1 质点分裂
在质心系描述该过程. 由动量守恒, 分裂后两质点动量之和为零. 有能量守恒定律
𝐸
𝑖𝑛𝑡
= 𝐸
1𝑖𝑛𝑡
+
𝑝
2
0
2𝑚
1
+ 𝐸
2𝑖𝑛𝑡
+
𝑝
2
0
2𝑚
2
可以定义分裂能
𝜖 = 𝐸
𝑖𝑛𝑡
− 𝐸
1𝑖𝑛𝑡
− 𝐸
2𝑖𝑛𝑡
结合上式就有
𝜖
𝑝
2
0
2𝑚
进而就能确定分裂后两个质点的速度
若不取质心系, 设分裂前质点以
®
𝑉 相对某参考系运动, 记为 𝐿, 记质心系为 𝐶,®𝑣, ®𝑣
0
分别是相对 𝐿 与 𝐶 的
速度, 那么就有关系
®𝑣 −
®
𝑉 = ®𝑣
0
可得
𝑣
2
+ 𝑉
2
− 2𝑣𝑉 cos 𝜃 = 𝑣
2
0
其中 𝜃 为质点相对
®
𝑉 飞出的角度. 借助几何关系可以给出, 当 𝑉 < 𝑣
0
时, 质点可以以任意角度飞出; 当
𝑉 > 𝑣
0
时, 质点只能向前飞出, 且角度最大值有
sin 𝜃
𝑚𝑎 𝑥
=
𝑣
0
𝑉
在 𝐿, 𝐶 中飞出的角度 𝜃, 𝜃
0
有如下关系
tan 𝜃 =
𝑣
0
sin 𝜃
0
𝑣
0
cos 𝜃
0
+ 𝑉
解之, 得到
cos 𝜃
0
= −
𝑉
𝑣
0
sin
2
𝜃 ± cos 𝜃
s
1 −
𝑉
2
𝑣
2
0
sin
2
𝜃
当 𝑉 < 𝑣
0
时一一对应, 取
0
+
0
;𝑉 > 𝑣
0
时不是一一对应的
假定分裂后有很多相同质点, 原始质点在空间中运动方向是随机的, 那么在质心系中, 所有分裂后的质点
具有相同的能量, 飞出方向的分布是各向同性的
那么进入立体角微元 𝑑𝑂
0
= 2𝜋 sin 𝜃
0
𝑑𝜃
0
的质点数所占的比例正比于该微元的大小
𝑑𝑂
0
4𝜋
=
1
2
sin 𝜃
0
𝑑𝜃
0
转换到 𝐿 系: 由 𝑣
2
= 𝑣
2
0
+ 𝑉
2
+ 2𝑣
0
𝑉 cos 𝜃
0
可得
𝑑 cos 𝜃
𝑑(𝑣
2
)
2𝑣
0
𝑉
再由动能表达式, 代入上式即可得到动能的分布
𝑑𝑇
2𝑚𝑣
0
𝑉
也就是说, 动能在
𝑚
2
(𝑣
0
− 𝑉)
2
到
𝑚
2
(𝑣
0
+ 𝑉)
2
均匀分布
分裂为多个质点后, 每个质点的速度不再确定, 但动能存在上限. 将一个质点 (𝑚
1
) 外的所有质点看作一个
系统, 其内能记为 𝐸
0
𝑖𝑛𝑡
, 则有
𝑇
1
=
𝑝
2
0
2𝑚
1
=
𝑀 − 𝑚
1
𝑀
(𝐸
𝑖𝑛𝑡
− 𝐸
1𝑖𝑛𝑡
− 𝐸
0
𝑖𝑛𝑡
)
当 𝐸
0
𝑖𝑛𝑡
取最小值时 𝑇
1
取最大值, 即其他质点速度相同时, 就有
𝑇
1𝑚𝑎𝑥
