两体问题
目录
1 束缚态开普勒问题 3
1.1 势能的解耦 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 轨道方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 有效势能 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 比内方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Laplace-Runge-Lenz 矢量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 质点分裂 8
2.1 分裂能 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 参考系变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 粒子数目分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3 弹性碰撞 10
3.1 碰撞 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.2 一动碰一静与偏角变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.3 一动碰一静质量的讨论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.3.1 动小于静 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.3.2 动大于静 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.3.3 质量相等 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4 中心势场中的散射 13
4.1 散射角 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1
1 束缚态开普勒问题
考察由两个质点 𝑚
1
, 𝑚
2
孤立系统在势能 𝑉 (r
1
− r
2
) 下的运动情况, 其中 r
1
, r
2
是两个质点相对于原点 𝑂
的位矢. 那么可以写出其拉格朗日量
𝑇 =
1
2
(𝑚
1
¤r
1
2
+ 𝑚
2
¤r
2
2
)
𝐿 = 𝑇 −𝑉 (r
1
− r
2
)
但是由于势能项中同时含有两个位矢, 不便于处理, 希望将两位矢解耦
1.1 势能的解耦
希望找到一组广义坐标 x
1
, x
2
使得势能可以解耦, 也就是不再同时含有两个坐标. 设新的广义坐标是原来
坐标的线性组合, 写为矩阵就是
