相对论
目录
1 四维坐标与度规 2
1.1 四维坐标与度规 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 施瓦西度规 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 拉格朗日量 3
2.1 自由粒子的运动方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 四维速度与拉格朗日量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3 四维动量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3 能量 5
4 电磁场 5
5 广义相对论 7
5.1 弯曲时空中的哈密顿原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1
1 四维坐标与度规
1.1 四维坐标与度规
定义四维坐标为
𝑐𝑡
𝑥
𝑦
𝑧
度规即为四维时空中距离与坐标的关系, 即定义了一个内积
𝑑
=
𝑥
𝑇
1
𝐺𝑥
2
在平直的四维时空中有
𝐺 =
−1
1
1
1
记为 𝜂
𝜇𝜈
. 于是就可以将四维时空中的 𝑑𝑠 用爱因斯坦求和记号表示
𝑑𝑠
2
= 𝜂
𝜇𝜈
𝑑𝑥
𝜇
𝑑𝑥𝜈 =
3
𝜇=0
3
𝜈=0
𝜂
𝜇𝜈
𝑑𝑥
𝜇
𝑑𝑥
𝜈
其中 𝑥
𝜇
和 𝑥
𝜈
分别表示坐标向量 𝑥 的第 𝜇 维与第 𝜈 维
1.2 施瓦西度规
𝑑𝑠
2
= −𝑐
2
1 −
2𝐺 𝑀
𝑐
2
𝑟
𝑑𝑡
2
+
1 −
2𝐺 𝑀
𝑐
2
𝑟
𝑑𝑟
2
+𝑟
2
𝑑
2
𝜃 +𝑟
2
sin 𝜃𝜙
2
弱场下
𝑆 = −𝑚𝑐
−𝑔
𝜇𝜈
𝑑𝑥
𝜇
𝑑𝑥𝜈 =
𝐿𝑑𝑡
有
𝑟
𝑐
2
<< 1,
𝐺 𝑀
𝑐
2
𝑟
<< 1
得到
𝑆 =
𝑑𝑡 (𝑇
𝑉
), 𝑉 = −
𝐺 𝑀𝑚
𝑟
2 拉格朗日量
2.1 自由粒子的运动方程
希望拉格朗日量具有” 旋转” 不变性, 即
|
𝑑𝑠
|
, 于是猜测
𝑆 ∼
|
𝑑𝑠
|
=
√
−𝑑𝑠
2
再根据量纲
𝑆
=
𝐿𝑑𝑡
=
|
𝐸
| |
𝑡
|
=
|
𝑀
| |
𝐿
|
2
|
