电磁波
目录
1 电磁场的波动方程 4
1.1 介质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 傅里叶变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 定态波动方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Helmhotz 方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 电磁场时空联合傅里叶变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.6 平面波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.7 平面电磁波特性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 平面电磁波能流 7
3 电磁波在介质界面上的反射与折射 8
3.1 介质界面上的边值关系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.2 平面电磁波边界条件几何 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.3 偏振 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.4 垂直偏振入射时的振幅关系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.5 平行入射时的振幅关系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.6 全反射 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4 导体与电磁波 12
4.1 良导体条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.2 导体内的电磁波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1
4.3 导体内电磁波方程与解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.4 趋肤效应 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.5 导体表面上的反射 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.6 导体的表面阻抗 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5 谐振腔 16
5.1 理想导体边界条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5.2 导体边界的电磁波方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5.3 矩形谐振电磁波模 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5.4 矩形谐振腔驻波解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5.5 矩形谐振腔波模性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5.6 矩形波导中的电磁波模 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5.7 矩形波导中波模截止频率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5.8 TE 和 TM 基本模式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5.9 波导中的电磁波色散关系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5.10 𝑇𝐸
10
电磁波模 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6 等离子体 20
7 德拜 (Debye) 屏蔽现象 20
8 等离子体的流体吗描述 21
9 线性波的小扰动量方程 21
10 非磁化等离子体中本征波动模式 22
11 无线电波在电离层的反射 23
12 磁化等离子体中波动模式 23
13 高斯光束 23
1 电磁场的波动方程
𝜕
𝜕𝑡
≠ 0 时, 电场和磁场相耦合, 相互为源, 可以脱离电荷电流而存在. 在无源情况下的麦克斯韦方程组为
∇ × E = −
𝜕B
𝜕𝑡
∇ × H = −
𝜕D
𝜕𝑡
∇ · D = 0
∇ × B = 0
在真空中 D = 𝜖
0
E, B = 𝜇
0
H, 那么
∇ × (∇ × E) = −
𝜕
𝜕𝑡
(∇ × B) = −𝜇
0
𝜖
0
𝜕
2
E
𝜕𝑡
2
有关系
∇ × (∇ × E) = −∇(∇ · E) − ∇
2
E = −∇
2
E
那么方程就变为
∇
2
E − 𝜇
0
𝜖
0
𝜕
2
E
𝜕𝑡
2
= 0
对于磁场同样可以得到
∇
2
B − 𝜇
0
𝜖
0
𝜕
2
B
𝜕𝑡
2
= 0
在真空中电磁场满足波动方程. 真空中电磁场形式上可以分离
∇
2
E −
1
𝑐
2
𝜕
2
E
𝜕𝑡
2
= 0, ∇ · E = 0
∇
2
B −
1
𝑐
2
𝜕
2
B
𝜕𝑡
2
= 0, ∇ · B = 0
波动方程 +
横波条件
, 其中 𝑐 为真空中光速
𝑐 ≡
1
√
𝜇
0
𝜖
0
但是这不能替代麦克斯韦方程, 还需要考虑电场和磁场的关系
∇ × E = −
𝜕B
𝜕𝑡
, ∇ × B =
1
𝑐
2
𝜕E
𝜕𝑡
1.1 介质
将 E 换为 D, B 换为 H, 可以同样得到波动方程. 然而介质的
极化和磁化是不能瞬时完成
的, 因而即使
是均匀稳定的介质其本构关系也不再成立. 介质是有色散的
在介质中需要考虑其色散性质, 即
