1 相空间与正则方程
我们引入了作用量 𝑆
𝑆 =
∫
𝑡
2
𝑡
1
𝐿(𝑞, ¤𝑞, 𝑡)𝑑𝑡
𝐿 被称为拉格朗日量, 希望由此过渡到哈密顿力学. 利用勒让德变换取
𝑝 =
𝜕𝐿
𝜕 ¤𝑞
并取哈密顿量为
𝐻 = 𝑝 ¤𝑞 − 𝐿(𝑞, ¤𝑞, 𝑡)
接下来属于哈密顿力学的部分, 即抛开拉格朗日力学仅从哈密顿角度考察问题. 接下来认为 𝑝 与 𝑞 不存
在任何先验的关系, 即
不承认上述勒让德变换成立
定义哈密顿力学中的作用量为
𝑆 =
∫
𝑡
2
𝑡
1
[𝑝 ¤𝑞 − 𝐻 (𝑝, 𝑞, 𝑡)]𝑑𝑡
这与拉格朗日力学中的作用量一样是由空间的几何性质得到的. 于是相空间中 𝑆 变分为零即
∫
𝑑𝑡𝛿
(
𝑝 ¤𝑞 − 𝐻
)
=
∫
𝑑𝑡
(
¤𝑞𝛿𝑝 + 𝑝𝛿 ¤𝑞 − 𝛿𝐻
)
=
∫
𝑑𝑡
[(
¤𝑞 −
𝜕𝐻
𝜕 𝑝
)
𝛿𝑝 −
(
¤𝑝 +
𝜕𝐻
𝜕𝑞
)
𝛿𝑞
]
= 0
作为变分,
𝛿𝑞, 𝛿𝑝 是独立的
, 它们的取值互不相关, 那么必须它们的系数为零, 就得到了
𝜕𝐻
𝜕𝑞
= − ¤𝑝,
𝜕𝐻
𝜕 𝑝
= ¤𝑞
称其为哈密顿正则方程
需要加以说明的是,𝑝, 𝑞 是独立的变量, 勒让德变换只是为了从拉格朗日力学过渡到哈密顿力学. 实际上在
哈密顿力学中
𝑝 =
𝜕𝐿
𝜕 ¤𝑞
并不成立. 该式成立仅仅是在真实的运动路径上, 也就是说如此构造出来的哈密顿量
𝐻 = 𝑝 ¤𝑞 − 𝐿(𝑞, ¤𝑞, 𝑡)
得出的力学体系与拉格朗日力学等价. 然而哈密顿力学并没有规定 𝐻 的具体形式, 任何一个 𝐻 都可以得
到正则方程. 反而是拉格朗日函数, 若令 𝐿 = 𝑞, 则运动方程变为
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝐿
𝜕 ¤𝑞
−
𝜕𝐿
𝜕𝑞
= 0 ⇒ 0 − 1 = 0
这是不可以接受的