𝑡
|
−1
于是得到
𝑆
=
−
𝑚𝑐
√
−𝑑𝑠
2
代入 𝑑𝑠 表达式得到
𝑆
=
−
𝑚𝑐
−
𝜂
𝜇𝜈
𝑑𝑥
𝜇
𝑑𝑥
𝜈
=
−
𝑚𝑐
𝑑𝜏
−
𝜂
𝜇𝜈
𝑑𝑥
𝜇
𝑑𝜏
𝑑𝑥
𝜈
𝑑𝜏
其中 𝜏 为本征时间, 定义为 𝑑𝑠
2
≡ −𝑐
2
𝑑𝜏
2
对 𝑆 变分 (系数 2 来自对平方项求导)
𝛿𝑆 = −𝑚𝑐
𝑑𝜏𝛿
−𝜂
𝜇𝜈
𝑑𝑥
𝜇
𝑑𝜏
𝑑𝑥
𝜈
𝑑𝜏
= −
1
2
𝑚𝑐
1
−𝜂
𝜇𝜈
𝑑𝑥
𝜇
𝑑𝜏
𝑑𝑥
𝜈
𝑑𝜏
𝑑𝜏𝛿
−𝜂
𝜇𝜈
𝑑𝑥
𝜇
𝑑𝜏
𝑑𝑥
𝜈
𝑑𝜏
=
𝑚
2
𝑑𝜏𝜂
𝜇𝜈
· 2 𝛿
𝑑𝑥
𝜇
𝑑𝜏
𝑑𝑥
𝜈
𝑑𝜏
= 𝑚
𝑑𝜏𝜂
𝜇𝜈
𝑑𝛿𝑥
𝜇
𝑑𝜏
𝑑𝛿𝑥
𝜈
𝑑𝜏
= 𝑚
𝑑𝜏 ·
𝑑
𝑑𝜏
𝜂
𝜇𝜈
𝑑𝑥
𝜈
𝑑𝜏
𝛿𝑥
𝜇
− 𝑚
𝑑𝜏
𝑑
𝑑𝜏
𝜂
𝜇𝜈
𝑑𝑥
𝜈
𝑑𝜏
𝛿𝑥
𝜇
= 0
由于是固定端点的变分, 前一项可以直接积出得到为零; 而对于第二项, 由于 𝛿𝑥
𝜇
的任意性, 得到积分号
内部为零, 即
𝑑
𝑑𝜏
𝜂
𝜇𝜈
𝑑𝑥
𝜈
𝑑𝜏
= 0
于是
𝑑
2
𝑥
𝜇
𝑑𝜏
2
= 0
其中
𝑥
𝜇
= 𝜂
𝜇𝜈
𝑥
𝜈
=
−𝑐𝑡
𝑥
𝑦
𝑧
于是得到了四维时空中的自由粒子的运动方程: 一条直线
2.2 四维速度与拉格朗日量
若定义四维速度为
𝑈
𝜇
=
𝑑𝑥
𝜇
𝑑𝜏
则有
𝑑𝑠
2
= 𝜂
𝜇𝜈
𝑈
𝜇
𝑈
𝜈
𝑑𝜏
2
⇒ 𝜂
𝜇𝜈
𝑈
𝜈
𝑈
𝜇
=
𝑑𝑠
2
𝑑𝜏
2
= −𝑐
2
于是就有
𝑐
2
𝑑𝜏
2
= −𝜂
𝜇𝜈
𝑑𝑥
𝜇
𝑑𝑥
𝜈
= 𝑐
2
𝑑𝑡
2
− 𝑑𝑥
2
− 𝑑𝑦
2
− 𝑑𝑧
2
≡ 𝑐
2
𝑑𝑡
2
1 −
𝑣
2
𝑐
2
于是
𝑑𝜏
𝑑𝑡
=
1 −
𝑣
2
𝑐
2
那么就能得到狭义相对论下的拉格朗日量
𝑆 = −𝑚𝑐
|
𝑑𝑠
|
= −𝑚𝑐
2
𝑑𝜏 = −𝑚𝑐
2
𝑑𝑡
1 −
𝑣
2
𝑐
2
𝐿 = −𝑚𝑐
2
1 −
𝑣
2
𝑐
2
当
𝑣
𝑐
<< 1 时
𝑆 = −𝑚𝑐
2
𝑑𝑡
1 −
1
2
𝑣
2
𝑐
2
−
1
8
𝑣
4
𝑐
4
...
忽略小量及常数得到
𝑆 =
𝑑𝑡
1
2
𝑚𝑣
2
与低速状况下的拉氏量相同
2.3 四维动量
同样地可以定义四维动量 𝑝
𝜇
第 0 维为
