正则变换
目录
1 正则变换 2
2 正则变换的条件与生成函数 2
3 正则变换实例 4
3.1 恒等变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.2 平移变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.3 互换变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.4 正交变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4 无限小正则变换 5
5 正则变换与辛形式 7
5.1 不含时情形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
5.2 含时情形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
6 泊松括号的正则不变性 9
1
1 正则变换
将从一组坐标 𝑞
𝛼
到另一组坐标 𝑄
𝛼
的变换
𝑄
𝛼
= 𝑄
𝛼
(𝑞, 𝑡)
称为点变换. 对于广义动量也可以有变换 (在哈密顿力学中广义动量是和广义坐标具有同等地位的独立变
量!)
𝑄
𝛼
= 𝑄
𝛼
(𝑞, 𝑝, 𝑡)
𝑃
𝛼
= 𝑃
𝛼
(𝑞, 𝑝, 𝑡)
若存在某函数 𝐾 (𝑄, 𝑃, 𝑡) 满足新广义坐标和广义动量的正则方程, 该变换就称为正则变换
¤
𝑄
𝛼
=
𝜕𝐾
𝜕𝑃
𝛼
,
¤
𝑃
𝛼
= −
𝜕𝐾
𝜕𝑄
𝛼
称 𝐾 为新广义坐标和广义动量表示下的哈密顿函数
2 正则变换的条件与生成函数
希望找到正则变换的条件. 变换前的 𝑝, 𝑞 满足相空间哈密顿原理
𝛿
∫
𝑡
2
𝑡
1
"
Õ
𝛼
𝑝
𝛼
¤𝑞
𝛼
− 𝐻 (𝑞, 𝑝, 𝑡)
#
𝑑𝑡 = 0
若在变换后的广义坐标下的被积函数与原来的相差一个任意时间的全导数, 即
"
Õ
𝛼
𝑝
𝛼
¤𝑞
𝛼
− 𝐻 (𝑞, 𝑝, 𝑡)
#
−
"
Õ
𝛼
𝑃
𝛼
¤
𝑄
𝛼
− 𝐾 (𝑄, 𝑃, 𝑡)
#
=
𝑑𝐹
𝑑𝑡
两边积分变分, 前一项变分为零, 那么
𝛿
∫
𝑡
2
𝑡
1