介质对电磁场的响应性质与电磁场的变化频率有关
D(𝜔) = 𝜖 (𝜔)E (𝜔 ), H (𝜔) = 𝜇(𝜔)B (𝜔)
对一般的介质中的电磁场不满足波动方程. 在极限情况下
𝜔 → +∞ ⇒ 𝜖 → 𝜖
0
, 𝜇 → 𝜇
0
介质中的微观粒子由于其惯性, 来不及响应外场
1.2 傅里叶变换
任一时域函数可以视为由频域函叠加而成, 称为傅里叶正变换
E(𝑡) =
∫
+∞
−∞
E(𝜔)𝑒
−𝑖𝜔𝑡
𝑑𝜔
也可以逆变换
E(𝜔) =
1
2𝜋
∫
+∞
−∞
E(𝑡)𝑒
𝑖 𝜔𝑡
𝑑𝑡
对电磁场作傅里叶变换
D(X, 𝑡) =
∫
+∞
−∞
𝜖 (𝜔)E(X, 𝜔)𝑒
−𝑖𝜔𝑡
𝑑𝜔
H (X, 𝑡) =
∫
+∞
−∞
1
𝜇
(
𝜔
)
B(X, 𝜔)𝑒
−𝑖𝜔𝑡
𝑑𝜔
1.3 定态波动方程
若电磁场以特定频率随时间作简谐变化, 称为定态, 即傅里叶分解的一个基态
E(X, 𝑡) = E (X)𝑒
−𝑖𝜔𝑡
, B(X, 𝑡) = B (X)𝑒
−𝑖𝜔𝑡
也就是
D(X, 𝑡) = 𝜖 (𝜔)E(X)𝑒
−𝑖𝜔𝑡
, H (X, 𝑡) =
1
𝜇(𝜔)
B(X)𝑒
−𝑖𝜔𝑡
代入麦克斯韦方程组
∇ × E = 𝑖𝜔B
∇ × B = −𝑖𝜔𝜇𝜖E
∇ · E = 0
∇ · B = 0
在这种情况下散度方程自动成立, 剩下
∇ × E = 𝑖𝜔B
∇ × B = −𝑖𝜔𝜇𝜖E
作旋度得到
∇
2
E + 𝑘
2
E = 0
∇
2
B + 𝑘
2
B = 0
其中 𝑘 ≡ 𝜔
√
𝜇𝜖. 该方程称为定态波动方程 (Helmhotz 方程)
1.4 Helmhotz 方程
定态情况下电磁场方程可以写为
∇
2
E + 𝑘
2
E = 0
∇ · E = 0
B = −
𝑖
𝜔
∇ · E
,
∇
2
B + 𝑘
2
B = 0
∇ · B = 0
E =
𝑖𝜔
𝑘
2
∇ · B
其中 𝑘 ≡ 𝜔
√
𝜇𝜖, 是定态下介质电磁特性参数
1.5 电磁场时空联合傅里叶变换
对任一时空变化函数 E(X, 𝑡), 可以进行时空联合的傅里叶变换
E(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) =
∫
+∞
−∞
∫
+∞
−∞
∫
+∞
−∞
∫
+∞
−∞
E(𝑘
𝑥
, 𝑘
𝑦
, 𝑘
𝑧
, 𝜔)𝑒
𝑖 (k·X −𝜔𝑡 )
𝑑𝑘
𝑥
𝑑𝑘
𝑦
𝑑𝑘
𝑧
𝑑𝜔
逆变换
E(𝑘
𝑥
, 𝑘
𝑦
, 𝑘
𝑧
, 𝜔) =
1
(2𝜋)
4
∫
+∞
−∞
∫
+∞
−∞
∫
+∞
−∞
∫
+∞
−∞
E(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)𝑒
−𝑖(k·X −𝜔𝑡 )
𝑑𝑥𝑑 𝑦𝑑𝑧𝑑𝑡
任一时空函数, 可以写成基本函数的叠加
𝑒
𝑖 (k·X −𝜔𝑡 )
这是平面波
1.6 平面波
一般的平面波写为
E(X, 𝑡) = E
0
𝑒
𝑖 (k·X −𝜔𝑡 )
其中 k 称为波矢, 代表波的传播方向, 波长 𝜆 =
2𝜋
𝑘
. 空间中的两点, 若满足 (X
1
− X
2
) · k = 0, 则场相同,
即垂直于 k 的平面上个点场值相同
E
0
称为振幅,𝑣
𝑝
=
𝜔
𝑘
称为相速度, 是传播方向上相位传播的速度. 这是由于
𝜙 = k · X − 𝜔𝑡 ⇒ Δ𝜙 = k · ΔX − 𝜔Δ𝑡 = 0 ⇒ v
p
=
k · ΔX
𝑘Δ𝑡
k
𝑘
=
𝜔
𝑘
k
𝑘
≡
𝜔
k
对于平面波, 微分算符变为代数算符
𝜕
𝜕𝑡
⇒ −𝑖𝜔, ∇ ⇒ 𝑖k
′
如
∇×E = ∇×
E
0
𝑒
𝑖 (k
′
·X−𝜔𝑡 )
= ∇𝑒
𝑖 (k
′
·X−𝜔𝑡 )
×E
0
= 𝑖
∇(k
′
· X)
×E
0
𝑒
𝑖 (k
′
·X−ωt)
= 𝑖k
′
×E
0
𝑒
𝑖 (k
′
·X−𝜔𝑡 )
= 𝑖k
′
×E
∇ · E = ∇ ·
E
0
𝑒
𝑖 (k
′
·X−𝜔𝑡 )
= E
0
· ∇𝑒
𝑖 (k
′
·X−𝜔𝑡 )
= −k
′
· E
那么 Helmholtz 方程变为
(−𝑘
′2
+ 𝑘
2
)E = 0
k
′
· E = 0
B =
k
′
𝜔
× E
若电场不为零, 第一条方程就要求
𝑘
′
= 𝑘 = 𝜔
√
𝜇𝜖
第二条方程就要求电磁波的波矢与电场垂直, 因而电磁波是横波. 得到 Helmholtz 方程的平面波解
E = E
0
𝑒
𝑖 (k·X −𝜔𝑡 )
1.7 平面电磁波特性
平面电磁波
E = E
0
𝑒
𝑖 (k·X −𝜔𝑡 )
, B =
k
𝜔
× E, 𝑘 = 𝜔
√
𝜇𝜖
平面电磁波为横波
E · k = B · k = 0
E, B, k 相互垂直, 构成右手螺旋
(E × B)||k
E, B 同相位
E
B
=
𝜔
𝑘
=
1
√
𝜇𝜖
= 𝑣
𝑝
平面电磁波是均匀, 无边介质中麦克斯韦方程组的解,𝜇𝜖 为常数. 实际上要求均匀空间区域的线度远大于
波长, 边界无反射
平面电磁波有两种独立偏振态: 特定的平面波有一个独立变化的矢量 E
0
, 但 E
0
· k = 0, 因而有两个自由
度
2 平面电磁波能流
平面电磁波的能量密度
𝑤 =
1
2
𝜖 𝐸
2
+
1
2𝜇
𝐵
2
= 𝜖 𝐸
2
=
1
𝜇
𝐵
2
当且仅当平面电磁波电场磁场能量相等
平面电磁波能流密度
S = E × H =
1
𝜇
E × B =
1
𝜇
E ×
k
𝜔
× E
=
E
𝜔𝜇
k =
r
𝜖
𝜇
𝐸
2
ˆ
k = 𝜔𝜈
𝑝
ˆ
k
能流方程为波矢方向, 其值为能量密度与相速度之积
能量, 能流密度瞬时值
𝑤(X, 𝑡) = 𝜖 𝐸
2
0
cos
2
(k · X − 𝜔𝑡) =
1
2
𝜖 𝐸
2
0
[1 + cos 2(k · X − 𝜔𝑡)]
能量能流密度时间平均值
𝑤 =
1
2
𝜖 𝐸
2
0
=
𝐵
2
0
2𝜇
, S = 𝑤𝜈
𝑝
ˆ
k
实际上
S =
1
2
𝑅𝑒(E
∗
× H)
3 电磁波在介质界面上的反射与折射
3.1 介质界面上的边值关系
一般情况下的边值关系
ˆn × (E
2
− E
1
) = 0
ˆn × (H
2
− H
1
) = α
ˆn · (D
2
− D
1
) = 𝜎
ˆn · (B
2
− B
1
) = 0
⇒ (无源)
ˆn × (E
2
− E
1
) = 0
ˆn × (H
2
− H
1
) = 0
ˆ
