相对论电动力学
目录
1 四维电磁矢量 2
2 电磁场张量 3
2.1 电磁场张量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 麦克斯韦方程四维形式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3 电磁场变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3 电磁场的能量与动量 5
3.1 电磁场的能量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.2 电磁能量动量张量与四维电磁力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4 最小作用量原理电磁场运动规律 7
4.1 自由粒子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.2 电磁场中带电粒子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.3 电磁场作用量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.4 电磁场变分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.5 规范不变与电荷守恒 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1
1 四维电磁矢量
在洛伦兹规范下, 电磁场运动方程即 d’Alembert 方程, 洛伦兹规范和电荷守恒
∇
2
A −
1
𝑐
2
𝜕
2
A
𝜕𝑡
2
= −𝜇
0
J
∇
2
𝜑 −
1
𝑐
2
𝜕
2
𝜑
𝜕𝑡
2
= −
𝜌
𝜀
0
∇ · A +
1
𝑐
2
𝜕𝜑
𝜕𝑡
= 0
∇ ·
J
+
𝜕𝜌
𝜕𝑡
=
0
考虑到 A 与 𝜑 满足相似的方程, 构造
˜
A ≡
𝐴
𝑥
, 𝐴
𝑦
, 𝐴
𝑧
,
𝑖𝜑
𝑐
为了验证它是一个四维矢量, 考虑洛伦兹规范
∇ · A +
1
𝑐
2
𝜕𝜑
𝜕𝑡
= 0
利用四维微分算符
𝜕
𝜇
=
∇,
1
𝑖𝑐
𝜕
𝜕𝑡
洛伦兹规范正好可以写为
𝜕
𝜇
˜
𝐴
𝜇
= 0
此时
˜
𝐴 的上标 𝜇 仅区分其分量, 并不表示协变逆变性质. 设在另一参考系下有