"
Õ
𝛼
𝑃
𝛼
¤
𝑄
𝛼
− 𝐾 (𝑄, 𝑃, 𝑡)
#
𝑑𝑡 = −𝛿
∫
𝑡
2
𝑡
1
𝑑𝐹 = −𝛿𝐹
𝑡
2
𝑡
1
在不动边界问题中,𝛿𝐹
𝑡
2
𝑡
1
= 0, 故新的变量也满足相空间的哈密顿原理
𝛿
∫
𝑡
2
𝑡
1
"
Õ
𝛼
𝑃
𝛼
¤
𝑄
𝛼
− 𝐾 (𝑄, 𝑃, 𝑡)
#
𝑑𝑡 = 0
因此,
若变换后作用量与原来的相差一个时间的全导数, 就仍满足哈密顿原理
, 就可以导出正则方程. 就得
到了正则变换条件
"
Õ
𝛼
𝑝
𝛼
¤𝑞
𝛼
− 𝐻 (𝑞, 𝑝, 𝑡)
#
−
"
Õ
𝛼
𝑃
𝛼
¤
𝑄
𝛼
− 𝐾 (𝑄, 𝑃, 𝑡)
#
=
𝑑𝐹
𝑑𝑡
将 𝑑𝑡 乘到等式左边, 就变形为
Õ
𝛼
(𝑝
𝛼
𝑑𝑞
𝛼
− 𝑃
𝛼
𝑑𝑄
𝛼
) + (𝐾 − 𝐻)𝑑𝑡 = 𝑑𝐹
将微分替换为等时变分 (𝛿𝑡 = 0), 就得到了变分形式的正则变换条件
Õ
𝛼
(𝑝
𝛼
𝛿𝑞
𝛼
− 𝑃
𝛼
𝛿𝑄
𝛼
) = 𝛿𝐹
通过 𝐹 就可以确定正则变换的形式, 也就是确定正则变换方程.𝐹 就称为生成函数
𝑄
𝛼
= 𝑄
𝛼
(𝑞, 𝑝, 𝑡)
𝑃
𝛼
= 𝑃
𝛼
(𝑞, 𝑝, 𝑡)
由正则变换条件不难得到,𝐹 可以显式地写为 𝐹(𝑞, 𝑄, 𝑡). 对微分的正则变换条件变形得到
Õ
𝛼
𝑝
𝛼
𝑑𝑞
𝛼
− 𝐻𝑑𝑡 =
Õ
𝛼
𝑃
𝛼
𝑑𝑄
𝛼
− 𝐾𝑑𝑡 + 𝑑𝐹(𝑞, 𝑄, 𝑡)
𝐹 的全微分有
𝑑𝐹 =
Õ
𝛼
𝜕𝐹
𝜕𝑞
𝛼
𝑑𝑞
𝛼
+
Õ
𝛼
𝜕𝐹
𝜕𝑄
𝛼
+
𝜕𝐹
𝜕𝑡
𝑑𝑡
代入就得到
Õ
𝛼
𝑝
𝛼
−
𝜕𝐹
𝜕𝑞
𝛼
𝑑𝑞
𝛼
−
Õ
𝛼
𝑃
𝛼
+
𝜕𝐹
𝜕𝑄
𝛼
𝑑𝑄
𝛼
+
𝐾 − 𝐻 −
𝜕𝐹
𝜕𝑡
= 0
由于 𝑞
𝛼
, 𝑄
𝛼
, 𝑡 彼此独立, 因此其微分前面的系数均为零
𝑝
𝛼
=
𝜕𝐹
𝜕𝑞
𝛼
, 𝑃
𝛼
= −
𝜕𝐹
𝜕𝑄
𝛼
, 𝐾 = 𝐻 +
𝜕𝐹
𝜕𝑡
由于 𝐹 (𝑞, 𝑄, 𝑡) 是含 𝑄 的, 因此可以通过第一条方程得到用 𝑝
𝛼
和 𝑞
𝛼
表示的 𝑄
𝛼
的表达式, 再代入第二
条式子中就可以得到 𝑃
𝛼
, 第三条式子可以给出 𝐾 与 𝐻 的关系