𝑝
0
= 𝑚𝑢
0
=
𝑚𝑑𝑥
0
𝑑𝜏
=
𝑚𝑐
1 −
𝑣
2
𝑐
2
=
𝐸
𝑐
三维意义下的动量为
𝑝
𝑖
= 𝑚
𝑑𝑥
𝑖
𝑑𝜏
=
𝑚𝑣
𝑖
1 −
𝑣
2
𝑐
2
四维动量即为
𝑝
𝜇
= (𝑝
0
, 𝑝
𝑖
)
由四维速度得到四维动量是归一化的
𝜂
𝜇𝜈
𝑝
𝜇
𝑝
𝜈
= −𝑚
2
𝑐
2
将其展开得到
𝜂
𝜇𝜈
𝑝
𝜇
𝑝
𝜈
= −
𝐸
𝑐
+
𝑝
𝑖
2
= −𝑚
2
𝑐
2
得到动量和能量的关系
𝐸
2
= 𝑝
2
𝑐
2
+ 𝑚
2
𝑐
4
3 能量
能量定义为
𝐸 = 𝑝 ¤𝑞 − 𝐿, 𝑝 =
𝜕𝐿
𝜕 ¤𝑞
, ¤𝑞 =
𝑑
𝑑𝑡
𝑞
有
𝑆 = −𝑚𝑐
|
𝑑𝑠
|
= −𝑚𝑐
2
𝑑𝑡
1 −
𝑣
2
𝑐
2
=
𝐿𝑑𝑡
那么
𝑝
𝑖
=
𝑚𝑣
1 −
𝑣
2
𝑐
2
所以
𝐸 =
𝜕𝐿
𝜕𝑣
𝑖
𝑣
𝑖
− 𝐿
= ®𝑝 · ®𝑣 − 𝐿
=
𝑚𝑐
2
1 −
𝑣
2
𝑐
2
= 𝛾𝑚𝑐
2
4 电磁场
电磁场在狭义相对论中可以用一个四维矢量描述
𝐴
𝜇
希望找到不随时空转动改变的量作为作用量-矢量内积
𝜂
𝜇𝜈
𝐴
𝜇
𝑢
𝜈
猜测将自由粒子的作用量加上一项
𝑑𝜏𝜂
𝜇𝜈
𝐴
𝜇
𝑢
𝜈
即
𝐶
𝜂
𝜇𝜈
𝐴
𝜇
𝑑𝑥
𝜈
令其变分 𝛿𝑆
1
为零, 得到
𝛿𝑆
1
=
𝜂
𝜇𝜈
𝛿
(
𝐴
𝜇
(𝑥)𝑑𝑥
𝜈
)
=
𝜂
𝜇𝜈
𝜕 𝐴
𝜇
𝜕𝑥
𝜌
𝛿𝑥
𝜌
𝑑𝑥
𝜈
− 𝑑𝐴
𝜇
(𝑥)𝛿𝑥
𝜈
=
𝜂
𝜇𝜈
𝜕 𝐴
𝜇
𝜕𝑥
𝜌
𝛿𝑥
𝜌
𝑑𝑥
𝜈
− 𝜂
𝜇𝜈
𝜕 𝐴
𝜇
𝜕𝑥
𝜈
𝑑𝑥
𝜈
𝛿𝑥
𝜌
定义
𝜂
𝜈𝜇
𝐴
𝜈
= 𝐴
𝜈
于是上式为
𝛿𝑆
1
=
𝜕 𝐴
𝜈
𝜕𝑥
𝜌
−
𝜕 𝐴
𝜌
𝜕𝑥
𝜈
𝑑𝑥
𝜈
𝑑𝑥
𝜌
≡
𝐹
𝜇𝜈
(𝑥)𝑑𝑥
𝜈
𝛿𝑥
𝜇
于是
𝛿𝑆 = −𝑚
𝑑𝜏
𝑑
2
𝑥
𝜇
𝑑𝜏
2
𝛿𝑥
𝜇
+
𝑒
𝑐
𝑑𝜏𝐹
𝜇𝜈
𝑑𝑥
𝜈
𝑑𝜏
𝛿𝑥
𝜈
𝛿𝑆 = 0 即
𝑚
𝑑
2
𝑥
𝜇
𝑑𝜏
2
=
𝑒
𝑐
𝐹
𝜇𝜈
𝑑𝑥
2
𝑑𝜏
定义四维动量
𝑝
𝑚
= 𝑚
𝑑𝑥
𝜇
𝑑𝜏
于是得到了运动方程
𝑑𝑝
𝑚
𝑑𝑡
=
𝑒
𝑐
𝐹
𝜇𝜈
(𝑥)
𝑑𝑥
𝜈
𝑑𝑡
定义电磁场矢量
𝐴
𝜇
=
𝜙(𝑡, 𝑥),
®
𝐴(𝑡, 𝑥)