n
· (
D
2
−
D
1
)
=
0
ˆn · (B
2
− B
1
) = 0
⇒ (定态)
ˆn × (E
1
− E
2
) = 0
ˆ
n
× (
H
2
−
H
1
)
=
0
3.2 平面电磁波边界条件几何
考察两介质界面为无限大平面, 设有介质 1(𝜖
1
, 𝜇
1
), 介质 2(𝜖
2
, 𝜇
2
), 入射波 k, 反射波 k
′
, 折射波 k
′′
设入射角 𝜃, 反射角 𝜃
′
, 折射角 𝜃
′′
1. 介质 1 内的入射波
E = E
0
𝑒
𝑖 (k·X −𝜔𝑡 )
2. 介质 1 内的反射波
E
′
= E
′
0
𝑒
𝑖k
′
·X−𝜔𝑡
3. 介质 2 内的折射波
E
′′
= E
′′
0
𝑒
𝑖 (k
′′
·X−𝜔𝑡 )
这三个波矢共面. 由电场边值关系
ˆn × (E
0
𝑒
𝑖k·X
− E
′
0
𝑒
𝑖k
′
·X
− E
′′
0
𝑒
𝑖k
′′
·X
) = 0
ˆn ×
E
0
𝑒
𝑖 (𝑘
𝑥
𝑥+𝑘
𝑦
𝑦)
+ E
′
0
𝑒
𝑖 (𝑘
′
𝑥
𝑥+𝑘
′
𝑦
𝑦)
− E
′′
0
𝑒
𝑖 (𝑘
′′
𝑥
𝑥+𝑘
′′
𝑦
𝑦)
= 0
这应当对于任意 (𝑥, 𝑦) 成立, 那么就有
𝑘
𝑥
= 𝑘
′
𝑥
= 𝑘
′′
𝑥
𝑘
𝑦
= 𝑘
′
𝑦
= 𝑘
′′
𝑦
对于 ∀𝑥, 若下式成立
𝐴𝑒
𝑖𝑘
1
𝑥
+ 𝐵𝑒
𝑖𝑘
2
𝑥
+𝐶𝑒
𝑖𝑘
3
𝑥
= 0
将其微分
𝐴𝑒
𝑖𝑘
1
𝑥
+ 𝐵𝑒
𝑖𝑘
2
𝑥
+𝐶𝑒
𝑖𝑘
3
𝑥
= 0
𝑘
1
𝐴𝑒
𝑖𝑘
1
𝑥
+ 𝑘
2
𝐵𝑒
𝑖𝑘
2
𝑥
+ 𝑘
3
𝐶𝑒
𝑖𝑘
3
𝑥
= 0
𝑘
2
1
𝐴𝑒
𝑖𝑘
1
𝑥
+ 𝑘
2
2
𝐵𝑒
𝑖𝑘
2
𝑥
+ 𝑘
2
3
𝐶𝑒
𝑖𝑘
3
𝑥
= 0
令 𝑥 = 0 得
𝐴 + 𝐵 +𝐶 = 0
𝑘
1
𝐴 + 𝑘
2
𝐵 + 𝑘
3
𝐶 = 0
𝑘
2
1
𝐴
+
𝑘
2
2
𝐵
+
𝑘
2
3
𝐶
=
0
这有解要求系数行列式为零
1 1 1
𝑘
1
𝑘
2
𝑘
3
𝑘
2
1
𝑘
2
2
𝑘
2
3
= 0
也就是
(𝑘
1
− 𝑘
2
)(𝑘
2
− 𝑘
3
)(𝑘
3
− 𝑘
1
) = 0
至少二者为零, 设 𝑘
2
= 𝑘
3
, 则
𝐴 + (𝐵 + 𝐶) = 0
𝑘
1
𝐴 + 𝑘
2
(𝐵 + 𝑐) = 0
同理有 𝑘
1
= 𝑘
2
, 那么就得证三者相等
取入射波波矢在 (𝑥, 𝑧) 平面, 即
k = 𝑘
𝑥
ˆx + 𝑘
𝑧
ˆz, 𝑘
𝑦
= 𝑘
′
𝑦
+ 𝑘
′′
𝑦
= 0
那么就得到了三波共面 (𝑦 分量都为零), 并且
𝑘
𝑥
= 𝑘
′
𝑥
= 𝑘
′′
𝑥
也就是
𝑘 sin 𝜃 = 𝑘
′
sin 𝜃
′
= 𝑘
′′
sin 𝜃
′′
介质中有关系
𝑘 = 𝑘
′
= 𝜔
√
𝜇
1
𝜖
1
, 𝑘
′′
= 𝜔
√
𝜇
2
𝜖
2
那么就得到了
𝜃 = 𝜃
′
sin 𝜃
′′
sin 𝜃
=
𝑘
𝑘
′′
=
r
𝜇
1
𝜖
1
𝜇
2
𝜖
2
≈
r
𝜖
1
𝜖
2
≡ 𝑛
21
就得到了反射定律与折射定律
3.3 偏振
电磁波的偏振方向以电场为标准
1. 垂直偏振: 电场矢量垂直入射面
2. 平行偏振: 电场矢量在入射面内
若入射波是垂直偏振, 则反射波和折射波也是垂直偏振; 若入射波是平行偏振, 则反射波和折射波也是平
行偏振
垂直偏振即 𝐸
0𝑥
= 𝐸
0𝑧
= 0, 则希望证明 𝐸
′
0𝑥
= 𝐸
′′
0𝑥
= 𝐸
′
0𝑧
= 𝐸
′′
0𝑧
= 0. 由振幅边界条件
𝐸
0𝑥
+ 𝐸
′
0𝑥
− 𝐸
′′
0𝑥
= 0
𝐸
0𝑦
+ 𝐸
′
0𝑦
− 𝐸
′′
0𝑦
= 0
⇒ 𝐸
′
0𝑥
− 𝐸
′′
0𝑥
= 0
𝐻
0𝑥
+ 𝐸
′
0𝑥
− 𝐻
′′
0𝑥
= 0
𝐻
0𝑦
+ 𝐻
′
0𝑦
− 𝐻
′′
0𝑦
= 0
⇒
1
𝜇
1
(𝑘
′
𝑥
𝐸
′
0𝑧
− 𝑘
′
𝑧
𝐸
′
0𝑥
) −
1
𝜇
2
(𝑘
′′
𝑥
𝐸
′′
0𝑧
− 𝑘
′′
𝑧
𝐸
′′
0𝑥
) = 0
此处使用了
H =
k × E
𝜔𝜇
由横波条件
k · E = 0
即
𝑘
′
𝑥
𝐸
′
0𝑥
+ 𝑘
′
𝑧
𝐸
′
0𝑧
= 0, 𝑘
′′
𝑥
𝐸
′′
0𝑥
+ 𝑘
′′
𝑧
𝐸
′′
0𝑧
= 0
得到了四个方程, 只需要证明系数行列式不为零即可得零解
Δ ≡
1 −1 0 0
−
𝑘
′
𝑧
𝜇
1
𝑘
′′
𝑧
𝜇
2
𝑘
′
𝑥
𝜇
1
−
𝑘
′′
𝑥
𝜇
2
𝑘
′
𝑥
0 𝑘
′
𝑧
0
0 𝑘
′′
𝑥
0 𝑘
′′
𝑧
= 𝑘
′
𝑧
𝑘
′′2
𝑧
𝜇
2
+
𝑘
′′2
𝑥
𝜇
2
+ 𝑘
′′
𝑧
−
𝑘
′
𝑧
𝜇
1
−
𝑘
′2
𝑥
𝜇
1
= 𝑘
′
𝑧
𝑘
′′2
𝜇
2
− 𝑘
′′
𝑧
𝑘
′2
𝜇
1
由于 𝑘
′
𝑧
< 0, 𝑘
′′
𝑧
> 0, 因而 Δ < 0, 从而原方程只有零解
对于平行情形,𝐸
0𝑦
= 0, 希望证明 𝐸
′
0𝑦
= 𝐸
′′
0𝑦
= 0. 由振幅边界条件
𝐸
0𝑥
+ 𝐸
′
0𝑥
− 𝐸
′′
0𝑥
= 0
𝐸
0𝑦
+ 𝐸
′
0𝑦
− 𝐸
′′
0𝑦
= 0
⇒ 𝐸
′
0𝑦
− 𝐸
′′
0𝑦
= 0
𝐻
0𝑥
+ 𝐸
′
0𝑥
− 𝐻
′′
0𝑥
= 0
𝐻
0𝑦
+ 𝐻
′
0𝑦
− 𝐻
′′
0𝑦
= 0
⇒
1
𝜇
1
𝑘
′
𝑧
𝐸
′
0𝑦
−
1
𝜇
2
𝑘
′′
𝑧
𝐸
′′
0𝑦
= 0
同样利用行列式
Δ ≡
1 −1
𝑘
′
𝑧
𝜇
1
−
𝑘
′′
𝑧
𝜇
2
= −
𝑘
′′
𝑧
𝜇
2
+
𝑘
′
𝑧
𝜇
1
< 0
因而也只有零解
3.4 垂直偏振入射时的振幅关系
有
𝐸
0
+ 𝐸
′
0
− 𝐸
′′
0
= 0
𝐻
0
cos 𝜃 − 𝐻
′
0
cos 𝜃
′
− 𝐻
′′
0
cos 𝜃
′′
= 0
又有
𝐻
0
=
r
𝜖
𝜇
𝐸
0
≈
r
𝜖
𝜇
0
E
0
√
𝜖
1
(𝐸
0
− 𝐸
′
0
) cos 𝜃 −
√
𝜖
2
𝐸
′′
0
cos 𝜃
′′
= 0
因而
𝐸
′
0
𝐸
0
=
√
𝜖
1
cos 𝜃 −
√
𝜖
2
cos 𝜃
′′
√
𝜖
1
cos 𝜃 +
√
𝜖
2
cos 𝜃
′′
= −
sin(𝜃 − 𝜃
′′
)
sin(𝜃 + 𝜃