𝜕
′
𝜇
˜
𝐴
′
𝜇
= 0
由于 𝜕
𝜇
是一个协变四维矢量, 它在不同参考系下应有
𝜕
′
𝜇
= Λ
𝜈
𝜇
𝜕
𝜈
其中 Λ
𝜈
𝜇
是洛伦兹变换张量. 那么
𝜕
′
𝜇
˜
𝐴
′
𝜇
= Λ
𝜈
𝜇
𝜕
𝜈
˜
𝐴
′
𝜇
= 𝜕
𝜈
Λ
𝜈
𝜇
˜
𝐴
′
𝜇
= 0 = 𝜕
𝜈
˜
𝐴
𝜈
因而不妨认为
Λ
𝜈
𝜇
˜
𝐴
′
𝜇
=
˜
𝐴
𝜈
因而
˜
𝐴
′
𝜇
=
˜
Λ
𝜈
𝜇
˜
𝐴
𝜈
= Λ
𝜇
𝜈
˜
𝐴
𝜈
那么
˜
𝐴
𝜇
就是一个逆变的四维矢量. 称其为四维电磁矢量
𝐴
𝜇
≡ (𝐴
1
, 𝐴
2
, 𝐴
3
, 𝐴
4
) =
𝐴
𝑥
, 𝐴
𝑦
, 𝐴
𝑧
,
𝑖𝜑
𝑐
同理可以构造四维电流矢量, 它也是一个逆变的四维矢量
𝐽
𝜇
≡ (𝐽
1
, 𝐽
2
, 𝐽
3
, 𝐽
4
) = (𝐽
𝑥
, 𝐽
𝑦
, 𝐽
𝑧
, 𝑖𝑐𝜌)
为了证明它是逆变的, 利用电荷守恒 (电荷守恒可以由 d’Alembert 方程与洛伦兹规范推出)
∇ · J +
𝜕𝜌
𝜕𝑡
= 0
利用四维微分算符, 它也可以写为
𝜕
𝜇
𝐽
𝜇
= 0
用四维电磁矢量相同的方法即可证明 𝐽
𝜇
是一个逆变的四维矢量
则运动方程可写为
□ 𝐴
𝜇
= −𝜇
0
𝐽
𝜇
达朗贝尔方程
𝜕
𝜇
𝐴
𝜇
= 0 洛伦兹规范
𝜕
𝜇
𝐽
𝜇
= 0 电荷守恒
实际上, 四维电磁矢量可以相差一个任意四维标量场的梯度, 电磁场保持不变
𝐴
𝜇
→ 𝐴
𝜇
+ 𝜕
𝜇
Ψ
这称为规范变换
2 电磁场张量
2.1 电磁场张量
构造一个协变张量
𝐹
𝜈𝜇
= 𝜕
𝜈
𝐴
𝜇
− 𝜕
𝜇
𝐴
𝜈
由定义可见, 它是一个反对称的张量, 即
𝐹
𝜈𝜇
= −𝐹
𝜇𝜈
考虑到
𝐴
𝜇
≡ ( 𝐴
1
, 𝐴
2
, 𝐴
3
, 𝐴
4
) =
𝐴
𝑥
, 𝐴
𝑦
, 𝐴
𝑧
,
𝑖𝜑
𝑐
那么有它的各个分量
𝐹
12
= −𝐹
21
=
𝜕 𝐴
𝑦
𝜕𝑥
−
𝜕 𝐴
𝑥
𝜕𝑦
= 𝐵
𝑧
𝐹
13
= −𝐹
31
=
𝜕 𝐴
𝑧
𝜕𝑥
−
𝜕 𝐴
𝑥
𝜕𝑧
= −𝐵
𝑦
𝐹
23
= −𝐹
32
=
𝜕 𝐴
𝑧
𝜕𝑦
−
𝜕 𝐴
𝑦
𝜕𝑧
= 𝐵
𝑥
𝐹
14
= −𝐹
41
=
𝑖
𝑐
𝜕𝜑
𝜕𝑥
−
𝑖
𝑐
𝜕 𝐴
𝑥
𝜕𝑡
= −
𝑖
𝑐
𝐸
𝑥
𝐹
24
= −𝐹
42
=
𝑖
𝑐
𝜕𝜑
𝜕𝑦
−
𝑖
𝑐
