电磁辐射
目录
1 辐射场一般公式 2
2 电荷-辐射系统的三个区域 2
3 电偶极辐射场 3
3.1 电偶极辐射 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3.2 电偶极辐射的能流及方向性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.3 短天线辐射, 辐射阻抗 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4 磁偶极和四极辐射 6
4.1 磁偶极矩和电四极矩 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4.2 磁偶极辐射 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4.2.1 电磁偶极子辐射强度比较 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.2.2 磁偶极静磁场 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.3 电四极辐射 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
5 天线辐射 8
5.1 天线电流分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
6 电磁波衍射 10
6.1 基尔霍夫 Kirchho 公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
6.2 小孔衍射 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1
1 辐射场一般公式
电荷系统随时间作简谐变化
J (x
′
, 𝑡) = J (x
′
)𝑒
−𝑖𝜔𝑡
此处引用推迟势公式
A(x, 𝑡) =
𝜇
0
4𝜋
∭
J
x
0
, 𝑡 −
𝑟
𝑐
|x − x
0
|
d𝑉
0
𝜑(x, 𝑡) =
1
4𝜋𝜀
0
∭
𝜌
x
0
, 𝑡 −
𝑟
𝑐
|x − x
0
|
d𝑉
0
所产生的矢势为
A(x, 𝑡) =
𝜇
0
4𝜋
∭
J (x
′
)
𝑟
𝑒
𝑖 (𝑘𝑟 −𝜔𝑡 )
d𝑉
0
≡ A(x)𝑒
−𝑖𝜔𝑡
, 𝑘 =
𝜔
𝑐
其中空间部分
A(x) ≡
𝜇
0
4𝜋
∭
J (x
′
)
𝑟
𝑒
𝑖𝑘𝑟
d𝑉
0
在定态 (即一定频率的交变电流) 下, 电荷密度也简谐变化, 由电荷守恒得到
𝑖𝜔𝜌 = ∇ · J
此时源外区域由 Maxwell 方程组有
B = ∇ × A
E = 𝑖
𝑐
𝑘
∇ × B
定态情况下, 标势由矢势确定
∇ · A = −
1
𝑐
2
𝜕𝜑
𝜕𝑡
= 𝑖
𝜔
𝑐
2
φ
这既可以由洛伦兹规范得到, 也可以由电荷密度积分得到
2 电荷-辐射系统的三个区域
对电荷-辐射系统, 有三个特征尺度
1. 电荷系统的线度 𝑙
2. 电荷到场点的距离 𝑟
3. 空间电磁波波长 𝜆 ≡
2𝜋
𝑘
考察小区域内电荷辐射
𝑙 << 𝜆, 𝑙 << 𝑟
按波长与距离的关系, 分成三个区域
1. 𝑟 << 𝜆, 近区,𝑘𝑟 << 1, 空间各点相位一致, 电磁场结构与静电场静磁场形式相同
2. 𝑟 ≈ 𝜆, 感应区, 过渡区
3. 𝑟 >> 𝜆, 远区,𝑘𝑟 >> 1, 空间各点相位不同, 电磁场结构与平面波相同
用 x 表示场点, 用 x
′
表示源点. 在远场,𝑟 =
|
x − x
′
|
可以展开
𝑟 =
|
x
|
2
+
x
′
2
− 2x · x
′
1/2
≈
|
x
|
−
x
|
x
|
· x
′
≡ 𝑅 − ˆr · x
′
那么
𝑖𝑘𝑟 ≈ 𝑖𝑘 𝑅 −𝑖𝑘 ˆr · x
′
= 𝑖𝑘𝑅 − 𝑖2𝜋ˆr ·
x
′
𝜆
对参量
x
′
𝜆
进行展开
𝑒
−𝑖𝑘 ˆr ·x
′
= 1 −𝑖𝑘 ˆr · x
′
+
1
2!
