电磁现象的普遍规律

目录

1 矢量分析 3

1.1 矢量代数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 梯度算子与梯度散度旋度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 梯度算子的矢量性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 梯度算子的微分性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 张量分析 5

3 基本实验定律 6

3.1 库仑定律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

5.1 电介质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

5.1.1 电偶极子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

5.1.2 介质的极化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

5.1.3 本构方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1

5.1.4 导体的欧姆定律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

5.2 磁介质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

5.2.1 磁偶极子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

5.2.2 介质的磁化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

6 介质中的麦克斯韦电磁理论 11

a · (b × c) = b · (c × a) = c · (a × b)

交换其中两个, 符号相反

三矢量的外积可以展开 (先找远的再找进的)

a × (b × c) = (a · c)b − (a · b)c

需要注意的是,矢量的外积不满足结合律, 即

(a × b) × c ≠ a × (b × c)

1.2 梯度算子与梯度散度旋度

梯度算子在笛卡尔坐标系下是一个矢量

矢量场的散度是一个标量, 由高斯定理定义

∯

f · 𝑑S =

在笛卡尔坐标系下可以表示为梯度算子的内积

矢量场的旋度是一个矢量, 由 Stokes 定理定义

∮

f · 𝑑l =

∬

在笛卡尔坐标系下可以表示为梯度算子的外积

则

∇ × A = 0 ⇒ A = ∇𝜑

∭

∭

∭

∯

(

)

· 𝑑S +

∬

(𝜑A) · 𝑑S = 𝜑

A · ΔS

+ 𝜑

− 𝜑

)F

而 𝜑

当然不能等于 𝜑

, 并且作为通量,𝐹 当然也不是零, 因而 LHS 不能为零

1.3 梯度算子的矢量性

标量场的梯度的旋度为零, 矢量场的旋度的散度为零

∇ × ∇𝜑 = 0, ∇ · ∇ × f = 0

简单来说,∇ 的微分性可以概括为

∇ · (f × g) = ∇ · (f

)

如此处理后 ∇ 就只作用在了一个对象上, 因为 ∇ 作用在常矢量上的结果为零! 也因如此, 在后续的变形

中,

利用混合积的轮换性得到

由于此时 ∇ 已经只作用在一个矢量上, 另一个矢量是不是常矢量也就无所谓了, 因而

∇ × (𝜑f) = (∇𝜑) × f + 𝜑∇ × f

∇ · (f × g) = (∇ × f) · g − f · (∇ × g)

∇ × (f × g) = (g · ∇)f + (∇ · g)f − (f · ∇)g − (∇ · f )g

∇(f · g) = f × (∇ × g) + (f · ∇)g + g × (∇ × f) + (g · ∇)f

∇ · ∇ = ∇

2 张量分析

设 𝑉 为一个实数线性空间, 假设它有两组基 e 和 e

, 设它们有关系

_𝑖

其中 𝐹

_𝑖

表示 𝐹 的 𝑗 行 𝑖 列, 表示行的字母在前, 下划线表示书写时在后, 之后定义上下标的区别和字母

设向量 α 在两组基下坐标 X,X

, 有

⇔

=

左侧为积分形式, 右侧为微分形式. 它们是等价的

此处需要特别说明的是位移电流

引入位移电流的目的是为了推广安培环路定理. 电流的通量在空间中并不一定是处处为零的, 因而在使用

利用高斯定理

= 𝜖

∯

E · 𝑑S = 𝜖

∯

· 𝑑S

代入得到

∯

其中的第二项具有电流的量纲, 称为位移电流. 这个新的广义的” 电流” 对任意闭曲面处处通量为零, 可以

据此推广安培环路定理得到安培-麦克斯韦定律

∮

B · 𝑑l = 𝜇

∬

成电偶极子. 称极化产生的电荷为束缚电荷

定义电极化强度为介质内单位体积中分子电矩的矢量和

P ≡

它具有面电荷密度的量纲. 区域内包含的束缚电荷等于穿过区域边界的极化通量的负值 (想象电偶极子正

电荷” 越共探头”)

∭

在介质 1,2 的界面上取一个小的高斯盒子并令 ℎ → 0 即可得到面极化电荷

= −

2

)

其中

5.1.3 本构方程

联系电极化强度与电场强度的方程是本构方程. 对于各向同性介质有

得到

∇ ·

E −

=

定义电位移矢量

D = E +

定义相对介电常数 𝜖

= 1 + 𝜒,D 与 E 的关系就可以写为

再定义介电常数 𝜖 ≡ 𝜖

∯

∯

因而电介质中的安培-麦克斯韦定律写为

∮

· 𝑑S

5.2.1 磁偶极子

磁偶极子可以想象为一个微小的电流环. 磁偶极矩定义如下

其中 S 的方向由电流 𝐼 的方向以右手螺旋定则决定