"
r
1
r
2
#
= 𝑀
"
x
1
x
2
#
将 𝑇 写为二次型的形式 (也就是内积)
𝑇 =
1
2
[
¤r
1
, ¤r
2
]
"
𝑚
1
𝑚
2
#"
¤r
1
¤r
2
#
则代入得到
𝑇 =
1
2
[
¤x
1
, ¤x
2
]
𝑀
𝑇
"
𝑚
1
𝑚
2
#
𝑀
"
¤x
1
¤x
2
#
希望变换后 𝑇 这个二次型对应的矩阵依然是一个对角阵, 展开得到
𝑀
𝑇
"
𝑚
1
𝑚
2
#
𝑀 =
"
𝑚
1
𝑀
2
11
+ 𝑚
2
𝑀
2
21
𝑚
1
𝑀
11
𝑀
12
+ 𝑚
2
𝑀
21
𝑀
22
𝑚
1
𝑀
11
𝑀
12
+ 𝑚
2
𝑀
21
𝑀
22
𝑚
1
𝑀
2
12
+ 𝑚
2
𝑀
2
22
#
由对角阵非对角元为零得到
𝑚
1
𝑀
11
𝑀
12
+ 𝑚
2
𝑀
21
𝑀
22
= 0
将 𝑥 代入得到
𝑉 (r
1
− r
2
) = 𝑉
[
(𝑀
11
− 𝑀
21
)x
1
+ (𝑀
12
− 𝑀
21
)x
2
]
希望解耦, 令 𝑀
11
= 𝑀
21
消去 x
1
, 于是
𝑉 (r) = 𝑉
[
(𝑀
12
− 𝑀
22
)x
2
]
希望求得矩阵 𝑀, 待定系数 𝑀
11
= 𝑎, 𝑀
12
= 𝑏, 代入上文为零的式得到
𝑀 =
"
1 𝑏
𝑎 −
𝑚
1
𝑚
2
𝑏
#
注意到两组坐标有关系
"
x
1
x
2
#
= 𝑀
−1
"
r
1
r
2
#
对上面得到的 𝑀 的形式求逆得到
𝑀
−1
=
"
𝑚
1
(𝑚
1
+𝑚
2
)𝑎
𝑚
2
(𝑚
1
+𝑚
2
)𝑎
𝑚
2
(𝑚
1
+𝑚
2
)𝑏
−
𝑚
2
(𝑚
1
+𝑚
2
)𝑏
#
于是
"
x
1
x
2
#
=
"
1
𝑎
(
𝑚
1
r
1
+
𝑚
2
r
2
)
𝑚
1
+𝑚
2
1
𝑏
𝑚
2
𝑚
1
+𝑚
2
(r
1
− r
2
)
#
𝑎, 𝑏 作为待定系数是可以任意指定值的. 方便起见令 𝑎 = 1,𝑏 =
𝑚
2
𝑚
1
+𝑚
2
, 得到
"
x
1
x
2
#
=
"
r
c
r
#
于是
𝑇 =
1
2
[
r
c
, r
]
"
𝑚
1
+ 𝑚
2
𝑚
1
𝑚
2
𝑚
1
+𝑚
2
#"
r
c
r
#
于是系统的拉格朗日量可以写为
𝐿 = 𝐿
1
+ 𝐿
2
其中
𝐿
1
=
1
2
(𝑚
1
+ 𝑚
2
) ¤r
c
2
, 𝐿
2
=
1
2
𝑚
𝑟
¤r
2
−𝑉 (r)
其中 𝑚
𝑟
为
约化质量
. 对于孤立系统而言 ¤r
c
是定值, 可以忽略, 如此就将两体问题化为了有势场中的单体
问题
1.2 轨道方程
简单起见假设势能有球对称性
𝑉 (r) = r
将相对位矢 r 用球坐标表示 r → (𝑟, 𝜃, 𝜑), 则
𝐿 =
1
2
𝑚
𝑟
¤r
2
−𝑉 (𝑟) =
1
2
𝑚(¤𝑟
2
+𝑟
2
¤
𝜃
2
+𝑟
2
sin 𝜃 ¤𝜑
2
) −𝑉 (𝑟)
𝐿 不显含 𝜑, 则其对应的运动积分为守恒量
𝑃
