拉格朗日函数及其推论
目录
1 拉格朗日函数 3
1.1 广义坐标 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 最小作用量原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 运动方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 质点系的运动方程 4
2.1 伽利略相对性原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 自由质点的拉格朗日函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3 质点系的拉格朗日函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.4 非封闭质点系的拉格朗日函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 有约束的运动方程 6
3.1 约束 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.2 有约束的运动方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4 能量及其守恒 8
5 动量及其守恒 9
5.1 动量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5.2 质心 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
6 角动量及其守恒 10
1
1 拉格朗日函数
1.1 广义坐标
称唯一地确定系统位置所需的独立变量个数称为系统的自由度.𝑁 个质点组成的系统的自由度为 3𝑁
对于 𝑠 个自由度的系统, 可以完全刻画其位置的任意 𝑠 个变量 𝑞
1
, ...𝑞
𝑠
称为该系统的广义坐标, 其导数 ¤𝑞
称为广义速度
经验表明
,
同时给定系统的所有广义坐标和广义速度就可以确定系统的状态
,
并且原则上也可以预测以后
的运动. 加速度与坐标和速度的关系式称为运动方程
1.2 最小作用量原理
根据最小作用量原理, 每一个力学系统都可以用一个确定的函数
𝐿(𝑞
1
, ..., 𝑞
𝑠
, ¤𝑞
1
, ..., ¤𝑞
𝑠
, 𝑡)
简记为
𝐿
(
𝑞,
¤
𝑞, 𝑡
)
所表征, 该函数称为给定系统的拉格朗日函数. 系统的运动需要满足
𝑆 =
∫
𝑡
2
𝑡
1
𝐿(𝑞, ¤𝑞, 𝑡)𝑑𝑡
取最小值. 其中时刻 𝑡 = 𝑡
1
, 𝑡 = 𝑡
2
时系统的位置由两组坐标 𝑞
(1)
和 𝑞
(2)
确定
1.3 运动方程
假设使得 𝑆 取最小值的函数为
𝑞 = 𝑞 (𝑡)
则若使 𝑞(𝑡) 有一微小增量 𝛿𝑞 (𝑡), 则 Δ𝑆 为
∫
𝑡
2
𝑡
1
𝐿(𝑞 + 𝛿𝑞, ¤𝑞 + 𝛿 ¤𝑞, 𝑡) −
∫
𝑡
2
𝑡
1
𝐿(𝑞, ¤𝑞, 𝑡)𝑑𝑡
该式是 𝑞 与 ¤𝑞 的函数, 则按这两个量展开的一阶小量为零, 也就是
∫
𝑡
2
𝑡
1
𝜕𝐿
𝜕𝑞
𝛿𝑞 +
𝜕𝐿
𝜕 ¤𝑞
𝛿 ¤𝑞
𝑑𝑡 = 0
对于任意的 𝑡
1
和 𝑡
2
都成立. 由于
𝛿 ¤𝑞 =
𝑑
𝑑𝑡
𝛿𝑞
利用分部积分就可以将原式写为
𝜕𝐿
𝜕 ¤𝑞
𝛿𝑞
𝑡
2
𝑡
1
+
∫
𝑡
2
𝑡
1
𝜕𝐿
𝜕𝑞
−
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝐿
𝜕 ¤𝑞
𝛿𝑞𝑑𝑡
= 0
由于 𝛿𝑞 为小量, 第一项为零, 那么由 𝑡
1
, 𝑡
2
的任意性, 被积分的函数应该为零, 即
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝐿
𝜕 ¤𝑞
−
𝜕𝐿
𝜕𝑞
= 0
对于有 𝑠 个自由度的系统而言, 对这 𝑠 个自由变量分别变分, 就可以得到这样的 𝑠 个方程, 称为拉格朗日
方程
.
这是包含
𝑠
个未知数的二阶微分方程组
,
其通解中包含
2
𝑠
个常数
.