𝜕 𝐴
𝑦
𝜕𝑡
= −
𝑖
𝑐
𝐸
𝑦
𝐹
34
= −𝐹
43
=
𝑖
𝑐
𝜕𝜑
𝜕𝑧
−
𝑖
𝑐
𝜕 𝐴
𝑧
𝜕𝑡
= −
𝑖
𝑐
𝐸
𝑧
𝐹
11
=
𝜕 𝐴
𝑥
𝜕𝑥
−
𝜕 𝐴
𝑥
𝜕𝑥
= 0
𝐹
22
=
𝜕 𝐴
𝑦
𝜕𝑦
−
𝜕 𝐴
𝑦
𝜕𝑦
= 0
𝐹
33
=
𝜕 𝐴
𝑧
𝜕𝑧
−
𝜕 𝐴
𝑧
𝜕𝑧
= 0
以第一个指标 𝜇 为行, 第二个指标 𝜈 为列, 将 𝐹
𝜇𝜈
写成矩阵
𝐹
𝜇𝜈
=
0 𝐵
𝑧
−𝐵
𝑦
−𝑖𝐸
𝑥
/𝑐
−𝐵
𝑧
0 𝐵
𝑥
−𝑖𝐸
𝑦
/𝑐
𝐵
𝑦
−𝐵
𝑥
0 −𝑖𝐸
𝑧
/𝑐
𝑖𝐸
𝑥
/𝑐 𝑖𝐸
𝑦
/𝑐 𝑖𝐸
𝑧
/𝑐 0
容易验证它是规范不变的
2.2 麦克斯韦方程四维形式
直接由四维电磁场, 可以导出麦克斯韦方程
对其求散度
𝜕
𝜇
𝐹
𝜇𝜈
= 𝜕
𝜇
(
𝜕
𝜈
𝐴
𝜇
− 𝜕
𝜇
𝐴
𝜈
)
= 𝜕
𝜈
𝜕
𝜇
𝐴
𝜇
− □ 𝐴
𝜈
由洛伦兹规范和达朗贝尔方程
𝜕
𝜇
𝐴
𝜇
= 0, □ 𝐴
𝜇
= −𝜇
0
𝐽
𝜇
上式即
𝜕
𝜇
𝐹
𝜇𝜈
= 𝜇
0
𝐽
𝜈
分别取 𝜇 = 1, 2, 3 得到
∇ × B −
1
𝑐
2
𝜕E
𝜕𝑡
= 𝜇
0
J
取 𝜇 = 4 得到
∇ · E =
𝜌
𝜀
0
考虑
𝜕
𝜆
𝐹
𝜇𝜈
+ 𝜕
𝜇
𝐹
𝜈𝜆
+ 𝜕
𝜈
𝐹
𝜆𝜇
= 𝜕
𝜆
(
𝜕
𝜇
𝐴
𝜈
− 𝜕
𝜈
𝐴
𝜇
)
+ 𝜕
𝜇
𝜕
𝜈
𝐴
𝜆
− 𝜕
𝜆
𝐴
𝜈
+ 𝜕
𝜈
𝜕
𝜆
𝐴
𝜇
− 𝜕
𝜇
𝐴
𝜆
= 0
令 (𝜇, 𝜈, 𝜆) = (1, 2, 3), 得到
∇ · B = 0
分别令 (𝜇, 𝜈, 𝜆) = (1, 2, 4), (1, 3, 4), (2, 3, 4), 得到
∇ × E +
𝜕B
𝜕𝑡
= 0
2.3 电磁场变换
电磁场张量是一个协变张量, 因而他在不同参考系下的变换应该是
𝐹
′
𝜇𝜈
= 𝐿
𝜇
𝛼
𝐿
𝜈
𝛽
𝐹
𝛼𝛽
写为矩阵形式即
𝛾 0 0 𝑖𝛽𝛾
0 1 0 0
0 0 1 0
−𝑖𝛽𝛾 0 0 𝛾
0 𝐵
𝑧
−𝐵
𝑦
−𝑖𝐸
𝑥
/𝑐
−𝐵
𝑧
0 𝐵
𝑥
−𝑖𝐸
𝑦
/𝑐
𝐵
𝑦
−𝐵
𝑥
0 −𝑖𝐸
𝑧
/𝑐
𝑖𝐸
𝑥
/𝑐 𝑖𝐸
𝑦
/𝑐 𝑖𝐸
𝑧
/𝑐 0
𝛾 0 0 −𝑖𝛽𝛾
0 1 0 0
0 0 1 0
𝑖𝛽𝛾 0 0 𝛾
=
0 𝛾(𝐵
𝑧
− 𝛽𝐸
𝑦
/𝑐) −𝛾(𝐵
𝑦
+ 𝛽𝐸