𝜑
=
𝜕𝐿
𝜕 ¤𝜑
= 𝑚𝑟
2
sin 𝜃 ¤𝜑 = 𝐽
𝑧
该表达式为沿着 𝑧 轴的角动量, 而 𝑧 轴是可以任意取的, 于是得到了角动量守恒, 即
J = r × p
守恒
.
于是
r
与
p
都垂直于
J
,
于是得到运动为平面运动
. 简单起见不妨取 J 的方向为 𝑧 轴, 也就是令
𝜃 =
𝜋
2
, 于是得到了开普勒第二定律
𝐽 = 𝑚𝑟
2
¤𝜑 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
此时的 𝐿 写为
𝐿 =
1
2
(¤r
2
+𝑟
2
¤𝜑
2
) −𝑉 (𝑟)
由于其不显含 𝑡, 得到能量守恒
𝐸 =
1
2
𝑚(¤r
2
+𝑟
2
¤𝜑
2
) +𝑉 (𝑟)
利用角动量写为
𝐸 =
1
2
𝑚¤r
2
+
𝐽
2
𝑚𝑟
2
+𝑉 (𝑟)
得到
¤𝑟 = ±
r
2
𝑚
[
𝐸 −𝑉 (𝑟)
]
−
𝐽
2
𝑚
2
𝑟
2
同时角动量守恒可以变形为
¤𝜑 =
𝐽
𝑚𝑟
2
利用上面两式将 𝑑𝑡 消去, 即可得到轨道方程
𝑑𝜑 =
𝐽
2
𝑚𝑟
2
𝑑𝑟
q
2
𝑚
(𝐸 −𝑉) −
𝐽
2
𝑚
2
𝑟
2
也可以由 𝐿 直接写出运动方程
𝑑
𝑑𝑡
(𝑚 ¤𝑟) − 𝑚𝑟 ¤𝜑
2
+
𝜕𝑉
𝜕𝑟
= 0
解得
𝑑
𝑑𝑡
1
2
𝑚(¤r
2
+𝑟
2
¤𝜑
2
) +𝑉 (𝑟)
= 0
又反过来验证了能量守恒
1.3 有效势能
可以将能量写为
𝐸 =
1
2
𝑚 ¤𝑟
2
+𝑉
𝑒 𝑓 𝑓
( 𝑟)
其中 𝑉
𝑒 𝑓 𝑓
为有效势能
𝑉
𝑒 𝑓 𝑓
( 𝑟) =
𝐽
2
2𝑚𝑟
2
+𝑉 (𝑟)
这实际上是将二维问题化为了一维问题. 当 ¤𝑟 = 0 时 𝑉
𝑒 𝑓 𝑓
可以取到最大值 𝐸, 由此可以得出 𝑟 的范围
𝑉
𝑒 𝑓 𝑓
( 𝑟) =
𝐽
2
2𝑚𝑟
2
+𝑉 (𝑟) = 𝐸 ⇒ 𝑟
𝑚𝑖𝑛
≤ 𝑟 ≤ 𝑟
𝑚𝑎 𝑥
对于轨道方程
𝑑𝜑 =
𝐽
2
𝑚𝑟
2
𝑑𝑟
q
2
𝑚
(𝐸 −𝑉) −
𝐽
2
𝑚
2
𝑟
2
那么经过一个周期转过的角度就是
Δ𝜑 = 2
∫
𝑟
𝑚𝑎 𝑥
𝑟
𝑚𝑖𝑛
𝐽
𝑟
2
𝑑𝑟
q
2𝑚(𝐸 −𝑉 ) −
𝐽
2
𝑟
2
轨道是封闭的等价于一个周期转过的角度是 2𝜋 的整数倍, 即
𝑛Δ𝜑 = 𝑚2𝜋
1.4 比内方程
考察上文的结论
运动方程
𝑚 ¥𝑟 − 𝑚𝑟 ¤𝜑
2
+
𝜕𝑉
𝜕𝑟
= 0
角动量守恒
𝐽 = 𝑚𝑟
2
𝑑𝜑
𝑑𝑡
⇒
𝑑
𝑑𝑡
=
𝐽
𝑚𝑟
2
𝑑
𝑑𝜑
将角动量守恒代入运动方程得到
𝐽
𝑟
2
𝑑
𝑑𝜑
𝐽
𝑚𝑟
2
𝑑𝑟
𝑑𝜑
−
𝐽
2
𝑚𝑟
3
= 𝐹 ≡
𝜕𝑉
𝜕𝑟
做变量代换
𝑈 =
1
𝑟
有
𝑑𝑈
𝑑𝜑
= −
1
𝑟
2
𝑑𝑟
𝑑𝜑
于是得到了比内方程
𝑑
2
𝑈
𝑑𝜑
2
+𝑈 = −
𝑚
𝐽
2
𝑈
2
𝐹
考察上文 Δ𝜑 的计算式
Δ𝜑 = 2
∫
𝑟
𝑚𝑎 𝑥
𝑟
𝑚𝑖𝑛
𝐽
𝑟
2
𝑑𝑟