(𝑖𝑘 ˆr · x
′
)
2
+ ···
空间部分的矢势
A(x) ≡
𝜇
0
4𝜋
∭
J (x
′
)
𝑟
𝑒
𝑖𝑘𝑟
d𝑉
0
于是矢势就写为
A(x) ≈
𝜇
0
𝑒
𝑖𝑘 𝑅
4𝜋𝑅
∭
𝑉
J (x
′
)𝑒
−𝑖𝑘 ˆr ·x
′
d𝑉
0
=
𝜇
0
𝑒
𝑖𝑘 𝑅
4𝜋𝑅
∭
𝑉
J (x
′
)(1 − 𝑖𝑘 ˆr · x
′
+ ···)d𝑉
0
≡ A
1
(x) + A
2
(x) + ···
3 电偶极辐射场
3.1 电偶极辐射
考察第一项矢势
A
1
(x) =
𝜇
0
𝑒
𝑖𝑘 𝑅
4𝜋𝑅
∭
𝑉
J (x
′
)d𝑉
0
=
𝜇
0
𝑒
𝑖𝑘 𝑅
4𝜋𝑅
∭
𝑉
𝜕𝜌(x
′
)
𝜕𝑡
x
′
d𝑉
0
这是因为
∇
0
· [J (x
′
)x
′
] = (∇
0
· J)x
′
+ J · ∇
0
x
′
= −
𝜕𝜌(x
′
)
𝜕𝑡
+ J
并矢
(Jx
′
)
𝑖 𝑗
= 𝐽
𝑖
𝑥
0
𝑗
因而
A
1
(x) =
𝜇
0
𝑒
𝑖𝑘 𝑅
4𝜋𝑅
∭
𝑉
∇
0
· [J (x
′
)x
′
] +
𝜕𝜌(x
′
)
𝜕𝑡
d𝑉
0
=
𝜇
0
𝑒
𝑖𝑘 𝑅
4𝜋𝑅
∬
𝑆
J (x
′
)x
′
· dS +
∭
𝑉
𝜕𝜌(x
′
)
𝜕𝑡
x
′
d𝑉
0
积分区域包含全部电荷, 因而边界上电流为零, 那么第一项积分为零
那么交换积分与求导
A
1
(x) =
𝜇
0
𝑒
𝑖𝑘 𝑅
4𝜋𝑅
d
d𝑡
∭
𝑉
𝜌(x
′
)x
′
d𝑉
0
注意到电偶极矩定义为
∭
𝑉
𝜌(x
′
)x
′
𝑑𝑉
0
因而
A
1
(x) =
𝜇
0
𝑒
𝑖𝑘 𝑅
4𝜋𝑅
dp
d𝑡
≡
𝜇
0
𝑒
𝑖𝑘 𝑅
4𝜋𝑅
¤
p
磁场满足 B = ∇ × A, 那么相应磁场就为
B = ∇ ×
𝜇
0
4𝜋
𝑒
𝑖𝑘 𝑅
𝑅
¤
p
=
𝜇
0
4𝜋
∇
𝑒
𝑖𝑘 𝑅
𝑅
×
¤
p =
𝜇
0
4𝜋
𝑖𝑘 −
1
𝑅
𝑒
𝑖𝑘 𝑅
𝑅
ˆ
R ×
¤
p
其中
ˆ
R =
∇𝑅
𝑅
由于 𝑅 较大, 就近似为
B ≈
𝜇
0
4𝜋
𝑖𝑘𝑒
𝑖𝑘 𝑅
𝑅
ˆ
R ×
¤
p = 𝑖𝑘
ˆ
R × A
1
在定态下, 微分算符写为
∇ ∼ 𝑖𝑘
ˆ
R,
𝜕
𝜕𝑡
∼ −𝑖𝜔
那么
B =
𝜇
0
4𝜋
𝑖𝑘𝑒
𝑖𝑘 𝑅
𝑅
ˆ
R ×
¤
p =
1
4𝜋𝜖
0
𝑐
3
𝑅
𝑒
𝑖𝑘 𝑅
¥
p ×
ˆ
R
E = 𝑖
𝑐
𝑘
∇ × B = 𝑐B ×
ˆ
R =
𝑒
𝑖𝑘 𝑅
4𝜋𝜀
0
𝑐
2
𝑅
¥
p ×
ˆ
R
×
ˆ
R
采用极坐标, 原点取在电荷分布区内, 以 p 方向为极轴, 则有
¥
p ×
ˆ
R =
|
¥
p
|
sin 𝜃