由于封闭系统的运动方程不显含
时间, 可以将任意一个常数作为时间的可加常数, 即
𝑞
𝑖
= 𝑞
𝑖
(𝑡 + 𝑡
0
, 𝐶
1
, ..., 𝐶
2𝑠−1
)
¤𝑞
𝑖
= ¤𝑞
𝑖
(𝑡 + 𝑡
0
, 𝐶
1
, ..., 𝐶
2𝑠−1
)
则可以利用这 2𝑠 个方程消去 𝑡 + 𝑡
0
, 则 𝐶
1
, ..., 𝐶
2𝑠−1
可以表示为 𝑞
1
, ¤𝑞
𝑖
的函数, 称之为运动积分, 可以导出
一些守恒定律
若力学系统由 𝐴𝐵 两部分组成, 且每部分都是封闭的, 距离足够远以致它们的相互作用可以忽略, 系统的
拉格朗日函数有极限
lim 𝐿 = 𝐿
𝐴
+ 𝐿
𝐵
这反映每一个独立部分的运动方程不可能包含与另一部分相关的物理量
再考察两个拉格朗日函数 𝐿 与 𝐿
0
, 它们相差某个坐标和时间的函数对时间的全导数
𝐿
0
(𝑞, ¤𝑞, 𝑡) = 𝐿 (𝑞, ¤𝑞, 𝑡) +
𝑑
𝑑𝑡
𝑓 (𝑞, 𝑡)
积分可得
𝑆
0
= 𝑆 + 𝑓 (𝑞, 𝑡)
|
(2)
(1)
两个 𝑆 相差了一个常数,𝛿𝑆 = 0 与 𝛿𝑆
0
= 0 完全等价, 运动微分方程也相同
2 质点系的运动方程
2.1 伽利略相对性原理
定义在惯性参考系中, 空间是均匀的各向同性的, 时间是均匀的. 在惯性参考系中, 在某时刻静止的自由物
体永远静止
对于在惯性参考系中自由运动的质点, 时间和空间的均匀性要求拉格朗日函数不显含 ®𝑟 与 𝑡. 同时空间的
各向同性要求 𝐿 与速度方向无关, 得到
𝐿 = 𝐿(𝑣
2
)
又有 𝐿 不显含 ®𝑟, 有
𝜕𝐿
𝜕®𝑟
= 0, 可以将拉格朗日方程写为
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝐿
𝜕®𝑣
= 0
得到
𝜕𝐿
𝜕 ®𝑣
为常数. 而
𝜕𝐿
𝜕 ®𝑣
只是速度的函数, 因而得到
®𝑣 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
惯性参考系中质点任何自由运动的速度为定值, 即做匀速直线运动
设有两个不同的参考系 𝐾, 𝐾
0
, 则同一个质点相对于这两个参考系的 ®𝑟 与 𝑡 有如下关系
"
®𝑟
𝑡
#
=
"
1 𝑉
1
#"
®𝑟
0
𝑡
0
#
称为伽利略变换
在经典力学中认为伽利略相对性原理成立: 力学运动方程在伽利略变换下具有不变性
2.2 自由质点的拉格朗日函数
已知自由质点的拉格朗日函数只依赖于速度的平方. 假定惯性参考系 𝐾, 𝐾
0
相差速度 ®𝜖, 即
®𝑣 = ®𝑣
0
+ ®𝜖
则两个拉格朗日函数由伽利略变换有
𝐿
0
= 𝐿(𝑣
02
) = 𝐿(𝑣
2
+ 2 ®𝑣 · ®𝜖 + 𝜖
2
)
展开, 只保留一阶小量, 得到
𝐿(𝑣
02
) = 𝐿(𝑣
2
) + 2
𝜕𝐿
𝜕𝑣
2
®𝑣 · ®𝜖
两个拉格朗日函数是同一个物体的拉格朗日函数, 只能相差一个对时间的全导数, 因而第二项只能与 ®𝑣 呈
线性关系. 因此
𝜕𝐿
𝜕𝑣
2
不依赖速度, 即拉格朗日函数与速度的平方成正比
𝐿 =
𝑚
2
𝑣
2
其中 𝑚 为常数, 称为质量. 若两个惯性参考系相差有限速度, 该拉格朗日函数仍满足相差时间的全导数
注意到
𝑣
2
=
𝑑𝑙
𝑑𝑡
2
=
𝑑𝑙
2
𝑑𝑡
2
因此得到拉格朗日函数只需要得到特定坐标系中弧长微元 𝑑𝑙 的平方
2.3 质点系的拉格朗日函数
由拉格朗日函数的可加性, 对于无相互作用的质点组成的自由质点系有
𝐿 =
Õ
𝑎
𝑚
𝑎
𝑣
2
𝑎
2
若质点间存在相互作用, 但不受外部作用, 即封闭质点系, 可以在拉格朗日函数中增加坐标的某一函数, 将
其记为 −𝑈, 则
𝐿 =
Õ
𝑎
𝑚
𝑎
𝑣
2
𝑎
2
− 𝑈(®𝑟
1
, ...)