q
2𝑚(𝐸 −𝑉 ) −
𝐽
2
𝑟
2
将 𝑈 =
1
𝑟
代入替换 𝑟 得到
𝜑 − 𝜑
0
=
∫
𝑈
𝑈
0
𝑑𝑢
q
2𝑚𝐸
𝐽
2
+
2𝑚𝑘𝑈
𝐽
2
−𝑈
2
解得
𝜑 − 𝜑
0
= arccos
2𝑈 −
2𝑚𝑘
𝐽
2
q
4𝑚
2
𝑘
2
𝐽
4
+
8𝑚𝐸
𝐽
2
= arccos
𝑈𝐽
2
𝑚𝑘
− 1
q
1 +
2𝐸 𝐽
2
𝑚𝑘
2
最终得到解析形式的轨道方程, 它是圆锥曲线
1
𝑟
=
𝑚𝑘
𝐽
2
(1 + 𝑒 cos(𝜑 − 𝜑
0
)), 𝑒 =
r
1 +
2𝐸 𝐽
2
𝑚𝑘
2
可以将其化为圆锥曲线标准参数方程
𝑟 =
𝜌
1 + 𝑒 cos 𝜑
, 𝜌 =
𝐽
2
𝑚𝑘
, 𝑒 =
r
1 +
2𝐸 𝐽
2
𝑚𝑘
2
可以直接由圆锥曲线方程得到 𝑟 的最大最小值 (当然是椭圆才有最大值)
𝑟
𝑚𝑖𝑛
=
𝜌
1 + 𝑒
, 𝑟
𝑚𝑎 𝑥
=
𝜌
1 − 𝑒
若轨道是椭圆, 则有轨道参数
𝑎 =
𝜌
1 − 𝑒
2
=
𝑘
2
|
𝐸
|
, 𝑏 =
𝜌
√
1 − 𝑒
2
=
𝐽
p
2𝑚
|
𝐸
|
对于比内方程, 万有引力下
𝐹 = 𝑘𝑢
2
代入得到
𝑑
2
𝑢
𝑑𝜑
2
+ 𝑢 =
𝑚𝑘
𝐽
2
解之得到运动方程
1.5 Laplace-Runge-Lenz 矢量
Laplace-Runge-Lenz 矢量定义为
M = p × J − 𝑚𝑘
ˆ
r
它是守恒的, 这是因为
𝑑M
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
(
p × J − 𝑚𝑘
ˆ
r
)
= ¤p × J − 𝑚𝑘
𝑟 ¤r − r¤𝑟
𝑟
2
= −
𝑘r
𝑟
3
×
(
r × 𝑚¤r
)
− 𝑚𝑘
¤r
𝑟
+ 𝑚𝑘
¤𝑟r
𝑟
2
= −
𝑚𝑘
𝑟
3
[(
r · ¤r
)
r −
(
r · r
)
¤r
]
− 𝑚𝑘
¤r
𝑟
+ 𝑚𝑘
¤𝑟r
𝑟
2
= −
𝑚𝑘 ¤𝑟r
𝑟
2
+ 𝑚𝑘
¤r
𝑟
2
− 𝑚𝑘
¤r
𝑟
+ 𝑚𝑘
¤𝑟r
𝑟
又有
¤r · r = 𝑟 ¤𝑟
所以上式为零
下面探讨 M 的几何意义, 设其方位角为 𝜃
0
, 将其与 r(𝜃) 做内积
M · r = 𝑀𝑟 cos(𝜃 − 𝜃
0
)
代入定义式得到
r ·
(
p × J − 𝑚𝑘
ˆ
r
)
= 𝐽
2
− 𝑚𝑘𝑟 = 𝑀𝑟 cos(𝜃 − 𝜃
0
)
于是得到
𝑟 (𝜃) =
𝐽
2
𝑚𝑘 + 𝑀 cos(𝜃 − 𝜃
0
)
当 𝜃 = 𝜃
0
时,𝑟 取最小值. 于是M 指向近日点
2 质点分裂
2.1 分裂能
分裂前质点静止系 (𝐶 系) 有 (𝐸
𝑖𝑛𝑡
为粒子的内能)
𝐸
𝑖𝑛𝑡
= 𝐸
𝑖𝑛𝑡1
+ 𝐸
𝑖𝑛𝑡2
+
𝑝
0
2𝑚
1
+
𝑝
0
2𝑚
2
𝑝
0
为分裂出的质点动量 (相等). 定义分裂能为
𝜖 = 𝐸
𝑖𝑛𝑡
− 𝐸
𝑖𝑛𝑡1
− 𝐸
𝑖𝑛𝑡2