𝑧
/𝑐) −𝑖𝐸
𝑥
/𝑐
−𝛾(𝐵
𝑧
− 𝛽𝐸
𝑦
/𝑐) 0 𝛾(𝐵
𝑥
+ 𝛽𝐸
𝑧
/𝑐) −𝑖𝛾(𝐸
𝑦
+ 𝛽𝐵
𝑧
)
𝛾(𝐵
𝑦
+ 𝛽𝐸
𝑧
/𝑐) −𝛾(𝐵
𝑥
+ 𝛽𝐸
𝑧
/𝑐) 0 −𝑖𝛾(𝐸
𝑧
+ 𝛽𝐵
𝑦
)
𝑖𝐸
𝑥
/𝑐 𝑖𝛾(𝐸
𝑦
+ 𝛽𝐵
𝑧
) 𝑖𝛾(𝐸
𝑧
+ 𝛽𝐵
𝑦
) 0
得到相对论电磁场变换公式
𝐸
′
𝑥
= 𝐸
𝑥
𝐸
′
𝑦
= 𝛾(𝐸
𝑦
− 𝑣𝐵
𝑧
)
𝐸
′
𝑧
= 𝛾(𝐸
𝑧
+ 𝑣𝐵
𝑦
)
𝐵
′
𝑥
= 𝐵
𝑥
𝐵
′
𝑦
= 𝛾(𝐵
𝑦
+ 𝑣𝐸
𝑧
/𝑐
2
)
𝐵
′
𝑧
= 𝛾(𝐵
𝑧
− 𝑣𝐸
𝑦
/𝑐
2
)
矢量形式为
E
′
| |
= E
| |
, E
′
⊥
= 𝛾(E + v × B)
⊥
, B
′
| |
= B
| |
, B
′
⊥
= 𝛾(B − v × E/𝑐
2
)
⊥
即
E
′
= 𝛾(E + v × B) −
𝛾
2
1 + 𝛾
1
𝑐
2
(v · E)v
B
′
= 𝛾(B − v × E/𝑐
2
) −
𝛾
2
1 + 𝛾
1
𝑐
2
(v · B)v
低速情况 𝛾 → 1, 近似有
E
′
= E + v × B, B
′
= B − v × E/𝑐
2
3 电磁场的能量与动量
3.1 电磁场的能量
利用电磁场张量, 可以构造一个标量
1
2
𝐹
𝜇𝜈
𝐹
𝜇𝜈
= 𝐵
2
−
𝐸
2
𝑐
2
它的取值与参考系无关
引入四维全反对称张量
𝜖
𝜇𝜈𝜆𝜏
=
1
𝜇𝜈𝜆𝜏
是偶排列
−1 𝜇𝜈𝜆𝜏是奇排列
0 其他
其中偶排列意为 𝜇𝜈𝜆𝜏 可以通过偶数次交换得到 1234，奇排列意为通过奇数次交换得到 1234
它自然在不同参考系下有相同的取值 (毕竟它和参考系压根就没有关系), 即
𝜖
′
𝜇𝜈𝜆𝜏
= 𝜖
𝜇𝜈𝜆𝜏
经过计算 (鬼知道是怎么算的), 正好有
𝐿
𝛼
𝜇
𝐿
𝛽
𝜈
𝐿
𝛾
𝜆
𝐿
𝛿
𝜏
𝜖
𝛼𝛽𝛾 𝛿
= det(𝐿)𝜖
𝜇𝜈𝜆𝜏
= 𝜖
𝜇𝜈𝜆𝜏
= 𝜖
′
𝜇𝜈𝜆𝜏
𝜖
𝜇𝜈𝜆𝜏
在不同参考系中形式上也满足洛伦兹变换关系, 因而可以认为𝜖
𝜇𝜈𝜆𝜏
是一个四维协变张量, 只不过它
在不同参考系下有相同的取值. 因而可以构造一个标量
𝑖
8
𝜖
𝜇𝜈𝜆𝜏
𝐹
𝜇𝜈
𝐹
𝜆𝜏
=
1
𝑐
E · B
正如 狭义相对论 文中所述, 这种全部由洛伦兹协变张量构造的物理量是一个标量, 在任意参考系下都有相