称 𝐹 (𝑞, 𝑄, 𝑡) 为第一类生成函数, 记为 𝐹
1
(𝑞, 𝑄, 𝑡). 事实上有四类生成函数
𝐹
1
(𝑞, 𝑄, 𝑡), 𝐹
2
(𝑞, 𝑃, 𝑡), 𝐹
3
(𝑝, 𝑄, 𝑡), 𝐹
4
(𝑝, 𝑃, 𝑡)
对于 𝐹
2
(𝑞, 𝑃, 𝑡), 由于已经有了关系 −𝑃 =
𝜕𝐹
1
𝜕𝑄
可以通过勒让德变换将 𝑄 替换为 𝑃
𝐹
2
(𝑞, 𝑃, 𝑡) = 𝐹
1
(𝑞, 𝑄, 𝑡) −
Õ
𝛼
(−𝑃
𝛼
)𝑄
𝛼
代入微分的正则变换条件即可得到偏导关系
𝑝
𝛼
=
𝜕𝐹
2
𝜕𝑞
𝛼
, 𝑄
𝛼
=
𝜕𝐹
2
𝜕𝑃
𝛼
, 𝐾 = 𝐻 +
𝜕𝐹
2
𝜕𝑡
同样地对于 𝐹
3
(𝑝, 𝑄, 𝑡), 由于 𝑝
𝛼
=
𝜕𝐹
𝜕𝑞
𝛼
, 也可以作勒让德变换
𝐹
3
(𝑝, 𝑄, 𝑡) = 𝐹
1
(𝑞, 𝑄, 𝑡) −
Õ
𝛼
𝑞
𝛼
𝑝
𝛼
有偏导关系
𝑞
𝛼
= −
𝜕𝐹
3
𝜕 𝑝
𝛼
, 𝑃
𝛼
= −
𝜕𝐹
3
𝜕𝑄
𝛼
, 𝐾 = 𝐻 +
𝜕𝐹
3
𝜕𝑡
对于 𝐹
4
(𝑝, 𝑃, 𝑡), 依然可以通过勒让德变换得到
𝐹
4
(𝑝, 𝑃, 𝑡) = 𝐹
1
(𝑞, 𝑄, 𝑡) −
Õ
𝛼
(−𝑃
𝛼
)𝑄
𝛼
−
Õ
𝛼
𝑝
𝛼
𝑞
𝛼
偏导关系就是
𝑞
𝛼
= −
𝜕𝐹
4
𝜕 𝑝
𝛼
, 𝑄
𝛼
=
𝜕𝐹
4
𝜕𝑃
𝛼
, 𝐾 = 𝐻 +
𝜕𝐹
4
𝜕𝑡
需要注意的是, 后三类生成函数并不满足正则变换条件, 它们只是一种数学上的处理. 勒让德变换实际上
是构造了另一个量使得正好消去了其他的微分, 因此后三类生成函数并不是物理意义上的生成函数, 具有
物理意义的生成函数只有正则变换条件中的 𝐹 自身
3 正则变换实例
3.1 恒等变换
生成函数为
𝐹
2
=
Õ
𝛼
𝑞
𝛼
𝑃
𝛼
则根据偏导关系有
𝑝
𝛼
=
𝜕𝐹
2
𝜕𝑞
𝛼
= 𝑃
𝛼
, 𝑄
𝛼
=
𝜕𝐹
2
𝜕𝑃
𝛼
= 𝑞
𝛼
则该变换保持广义坐标和广义动量形式
3.2 平移变换
生成函数为
𝐹
2
=
Õ
𝛼
(𝑞
𝛼
+ 𝑐
𝛼
)(𝑃
𝛼
− 𝑑
𝛼
)
其中 𝑐
𝛼
, 𝑑
𝛼
为常数, 则
𝑝
𝛼
=
𝜕𝐹
2
𝜕𝑞
𝛼
= 𝑃
𝛼
− 𝑑
𝛼
, 𝑄
𝛼
=
𝜕𝐹
2
