𝑗
1
𝑅
其中, 电荷, 电偶极矩, 电四极矩定义如下
𝑄 ≡
∭
𝑉
𝜌(X
′
)𝑑𝑉
′
, p ≡
∭
𝑉
X
′
𝜌(X
′
)𝑑𝑉
′
,
↔
𝐷
≡
∭
𝑉
3X
′
X
′
𝜌(X
′
)𝑑𝑉
′
有限空间的电荷分布在远处产生的电势可以表示成各电多极矩电势的叠加
多极矩展开随阶数升高而减小
原点对称的电荷分布电偶极矩为零
7.3 电四极矩的另一种定义
由于
∇
2
1
𝑅
= ∇ · ∇
1
𝑅
= ∇ ·
R
𝑅
3
= 0
那么
3
Õ
𝑖=1
𝜕
2
𝜕𝑥
𝑖
2
1
𝑅
=
3
Õ
𝑖, 𝑗=1
𝜕
2
𝜕𝑥
𝑖
𝜕𝑥
𝑗
1
𝑅
= 0
定义
𝛿
𝑖 𝑗
=
0 𝑖 ≠ 𝑗
1 𝑖 = 𝑗
那么写为
∭
𝑉
"
𝜌(X
′
)𝑟
′2
3
Õ
𝑖, 𝑗=1
𝛿
𝑖 𝑗
𝜕
2
𝜕𝑥
𝑖
𝜕𝑥
𝑗
1
𝑅
#
= 0
那么
𝜑
(2)
(X) =
1
4𝜋𝜖
0
1
6
3
Õ
𝑖, 𝑗=1
∭
𝑉
3𝑥
′
𝑖
𝑥
′
𝑗
−𝑟
′
𝛿
𝑖 𝑗
𝜌(X
′
)𝑑𝑉
′
𝜕
2
𝜕𝑥
𝑖
𝜕𝑥
𝑗
1
𝑅
那么定义
𝐷
𝑖 𝑗
≡
∭
[3𝑥
′
𝑖
𝑥
′
𝑗
−𝑟
′2
𝛿
𝑖 𝑗
]𝜌(X
′
)𝑑𝑉
′
写为张量形式
↔
𝐷
≡
∭
𝑉
(3X
′
X
′
−𝑟
′2
↔
𝐼
)𝜌(X
′
)𝑑𝑉
′
它对角元之和 (迹) 为零
3
Õ
𝑖=1
𝐷
𝑖𝑖
=
3
Õ
𝑖=1
(3𝑥
′2
𝑖
−𝑟
′2
) = 0
电四极矩是对称的, 只有五个独立分量
𝐷
𝑖 𝑗
= 𝐷
𝑗𝑖
, 𝐷
11
+ 𝐷
22
+ 𝐷
33
= 0
球对称的电荷分布电四极矩为零, 非零则电荷分布偏离球对称
一般情况下, 电多极矩与原点选择无关 (零阶矩除外), 但最低阶非零的多极矩与源点选择无关
8 外场中电荷系统的能量
考察两个电荷系统, 电荷分布分别为 𝜌
1
, 𝜌
2
, 产生的电势分别为 𝜑
1
, 𝜑
2
, 则两个体系的相互作用能可以定
义为
𝑊
12
≡ 𝑊
0
−𝑊
1
−𝑊
2
=
1
2
∭
∞
(𝜌
1
+ 𝜌
2
)(𝜑
1
+ 𝜑
2
)𝑑𝑉 −
1
2
∭
∞
𝜌
1
𝜑
1
𝑑𝑉 −
1
2
∭
∞
𝜌
2
𝜑
2
𝑑𝑉
那么
𝑊
12
=
1
2
∭
∞
(𝜌
1
𝜑
2
+ 𝜌
2
𝜑
1
)𝑑𝑉
实际上这两个积分相等
∭
∞
𝜌
1
𝜑
2
𝑑𝑉 =
1
4𝜋𝜖
0
∭
∞
∭
∞
𝜌
1
𝜌
2
𝑟
12
𝑑𝑉
1
𝑑𝑉
2
∭
∞
𝜌
2
𝜑
1
𝑑𝑉
那么
𝑊
12
=
∭
∞
𝜌
1
𝜑
2
𝑑𝑉
电荷系统与外场的相互作用能
𝑊 =
∭
𝑉
𝜌𝜑
𝑒
𝑑𝑉
9 外场的展开
可以将外场在有限尺度的电荷系统 X
′
= 0 展开
𝜑
𝑒
(X) = 𝜑
𝑒
(0) +
3
Õ
𝑖=1
𝑥
𝑖
𝜕
𝜕𝑥
𝑖
𝜑
𝑒
(0) +
1
2
3
Õ
𝑖, 𝑗=1
𝑥
𝑖
𝑥
𝑗
𝜕
2
𝜕𝑥
𝑖
𝜕𝑥
𝑗
𝜑
𝑒
(0) + ···
3
Õ
𝑖, 𝑗=1
𝑟
2
𝛿
𝑖 𝑗
𝜕
2
𝜕𝑥
𝑖
𝜕𝑥
𝑗
𝜑
𝑒
(0) = 𝑟
2
3
Õ
𝑖, 𝑗=1
𝜕
2
𝜕𝑥
𝑖
2
𝜑
𝑒
(0) = 𝑟
2
∇
2
𝜑
𝑒
(0) = 0
那么
10 外场中能量的级数形式
𝑊 =
∭
𝑉
𝜌𝜑
𝑒
(0)𝑑𝑉 +
∭
𝑉
"
𝜌
3
Õ
𝑖, 𝑗=1
𝑥
𝑖
𝜕
𝜕𝑥
𝑖
𝜑
𝑒
(0)
#
𝑑𝑉 +
1
6
∭
𝑉
"
3
Õ
𝑖, 𝑗=1
(𝑒𝑥
𝑖
𝑥
𝑗
−𝑟
2
𝛿
𝑖 𝑗
)
𝜕
2
𝜕𝑥
𝑖
𝜕𝑥
𝑗
𝜑
𝑒
(0)
#
𝑑𝑉 + ···
= 𝑄𝜑
𝑒
(0) + p · ∇𝜑
𝑒
(0) +
1
6
(
↔
( 𝐷) : ∇∇)𝜑
𝑒
(0) + ··· ≡ 𝑊
(0)
+𝑊
(1)
+ ···
外场与有限空间电荷系统的相互作用能可以表示成与各多极矩的相互作用能之和
𝑊 = 𝑊
(0)
+𝑊
(1)
+ ···
电荷 (零极矩) 与外场相互作用能
𝑊
(0)
= 𝑄𝜑
𝑒
(0)
电偶极矩与外场的相互作用能
𝑊
(1)
= p · ∇𝜑
𝑒
(0) = −p · E
𝑒
(0)
电四极矩与外场的相互作用能
𝑊
(2)
=
电偶极子空间线度可略, 与相互作用能可视为其在外场中的势能
𝑉 = −p · E
𝑒
= −𝑝𝐸
𝑒
(r) cos 𝜃
那么电偶极子有四个自由度, 四个广义坐标 (r, 𝜃), 对应的广义力
F = −∇𝑉 = ∇(p · E
e
) = (p · ∇)E
e
这是电偶极子受力. 电偶极子还可以受到力矩
𝐿
𝜃
= −
𝜕𝑉
𝜕𝜃
= −𝑝𝐸
𝑒
sin 𝜃
或者
L = p × E
e
极化效应: 电偶极子在均匀电场中不受力, 但有力矩使其趋于电场方向
静电吸引效应: 电偶极子在非均匀电场中受力, 使其趋于强电场处