同的取值
1. 𝐵
2
− 𝐸
2
/𝑐
2
的符号与参考系无关, 在某惯性系成立, 在所有惯性系都成立
2. 电场和磁场的夹角是锐角, 垂直, 钝角的情况在不同惯性系中是相同的
3. 若某点电磁场不垂直, 则总能找到一个惯性系, 使得该点电磁场平行或反平行
4. 若在某参考系中电场或磁场为零, 则在其他参考系中垂直
3.2 电磁能量动量张量与四维电磁力
引入四维电磁力
𝑓
𝜇
≡ 𝐹
𝜇𝜈
𝐽
𝜈
代入展开得到
𝑓
𝜇
=
𝜌𝐸
𝑥
+ (𝐽
𝑦
𝐵
𝑧
− 𝐽
𝑧
𝐵
𝑦
)
𝜌𝐸
𝑦
+ (𝐽
𝑧
𝐵
𝑥
− 𝐽
𝑥
𝐵
𝑧
)
𝜌𝐸
𝑧
+ (𝐽
𝑥
𝐵
𝑦
− 𝐽
𝑦
𝐵
𝑥
)
𝑖J · E/𝑐
不难看出
𝑓
𝜇
=
(
𝜌E + J × B, 𝑖J · E/𝑐
)
=
(
f, 𝑖J · E/𝑐
)
引入电磁能量动量张量
𝑇
𝜇𝜈
≡
↔
𝑇
𝑖𝑐g
𝑖
𝑐
S −𝑤
能量动量守恒的四维形式
𝑓
𝜇
= −
𝜕𝑇
𝜇𝜈
𝜕𝑥
𝜈
4
最小作用量原理电磁场运动规律
4.1 自由粒子
对于自由粒子, 可以选择的作用量是间隔, 其正比系数与惯性有关
𝑆 = 𝑆
𝑓
≡ −𝑚
0
𝑐
∫
𝐵
𝐴
𝑑𝑠
做变分, 使得作用量取极值
𝛿𝑆 = −𝑚
0
𝑐
∫
𝐵
𝐴
𝛿(𝑑𝑠) = −𝑚
0
𝑐
∫
𝐵
𝐴
𝛿
p
−𝑑𝑥
𝜇
𝑑𝑥
𝜇
= 𝑚
0
𝑐
∫
𝐵
𝐴
d𝑥
𝜇
d𝑠
𝛿(𝑑𝑥
𝜇
) = 𝑚
0
𝑐
∫
𝐵
𝐴
𝑈
𝜇
𝛿(𝑑𝑥
𝜇
)
利用分部积分有
𝛿𝑆 = 𝑚
0
𝑈
𝜇
𝛿𝑥
𝜇
𝐵
𝐴
− 𝑚
0
∫
𝐵
𝐴
𝛿𝑥
𝜇
d𝑈
𝜇
利用
𝑑𝑈 =
1
𝑐
d𝑈
𝜇
d𝜏
d𝑠
得
𝛿𝑆 = 𝑚
0
𝑈
𝜇
𝛿𝑥
𝜇
𝐵
𝐴
−
𝑚
0
𝑐
∫
𝐵
𝐴
𝛿𝑥
𝜇
d𝑈
𝜇
d𝜏
d𝑠
𝐴, 𝐵 两点的变分应当为零, 则前一项为零. 若要求后一项为零, 则有
d𝑈
𝜇
d𝜏
= 0
定义四维加速度
𝑎
𝜇
≡
d𝑈
𝜇
d𝜏
= 0
即自由粒子运动方程. 自由粒子沿真实运动轨迹的作用量增量为
𝛿𝑆 = 𝑚
0
𝑈
𝜇
𝛿𝑥
𝜇
定义自由粒子的动量和能量
𝑝
𝜇
≡
𝜕𝑆
𝜕𝑥
𝜇
= 𝑚
0
𝑈
𝜇
, p ≡ ∇𝑆 = 𝛾𝑚
0
v
𝑊 ≡ −
𝜕𝑆
𝜕𝑡
= −𝑖𝑐
𝜕𝑆
𝜕𝑥
4
= −𝑖𝑐𝑚
0
𝑈
4
= 𝛾𝑚
0
𝑐
2
≈ 𝑚
0
𝑐
2
+
1
2
𝑚
0
𝑣
2
4.2 电磁场中带电粒子
