1 电磁波衍射
衍射现象: 电磁波通过障碍物或小孔后传播方向发生偏离
电磁波是矢量场, 各分量满足波动方程
(∇
2
+ 𝑘
2
)(E, B, A, 𝜑) = 0
各分量之间有相互制约的关系
∇ · E = 0, ∇ · B = 0, ∇ · A +
1
𝑐
2
𝜕𝜑
𝜕𝑡
= 0
边界条件各分量一般是耦合的
2 基尔霍夫 Kirchho 公式
标量场近似, 场的任一分量
∇
2
𝜓 + 𝑘
2
𝜓 = 0
球面波是点源 Helmholtz 方程的解
𝐺 (x, x
′
) =
𝑒
𝑖𝑘𝑟
𝑟
, (∇
2
+ 𝑘
2
)𝐺 (x, x
′
) = −4𝜋𝛿(x − x
′
)
格林公式
𝑉
[𝜓∇
′2
𝐺 − 𝐺∇
′2
𝜓]d𝑉
′
+
𝑆
[𝜓∇
′
𝐺 − 𝐺∇
′
𝜓] · dS
′
左边为
𝑉
=
−4𝜋𝛿(x − x
′
)
− 𝑘
2
𝐺 (x, x
′
)𝜓(x
′
) − 𝐺 (x, x
′
)∇
′2
𝜓
d𝑉
′
右边为
𝑆
[𝜓∇
′
𝐺 − 𝐺∇
′
𝜓] · dS
′
因而
−4𝜋𝜓(x) =
𝑆
𝑒
𝑖𝑘𝑟
𝑟
1
𝑟
− 𝑖𝑘
r
𝑟
𝜓 − ∇
′
𝜓
· dS
′
得到基尔霍夫公式
𝜓(x) = −
1
4𝜋
𝑆
𝑒
𝑖𝑘𝑟
𝑟
1
𝑟
− 𝑖𝑘
r
𝑟
𝜓 − ∇
′
𝜓
· dS
′
区域内任一一点的场都可以用表面场值表示
惠更斯原理: 波前上任一点的波动都可以看作是由波前上各点的波源发出的球面波叠加而成
3 小孔衍射
在无穷远的半无限大平面上
1
𝑟
− 𝑖𝑘
r
𝑟
𝜓 − ∇
′
𝜓
· ˆn =
1
𝑟
− 𝑖𝑘
r · ˆn
𝑟
𝜓 −
1
𝑟
′
− 𝑖𝑘
𝜓 ∼ 𝑟
−2
球面波 ∼ 𝑟
−1
, 半无限大的积分 ∼ 𝑟
2
, 因而积分结果
𝜓 ∼ 𝑟
−1
认为其为零