=
𝑀 − 𝑚
1
𝑀
𝜖
2 质点弹性碰撞
2.1 两动相碰
不改变质点内部状态的碰撞称为弹性碰撞, 在应用能量守恒定律时可以不考虑质点的内能
取质心系, 则有
®𝑣
10
=
𝑚
2
𝑚
1
+ 𝑚
2
®𝑣, ®𝑣
20
= −
𝑚
1
𝑚
1
+ 𝑚
2
®𝑣
其中
®𝑣 = ®𝑣
1
− ®𝑣
2
由动量守恒定律和能量守恒定律, 在质心系下碰撞的效果仅仅是旋转了速度
®𝑣
0
10
=
𝑚
2
𝑚
1
+ 𝑚
2
𝑣 ®𝑛
0
, ®𝑣
0
20
= −
𝑚
1
𝑚
1
+ 𝑚
2
𝑣 ®𝑛
0
其中 𝑛
0
的方向无从得知
2.2 一动碰一静
质点 1 碰质点 2, 设 𝜃
1
, 𝜃
2
分别为质点 12 碰后偏离碰撞方向的角度,𝜒 为质点 1 在质心系中偏移的角度,
那么几何上就有
tan 𝜃
1
=
𝑚
2
sin 𝜒
𝑚
1
+ 𝑚
2
cos 𝜒
, 𝜃
2
=
𝜋 − 𝜒
2
𝑣
0
1
=
p
𝑚
2
1
+ 𝑚
2
2
+ 2𝑚
1
𝑚
2
cos 𝜒
𝑚
1
+ 𝑚
2
, 𝑣
2
2𝑚
1
𝑣
𝑚
1
+ 𝑚
2
sin
𝜒
2
对于两质点速度的夹角 𝜃
1
+ 𝜃
2
, 当 𝑚
1
< 𝑚
2
时 >
𝜋
2
,𝑚
1
> 𝑚
2
时 <
𝜋
2
若两个质点沿一条直线运动则有 𝜒 = 𝜋, 此时 𝑣
0
2
取最大可能值
当 𝑚
1
< 𝑚
2
时, 第一个质点的速度可以沿任意方向;𝑚
1
> 𝑚
2
时,𝜃
1
由最大值
sin 𝜃
1𝑚𝑎𝑥
=
𝑚
2
𝑚
1
若两个质点质量相同, 就有
𝜃
1
=
𝜒
2
, 𝜃
2
=
𝜋 − 𝜒
2
𝑣
0
1
= 𝑣 cos
𝜒
2
, 𝑣
0
2
= 𝑣 sin
𝜒
2
碰撞后两个质点飞出方向互相垂直
3 质点散射
研究一个质量为 𝑚 的质点在中心静止的力场 𝑈 (𝑟) 中偏转的问题
由对称性, 质点在有心力场中的轨道相对于过中心和轨道近心点的直线对称, 故轨道的两条渐近线与该直
线的夹角相同, 记为 𝜑
0
, 则质点偏转角为
𝜒 =
|
𝜋 − 2𝜑
0
|
𝜑
0
可以由以下积分确定
𝜑
0
=
∫
∞
𝑟
𝑚𝑖𝑛
(𝑀/𝑟
2
)𝑑𝑟
p
2𝑚[𝐸 − 𝑈(𝑟)] − 𝑀
2
/𝑟
2
利用瞄准距离 𝜌 与无穷远速度 𝑣
∞
, 能量和角动量可以表示为
𝐸 =
𝑚𝑣∞
2
2
, 𝑀 = 𝑚𝜌𝑣
∞
那么上述积分化为
𝜑
0
=
∫
∞
𝑟
𝑚𝑖𝑛
(𝜌/𝑟
2
)𝑑𝑟
p
1 − 𝜌
2
/𝑟
2