电磁场中的粒子, 设电磁场为四维矢量场 𝐴
𝛼
, 设其作用量为
𝑆 = 𝑆
𝑓
+ 𝑆
𝑚 𝑓
≡ −𝑚
0
𝑐
∫
𝐵
𝐴
𝑑𝑠 + 𝑞
∫
𝐵
𝐴
𝐴
𝜇
𝑑𝑥
𝜇
对其变分
𝛿𝑆 = −𝑚
0
𝑐
∫
𝐵
𝐴
𝛿(𝑑𝑠) + 𝑞
∫
𝐵
𝐴
𝛿( 𝐴
𝜇
𝑑𝑥
𝜇
)
=
∫
𝐵
𝐴
𝑚
0
𝑈
𝜇
𝑑(𝛿𝑥
𝜇
) + 𝑞
∫
𝐵
𝐴
(𝛿𝐴
𝜇
𝑑𝑥
𝜇
+ 𝐴
𝜇
𝛿(𝑑𝑥
𝜇
))
= 𝑚
0
𝑈
𝜇
𝛿𝑥
𝜇
𝐵
𝐴
+ 𝑞 𝐴
𝜇
𝛿𝑥
𝜇
𝐵
𝐴
−
𝑚
0
𝑐
∫
𝐵
𝐴
𝛿𝑥
𝜇
𝑎
𝜇
d𝑠 + 𝑞
∫
𝐵
𝐴
𝜕 𝐴
𝜇
𝜕𝑥
𝜈
𝛿𝑥
𝜈
𝑑𝑥
𝜇
− 𝑞
∫
𝐵
𝐴
𝜕 𝐴
𝜇
𝜕𝑥
𝜈
𝛿𝑥
𝜇
𝑑𝑥
𝜈
= 𝑚
0
𝑈
𝜇
𝛿𝑥
𝜇
𝐵
𝐴
+ 𝑞 𝐴
𝜇
𝛿𝑥
𝜇
𝐵
𝐴
−
𝑚
0
𝑐
∫
𝐵
𝐴
𝛿𝑥
𝜇
𝑎
𝜇
d𝑠 − 𝑞
∫
𝐵
𝐴
𝜕 𝐴
𝜇
𝜕𝑥
𝜈
−
𝜕 𝐴
𝜈
𝜕𝑥
𝜇
𝛿𝑥
𝜇
𝑑𝑥
𝜈
= (𝑚
0
𝑈
𝜇
+ 𝑞 𝐴
𝜇
)𝛿𝑥
𝜇
𝐵
𝐴
−
1
𝑐
∫
𝐵
𝐴
𝑚
0
𝑎
𝜇
− 𝑞
𝜕 𝐴
𝜇
𝜕𝑥
𝜈
−
𝜕 𝐴
𝜈
𝜕𝑥
𝜇
𝑈
𝜈
𝛿𝑥
𝜇
d𝑠
得到运动方程
𝑚𝑎
𝜇
= 𝑞
𝜕 𝐴
𝜇
𝜕𝑥
𝜈
−
𝜕 𝐴
𝜈
𝜕𝑥
𝜇
𝑈
𝜈
≡ 𝑞𝐹
𝜇𝜈
𝑈
𝜈
带电粒子沿真实运动轨迹的作用量增量为
𝛿𝑆 = (𝑚𝑈
𝜇
+ 𝑞 𝐴
𝜇
)𝛿𝑥
𝜇
带点粒子动量和能量
𝑝
𝜇
≡
𝜕𝑆
𝜕𝑥
𝜇
= 𝑚
0
𝑈
𝜇
+ 𝑞 𝐴
𝜇
,
p ≡ ∇𝑆 = 𝛾𝑚
0
v + 𝑞A
𝑊 ≡ −
𝜕𝑆
𝜕𝑡
= −𝑖𝑐
𝜕𝑆
𝜕𝑥
4
= 𝛾𝑚𝑐
2
+ 𝑞𝜑
4.3 电磁场作用量
考虑体系包含电荷及相应的电磁场, 可以设其作用量为
𝑆 = 𝑆
𝑓
+ 𝑆
𝑚 𝑓
+ 𝑆
𝑚
≡ −
Õ
∫
𝑚
0
𝑐d𝑠 +
Õ
∫
𝑞 𝐴
𝜇
d𝑥
𝜇
−
1
4𝜇
0
∫
𝐹
2
𝜇𝜈
d𝑉d𝑡
𝐹
2
𝜇𝜈
是一个标量
与连续空间分布的场相对应, 将电荷以电荷密度的形式写出
𝑆
𝑚 𝑓
=
Õ
∫
𝑞 𝐴
𝜇
𝑑𝑥
𝜇
=
∫
𝑞 𝐴
𝜇
𝑑𝑥
𝜇
𝑑𝑉 =
∫
𝜌
d𝑥
𝜇
d𝑡
𝐴
𝜇
d𝑉d𝑡
定义四维电荷密度矢量
𝜌
d𝑥
𝜇
d𝑡
≡ 𝐽
𝜇
= (𝜌v, 𝑖𝑐𝜌) =
(
j, 𝑖𝑐𝜌
)
则
𝑆
𝑚 𝑓
=
∫
𝐽
𝜇
𝐴
𝜇
d𝑉d𝑡
4.4 电磁场变分
令物质不动, 电磁场变化, 则