′′
)
𝐸
′′
0
𝐸
0
=
2
√
𝜖
1
cos 𝜃
√
𝜖
1
cos 𝜃 +
√
𝜖
2
cos 𝜃
′′
=
2 cos
𝜃
sin
𝜃
′′
sin(𝜃 + 𝜃
′′
)
3.5 平行入射时的振幅关系
−𝐸
0
cos 𝜃 + 𝐸
′
0
cos 𝜃
′
+ 𝐸
′′
0
cos 𝜃
′′
= 0
𝐻
0
+ 𝐻
′
0
− 𝐻
′′
0
= 0
也就是
𝐻
0
=
r
𝜖
𝜇
𝐸
0
≈
r
𝜖
𝜇
0
𝐸
0
√
𝜖
1
(𝐸
0
+ 𝐸
′
0
) −
√
𝜖
2
𝐸
′′
0
= 0
得到
𝐸
′
0
𝐸
0
=
√
𝜖
2
cos 𝜃 −
√
𝜖
1
cos 𝜃
′′
√
𝜖
2
cos 𝜃 +
√
𝜖
1
cos 𝜃
′′
=
tan(𝜃 − 𝜃
′′
)
tan(𝜃 + 𝜃
′′
)
𝐸
′′
0
𝐸
0
=
2
√
𝜖
1
cos 𝜃
√
𝜖
2
cos 𝜃 +
√
𝜖
1
cos 𝜃
′
=
2 cos 𝜃 sin 𝜃
′′
sin(𝜃 + 𝜃
′′
) cos(𝜃 − 𝜃
′′
)
当 𝜃 + 𝜃
′′
=
𝜋
2
时, 反射波无平行偏振分量
当 𝜃 > 𝜃
′′
时,
𝐸
′
0⊥
𝐸
0⊥
< 0, 反射波与入射波相位相反, 相当于半个波长的光程差
详情见光学
3.6 全反射
直角坐标系下 Helmholtz 方程解的一般形式
E = E
0
𝑒
𝑖 (𝑘
𝑥
𝑥+𝑘
𝑦
𝑦+𝑙𝑘
𝑧
𝑧)
, 𝑘
2
𝑥
+ 𝑘
2
𝑦
+ 𝑘
2
𝑧
= 𝜔
2
𝜇𝜖
𝑘
2
𝑥
, 𝑘
2
𝑦
, 𝑘
2
𝑧
可以小于零. 在 𝜖
1
> 𝜖
2
的情况下, 当
sin
2
𝜃 >
𝜖
2
𝜖
1
折射波有
𝑘
′′
𝑥
= 𝑘
𝑥
, 𝑘
′′
𝑧
=
p
𝑘
′′2
− 𝑘
′′2
𝑥
=
p
𝑘
′′2
− 𝑘
2
𝑥
=
√
𝑘
′′2
− 𝑘
2
sin 𝜃
2
= 𝑖𝑘
r
sin 𝜃
2
𝜃 −
𝜖
2
𝜖
1
≡ 𝑖𝜅
那么
E
′′
= E
′′
0
𝑒
−𝜅 𝑧
𝑒
𝑖 (𝑘
𝑥
𝑥−𝜔𝑡 )
在介质 2 中的折射波沿界面传播, 在 𝑧 方向指数衰减, 仅在界面附件存在; 若介质不损耗能量, 则入射波
能量全部转换为反射波, 称为全反射
4 导体与电磁波
4.1 良导体条件
在静电场中, 导体内部无自由电荷分布, 自由电荷仅分布在表面. 希望在电磁波中导体也能有这种性质, 称
这种导体为良导体
导体内部电磁场方程
∇ × E = −
𝜕𝐵
𝜕𝑡
∇ × B = 𝜇
0
J + 𝜇
0
𝜖
0
𝜕E
𝜕𝑡
∇ · E = −
𝜌
𝜖
0
∇ · B = 0
J = 𝜎E ⇒
∇ · E =
𝜌
𝜖
0
𝜕𝜌
𝜕𝑡
= −∇ · J
J = 𝜎E
那么
𝜕𝜌
𝜕𝑡
= −∇ · J = −𝜎∇ · J = −𝜎∇ · E = −
𝜎
𝜖
0
𝜌 ⇒ 𝜌(𝑡) = 𝜌
0
𝑒
−
𝜎
𝜖
𝑡
定义时间尺度
𝜏 =
𝜖
0
𝜎
良导体条件即
𝜔 <<
1
𝜏
=
𝜎
𝜖
𝑜𝑟
𝜎
𝜖𝜔
>> 1
对于一般金属导体,𝜏 ∼ 10
−17
𝑠, 因而只要电磁波频率不太高, 一般金属导体都可以看作量导体
良导体的内部不存在自由电荷, 无电场, 导体内部的电磁场以同样的规律衰减, 这是因为
∇ · E
0
=
𝜌
0
𝜖
0
, B
0
=
𝜖
0
𝜎
∇ × E
0
4.2 导体内的电磁波
对于定态电磁波 J = 𝜎(𝜔)E, 导体中满足的方程可以变形为
∇ · E =
𝜌
𝜖
0
𝜕𝜌
𝜕𝑡
= −∇ · J
J = 𝜎E
⇒
𝑖k · E =
𝜌
𝜖
0
−𝑖𝜔𝜌 = −𝑖k · J
J = 𝜎E
得到
𝜔 =
k
·
J
𝜌
= k ·
𝜎E
𝜌
= −𝑖
𝜎
𝜖
0
那么电场
E = E
0
𝑒
𝑖 (k·x−𝜔𝑡 )
= E
0
𝑒
−
𝜎
𝜖
0
𝑡
𝑒
𝑖k·x
定态情况下, 一般导体的电磁场运动方程可以写为
∇ × E = 𝑖𝜔B
∇ × B = 𝜇
0
J − 𝑖𝜔𝜇
0
𝜖
0
E
∇ · E =
𝜌
𝜖
0
∇ · B = 0
J = 𝜎E
导体中有自由电荷和自由电流, 导体中的极化磁化现象可以忽略
定义等效复介电常数
𝜖
′
= 𝜖
0
+𝑖
𝜎
𝜔
那么定态情况下, 一般导体也可以利用介质方法处理
∇ × E = 𝑖𝜔B
∇ × B = 𝑖𝜔𝜇
0
D
∇ · D = 0
∇ · B = 0
D = 𝜖
′
E
定态情况下自由电荷与极化电荷作用相当, 导体可以视为具有复介电常数的介质
E = 𝜖
0
E + P , P = 𝑖
𝜎
𝜔
E
P , E 相差相位
𝜋
2
4.3 导体内电磁波方程与解
导体中的电磁波方程
∇ × E = 𝑖𝜔B
∇ × B = −𝑖𝜔𝜇
0
𝜖
′
E
⇒
∇
2
E + 𝑘
2
E = 0
∇ ·
E
=
0
B = −
𝑖
𝜔
∇ × E
𝑜𝑟
∇
2
B + 𝑘
2
B = 0
∇ · B = 0
E =
𝑖
𝜔𝜇
0
𝜖
′
∇ × B
其中
𝑘
2
= 𝜔
2
𝜇𝜖
′
, 𝜖
′
≡ 𝜖
0
+𝑖
𝜎
𝜔
平面波解 EX = E
0
𝑒
𝑖k·X
, 其中 k 为复矢量 k = β +𝑖α
E(X) = E
0
𝑒
−α·X
𝑒
𝑖β·X
β 为传播方向,α 为衰减方向, 可以分为等相位面和等振幅面. 将 k 平方得到
𝑘
2
= 𝛽
2
− 𝛼
2
+ 2𝑖α · β = 𝜔
2
𝜇
0
𝜖
0
+𝑖
𝜎
𝜔
那么得到实部和虚部
𝛽
2
− 𝛼
2
= 𝜔
2
𝜇
0
𝜖
0
α · β =
1
2
𝜔𝜇
0
𝜎
加上边界波矢关系, 可以决定 α, β
自由空间入射直导体表面, 则波矢关系
𝑘
0𝑥
= 𝑘
𝑥
= 𝛽
𝑥
+𝑖𝛼
𝑥
⇒ 𝛽
𝑥
= 𝑘
0𝑥
, 𝛼
𝑥
= 0
𝛽
2
𝑥
+ 𝛽
2
𝑧
− 𝛼
2
𝑥
− 𝛼
2
𝑧
= 𝜔
2
𝜇
0
𝜖
0
𝛼
𝑥
𝛽
𝑥
+ 𝛼
𝑧
𝛽
𝑧
=
1
2
𝜔𝜇
0
𝜎
⇒
𝛽
2
𝑧
− 𝛼
2
𝑧
= 𝜔
2
𝜇
0
𝜖
0
− 𝑘
2
0𝑥
𝛼
𝑧
𝛽
𝑧
=
1
2
𝜔𝜇
0
𝜎
4.4 趋肤效应
考虑外部电磁波垂直入射导体
k
0
= 𝑘
0
ˆz, β = 𝛽ˆz, α = 𝛼ˆz
那么
𝛽
2
− 𝛼
2
= 𝜔
2
𝜇
0
𝜖
0
𝛼𝛽 =
1
2
𝜔𝜇
0
𝜎
解得
𝛼
2
=
1
2
𝜔
2
𝜇
0
𝜖
0
s
1 +
𝜎
2
𝜔
2
𝜖
2
0
− 1
!