也就是
𝐴
𝜇
= (−𝜙,
®
𝐴)
那么就能得到
𝐹
𝜇𝜈
=
0 −𝐸
𝑥
−𝐸
𝑦
−𝐸
𝑧
𝐸
𝑥
0 𝐵
𝑧
−𝐵
𝑦
𝐸
𝑦
−𝐵
𝑧
0 𝐵
𝑥
𝐸
𝑧
𝐵
𝑦
−𝐵
𝑥
0
由
𝑑𝜏
𝑑𝑡
=
1 −
𝑣
2
𝑐
2
就能写出拉格朗日量
𝐿 = −𝑚𝑐
2
1 −
𝑣
2
𝑐
2
− 𝑒𝜙 +
𝑒
𝑐
®
𝐴 · ®𝑣
5 广义相对论
爱因斯坦场方程有
𝑇
𝜇𝜈
→ 𝑔
𝜇𝜈
5.1 弯曲时空中的哈密顿原理
弯曲时空中有哈密顿原理
𝛿𝑆 = 0
可以推出测地线方程
𝛿𝑆 = −𝑚𝑐
𝛿
−𝑔
𝜇𝜈
𝑑𝑥
𝜇
𝑑𝑥
𝜈
与狭义相对论不同,𝑔
𝜇𝜈
不再是常数用固有时定义距离
𝑑𝑠
2
= 𝑔
𝜇𝜈
𝑑𝑥
𝜇
𝑑𝑥
𝜈
= −𝑐
2
𝑑𝜏
2
𝛿𝑆 = −
1
2
𝑚𝑐
−𝑔
𝜇𝜈
𝑑𝑥
𝜇
𝑑𝑥
𝜈
−
1
2
𝛿
−𝑔
𝜇
𝜈
𝑑𝑥
𝜇
𝑑𝑥
𝜈
= −
1
2
𝑚
1
𝑑𝜏
𝛿(−𝑔
𝜇𝜈
𝑑𝑥
𝜇
𝑑𝑥
𝜈
)
= −
1
2
𝑚
1
𝑑𝜏
𝛿(−𝑔
𝜇𝜈
𝑑𝑥
𝜇
𝑑𝜏
𝑑𝑥
𝜈
𝑑𝜏
)𝑑𝜏
2
=
1
2
𝑚
𝑑𝜏
2𝑔
𝜇𝜈
𝑑𝑥
𝜇
𝑑𝜏
𝑑𝛿𝑥
𝜈
𝑑𝜏
+ 𝛿𝑔
𝜇𝜈
𝑑𝑥
𝜈
𝑑𝜏
𝑑𝑥
𝜈
𝑑𝜏
=
1
2
𝑚
𝑑𝜏
𝑑
𝑑𝜏
2𝑔
𝜇
𝜈
𝑑𝑥
𝜈
𝑑𝜏
𝛿𝑥
𝜈
−
𝑑
𝑑𝑡
2𝑔
𝜇𝜈
𝑑𝑥
𝜇
𝑑𝜏
𝛿𝑥
𝜈
+
𝜕𝑔
𝜇𝜈
𝜕𝑥
𝜌
𝛿𝑥
𝜌
𝑑𝑥
𝜇
𝑑𝜏
𝑑𝑥
𝜈
𝑑𝜏
=
1
2
𝑚
𝑑𝜏
−2
𝑔
𝜇𝜈
𝑑𝑥
𝜇
𝑑𝜏
2
+
𝑑𝑔
𝜇𝜈
𝑑𝜏
𝑑𝑥
𝜇
𝑑𝜏
𝛿𝑥
𝜈
+
𝜕𝑔
𝜇𝜌
𝜕𝑥
𝜈
𝛿𝑥
𝜈
𝑑𝑥
𝜇
𝑑𝜏
𝑑𝑥
𝜌
𝑑𝜏
= −𝑚
𝑑𝜏𝛿𝑥
𝜈
𝑔
𝜇𝜈
𝑑
2
𝑥
𝑛
𝑢
𝑑𝜏
2
+
𝜕𝑔
𝜇𝜈
𝜕𝑥
𝜌
𝑑𝑥
𝜌
𝑑𝜏
𝑑𝑥
𝜇
𝑑𝜏
𝑑𝑥
𝜇
𝑑𝜏
−
1
2
𝜕𝑔
𝜇𝜌
𝜕𝑥
𝜈
𝑑𝑥
𝜇
𝑑𝜏
𝑑𝑥
𝜌
𝑑𝜏
= 0
也就是
𝑔
𝜇𝜈
𝑑
2
𝑥
𝜇
𝑑𝜏
2
+
1
2
𝜕𝑔
𝜌𝜈
𝜕𝑥
𝜇
+
𝜕𝑔
𝜇𝜈
𝜕𝑥
𝜌
−
𝜕𝑔
𝜇𝜌
𝜕𝑥
𝜈
𝑑𝑥
𝜇
𝑑𝜏
𝑑𝑥
𝜌
𝑑𝜏
= 0
变形简记为
𝑑
2
𝑥
𝜎
𝑑𝜏
2
+ Γ
𝜎
𝜇𝜌
𝑑𝑥
𝜇
𝑑𝜏
𝑑𝑥
𝜌
𝑑𝜏
= 0
其中 Γ 为克里斯托弗联络 (鬼知道是什么东西)