𝜕𝑃
𝛼
= 𝑞
𝛼
+ 𝑐
𝛼
则该变换将广义坐标和广义动量分别平移了 𝑑
𝛼
与 𝑐
𝛼
3.3 互换变换
生成函数为
𝐹
1
=
Õ
𝛼
𝑞
𝛼
𝑄
𝛼
则
𝑝
𝛼
=
𝜕𝐹
1
𝜕𝑞
𝛼
= 𝑄
𝛼
, 𝑃
𝛼
= −
𝜕𝐹
1
𝜕𝑄
𝛼
= −𝑞
𝛼
可见该变换将广义坐标与广义动量做了交换
3.4 正交变换
生成函数为
𝐹
2
= P
𝑇
𝐴q =
Õ
𝛼, 𝛽
𝐴
𝛼𝛽
𝑃
𝛼
𝑞
𝛽
其中 𝐴 为正交阵, 那么
𝑝
𝛽
=
𝜕𝐹
2
𝜕𝑞
𝛽
=
Õ
𝛼
𝐴
𝛼𝛽
𝑃
𝛼
= P
𝑇
𝐴
·𝛽
, 𝑄
𝛼
=
𝜕𝐹
2
𝜕𝑃
𝛼
=
Õ
𝛽
𝐴
𝛼𝛽
𝑞
𝛽
= 𝐴
𝛼·
q
也就是
p = 𝐴
𝑇
P, Q = 𝐴q
利用正交阵的性质 𝐴
−1
= 𝐴
𝑇
得到
P = 𝐴p, Q = 𝐴q
可见该变换使得广义和广义动量做相同的正交变换, 若 𝐴 行列式为 +1, 则变换为转动
4 无限小正则变换
选取生成函数为
𝐹
2
(𝑞, 𝑃, 𝑡) =
Õ
𝛼
𝑞
𝛼
𝑃
𝛼
+ 𝜖𝐺(𝑞, 𝑃, 𝑡)
这是一个恒等变换加上一个无限小函数, 代入 𝐹
2
的偏导关系得到
𝑝
𝛼
=
𝜕𝐹
2
𝜕𝑞
𝛼
= 𝑃
𝛼
+ 𝜖
𝜕𝐺
𝜕𝑞
𝛼
𝑄
𝛼
=
𝜕𝐹
2
𝜕𝑃
𝛼
= 𝑞
𝛼
+ 𝜖
𝜕𝐺
𝜕𝑃
𝛼
𝐾 = 𝐻 +
𝜕𝐹
2
𝜕𝑡
= 𝐾 + 𝜖
𝜕𝐺
𝜕𝑡
𝑝
𝛼
式表明 𝑝
𝛼
与 𝑃
𝛼
相差了 𝜖 的一阶小量, 那么如果忽略二阶小量, 近似就可以认为
𝑄
𝛼
= 𝑞
𝛼
+ 𝜖
𝜕𝐺
𝜕 𝑝
𝛼
于是新旧正则变量和哈密顿量的差值就是
𝛿𝑞
𝛼
= 𝑄
𝛼
− 𝑞
𝛼
= 𝜖
𝜕𝐺
𝜕 𝑝
𝛼
𝛿𝑝
𝛼
= 𝑃
𝛼
− 𝑝
𝛼
= −𝜖
𝜕𝐺
𝜕𝑞
𝛼
𝛿𝐻 = 𝐾 − 𝐻 = 𝜖
𝜕𝐺
𝜕𝑡
它们都是无穷小量. 这样的变换称作无限小正则变换,𝐺 为其生成函数
若将 𝜖 视为某连续参量 𝜆 的微分, 即 𝜖 = 𝑑𝜆, 则新旧正则变量对应于相空间中无限接近的两个点
𝑑𝑞
𝛼
= 𝑄
𝛼
− 𝑞
𝛼
= 𝑑𝜆
𝜕𝐺
𝜕 𝑝
𝛼
𝑑𝑝
𝛼
= 𝑃
𝛼
− 𝑝
𝛼
= −𝑑𝜆
𝜕𝐺
𝜕𝑞
𝛼