𝛽
2
=
1
2
𝜔
2
𝜇
0
𝜖
0
s
1 +
𝜎
2
𝜔
2
𝜖
2
0
+ 1
!
对于良导体
𝜎
2
𝜔
2
𝜖
2
0
=
1
𝜔
2
𝜏
2
>> 1
那么
𝛼 ≈ 𝛽 ≈
r
1
2
𝜔𝜇
0
𝜎
电磁波进入导体的特征深度为
𝛿 ≡
1
𝛼
≈
s
2
𝜔𝜇
0
𝜎
由 H 与 E 的关系得
H =
1
𝑖𝜔𝜇
∇ × E =
1
𝜔𝜇
k × E =
1
𝜔𝜇
(𝛽 + 𝑖𝛼)ˆn × E
在良导体的情形下代入 𝛼, 𝛽 得到
H ≈
r
𝜎
𝜔𝜇
𝑒
𝑖
𝜋
4
ˆn × E
磁能密度
𝐵
2
2𝜇
0
=
𝜎
2𝜔
𝐸
2
=
𝜎
𝜔𝜖
0
1
2
𝜖
0
𝐸
2
=
1
𝜔𝜏
1
2
𝜖
0
𝐸
2
>>
1
2
𝜖
0
𝐸
2
导体中电磁波以磁场能量为主
4.5 导体表面上的反射
在垂直入射的情形下, 设入射波 (E, H), 反射波 (E
′
, H
′
), 折射波 (E
′′
, H
′′
)
𝐸
0
+ 𝐸
′
0
− 𝐸
′′
0
= 0, 𝐻
0
=
r
𝜖
0
𝜇
0
𝐸
0
, 𝐻
′
0
=
r
𝜖
0
𝜇
0
𝐸
′
0
𝐻
0
− 𝐻
′
0
− 𝐻
′′
0
= 0, 𝐻
′′
0
=
r
𝜎
𝜇
0
𝜔
𝑒
𝑖 𝜋
4
𝐸
′′
0
那么
𝐸
0
+ 𝐸
′
0
− 𝐸
′′
0
= 0
𝐸
0
− 𝐸
′
0
−
r
𝜎
2𝜖
0
𝜔
(1 +𝑖)𝐸
′′
0
= 0
解得
𝐸
′
0
𝐸
0
= −
1 +𝑖 −
p
2𝜖
0
𝜔/𝜎
1 +𝑖 +
p
2𝜖
0
𝜔/𝜎
反射系数
𝑅 ≡
𝐸
′
0
𝐸
0
2
=
1 −
p
2𝜔𝜖
0
/𝜎
2
+ 1
1 +
p
2𝜔𝜖
0
/𝜎
2
+ 1
≈ 1 − 2
r
2𝜔𝜖
0
𝜎
电导率越高, 反射系数越接近 1, 因而在微波或无线电波的情形下, 金属的反射系数接近 1
4.6 导体的表面阻抗
金属内部 (垂直入射)
H
′′
0
=
r
𝜎
𝜇
0
𝜔
𝑒
𝑖 𝜋
4
ˆn × E
′′
0
⇒ E
′′
0𝒕
=
r
𝜇
0
𝜔
𝜎
𝑒
−
𝑖 𝜋
4
H
′′
0𝒕
× ˆn
定义导体的表面阻抗
𝜉 ≡
𝐸
′′
0𝑥
𝐻
′′
0𝑦
= (1 −𝑖)
r
𝜇
0
𝜔
2𝜎
≡ 𝜉
′
+𝑖𝜉
′′
平均能量损耗密度
𝑃 =
1
2
𝜎𝐸
′′2
0
∫
∞
0
𝑒
−2𝛼𝑧
𝑑𝑧 =
𝜎𝐸
′′2
0
4𝛼
面电流
𝛼
𝑓
=
∫
∞
0
𝐽𝑑𝑧 = 𝜎𝐸
′′
0
∫
∞
0
𝑒
−𝛼𝑧+𝑖𝛽𝑧
𝑑𝑧 =
𝜎𝐸
′′
0
𝛼 − 𝑖𝛽
=
𝜎𝐸
′′
0
p
𝛼
2
+ 𝛽
2
𝑒
𝑖 𝜋
4
≈
𝜎𝐸
′′
0
√
2𝛼
𝑒
𝑖 𝜋
4
那么能量损耗密度
𝑃 =
𝜎𝐸
′′2
0
4𝛼
=
𝛼
2𝜎
𝛼
2
𝑓
=
1
2
r
𝜇
0
𝜔
2𝜎
=
1
2
𝜉
′
𝛼
2
𝑓
5 谐振腔
5.1 理想导体边界条件
定态情况下, 散度方程是冗余的
∇ × E = −
𝜕B
𝜕𝑡
= 𝑖𝜔B
∇ × H =
𝜕D
𝜕𝑡
+ J = −𝑖𝜔D +J
边界条件
ˆn
1
× (E
2
− E
1
) = 0
ˆn
1
× (H
2
− H
1
) = α
理想导体边界条件 (内部磁场为零)
ˆn × E = 0
ˆn × H = α
5.2 导体边界的电磁波方程
对真空 (均匀介质) 定态电磁波方程
∇
2
E + 𝑘
2
E = 0, ∇ · E = 0, 𝑘
2
≡ 𝜔
2
𝜖 𝜇
导体边界条件 (平面边界)
𝐸
||
= 0,
𝜕𝐸
𝑛
𝜕𝑛
= 0
这是因为 ∇ · E = 0, 其他物理量有
B = −
𝑖
𝜔
∇ × E , H =
1
𝜇
B, D = 𝜖E, α = ˆn × H, 𝜎 = ˆn × D
5.3 矩形谐振电磁波模
直角坐标, 电磁和磁场任一分量满足
∇
2
𝑢 + 𝑘
2
𝑢 = 0, 𝑘
2
≡ 𝜔
2
𝜖 𝜇
分量变量, 令 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑋 (𝑥)𝑌 (𝑦)𝑍 (𝑧), 得到
d
2
𝑋
d𝑥
2
+ 𝑘
2
𝑥
𝑋 = 0
d
2
𝑌
d𝑦
2
+
𝑘
2
𝑦
𝑌
=
0
d
2
𝑍
d 𝑧
2
+ 𝑘
2
𝑧
𝑍 = 0
, 𝑘
2
𝑥
+ 𝑘
2
𝑦
+ 𝑘
2
𝑧
= 𝑘
2
通解为
𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝐶
1
cos 𝑘