由能量守恒,𝜖 > 0 时才能分裂. 代入上式得到
𝜖 =
𝑝
2
0
2
1
𝑚
1
+
1
𝑚
2
=
𝑝
2
0
2𝑚
𝑟
其中 𝑚
𝑟
为约化质量
2.2 参考系变换
在实验室系中 (记为 𝐿), 分裂前的粒子有速度 V
v = V + v
0
其中 v
0
为 𝐶 系中的速度. 用矢量画图即
当 V < v
0
时,v 的方向是任取的. 而 V > v
0
时,v 的角度有一个最大值(垂直最大)
sin 𝜃
𝑚𝑎 𝑥
=
𝑣
0
𝑉
取 v
0
与 V 的夹角为 𝜃
0
,v 与 V 的夹角为 𝜃
假设 𝜃
0
的分布已知, 希望求得 𝜃 的分布. 有
tan 𝜃 =
𝑣
0
sin 𝜃
0
𝑉 + 𝑣
0
cos 𝜃
0
希望将 tan 𝜃 化为 cos 𝜃
1 − cos
2
𝜃
cos
2
𝜃
=
𝑣
2
0
(1 − cos
2
𝜃
0
)
𝑣
2
0
cos
2
𝜃
0
+𝑉
2
+ 2𝑉𝑣
0
cos 𝜃
0
于是解得
cos 𝜃
0
= −
𝑉
𝑣
0
sin
2
𝜃 ± cos 𝜃
s
1 −
𝑉
2
𝑣
2
0
sin
2
𝜃
由图可知, 当 𝑣
0
> 𝑉 时,𝜃, 𝜃
0
是一一对应的; 而 𝑣
0
< 𝑉 时, 一个 𝜃 对应两个 𝜃
0
2.3 粒子数目分布
假设有很多粒子发生了分裂, 简单起见, 再假设出射的粒子的角度 𝜃
0
是均匀分布的, 那么出射粒子的数
目与立体角成正比. 由于轴对称性, 可以不考虑 𝜑 , 那么一个 圆环状的立体角元 就是
𝑑Ω = 2𝜋 sin 𝜃
0
𝑑𝜃
0
对其归一化就能得到粒子数对 𝜃
0
的分布, 也就可以认为是单个粒子出射角度的
概率密度函数
𝑓
𝜃
(𝜃
0
)𝑑𝜃
0
=
𝑑𝑁
𝑁
=
𝑑Ω
4𝜋
=
1
2
sin 𝜃
0
𝑑𝜃
0
但是该分布是在质心系下的分布, 希望求得实验室系下的分布
在矢量三角形中使用
余弦定理
𝑣
2
= 𝑣
2
0
+𝑉
2
+ 2𝑣
0
𝑉 cos 𝜃
0
得到
𝑑 cos 𝜃
0
=
𝑑(𝑣
2
)
2𝑣
0
𝑉
=
𝑑𝑇
𝑚𝑣
0
𝑉
于是
1
2
sin 𝜃
0
𝑑𝜃
0
= −
1
2
𝑑 cos 𝜃
0
=
𝑑𝑇
2𝑚𝑣
0
𝑉
于是就得到了实验室系下粒子数对粒子动能的分布, 可以认为是单个粒子出射动能的概率密度函数
𝑓
𝑇
(𝑇)𝑑𝑇 =
𝑑𝑁
𝑁
=
𝑑𝑇
2𝑚𝑣
0
𝑉
发现概率密度 𝑓
𝑇
(𝑇) 为常函数, 因此粒子出射动能在 𝑇
𝑚𝑖𝑛
=
𝑚
2
(𝑣
0
−𝑉)
2
到 𝑇
𝑚𝑎 𝑥
=
𝑚
2
(𝑣
0
+𝑉)
2
之间呈均匀
分布
3 弹性碰撞
3.1 碰撞
𝑚
1
v
1
, 𝑚
2
v
2
→ 𝑚
1
v
0
1
, 𝑚
2
v
0
2
质心系中有
𝑣
10
=
𝑚
2
𝑚
1
+ 𝑚
2
𝑣
𝑣
20
=
−𝑚
1
𝑚
1
+ 𝑚
2
𝑣
其中
v = v
1
− v
2
质心系中出射会转一个角度
v
0
10
=
𝑚
2
𝑚
1
+ 𝑚