ˆ
𝜑
¥
p ×
ˆ
R
×
ˆ
R =
|
¥
p
|
sin 𝜃
ˆ
𝜃
得到电偶极辐射场
B =
𝑒
𝑖𝑘 𝑅
4𝜋𝜀
0
𝑐
3
𝑅
|
¥
p
|
sin 𝜃
ˆ
𝜑
E =
𝑒
𝑖𝑘 𝑅
4𝜋𝜀
0
𝑐
2
𝑅
|
¥
p
|
sin 𝜃
ˆ
𝜃
3.2 电偶极辐射的能流及方向性
辐射能流
S =
1
2
𝑅𝑒(E
∗
× H) =
1
2𝜇
0
𝑅𝑒(E
∗
× B) =
𝑐
2𝜇
0
𝑅𝑒[(B
∗
×
ˆ
R) × B] =
𝑐
2𝜇
0
|
B
|
2
ˆ
R
于是
S =
|
¥
p
|
32𝜋
2
𝜀
0
𝑐
3
𝑅
2
sin
2
𝜃
ˆ
R
辐射总功率
𝑃 =
∯
S · dS =
|
¥
p
|
2
32𝜋
2
𝜀
0
𝑐
3
∯
sin
2
𝜃𝑑Ω =
1
4𝜋𝜀
0
|
¥
p
|
2
3𝑐
3
电偶极辐射具有很强的方向性, 垂直偶极矩方向最强
辐射能流
𝑆
∝
𝑅
−2
满足能量守恒
,
𝐸, 𝐵
∝
𝑅
−1
的场次才是辐射场
辐射总功率 𝑃 ∝ 𝜔
4
3.3 短天线辐射, 辐射阻抗
若天线长度 𝑙 << 𝜆 称为短天线, 其中的电流分布近似线性
𝐼 = 𝐼
0
1 −
2
𝑙
|
𝑧
|
𝑧 = 0 为天线接入电路中的点,𝑧 = ±
𝑙
2
为天线末端, 天线长度 𝑙, 天线馈点处有电流最大值 𝐼
0
(𝐼
0
是交变的!)
由于
∭
𝑉
J (x
′
)d𝑉
0
=
Õ
𝑞v =
d
d𝑡
Õ
𝑞r =
¤
p
那么短天线偶极变化率
¤
p =
∫
𝑙/2
−𝑙/2
𝐼 (𝑧)𝑑𝑧 =
1
2
𝐼
0
𝑙
由
𝑃 =
1
4𝜋𝜀
0
|
¥
p
|
2
3𝑐
3
得辐射功率
𝑃 =
𝜔
2
𝑙
2
𝐼
2
0
48𝜋𝜀
0
𝑐
3
=
𝜋
12
r
𝜇
0
𝜀
0
𝑙
𝜆
2
𝐼
2
0
其中真空阻抗
r
𝜇
0
𝜀
0
= 376.7Ω
短天线的辐射阻抗
𝑅
𝑟
=
𝜋
6
r
𝜇
0
𝜀
0
𝑙
𝜆
2
≈ 197
𝑙
𝜆
2
(𝑂ℎ𝑚)
辐射阻抗表示天线的辐射能力, 阻抗越大, 天线的辐射能力越强; 辐射阻抗可以视为天线电流驱动电路的
负载电阻, 阻抗表示了激发系统与辐射的耦合程度
4 磁偶极和四极辐射
4.1 磁偶极矩和电四极矩
考察矢势的第二项
A
2
(x) = −𝑖𝑘
𝜇
0
𝑒
𝑖𝑘 𝑅
4𝜋𝑅
∭
𝑉
J (x
′
)(
ˆ
R · x
′
)d𝑉
0
可以证明
(
ˆ
R · x
′
)J
′
=
ˆ
R · (x
′
J
′
)
再将其写为对称部分和反对称部分
(
ˆ
R · x
′
)J
′
=
1
2
ˆ
R · [(x
′
J
′
+ J
′
x
′
) + (x
′
J
′
− J
′
x
′