𝑥
𝑥 + 𝐷
1
sin 𝑘
𝑥
𝑥) × (𝐶
2
cos 𝑘
𝑦
𝑦 + 𝐷
2
sin 𝑘
𝑦
𝑦) × (𝐶
3
cos 𝑘
𝑧
𝑧 + 𝐷
3
sin 𝑘
𝑧
𝑧)
5.4 矩形谐振腔驻波解
𝜕𝐸
𝑥
𝜕𝑥
𝑥=0
= 0, 𝐸
𝑥
|
𝑦=0
= 0, 𝐸
𝑥
|
𝑧=0
= 0
𝐸
𝑦
|
𝑥=0
= 0,
𝜕𝐸
𝑦
𝜕𝑦
𝑦=0
= 0, 𝐸
𝑦
|
𝑧=0
= 0
𝐸
𝑧
|
𝑥=0
= 0, 𝐸
𝑧
|
𝑦=0
= 0,
𝜕𝐸
𝑧
𝜕𝑧
|
𝑧=0
= 0
那么
𝐸
𝑥
= 𝐴
1
cos 𝑘
𝑥
𝑥 sin 𝑘
𝑦
𝑦 sin 𝑘
𝑧
𝑧
𝐸
𝑦
= 𝐴
2
sin 𝑘
𝑥
𝑥 cos 𝑘
𝑦
𝑦 sin 𝑘
𝑧
𝑧
𝐸
𝑧
= 𝐴
3
sin 𝑘
𝑥
𝑥 sin 𝑘
𝑦
𝑦 cos 𝑘
𝑧
𝑧
𝜕𝐸
𝑥
𝜕𝑥
𝑥=𝐿
1
= 0, 𝐸
𝑥
|
𝑦=𝐿
2
= 0, 𝐸
𝑥
|
𝑧=𝐿
3
= 0
𝐸
𝑦
|
𝑥=𝐿
1
= 0,
𝜕𝐸
𝑦
𝜕𝑦
𝑦=𝐿
2
= 0, 𝐸
𝑦
|
𝑧
=
𝐿
3
= 0
𝐸
𝑧
|
𝑥=𝐿
1
= 0, 𝐸
𝑧
|
𝑦=𝐿
2
= 0,
𝜕𝐸
𝑧
𝜕𝑧
|
𝑧=𝐿
3
=
0
那么
𝑘
𝑥
=
𝑚𝜋
𝐿
1
, 𝑘
𝑦
=
𝑛𝜋
𝐿
2
, 𝑘
𝑧
=
𝑝𝜋
𝐿
3
, 𝑚, 𝑛, 𝑝 ∈ Z
由电场散度为零 ∇ × E = 0, 得到𝑚, 𝑛, 𝑝 应当相等
5.5 矩形谐振腔波模性质
电场的每一组 𝑚, 𝑛, 𝑝 表示一种本征模式, 本征模式的频率是分立的
𝑓
𝑚𝑛 𝑝
≡
𝜔
𝑚𝑛 𝑝
2𝜋
=
1
2
√
𝜖 𝜇
s
𝑚
𝐿
1
2
+
𝑛
𝐿
2
2
+
𝑝
𝐿
3
2
最低频率设 𝐿
1
, 𝐿
2
≥ 𝐿
3
那么
𝑓
𝑚𝑖𝑛
= 𝑓
110
=
1
2
√
𝜖 𝜇
s
1
𝐿
1
2
+
1
𝐿
2
2
对于每个确定的频率, 有两种独立的偏振模式 (𝑚, 𝑛, 𝑝 有为零除外)
𝑘
𝑥
𝐴
1
+ 𝑘
𝑦
𝐴
2
+ 𝑘
𝑧
𝐴
3
= 0
5.6 矩形波导中的电磁波模
将矩形谐振腔 𝑧 方向开放, 则在该方向上没有限制, 电磁波能量可以传播, 其解应为
𝐸
𝑥
= 𝐴
1
cos 𝑘
𝑥
𝑥 sin 𝑘
𝑦
𝑦𝑒
𝑖𝑘
𝑧
𝑧
𝐸
𝑦
= 𝐴
2
sin 𝑘
𝑥
𝑥 cos 𝑘
𝑦
𝑦𝑒
𝑖𝑘
𝑧
𝑧
𝐸
𝑧
= 𝐴
3
sin 𝑘
𝑥
𝑥 sin 𝑘
𝑦
𝑦𝑒
𝑖𝑘
𝑧
𝑧
由边界条件确定
𝑘
𝑥
𝑥 =
𝑚𝜋
𝑎
, 𝑘
𝑦
=
𝑛𝜋
𝑏
, 𝑚, 𝑛 ∈ Z
波矢满足
𝑘
2
𝑥
+ 𝑘
2
𝑦
+ 𝑘
2
𝑧
= 𝜔
2
𝜖 𝜇, 𝑘
𝑥
𝐴
1
+ 𝑘
𝑦
𝐴
2
−𝑖𝑘
𝑧
𝐴
3
= 0
这些 𝐴 可以为复数, 即各分量之间可以有相位差
5.7 矩形波导中波模截止频率
波导中频率是连续的, 即 𝑘
𝑧
是连续的. 对于特定模式, 存在最小可传播的频率, 即截止频率 (𝑘
2
𝑧
= 0)
𝜔
𝑐,𝑚𝑛
≡
1
√
𝜖 𝜇
q
𝑘
2
𝑥
+ 𝑘
2
𝑦
=
𝜋
√
𝜖 𝜇
r
𝑚
𝑎
2
+
𝑛
𝑏
2
波导中最小可传播的频率为
𝜔
𝑐,𝑚𝑛
≥ 𝜔
𝑐,10
=
𝜋
𝑎
√
𝜖 𝜇
或者
𝜆
𝑐,𝑛𝑚
≤ 𝜆
𝑐,10
= 2𝑎
即自由空间半波长大于波导长边的电磁波不能在其中传播
5.8 TE 和 TM 基本模式
两种独立的偏振模式
1. TE(横电) 模: 电场方向垂直于传播方向,𝐸
𝑧
= 0, 𝐻
𝑧
≠ 0
2. TM(横磁) 模: 磁场方向垂直于传播方向,𝐻
𝑧
= 0, 𝐸
𝑧
≠ 0
对于 TE 模有
𝐴
2
= −
𝑘
𝑥
𝑘
𝑦
𝐴
1
, 𝐴
3
= 0
TM 模有
𝐴
2
=
𝑘
𝑦
𝑘
𝑥
𝐴
1
, 𝐴
3
= −𝑖
𝑘
2
𝑥
+ 𝑘
2
𝑦
𝑘
𝑥
𝑘
𝑧
𝐴
1
在 (𝐴
1
, 𝐴
2
, 𝐴
3
) 空间中, 两矢量正交
TE 模式下 𝐸
𝑧
= 0, 𝐴
3
= 0, 由散度 ∇ · E = 0, 有 𝑘
𝑥
𝐴
1
+ 𝑘
𝑦
𝐴
2
= 0
𝐻
𝑧
=
𝑖
𝜔𝜇
𝜕𝐸
𝑥
𝜕𝑦
−
𝜕𝐸
𝑦
𝜕𝑥
=
𝑖
𝜔𝜇
(𝐴
1
𝑘
𝑦
− 𝐴
2
𝑘
𝑥
) cos(𝑘
𝑥
𝑥) cos(𝑘
𝑦
𝑦)𝑒
𝑖𝑘
𝑧
𝑧
若 𝑘
𝑥
, 𝑘
𝑦
不同时为零,𝐻
𝑧
就不为零
对于 TM 模式 𝐻
𝑧
≠ 0, 𝐴
1
𝑘
𝑦
− 𝐴
2
𝑘
𝑧
= 0, 同时有
5.9 波导中的电磁波色散关系
波导中波的色散关系
𝜔 =
1
√
𝜖 𝜇