称 𝑈 为质点系的势能,𝑇 =
Í
𝑎
𝑚
𝑎
𝑣
2
𝑎
2
为质点系的动能. 势能仅依赖于所有质点在同一时刻的位置
将上式代入拉格朗日方程得到
𝑚
𝑎
𝑑®𝑣
𝑎
𝑑𝑡
= −
𝜕𝑈
𝜕®𝑟
𝑎
记
®
𝐹
𝑎
= −
𝜕𝑈
𝜕®𝑟
𝑎
为作用在第
𝑎
个质点上的力
,
与
𝑈
一样只依赖于坐标而不依赖于速度
.
质点的加速度矢量也只是坐标的
函数
势能可以相差任意常数而不影响运动方程. 一般取无限增大质点间距离时势能趋于零
若使用任意的广义坐标, 则可以通过变换得到新的拉格朗日函数
𝑥
𝑎
= 𝑓 ( 1
1
, ...), ¤𝑥
𝑎
=
Õ
𝑘
𝜕 𝑓
𝜕𝑞
𝑘
¤𝑞
𝑘
代入可得
1
2
Õ
𝑖, 𝑘𝑎
𝑖𝑘
(𝑞) ¤𝑞
𝑖
¤𝑞
𝑘
− 𝑈(𝑞)
新的动能依然是速度的二次齐次函数, 但可以依赖于广义坐标
2.4 非封闭质点系的拉格朗日函数
若质点系 𝐴 与已知运动的质点系 𝐵 相互作用, 称为 𝐴 在由 𝐵 产生的外场中运动. 假定 𝐴 + 𝐵 是封闭的,
则有
𝐿 = 𝑇
𝐴
(𝑞
𝐴
, ¤𝑞
𝐴
) + 𝑇
𝐵
(𝑞
𝐵
, ¤𝑞
𝐵
) − 𝑈 (𝑞
𝐴
, 𝑞
𝐵
)
可以将 𝐴 + 𝐵 的拉格朗日函数中的 𝑞
𝐵
用给定的时间函数代替, 则 𝑇
𝐵
为时间的全导数, 可以略去. 得到 𝐴
的拉格朗日函数 𝐿
𝐴
𝐿
𝐴
= 𝑇
𝐴
(𝑞
𝐴
, ¤𝑞
𝐴
) − 𝑈 (𝑞
𝐴
, 𝑞
𝐵
(𝑡))
特别地, 在外场运动的单个质点, 拉格朗日函数的一般形式为
𝐿 =
𝑚𝑣
2
2
− 𝑈(®𝑟, 𝑡)
运动方程写为
𝑚
¤
®𝑣 = −
𝜕𝑈
𝜕®𝑟
若质点受力与位置无关, 则称该外场是均匀的. 在均匀外场中势能可以写为
𝑈 = −
®
𝐹 · ®𝑟
3 有约束的运动方程
3.1 约束
需要区分主动力和约束力
不显含时间 显含时间
与速度无关 定常完整约束 非定常完整约束
与速度有关 定常非完整约束 非定常非完整约束
1. 主动力: 有确切表达式, 与运动状态无关
2. 约束力: 无确切表达式, 与运动状态有关
3.2 有约束的运动方程
由于约束并不改变拉格朗日函数的对称性, 因此在约束条件下, 仍采用原来的拉格朗日函数计算作用量
𝐿 = 𝑇 − 𝑈
若不存在约束, 系统的状态可以是位形空间里的任意一个点; 据此考察约束的本质: 约束实际上是限制了
系统在位形空间中对应点的位置, 并且对与不同的时刻, 限制可能不同
因此, 若有 𝑚 个约束
𝑓
𝑘
(𝑞
𝑖
, · · · , 𝑡) = 0
最小作用量原理实际上就是寻找一条满足这 𝑚 条约束的路径, 使得系统的作用量最小, 即
𝑆 =
∫
𝑡
2
𝑡
1
𝐿 +
Õ
𝑘
𝜆
𝑘
𝑓
𝑘
!