)]
由于
∇
0
· (J
′
x
′
x
′
) = (∇
0
· J
′
)x
′
x
′
+ (J
′
· ∇
0
x
′
)x
′
+ x
′
(J
′
· ∇
0
x
′
) = −
𝜕𝜌
𝜕𝑡
x
′
x
′
+ (Jx
′
+ x
′
J)
(
ˆ
R · x
′
)J − (
ˆ
R · J
′
)x = −
ˆ
R × (x
′
× J)
那么
(
ˆ
R · x
′
)J
′
=
1
2
ˆ
R ·
𝜕𝜌
0
𝜕𝑡
x
′
x
′
+ ∇
0
· (J
′
x
′
x
′
)
−
1
2
ˆ
R × (x
′
× J
′
)
矢势积分就写为
A
2
(x) = −𝑖𝑘
𝜇
0
𝑒
𝑖𝑘 𝑅
4𝜋𝑅
ˆ
R ·
d
d𝑡
∭
𝑉
1
2
(𝜌
0
x
′
x
′
)𝑑𝑉
0
−
ˆ
R ×
∭
𝑉
1
2
(x
′
× J
′
)𝑑𝑉
0
= −𝑖𝑘
𝜇
0
𝑒
𝑖𝑘 𝑅
4𝜋𝑅
1
6
ˆ
R ·
¤
↔
𝐷
−
ˆ
R × m
≡ A
2𝑬
+ A
2𝑩
其中磁偶极矩与电四极矩
m ≡
1
2
∭
𝑉
x
′
× J
′
d𝑉
0
,
↔
𝐷
≡
∭
𝑉
3𝜌
0
x
′
x
′
d𝑉
0
前一项为电四极辐射, 是有源的; 后一项为磁偶极辐射, 是无源的. 电四极和磁偶极辐射位于展开式的同一
级
4.2 磁偶极辐射
A
2𝑩
= 𝑖𝑘
𝜇
0
𝑒
𝑖𝑘 𝑅
4𝜋𝑅
ˆ
R × m
那么磁场
B
2𝑩
= ∇ × A
2𝑩
= −𝑘
2
𝜇
0
𝑒
𝑖𝑘 𝑅
4𝜋𝑅
ˆ
R × (
ˆ
R × m) =
𝜇
0
𝑒
𝑖𝑘 𝑅
4𝜋𝑐
2
𝑅
(
¥
m ×
ˆ
R) ×
ˆ
R
电场
E
2𝑩
= 𝑐B
2𝑩
×
ˆ
R =
𝜇
0
𝑒
𝑖𝑘 𝑅
4𝜋𝑐𝑅
(
ˆ
R ×
¥
m)
对比电偶极辐射场
B =
1
4𝜋𝜖
0
𝑐
3
𝑅
𝑒
𝑖𝑘 𝑅
¥
p ×
ˆ
R
E =
𝑒
𝑖𝑘 𝑅
4𝜋𝜀
0
𝑐
2
𝑅
¥
p ×
ˆ
R
×
ˆ
R
注意到只需要作变换
E ⇒ 𝑐B, 𝑐B ⇒ −E, 𝑐p ⇒ m
即可由电偶极子的辐射场得到磁偶极子的辐射场
.
由电偶极子的平均能流密度
S =
|
¥
p
|
32𝜋
2
𝜀
0
𝑐
3
𝑅
2
sin
2
𝜃
ˆ
R
作代换得到磁偶极子的能流密度
S =
𝜇
0
|
¥
m
|
2
32𝜋
2
𝑐
3
𝑅
2
sin
2
𝜃
ˆ
R
同样得到辐射总功率
𝑃 =
𝜇
0
4𝜋
|
¥
m
|
2
3𝑐
3
=
𝜇
0
𝜔
4
|
m
|
2
12𝜋𝑐
3
=
4𝜋
3
3
r
𝜇
0
𝜀
0
|
m
|
2
𝜆
4
小电流环的磁矩 m = 𝑎
2
𝐼
0
, 那么就有辐射功率
𝑃 =
4𝜋
5
3
r
𝜇