𝛿𝑆 = 𝛿𝑆
𝑚 𝑓
+ 𝛿𝑆
𝑚
= 𝛿
∫
𝐽
𝜇
𝐴
𝜇
d𝑉d𝑡 −
1
4𝜇
0
𝛿
∫
𝐹
2
𝜇𝜈
d𝑉d𝑡
𝐽
𝜇
在变分中保持不变, 则
𝛿𝑆 =
∫
𝛿𝐽
𝜇
𝛿𝐴
𝜇
d𝑉d𝑡 −
1
2𝜇
0
∫
𝐹
𝜇𝜈
𝜕
𝜕𝑥
𝜇
𝛿𝐴
𝜈
−
𝜕
𝜕𝑥
𝜈
𝛿𝐴
𝜇
d𝑉d𝑡
=
∫
𝛿𝐽
𝜇
𝛿𝐴
𝜇
d𝑉d𝑡 −
1
𝜇
0
∫
𝐹
𝜇𝜈
𝜕
𝜕𝑥
𝜇
𝛿𝐴
𝜈
d𝑉d𝑡
=
∫
𝛿𝐽
𝜇
−
1
𝜇
0
𝜕𝐹
𝜇𝜈
𝜕𝑥
𝜈
𝛿𝐴
𝜇
d𝑉d𝑡 +
1
𝜇
0
∫
𝐹
𝜇𝜈
𝛿𝐴
𝜇
d𝑆
𝜈
0
高斯定理有
∭
[
∇ · (F · A)
]
𝑑𝑉 =
∯
F · A · dS
由 ∇ 算子的微分性质, 得到
∭
(∇ · F )A𝑑𝑉 +
∭
F · ∇A𝑑𝑉 =
∯
F · A · dS
用爱因斯坦求和约定写为
∫
𝜕𝐹
𝜇𝜈
𝜕𝑥
𝜈
𝐴
𝜈
d𝑉d𝑡 +
∫
𝐹
𝜇𝜈
𝜕 𝐴
𝜈
𝜕𝑥
𝜇
d𝑉d𝑡 =
∮
𝐹
𝜇𝜈
𝐴
𝜈
d𝑆
𝜇
𝛿𝑆 的后一项为零, 得到电磁场运动方程
𝜕𝐹
𝜇𝜈
𝜕𝑥
𝜈
= 𝜇
0
𝐽
𝜇
,
𝜕𝐹
𝜇𝜈
𝜕𝑥
𝜇
+
𝜕𝐹
𝜈𝜆
𝜕𝑥
𝜇
+
𝜕𝐹
𝜆𝜇
𝜕𝑥
𝜈
= 0
体积中电荷受力
Õ
𝑞𝐹
𝜇𝜈
𝑈
𝜈
=
∫
𝜌𝐹
𝜇𝜈
𝑈
𝜈
d𝑉 =
∫
𝐹
𝜇𝜈
𝜌
𝜕𝑥
𝜈
𝜕𝑡
𝛾d𝑉 =
∫
𝐹
𝜇𝜈
𝐽
𝜈
d𝑉
0
四维电磁力密度
𝑓
𝜇
≡ 𝐹
𝜇𝜈
𝐽
𝜈
相对论力学方程
𝑚
d𝑈
𝜇
d𝜏
≡
d𝑝
𝜇
d𝜏
= 𝐾
𝜇
得到四维力 𝐾
𝜇
和四维动量 𝑝
𝜇
4.5 规范不变与电荷守恒
电磁场相关的作用量包括电磁场本身与物质相互作用的作用量
𝑆
𝑚
= −
1
4𝜇
0
∫
𝐹
2
𝜇𝜈
d𝑉d𝑡, 𝑆
𝑚 𝑓
=
∫
𝐽
𝜇
𝐴
𝜇
d𝑉d𝑡
作规范变换
𝐴
𝜇
→ 𝐴
𝜇
+
𝜕Ψ
𝜕𝑥
𝜇
𝑆
𝑚
不变,𝑆
𝑚 𝑓
变为
𝑆
𝑚𝑑
→ 𝑆
𝑚 𝑓
+
∫
𝐽
𝜇
𝜕Ψ
𝜕𝑥
𝜇
d𝑉d𝑡
= 𝑆
𝑚 𝑓
+
∫
𝜕
(
𝐽
𝜇
Ψ
)
𝜕𝑥
𝜇
d𝑉d𝑡 −
∫
Ψ
𝜕𝐽
𝜇
𝜕𝑥
𝜇
d𝑉d𝑡
= 𝑆
𝑚 𝑓
+
∮
Ψ𝐽
𝜇
d𝑆
𝜇
−
∫
Ψ
𝜕𝐽
𝜇
𝜕𝑥
𝜇
d𝑉d𝑡
前一项变分为零, 若电磁场规范不变, 则要求
𝛿
∫
Ψ
𝜕𝐽
𝜇
𝜕𝑥
𝜇
d𝑉d𝑡 = 0
由于 Ψ 是任意的标量函数, 则要求
𝜕𝐽
𝜇
𝜕𝑥
𝜇
= 0
即电荷守恒