这刻画了在相空间中系统随参数 𝜆 的连续演化,𝐺 决定了演化规律. 例如取 𝐺 为哈密顿量 𝐺 = 𝐻 (𝑞, 𝑝),𝜆 =
𝑡, 则
𝑑𝑞
𝛼
= 𝑑𝑡
𝜕𝐻
𝜕 𝑝
𝛼
, 𝑑𝑝
𝛼
= −𝑑𝑡
𝜕𝐻
𝜕𝑞
𝛼
⇒ ¤𝑞
𝛼
=
𝜕𝐻
𝜕 𝑝
𝛼
, ¤𝑝
𝛼
= −
𝜕𝐻
𝜕𝑞
𝛼
就得到了系统随时间演化的规律, 就是哈密顿正则方程
考察
𝑝
𝛼
= 𝑃
𝛼
+ 𝜖
𝜕𝐺
𝜕𝑞
𝛼
由于后一项为小量, 忽略二阶小量可以认为
𝑑𝑝
𝛼
= 𝑑𝑃
𝛼
于是 𝐺 的微分就可以写为
𝑑𝐺 =
𝜕𝐺
𝜕𝑡
𝑑𝑡 +
Õ
𝛼
𝜕𝐺
𝜕𝑞
𝛼
𝑑𝑞
𝛼
+
𝜕𝐺
𝜕𝑃
𝛼
𝑑𝑃
𝛼
=
𝜕𝐺
𝜕𝑡
𝑑𝑡 +
Õ
𝛼
𝜕𝐺
𝜕𝑞
𝛼
𝑑𝑞
𝛼
+
𝜕𝐺
𝜕 𝑝
𝛼
𝑑𝑝
𝛼
结合
𝑑𝑞
𝛼
= 𝑄
𝛼
− 𝑞
𝛼
= 𝑑𝜆
𝜕𝐺
𝜕 𝑝
𝛼
𝑑𝑝
𝛼
= 𝑃
𝛼
− 𝑝
𝛼
= −𝑑𝜆
𝜕𝐺
𝜕𝑞
𝛼
就得到了
𝑑𝐺 =
𝜕𝐺
𝜕𝑡
𝑑𝑡 +
Õ
𝛼
𝜕𝐺
𝜕𝑞
𝛼
𝜕𝐺
𝜕 𝑝
𝛼
−
𝜕𝐺
𝜕 𝑝
𝛼
𝜕𝐺
𝜕𝑞
𝛼
𝑑𝜆 =
𝜕𝐺
𝜕𝑡
𝑑𝑡 +
Õ
𝛼
[𝐺, 𝐺]𝑑𝜆 =
𝜕𝐺
𝜕𝑡
𝑑𝑡
也就是
¤
𝐺 =
𝜕𝐺
𝜕𝑡
因此只需要证明 𝐺 不显含 𝑡, 即
𝜕𝐺
𝜕𝑡
= 0 即可得到 𝐺 为守恒量
考察哈密顿量的微分
𝑑𝐻 =
Õ
𝛼
𝜕𝐻
𝜕𝑞
𝛼
𝑑𝑞
𝛼
+
𝜕𝐻
𝜕 𝑝
𝛼
𝑑𝑝
𝛼
+
𝜕𝐻
𝜕𝑡
𝑑𝑡
前一项是 𝐻 的等时变分 𝛿𝐻, 因此
𝑑𝐻 = 𝛿𝐻 +
𝜕𝐻
𝜕𝑡
𝑑𝑡
又有
𝛿𝐻 =
𝜕𝐺
𝜕𝑡
𝑑𝑡
因此
𝑑𝐻 =
𝜕𝐺
𝜕𝑡
𝑑𝜆 +
𝜕𝐻
𝜕𝑡
𝑑𝑡
又由于
𝑑𝐻 =
Õ
𝛼
𝜕𝐻
𝜕𝑞
𝛼
𝑑𝑞
𝛼
+
𝜕𝐻
𝜕 𝑝
𝛼
𝑑𝑝
𝛼
+
𝜕𝐻
𝜕𝑡
𝑑𝑡
=
Õ
𝛼
(
− ¤𝑝
𝛼
𝑑𝑞
𝛼
+ ¤𝑞
𝛼
𝑑𝑝
𝛼
)
+
𝜕𝐻
𝜕𝑡
𝑑𝑡(正则方程)
=
Õ
𝛼
(
− ¤𝑞
𝛼
𝑑𝑝
𝛼
+ ¤𝑞
𝛼
𝑑𝑝
𝛼
)
+
𝜕𝐻
𝜕𝑡
𝑑𝑡
=
𝜕𝐻
𝜕𝑡
𝑑𝑡
因此对比得到
𝜕𝐺
𝜕𝑡
= 0
由此得到
¤
𝐺 = 0
因此 𝐺 是不显含 𝑡 的运动积分
5 正则变换与辛形式
希望通过辛形式研究正则变换. 令
𝜂 =
"
𝑞
𝑝
#
则正则方程写为
"
¤𝑞
¤𝑝