0
𝜀
0
𝑎
𝜆
4
𝐼
2
0
≡
1
2
𝑅
𝑟
𝐼
2
0
其中
𝑅
𝑟
=
8𝜋
5
3
r
𝜇
0
𝜀
0
𝑎
𝜆
4
≈ 3.07 × 10
5
𝑎
𝜆
4
Ω
这远小于电偶极辐射, 小线圈的辐射能力小于短天线
4.2.1 电磁偶极子辐射强度比较
电偶极子辐射阻抗
𝑅
𝑟 𝐸
=
𝜋
6
r
𝜇
0
𝜀
0
𝑙
𝜆
2
≈ 197
𝑙
𝜆
2
Ω
磁偶极子辐射阻抗
𝑅
𝑟 𝑀
=
8𝜋
5
3
r
𝜇
0
𝜀
0
𝑎
𝜆
4
≈ 3.07 × 10
5
𝑎
𝜆
4
Ω
作比
𝑅
𝑟 𝑀
𝑅
𝑟 𝐸
= 16𝜋
4
𝑎
𝑙
2
𝑎=𝑙
≈ 1600
𝑎
𝜆
2
当
𝑎
𝜆
>
1
40
时磁偶极辐射占优, 对高频信号通常也用圆形天线
4.2.2 磁偶极静磁场
磁偶极子的静磁场
B = −
𝜇
0
4𝜋
∇
m · R
𝑅
3
= −
𝜇
0
4𝜋
𝑚 cos 𝜃
𝑅
2
=
𝜇
0
𝑚
4𝜋𝑅
3
(2 cos 𝜃 ˆr + sin 𝜃
ˆ
θ)
因而强度
𝐵 =
𝜇
0
𝑚
4𝜋𝑅
3
p
4 cos
2
𝜃 + sin
2
𝜃 =
𝜇
0
𝑚
4𝜋𝑅
3
√
3 cos
2
𝜃 + 1
4.3 电四极辐射
考察电四极辐射项
A
2𝑬
(x) = −𝑖𝑘
𝜇
0
𝑒
𝑖𝑘 𝑅
24𝜋𝑅
ˆ
R ·
¤
↔
𝐷
=
𝜇
0
𝑒
𝑖𝑘 𝑅
24𝜋𝑐𝑅
ˆ
R ·
¥
↔
𝐷
磁场
B
2𝑬
(x) = 𝑖𝑘
ˆ
R × A
2𝑬
= 𝑖𝑘
𝜇
0
𝑒
𝑖𝑘 𝑅
24𝜋𝑐𝑅
ˆ
R ×
¥
↔
𝐷
=
𝜇
0
𝑒
𝑖𝑘 𝑅
24𝜋𝑐
2
𝑅
ˆ
R ×
¨
↔
𝐷
×
ˆ
R
电场
E
2𝑩
(x) = 𝑐B
2𝑬
×
ˆ
R =
𝜇
0
𝑒
𝑖𝑘 𝑅
24𝜋𝑐𝑅
ˆ
R ×
¨
↔
𝐷
×
ˆ
R
×
ˆ
R
由于辐射能流
S =
𝑐
2𝜇
0
|
B
2𝑬
|
2
ˆ
R =
𝜇
0
4𝜋𝜖
0
1
288𝑐
5
𝑅
2
¨
↔
𝐷
×
ˆ
R
2
ˆ
R
设电荷分布线度为 𝑙, 则由电四极矩的定义知
↔
𝐷
𝑖 𝑗
∼ 𝑙
2
. 那么辐射功率 ∼
𝑙
𝜆
4
, 与磁偶极辐射同级
5 天线辐射
5.1 天线电流分布
当天线的线度与波长相当时, 不能展开. 考虑中间馈电的细直天线, 半径 𝑎, 长度 𝑙
E = −∇𝜑 −
𝜕A
𝜕𝑡
考虑到洛伦兹规范
∇ · A +
1
𝑐
2
𝜕𝜑
𝜕𝑡
= 0
为了消去 𝜑, 对时间求导
𝜕E
𝜕𝑡
= −∇
𝜕𝜑
𝜕𝑡
−
𝜕
2
A
𝜕𝑡
2
因而
𝜕E
𝜕𝑡
= ∇
𝑐
2
∇ · A
−
𝜕
2
A
𝜕𝑡
2
由矢势的表达式
A(x) =
𝜇
0
4𝜋
∭
J (x
′
)
𝑟
𝑒
𝑖𝑘𝑟
d𝑉
0
天线电流 J