q
𝑘
2
𝑥
+ 𝑘
2
𝑦
+ 𝑘
2
𝑧
=
q
𝜔
2
𝑐,𝑚𝑛
+ 𝑘
2
𝑧
𝑐
2
(真空)
相速度大于真空中光速, 群速度小于光速
𝑣
𝑝
=
𝜔
𝑘
𝑧
=
𝑐𝜔
p
𝜔
2
− 𝜔
2
𝑐,𝑚𝑛
𝑐
r
1 −
𝜔
2
𝑐,𝑚𝑛
𝜔
2
> 𝑐
𝑣
𝑔
=
𝜕𝜔
𝜕𝑘
𝑧
=
𝑘
𝑧
𝜔
𝑐
2
=
𝑐
2
𝑣
𝑝
< 𝑐
当频率趋向截止频率时, 群速度趋于零, 相速度趋于无穷
5.10 𝑇 𝐸
10
电磁波模
𝐸
𝑦
= 𝑖
𝜔𝜇𝑎
𝜋
𝐻
0
sin
𝜋𝑥
𝑎
𝑒
𝑖𝑘
𝑧
𝑧
𝐻
𝑧
= −
𝑖
𝜔𝜇
𝜕𝐸
𝑦
𝜕𝑥
= 𝐻
0
cos
𝜋𝑥
𝑎
𝑒
𝑖𝑘
𝑧
𝑧
𝐻
𝑥
=
𝑖
𝜔𝜇
𝜕𝐸
𝑦
𝜕𝑧
= −𝑖
𝑘
𝑧
𝑎
𝜋
𝐻
0
sin
𝜋𝑥
𝑎
𝑒
𝑖𝑘
𝑧
𝑧
𝐻
𝑦
= 0
6 等离子体
等离子体是由大量的带电粒子组成的非束缚态的宏观体系
1. 非束缚性: 异类带电粒子之间相互自由, 等离子体的基本粒子元是正负电荷的粒子而不是其结合体
2. 粒子与磁场的不可分割性: 等离子体中粒子的运动与电磁场 (外场及粒子产生的自洽场) 的运动紧密
耦合, 不可分割
3. 集体效应起主导作用: 等离子体中相互作用的电磁力是长程的
电离气体电离度 > 10
−4
即可认为是等离子体
等离子体按照电子温度 (1000
◦
𝐶, 1𝑒𝑉) 分为低温等离子体和高温等离子体. 低温等离子体分为冷等离子
体 𝑇
𝑒
≠ 𝑇
𝑖
, 𝑇
𝑎
, 和热等离子体 𝑇
𝑒
= 𝑇
𝑖
, 𝑇
𝑎
, 电子温度与原子离子温度并不一定相等
7 德拜 (Debye) 屏蔽现象
在等离子体中引入电场, 经过一定的时间, 等离子体中的电子离子将移动, 屏蔽电场. 屏蔽层厚度称为德拜
长度, 电极引入的电场仅局限在较小尺度的” 鞘层” 中
在等离子体内部, 正负电荷数几乎相等 (准中性)𝑛
𝑖
≈ 𝑛
𝑒
静电势满足 Poisson 方程
∇
2
𝜑 =
𝑒
𝜖
0
(𝑛
𝑒
− 𝑛
𝑖
)
热平衡时电子离子密度满足玻尔兹曼分布
𝑛
𝑒
(X) = 𝑛
𝑒0
𝑒
𝑒𝜑 (X )/𝑘𝑇
𝑒
, 𝑛
𝑖
(X) = 𝑛
𝑖0
𝑒
−𝑒𝜑 (X )/𝑘𝑇
𝑖
, (𝑛
𝑒0
≈ 𝑛
𝑖0
≈ 𝑛
0
)
当
𝑒𝜑
𝑘𝑇
𝑒
<< 1,
𝑘𝜑
𝑘𝑇
𝑖
<< 1
则可以展开
∇
2
𝜑 =
𝑛
0
𝑒
𝜖
0
1 +
𝑒𝜑
𝑘𝑇
𝑒
−
𝑒𝑛
0
𝜖
0
1 −
𝑒𝜑
𝑘𝑇
𝑖
=
𝑛
0
𝑒
2
一维模型 (电极为无限大平板), 解为
𝜑(𝑥) = 𝜑
0
𝑒
−
|
𝑥
|
/𝜆
𝐷
德拜长度为
𝜆
𝐷
≡
𝑛
𝑒0
𝑒
2
𝜖
0
1
𝑘𝑇
𝑒
+
1
𝑘𝑇
𝑖
−1/2
≡
𝜆
−2
𝐷𝑒
+ 𝜆
−2
𝐷𝑖
−1/2
库伦屏蔽势, 点电荷在等离子体中产生的电势分布为
𝜑(𝑥) =
𝑞
4𝜋𝜖
0
𝑟
𝑒
−𝑟 /𝜆
𝐷
点电荷在等离子体中, 电势方程应当为
∇
2
−
1
𝜆
2
𝐷
𝜑 = −
𝑞
𝜖
0
𝛿(r)
验证解 𝜑(𝑟) = 𝜑
0
( 𝑟)𝑒
−𝑟 /𝜆
𝐷
∇
2
𝜑 = ∇
2
(𝜑
0
𝑒
−𝑟 /𝜆
𝐷
) =
= −
𝑞
𝜖
0
𝑒
−𝑟 /𝜆
𝐷
+
2
𝑟𝜆
𝐷
𝜑
0
𝑒
−𝑟 /𝜆
𝐷
+ 𝜑
0
−
2
𝑟𝜆
𝐷
+
1
𝜆
2
𝐷
𝑒
−𝑟 /𝜆
𝐷
那么
∇
2
𝜑 = −
𝑞
𝜖
0
𝛿(r)𝑒
−𝑟 /𝜆
𝐷
+
1
𝜆
2
𝐷
𝜑 = −
𝑞
𝜖
0
𝛿(r) +
1
𝜆
2
𝐷
𝜑
即验证解
1. 通常由于离子响应慢, 离子的动态屏蔽作用可忽略 𝜆
𝐷
= 𝜆
𝐷𝑒
2. 德拜长度是等离子体保持准电中性的最小尺度
3. 德拜长度也是集体效应起主要作用的最小尺度
8 等离子体的流体吗描述
冷 (热压力为零) 等离子体流体运动方程
𝑚
𝛼
du
α
d𝑡
= 𝑚𝛼
𝜕u
α
𝜕𝑡
+ (u
α
· ∇)u
α
= 𝑞
𝛼
(E + u
α
× B)
流体连续性方程
𝜕u
α
𝜕𝑡
+ ∇ · (𝑛
𝛼
u
α
) = 0
其中 𝛼 = 𝑒, 𝑖, 流体分为电子流体和离子流体
电荷电流密度
𝜌 =
Õ
𝑛
𝛼
𝑞
𝛼
= 𝑒(𝑛
𝑖
− 𝑛
𝑒
), J =
Õ
𝑛
𝛼
𝑞
𝛼
u
α
= 𝑒(𝑛
𝑖
u
i
− 𝑛
𝑒
u
e
)
麦克斯韦方程组
∇ × E = −
𝜕B
𝜕𝑡
, ∇ · E =
𝜌
𝜖
0
, ∇ × B = 𝜇
0
J + 𝜇
0
𝜖
0
𝜕E
𝜕𝑡
, ∇ · B = 0
9 线性波的小扰动量方程