#
=
"
𝐼
𝑠
−𝐼
𝑠
#
𝜕𝐻
𝜕𝑞
−
𝜕𝐻
𝜕 𝑝
简记为
¤
η = 𝑆
𝜕𝐻
𝜕η
𝑇
5.1 不含时情形
不含时即生成函数 𝐹 不显含 𝑡, 由微分关系, 此时有
𝐾 = 𝐻
设变换后的变量为
𝜉 =
"
𝑄
𝑃
#
于是
¤
ξ = 𝑆
𝜕𝐾
𝜕ξ
𝑇
= 𝑆
𝜕𝐻
𝜕ξ
𝑇
同样由微分关系,𝑄, 𝑃 也是不显含时间的, 那么对时间的全导就有
"
¤
𝑄
¤
𝑃
#
=
𝜕𝑄
𝜕𝑞
𝜕𝑄
𝜕 𝑝
𝜕𝑃
𝜕𝑞
𝜕𝑃
𝜕 𝑝
"
¤𝑞
¤𝑝
#
简记为
¤
ξ =
𝜕ξ
𝜕η
¤
η
由于
¤
η = 𝑆
𝜕𝐻
𝜕η
𝑇
那么
¤
ξ =
𝜕ξ
𝜕η
𝑆
𝜕𝐻
𝜕η
𝑇
又有偏导数传递关系
𝜕𝐻
𝜕η
=
𝜕𝐻
𝜕ξ
𝜕ξ
𝜕η
于是上式变形为
¤
ξ =
𝜕ξ
𝜕η
𝑆
𝜕ξ
𝜕η
𝑇
𝜕𝐻
𝜕ξ
𝑇
对照
¤
ξ = 𝑆
𝜕𝐻
𝜕ξ
𝑇
得到
𝜕ξ
𝜕η
𝑆
𝜕ξ
𝜕η
𝑇
= 𝑆
定义辛矩阵
𝑀 =
𝜕ξ
𝜕η
则上式记为
𝑀𝑆𝑀
𝑇
= 𝑆
该式在不含时情形可以作为正则变换的判据. 由该式可以推出以下性质
𝑀
𝑇
𝑆𝑀 = 𝑆, 𝑀
𝑛
𝑆(𝑀
𝑛
)
𝑇
= 𝑆,
|
𝑀
|
= 1, 𝑀
1
𝑀
2
𝑆(𝑀
1
𝑀
2
)
𝑇
= 𝑆
其中 𝑀
1
𝑀
2
𝑆(𝑀
1
𝑀
2
)
𝑇
= 𝑆 表面两个辛矩阵的乘积仍是辛矩阵, 这说明两个正则变换的合变换仍是正则变换
利用泊松括号可以将该判据变换为
[𝑄
𝑖
, 𝑃
𝑗
]
𝑞, 𝑝
= 𝛿
𝑖 𝑗
5.2 含时情形
(?)
6 泊松括号的正则不变性
对于任意力学量 𝜙 都有偏导数关系
𝜕𝜙
𝜕η
=
𝜕𝜙
𝜕ξ
𝜕ξ
𝜕η
=
𝜕𝜙
𝜕ξ
𝑀
记用 𝜂 表示的泊松括号和用 𝜉 表示的泊松括号分别为
[𝜑, 𝜙]
𝜂
=
𝜕𝜑
𝜕η
𝑆
𝜕𝜙
𝜕η
𝑇
[𝜑, 𝜙]
𝜉
=
𝜕𝜑
𝜕ξ
𝑆
𝜕𝜙
𝜕ξ
𝑇
而
𝜕𝜑
𝜕
η
𝑆
𝜕𝜙
𝜕
η
𝑇
= 𝑀
𝜕𝜑
𝜕
ξ
𝑆
𝜕𝜙
𝜕
ξ
𝑇
𝑀
𝑇
=
𝜕𝜑
𝜕
ξ
𝑀𝑆𝑀
𝑇
𝜕𝜙
𝜕
ξ
𝑇
=
𝜕𝜑
𝜕
ξ
𝑆
𝜕𝜙
𝜕
ξ
𝑇
因此
[𝜑, 𝜙]
𝜂
= [𝜑, 𝜙]
𝜉
任意两个力学量的泊松括号与采用何种正则变量无关