− 2𝑈/𝑚𝑣
2
∞
考虑一束质点在场中的散射问题. 用 𝑑𝑁 表示单位时间内偏转角在 𝜒 和 𝜒 + 𝑑𝜒 之间的散射质点数, 引入
比值
𝑑𝜎 =
𝑑𝑁
𝑑𝑛
其中 𝑛 是单位时间内通过质点束单位横截面积上的质点数. 该比值有面积量纲, 称为有效散射截面, 完全
由散射场的形式决定
假定 𝜒 与 𝜌 之间的关系是一一对应的, 那么 𝜌( 𝜒), 𝜌( 𝜒) + 𝑑𝜌( 𝜒) 之间的质点散射为一圆环
𝑑𝜎 = 2𝜋𝜌𝑑𝜌
做变换
𝑑𝜌 = 2𝜋𝜌(𝜒)
𝑑 𝜌( 𝜒)
𝑑𝜒
𝑑𝜒
代入两锥体之间的立体角元 𝑑𝑜 = 2𝜋 sin 𝜒𝑑𝜒
𝑑𝜎 =
𝜌( 𝜒)
sin 𝜒
𝑑𝜌
𝑑𝜒
𝑑𝑜
4 卢瑟福公式
考虑带电粒子在库伦场中的散射
对于库伦场
𝑈 =
𝛼
𝑟
代入积分得到
𝜑
0
= arccos
𝛼
𝑚𝑣
2
∞
𝜌
s
1 +
𝛼
𝑚𝑣
2
∞
𝜌
2
那么就得到
𝜌
2
=
𝛼
2
𝑚
2
𝑣
4
∞
tan
2
𝜑
0
代入 𝜑
0
=
𝜋 − 𝜒
2
𝜌
2
=
𝛼
2
𝑚
2
𝑣
4
∞
cot
2
𝜒
2
求导, 代入有效截面公式得到
𝑑𝜎 = 𝜋
𝛼
𝑚𝑣
2
∞
2
cos
𝜒
2
sin
3
𝜒
2
𝑑𝜒 =
𝛼
2𝑚𝑣
2
∞
2
𝑑𝑜
sin
4
𝜒
2
称为卢瑟福公式
变换至实验室参考系 (?) 且待下回分解
5 小角度散射
考虑瞄准距离很大, 场 𝑈 很弱的碰撞, 偏转角很小, 可以直接在实验室参考系中计算. 取 𝑥 轴为 𝑚
1
的初
始动量方向,𝑥𝑦 平面为散射平面, ®𝑝
0
为散射后质点的动量, 则有
sin 𝜃
1
=
𝑝
0
1𝑦
𝑝
0
1
认为 𝜃
1
很小, 那么就有
𝜃
1
≈
𝑝
0
1𝑦
𝑚
1
𝑣
∞
又有
¤𝑝
𝑦
= 𝐹
𝑦
𝑦 方向动量变化
𝑝
0
1𝑦
=
∫
∞
−∞
𝐹
𝑦
𝑑𝑡
对于力有
𝐹
𝑦
= −
𝜕𝑈
𝜕𝑦
= −
𝑑𝑈
𝑑𝑦
𝜕𝑟
𝜕𝑦
= −
𝑑𝑈
𝑑𝑟
𝑦
𝑟
近似认为质点完全没有偏离初始路径, 即
𝑑𝑡 =
𝑑𝑥
𝑣
∞
代入可得
𝑝
0
1𝑦
= −
𝜌
𝑣
∞
∫
∞
−∞
𝑑𝑈
𝑑𝑟
𝑑𝑥
𝑟
对于直线轨道, 有变换
𝑑𝑥 =
𝑟𝑑𝑟
p
𝑟
2
− 𝜌
2
得到散射角为
𝜃
1
= −
2𝜌
𝑚
1
𝑣
2
∞
∫
∞
𝜌
𝑑𝑈
𝑑𝑟
𝑑𝑟
p
𝑟
2
− 𝜌
2
将有效截面公式中的 𝜒 换为 𝜃
1
,sin 𝜃
1
换为 𝜃
1
得到
𝑑𝜎 =
𝑑𝑝
𝑑𝜃
1
𝜌(𝜃
1
)
𝜃
1
𝑑𝑜
1