′
沿 𝑧 方向, 那么 A 也仅有 𝑧 方向. 考察 𝑧 方向, 方程变为
𝜕𝐸
𝑧
𝜕𝑡
= 𝑐
2
𝜕
2
𝐴
𝑧
𝜕𝑧
2
−
𝜕
2
𝐴
𝑧
𝜕𝑡
2
设天线为理想导体, 则不允许有电场,𝐸
𝑧
= 0, 则得到一维波动方程
𝜕
2
𝐴
𝑧
𝜕𝑧
2
−
1
𝑐
2
𝜕
2
𝐴
𝑧
𝜕𝑡
2
= 0
定态下有
𝜕A
𝜕𝑡
= −𝑖𝜔A,
𝜕𝜑
𝜕𝑡
= −𝑖𝜔𝜑
又有洛伦兹规范
∇ · A +
1
𝑐
2
𝜕𝜑
𝜕𝑡
= 0 ⇒ ∇ · A = 𝑖
𝜔
𝑐
2
𝜑
那么
∇𝜑 = ∇
−𝑖
𝑐
2
𝜔
∇ · A
= −𝑖
𝑐
𝑘
∇
(
∇ · A
)
因而电矢量就写为
E = −𝑖
𝑐
𝑘
∇(∇ · A) + 𝑖𝜔A = −𝑖
𝑐
𝑘
∇(∇ · A) + 𝑘
2
A
天线电流 J
′
沿 𝑧 方向, 那么 A 也仅有 𝑧 方向. 设天线为理想导体, 则不允许有电场,𝐸
𝑧
= 0, 则
𝜕
2
𝜕𝑧
2
− 𝑘
2
𝐴
𝑧
(𝜌 = 0, 𝑧) = 0
得到 (鬼知道是怎么得到的)
𝐴
𝑧
(𝜌 = 0, 𝑧) =
𝜇
0
4𝜋
∫
𝑙/2
−𝑙/2
𝐼 (𝑧
0
)𝐾(𝑧 − 𝑧
0
)𝑑𝑧
0
其中
𝐾 (𝑧 − 𝑧
0
) =
1
𝜋
∫
𝜋
0
exp
h
𝑖𝑘
p
(𝑧 − 𝑧
0
)
2
+ 4𝑎
2
sin
2
𝛽
i
p
(𝑧 − 𝑧
0
)
2
+ 4𝑎
2
sin
2
𝛽
𝑑𝛽
𝐶
1
sin 𝑘𝑧 + 𝐶
2
cos 𝑘𝑧 =
∫
𝑙/2
−
𝑙
/
2
𝐼 (𝑧
0
)𝐾(𝑧 − 𝑧
0
)𝑑𝑧
0
细天线情况下 𝐾 类似于 𝛿 函数,𝐴
𝑧
与 𝐼 (𝑧) 分布一致, 电流沿天线为正弦分布
𝐼 (𝑧) = 𝐼 sin
𝑘
𝑙
2
−
|
𝑧
|
取 𝑧 = 0 由端电流
𝐼
0
= 𝐼 sin
𝑘𝑙
2
那么
A(𝑅, 𝜃) = ˆz
𝜇
0
𝐼𝑒
𝑖𝑘 𝑅
4𝜋𝑅
∫
𝑙/2
−𝑙/2
sin
𝑘
𝑙
2
−
|
𝑧
|
𝑒
−𝑖𝑘𝑧 cos 𝜃
𝑑𝑧
积分得到
A(𝑅, 𝜃) = ˆz
𝜇
0
𝐼𝑒
𝑖𝑘 𝑅
2𝑘𝜋𝑅 sin
2
𝜃
cos
𝑘𝑙
2
cos 𝜃
− cos
𝑘𝑙
2
得到能流密度
S =
ˆ
R
𝜇
0
𝑐𝐼
2
8𝜋
2
𝑅
2
sin
2
𝜃
cos
𝑘𝑙
2
cos 𝜃
− cos
𝑘𝑙
2
2
在半波天线的情况下 𝑘𝑙 = 𝜋, 能流就有
S =
ˆ
R
𝜇
0
𝑐𝐼
2
8𝜋
2
𝑅
2
sin
2
𝜃
cos
2
𝜋
2
cos 𝜃
可以积分得到功率
𝑃 = 22.4
𝜇
0
𝑐𝐼
2
0
8𝜋
2
≡ 𝑅
𝑟
𝐼
2
0
得到辐射电阻
𝑅
𝑟
= 73.2Ω
半波天线辐射能力很强
6 电磁波衍射