𝑑𝑡
最小, 并且满足约束条件
𝑓
𝑘
(𝑞
𝑖
, · · · , 𝑡) = 0
𝑆 变分为零. 注意此时是等时变分
𝛿𝑆 =
∫
𝑡
2
𝑡
1
𝛿𝐿 −
Õ
𝑘
𝜆
𝑘
𝛿 𝑓
𝑘
!
𝑑𝑡
=
∫
𝑡
2
𝑡
1
𝛿𝐿 +
Õ
𝑖
Õ
𝑘
𝜆
𝑘
𝜕 𝑓
𝑘
𝜕𝑞
𝑖
𝛿𝑞
𝑖
!
𝑑𝑡
由之前的结论
∫
𝑡
2
𝑡
1
𝛿𝐿𝑑𝑡 =
∫
𝑡
2
𝑡
1
𝜕𝐿
𝜕𝑞
−
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝐿
𝜕 ¤𝑞
𝛿𝑞𝑑𝑡
于是
∫
𝑡
2
𝑡
1
Õ
𝑖
𝜕𝐿
𝜕𝑞
𝑖
−
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝐿
𝜕 ¤𝑞
𝑖
+
Õ
𝑘
𝜆
𝑘
𝜕 𝑓
𝑘
𝜕𝑞
𝑖
!
𝛿𝑞
𝑖
𝑑𝑡 = 0
由
𝑡
1
, 𝑡
2
的任意性
,
得到被积函数为零
,
即
Õ
𝑖
𝜕𝐿
𝜕𝑞
𝑖
−
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝐿
𝜕 ¤𝑞
𝑖
+
Õ
𝑘
𝜆
𝑘
𝜕 𝑓
𝑘
𝜕𝑞
𝑖
!
𝛿𝑞
𝑖
= 0
虽然 𝑞
𝑖
不独立, 但是我们引入了 𝑚 个 𝜆, 它们通过适当取值可以使得 𝑚 个 𝑞
𝑖
的系数为零 (这些 𝜆 通过
方程解出), 于是就可以将这些 𝑞
𝑖
从和式中除去, 剩下的 𝑞
𝑖
就是独立的. 欲使和式为零, 只能系数都为零.
于是就得到了与广义坐标数目相同的方程
𝜕𝐿
𝜕𝑞
𝑖
−
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝐿
𝜕 ¤𝑞
𝑖
+
Õ
𝑘
𝜆
𝑘
𝜕 𝑓
𝑘
𝜕𝑞
𝑖
= 0
再加上 𝑚 个约束方程
𝑓
𝑘
(𝑞
𝑖
, · · · , 𝑡) = 0
就可以将所有的 𝑞 与 𝜆 解出
4 能量及其守恒
能量守恒由时间均匀性导出. 由时间的均匀性, 封闭系统的拉格朗日函数不显含时间, 那么其全导数为
𝑑𝐿
𝑑𝑡
=
Õ
𝑖
𝜕𝐿
𝜕𝑞
𝑖
𝑞
𝑖
+
Õ
𝑖
𝜕𝐿
𝜕 ¤𝑞
𝑖
¥𝑞
𝑖
利用拉格朗日方程可以得到
𝑑𝐿
𝑑𝑡
=
Õ
𝑖
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝐿
𝜕 ¤𝑞
𝑖
¤𝑞
𝑖
也就是
𝑑
𝑑𝑡
Õ
𝑖
¤𝑞
𝑖
𝜕𝐿
𝜕 ¤𝑞
𝑖
− 𝐿
!
= 0
若定义
𝐸 =
Õ
𝑖
𝑞
𝑖
𝜕𝐿
𝜕 ¤𝑞
𝑖
− 𝐿
则其为守恒量, 称为系统的能量. 能量守恒的力学系统称为保守系统
有封闭系统的拉格朗日函数
𝐿 = 𝑇 (𝑞, ¤𝑞) − 𝑈(𝑞)
由于 𝑇 为 𝑣 的二次齐次函数, 由齐次函数的欧拉定理得
Õ
¤𝑞
𝑖
𝜕𝐿
𝜕 ¤𝑞
𝑖
=
Õ
¤𝑞
𝑖
𝜕𝑇
𝜕 ¤𝑞
𝑖
= 2𝑇
代入能量的表达式得到
𝐸 = 𝑇 (𝑞, ¤𝑞) + 𝑈(𝑞)
用笛卡尔坐标写为
𝐸 =
Õ
𝑚
𝑎
𝑣
2
𝑎
2
+ 𝑈(®𝑟
1
, ...)