若考虑系统各物理量是在平衡量的基础上加上小扰动量, 如对速度
u
α
= u
𝜶0
+ u
𝜶1
当扰动量充分小时, 扰动量满足的方程就变为线性方程. 取 u
𝜶0
= 0, 那么
𝑚
𝛼
𝜕u
𝜶1
𝜕𝑡
= 𝑞
𝛼
(E
1
+ u
𝜶1
× B
0
),
𝜕𝑛
𝛼1
𝜕𝑡
+ ∇ · (𝑛
𝛼0
u
𝜶1
) = 0
𝜌
1
=
Õ
𝑛
𝛼1
𝑞
𝛼
, J
1
=
Õ
𝑛
𝛼0
𝑞
𝛼
u
𝜶1
麦克斯韦方程是线性方程, 因而
∇ × E
1
= −
𝜕B
1
𝜕𝑡
, ∇ · E
1
=
𝜌
1
𝜖
0
, ∇ × B
1
= 𝜇
0
J
1
+ 𝜇
0
𝜖
0
𝜕E
1
𝜕𝑡
, ∇ · B
1
= 0
10
非磁化等离子体中本征波动模式
对平面波的扰动形式, 扰动量时空变化形式为
𝑒
𝑖 (k·x−𝜔𝑡 )
,
𝜕
𝜕𝑡
→ −𝑖𝜔, ∇ → 𝑖k
那么方程变为
u
𝜶1
=
𝑖𝑞
𝛼
𝜔𝑚
𝛼
E
1
, 𝜔𝑛
𝛼1
= 𝑛
𝛼0
k · u
𝜶1
J
1
=
Õ
𝛼=𝑒,𝑖
𝑞
𝛼
𝑛
𝛼0
u
𝜶1
= 𝑖
Õ
𝛼=𝑒,𝑖
𝑛
𝛼0
𝑞
2
𝛼
𝜔𝑚
𝛼
E
1
≡ 𝑖𝜖
0
Õ
𝛼=𝑒,𝑖
𝜔
2
𝑝 𝛼
𝜔
E
1
≡ 𝑖𝜖
0
𝜔
2
𝑝
𝜔
E
1
≡ 𝜎E
1
...... 化为关于 E
1
的方程
𝑐
2
k × (k × E
1
) = (𝜔
2
𝑝
− 𝜔
2
)E
1
朗缪尔震荡, 纵波模 k × E
1
= 0, 有色散关系
𝜔
=
𝜔
𝑝
≈
𝜔
𝑝𝑒
静电震荡模式
𝜔B
1
= k × E
1
= 0
电子响应为主
u
𝒆1
= −
𝑚
𝑖
𝑚
𝑒
u
𝒊1
无耗散 (
𝜋
2
相位差, 不做功)
u
𝜶1
=
𝑖𝑞
𝛼
𝜔𝑚
𝛼
E
1
电磁波模, 横波模 k · E = 0, 色散关系为
𝜔
2
= 𝜔
2
𝑝𝑒
+ 𝑘
2
𝑐
2
电磁波横波模式
k · B
1
= 0, k · E
1
= 0
将等离子体看作介质, 其折射率为
𝑛 ≡
𝑘𝑐
𝜔
=
s
1 −
𝜔
2
𝑝𝑒
𝜔
2
存在截至频率
𝜔
𝑐
= 𝜔
𝑝𝑒
由此得到其响应的最小时间尺度
𝜏
𝑝
=
1
𝜔
𝑝𝑒
11 无线电波在电离层的反射
截止层
𝑓 = 𝑓
𝑐
= 9
√
𝑛
𝑒
12 磁化等离子体中波动模式
Alfen 波: 低频波, 等离子体与磁场冻结在一起, 相当于弹性介质
𝜔
𝑘
= 𝑉
𝐴
≡
s
𝐵
2
𝜇
0
𝑚
𝑖
𝑛
0
平行于磁场传播的波: 左旋偏振波, 右旋偏振波
垂直于磁场传播的波: 寻常波, 异常波
13 高斯光束
最简单的有限截面传播的电磁波束具有的特征. 电磁波场的形式可以设为
𝑢(𝑟, 𝜃, 𝑧) = 𝑔(𝑧)𝑒
− 𝑓 (𝑧)𝑟
2
𝑒
𝑖𝑘𝑧
14 高斯光束电磁波解
柱坐标轴对称下的 Helmholtz 方程
𝜕
2
𝑢
𝜕𝑟
2
+
1
𝑟
𝜕𝑢
𝜕𝑟
+
𝜕
2
𝑢
𝜕𝑧
2
+ 𝑘
2
𝑢 = 0
将假设的解代入, 保留一阶微分得到
2 𝑓
2
𝑔 − 𝑖𝑘𝑔
d 𝑓
d 𝑧
𝑟
2
+
−2 𝑓 𝑔 +𝑖𝑘
d𝑔
d 𝑧
= 0
那么两个系数都为零
2 𝑓
2
𝑔 − 𝑖𝑘𝑔
d 𝑓
d 𝑧
= 0, −2 𝑓 𝑔 + 𝑖𝑘
d𝑔
d 𝑧
= 0
解为
𝑓 (𝑧) =
1
𝜔
2
0
+
2𝑖𝑧
𝑘
, 𝑔(𝑧) =
𝑢
0
1
+
2𝑖𝑧
𝑘𝜔
2
0
那么高斯光束的解为
𝑢(𝑟, 𝑧) = 𝑢
0
𝜔
0
𝜔
𝑒
−𝑟
2
/𝜔
2
𝑒
𝑖𝜓
其中
𝜓 ≡ 𝑘𝑧 +
𝑘𝑟
2
/2 𝑧
1 + (𝑘𝜔
2
0
/2 𝑧)
2
− tan
−1
2 𝑧
𝑘𝜔
2
0
, 𝜔
2
(𝑧) ≡ 𝜔
2
0
1 +
2 𝑧
𝑘𝜔
2
0
𝑤(𝑧 ) 表示了光束的横向宽度, 在 𝑧 = 0 处最小, 称为束腰. 束腰尺寸 𝑤
0
是高斯光束唯一的几何特征
束宽度呈双曲型型
𝑤
2
−
2
𝑘𝜔
0
2
𝑧
2
= 𝜔
2
0
振幅与束宽度呈反比, 束腰处光强最大
在远场情况下 𝑧 >> 𝑘𝜔
2
0
, 波束的发散角 (双曲线的渐近线)
𝜃 = tan
−1
2
𝑘𝜔
0
≈
2
𝑘𝜔
0
波阵面:𝜓 为常数的面, 束腰所在的波阵面为平面, 远场处波阵面趋于以束腰中心为球心的球面
远场时 𝑧 >> 𝑘𝜔
2
0
𝜓 ≈ 𝑘𝑧 +
𝑘𝑟
2
2 𝑧
−
𝜋
2
= 𝑐
𝑘𝑧 +
𝑘𝑟
2
2 𝑧
−
𝜋
2
= 𝑘 𝑧
1 +
𝑟
2
2 𝑧
2
≈ 𝑘 𝑧
s
1 +
𝑟
2
𝑧
2
= 𝑘
p
𝑟
2
+ 𝑧
2