衍射现象: 电磁波通过障碍物或小孔后传播方向发生偏离
电磁波是矢量场, 各分量满足波动方程
(∇
2
+ 𝑘
2
)(E, B, A, 𝜑) = 0
各分量之间有相互制约的关系
∇ · E = 0, ∇ · B = 0, ∇ · A +
1
𝑐
2
𝜕𝜑
𝜕𝑡
= 0
边界条件各分量一般是耦合的
6.1 基尔霍夫 Kirchho 公式
标量场近似, 场的任一分量
∇
2
𝜓 + 𝑘
2
𝜓 = 0
球面波是点源 Helmholtz 方程的解
𝐺 (x, x
′
) =
𝑒
𝑖𝑘𝑟
𝑟
, (∇
2
+ 𝑘
2
)𝐺 (x, x
′
) = −4𝜋𝛿(x − x
′
)
利用格林函数与格林公式
∭
𝑉
[𝜓∇
02
𝐺 − 𝐺∇
02
𝜓]d𝑉
0
=
∯
𝑆
[𝜓∇
0
𝐺 − 𝐺∇
0
𝜓] · dS
′
左边为
∭
𝑉
[𝜓∇
02
𝐺 − 𝐺∇
02
𝜓]d𝑉
0
=
∭
𝑉
−4𝜋𝛿(x − x
′
) − 𝑘
2
𝐺 (x, x
′
)
𝜓(x
′
) − 𝐺 (x, x
′
)∇
02
𝜓
d𝑉
0
= −4𝜋𝜓(x) +
∭
𝑉
𝐺 (x, x
′
)
∇
02
+ 𝑘
2
𝜓(x
′
)
d𝑉
0
由于 𝜓 是场的一个分量, 满足波动方程, 即
(∇
02
+ 𝑘
2
)𝜓(x
′
) = 0
那么就化为
∭
𝑉
[𝜓∇
02
𝐺 − 𝐺∇
02
𝜓]d𝑉
0
= −4𝜋𝜓(x)
利用
∇
0
𝑟 = −
r
𝑟
得到
∇
0
𝑒
𝑖𝑘𝑟
𝑟
=
1
𝑟
∇
0
𝑒
𝑖𝑘𝑟
+ 𝑒
𝑖𝑘𝑟
∇
0
1
𝑟
=
1
𝑟
𝑒
𝑖𝑘𝑟
𝑖𝑘∇
0
𝑟 − 𝑒
𝑖𝑘𝑟
1
𝑟
2
∇
0
𝑟 = −
𝑒
𝑖𝑘𝑟
𝑟
𝑖𝑘 −
1
𝑟
r
𝑟
因而右边为
∯
𝑆
[𝜓∇
0
𝐺 − 𝐺∇
0
𝜓] · dS
′
=
∬
𝑆
𝑒
𝑖𝑘𝑟
𝑟
1
𝑟
−𝑖𝑘
r
𝑟
𝜓 − ∇
0
𝜓
· dS
′
因而
−4𝜋𝜓 (x) =
∬
𝑆
𝑒
𝑖𝑘𝑟
𝑟
1
𝑟
−𝑖𝑘
r
𝑟
𝜓 − ∇
0
𝜓
· dS
′
得到基尔霍夫公式
𝜓(x) = −
1
4𝜋
∯
𝑆
𝑒
𝑖𝑘𝑟
𝑟
1
𝑟
−𝑖𝑘
r
𝑟
𝜓 − ∇
0
𝜓
· dS
′
区域内任一一点的场都可以用表面场值表示
惠更斯原理: 波前上任一点的波动都可以看作是由波前上各点的波源发出的球面波叠加而成
6.2 小孔衍射
在无穷远的半无限大平面上
1
𝑟
−𝑖𝑘
r
𝑟
𝜓 − ∇
0
𝜓
· ˆn =
1
𝑟
−𝑖𝑘
r · ˆn
𝑟
𝜓 −
1
𝑟
0
−𝑖𝑘
𝜓 ∼ 𝑟
−2
球面波 ∼ 𝑟
−1
, 半无限大的积分 ∼ 𝑟
2
, 因而积分结果
𝜓 ∼ 𝑟
−1
认为其为零, 因而基尔霍夫积分式只剩下小孔的部分