可见系统的能量为依赖于速度的动能与仅依赖于质点坐标的势能
5 动量及其守恒
5.1 动量
动量守恒由空间均匀性推出, 即将所有质点做相同的位移, 拉格朗日函数不变
做一无穷小位移 ®𝜖, 则
𝛿𝐿 =
Õ
𝜕𝐿
𝜕®𝑟
𝑎
· 𝛿®𝑟
𝑎
= 𝜖 ·
Õ
𝜕𝐿
𝜕®𝑟
𝑎
𝛿𝐿 = 0 即
Õ
𝜕𝐿
𝜕®𝑟
𝑎
= 0
再由拉格朗日方程得到
𝑑
𝑑𝑡
Õ
𝜕𝐿
𝜕®𝑣
𝑎
= 0
若定义
®
𝑃 =
Õ
𝜕𝐿
𝜕®𝑣
𝑎
对封闭力学系统的拉格朗日函数求导即可得到
®
𝑃 =
Õ
𝑚
𝑎
®𝑣
𝑎
可见无论质点之间是否有相互作用, 系统的动量都等于各个质点的动量之和
由于动能仅与速度有关, 对封闭力学系统的拉格朗日函数求导得到
𝜕𝐿
𝜕®𝑟
𝑎
= −
𝜕𝑈
𝜕®𝑟
𝑎
结合上述讨论得到, 作用在封闭系统的所有质点上的力之和等于零. 特别地, 若系统仅由两个质点组成, 则
得到了牛顿第三定律
若用广义坐标描述运动, 则定义广义动量
𝑝
𝑖
=
𝜕𝐿
𝜕 ¤𝑞
𝑖
将其对时间求导, 结合拉格朗日方程可以定义广义力
𝐹
𝑖
=
𝜕𝐿
𝜕𝑞
𝑖
则拉格朗日方程可以写为
¤𝑝
𝑖
= 𝐹
𝑖
5.2 质心
若参考系 𝐾
0
相对参考系 𝐾 以速度
®
𝑉 运动, 那么动量就满足
𝑃 = 𝑃
0
+
®
𝑉
Õ
𝑚
𝑎
那么一定会存在使得总动量为零的参考系. 令 𝑃
0
= 0 得到
®𝑣 =
𝑃
Í
𝑚
𝑎
=
Í
𝑚
𝑎
®𝑣
𝑎
Í
𝑚
𝑎
=
𝑑
𝑑𝑡
Í
𝑚
𝑎
®𝑟
𝑎
Í
𝑚
𝑎
若定义
®
𝑅
=
Í
𝑚
𝑎
®𝑟
𝑎
Í
𝑚
𝑎
那么系统整体的运动速度就是该点在空间中的运动速度, 称其为质心. 还可定义
𝜇 =
Õ
𝑚
𝑎
那么
𝑃 = 𝜇
®
𝑉
整体静止的力学系统的能量称为内能, 记为 𝐸
𝑖𝑛𝑡
. 系统在 𝐾
0
与 𝐾 下的能量关系为
𝐸 =
𝜇𝑉
2
2
+ 𝑉 ·
Õ
𝑚
𝑎
®𝑣
𝑎
+
1
2
Õ
𝑚
𝑎
𝑣
02
𝑎
+ 𝑈
也即
𝐸 = 𝐸
0
+
®
𝑉 · 𝑃
0
+
𝜇𝑉
2
2
若令 𝑃
0
= 0, 则得到
𝐸 =
𝜇𝑉
2
2
+ 𝐸
𝑖𝑛𝑡
6 角动量及其守恒
角动量守恒由空间的各向同性推出. 定义无穷小转动矢量 𝛿 ®𝜑, 方向沿着转动轴, 大小等于旋转角 𝛿𝜑, 则有
𝛿®𝑟 = 𝛿 ®𝜑 × ®𝑟
对于速度也有
𝛿𝑣 = 𝛿 ®𝜑 × ®𝑣
代入 𝛿𝐿 = 0, 即
Õ
𝜕𝐿
𝜕®𝑟
𝑎
· ®𝑟
𝑎
+
𝜕𝐿
𝜕
®
𝑉
𝑎
· 𝛿®𝑣
𝑎
= 0
并做代换
𝜕𝐿
𝜕®𝑣
𝑎
= ®𝑝
𝑎
,
𝜕𝐿
𝜕®𝑟
𝑎
=
¤
®𝑝
𝑎
就能得到
𝛿 ®𝜑 ·
Õ
(®𝑟
𝑎
×
¤
®𝑝
𝑎
+ ®𝑣
𝑎
× ®𝑝
𝑎
) = 0
也就是
𝛿 ®𝜑 ·
𝑑
𝑑𝑡
Õ
®𝑟
𝑎
× ®𝑝
𝑎
= 0
由于 𝛿 ®𝜑 是任意的, 那么
𝑑
𝑑𝑡
Õ
®𝑟
𝑎
× ®𝑝
𝑎
= 0
则可以定义
®
𝑀 =
Õ
®𝑟
𝑎
× ®𝑝
𝑎
称之为系统的角动量
对于不同原点选择, 假定两个坐标原点相差矢量 ®𝑎, 有关系
®𝑟
𝑎
= ®𝑟
0
𝑎
+ ®𝑎
那么两个角动量有关系
®
𝑀 = ®𝑚
0
+ ®𝑎 ×
®
𝑃
若 𝐾
0
相对 𝐾 的速度为
®
𝑉, 坐标原点在某时刻重合, 则有
®
𝑀 =
®
𝑀
0
+ 𝜇
®
𝑅 ×
®
𝑉
若系统相对 𝐾
0
静止, 即 𝐾
0
为系统的质心系, 那么
®
𝑉 为质心速度,𝜇
®
𝑉 为系统相对于 𝐾 的动量
®
𝑃, 则有
®
𝑀 =
®
𝑀
0
+
®
𝑅 ×
®
𝑃
角动量对任意轴的投影 (取为 𝑧 轴), 都可以由拉格朗日函数的微分得到
𝑀
𝑧
=
Õ
𝜕𝐿
𝜕 ¤𝜑
𝑎
其中 𝜑 为绕 𝑧 轴的转角
7 力学相似性
若势能为齐次函数, 即满足
𝑈(𝛼®𝑟
1
, ...) = 𝛼
𝑘
𝑈(®𝑟
1
, ...)
其中 𝛼 为任意常数,𝑘 是函数的齐次函数. 将坐标变为 𝛼 倍, 时间变为 𝛽 倍, 那么
𝑇
→
𝛼
2
𝛽
2
, 𝑈
→
𝛼
𝑘
𝑈
希望这两个倍数相等, 此时拉格朗日函数乘以常数 𝛼
𝑘
, 运动方程不变, 即有
𝛽 = 𝛼
1−𝑘/2
进而可以得到结论, 若系统的势能是笛卡尔坐标的 𝑘 次齐次函数, 由运动方程可以得到一系列几何上相似
的不同轨迹, 且相应点的运动时间之比满足
𝑡
0
𝑡
=
𝑙
0
𝑙
1−𝑘/2
同样的可以得到如下关系
𝑣
0
𝑣
=
𝑙
0
𝑙
𝑘/2
,
𝐸
0
𝐸
=
𝑙
0
𝑙
𝑘
,
𝑀
0
𝑀
=
𝑙
0
𝑙
1+𝑘/2
由于动能是速度的二次齐次函数, 根据欧拉齐次函数定理有
Õ
𝜕𝑇
𝜕®𝑣
𝑎
· ®𝑣
𝑎
= 2𝑇
即
2𝑇 =
𝑑
𝑑𝑡
Õ
®𝑝
𝑎
· ®𝑟
𝑎
−
Õ
¤
®𝑝
𝑎
· ®𝑟
𝑎
若系统在有限空间中以有限速度运动, 由于第一项是时间的全导数, 对时间的平均为零. 利用牛顿方程对
第二项变形
2𝑇 =
Õ
®𝑟
𝑎
·
𝜕𝑈
𝜕®𝑟
𝑎
若 𝑈 为 ®𝑟
𝑎
的 𝑘 次齐次函数, 则根据欧拉定理变形为
2𝑇 = 𝑘𝑈
结合
𝑇 + 𝑈 = 𝐸 = 𝐸
得到
𝑈 =
2
𝑘 + 2
𝐸, 𝑇 =
𝑘
𝑘 + 2
𝐸
对于微振动 𝑘 = 2, 有动能和势能对时间的平均相等. 对于牛顿引力 𝑘 = −1, 有
2𝑇 = −𝑈, 𝐸 = −𝑇
表面只有在总能量为负时, 在牛顿引力的作用下运动才是有界的