2
𝑣n
0
v
0
0
=
−𝑚
1
𝑚
1
+ 𝑚
2
𝑣n
0
在实验室系中
v
0
1
= v
0
10
+ v
c
=
𝑚
2
𝑚
1
+ 𝑚
2
𝑣n
0
+
𝑚
1
v
1
+ 𝑚
2
v
2
𝑚
1
+ 𝑚
2
实验室系中的动量有
p
0
1
= 𝑚𝑣n
0
+
𝑚
1
𝑚
1
+ 𝑚
2
(p
1
+ p
2
)
p
0
2
= −𝑚𝑣n
0
+
𝑚
2
𝑚
1
+ 𝑚
2
(p
1
+ p
2
)
其中
𝑚 =
𝑚
1
𝑚
2
𝑚
1
+ 𝑚
2
画成矢量图就是
其中
®
𝑂𝐶 = 𝑚v ,
®
𝐴𝑂 =
𝑚
1
𝑚
1
+ 𝑚
2
(p
1
+ p
2
),
®
𝑂𝐵 =
𝑚
2
𝑚
1
+ 𝑚
2
(p
1
+ p
2
)
3.2 一动碰一静与偏角变换
考察碰撞前 𝑚
2
静止的情况, 即有 v
2
= 0, p
2
= 0 于是
𝑂𝐵 =
𝑚
2
𝑚
1
+
𝑚
2
𝑝
1
= 𝑚𝑣 = 𝑅(圆半径)
说明此时 𝐵 点在圆上, 并且
𝐴𝐵 =
|
p
1
+ p
2
|
= 𝑝
1
那么依然可以画出矢量图
𝜃
1
即动质点偏离原速度的角度, 𝜃
2
即静质点碰后速度与动质点的夹角, 𝜒 为质心系中动质点碰后偏离原
速度的角度
由各边长的定义和几何关系即可得到
tan 𝜃
1
=
𝑚
2
sin 𝜒
𝑚
1
+ 𝑚
2
cos 𝜒
, 𝜃
2
=
𝜋 − 𝜒
2
利用这个关系可以将质心系的偏角换到实验室系中
可以利用 𝜒 写出碰后两个质点在实验室系下的速度大小表达式
𝑣
0
1
=
p
𝑚
2
1
+ 𝑚
2
2
+ 2𝑚
1
𝑚
2
cos 𝜒
𝑚
1
+ 𝑚
2
, 𝑣
0
2
=
2𝑚
1
𝑣
𝑚
1
+ 𝑚
2
sin
𝜒
2
3.3 一动碰一静质量的讨论
3.3.1
动小于静
当 𝑚
1
< 𝑚
2
时有 𝜃
1
+ 𝜃
2
>
𝜋
2
, 也就是碰撞后质点速度的夹角大于 90
◦
由矢量图可以得知,𝑚
1
< 𝑚
2
时,p
0
1
可以沿着任何方向. 这是因为
𝐴𝑂
𝑂𝐵
=
𝑚
1
𝑚
2
,𝐴 在圆内
3.3.2 动大于静
当 𝑚
1
> 𝑚
2
时,𝐴 处于圆外, 此时 𝜃
1
存在最大值, 取最大值时 𝐴𝐶 与圆相切, 得到
sin 𝜃
1𝑚𝑎𝑥
=
𝑚
2
𝑚
1
3.3.3 质量相等
当 𝑚
1
= 𝑚
2
时,𝐴 在圆上, 此时有
𝜃
1
=
𝜒
2
, 𝜃
2
=
𝜋 − 𝜒
2
, 𝑣
0
1
= 𝑣 cos
𝜒
2
, 𝑣
0
2
= 𝑣 sin
𝜒
2
两质点飞出方向垂直
4 中心势场中的散射
4.1 散射角
𝐴 点是轨道离 𝑂 最近的点, 由有心力场的对称性, 轨道关于 𝑂 𝐴 是对称的, 则散射角可以表示为轨道偏
角: 𝑥 = 𝜋 − 2𝜑
0
, 由束缚态节中的的讨论有公式
𝜑
0
=
∫
∞
𝑟
𝑚𝑖𝑛
(𝐽/𝑟
2
)
p
2𝑚[𝐸 −𝑉 (𝑟)] − 𝐽
2
/𝑟
2
定义瞄准距离 𝑏, 和无穷远速度 𝑣
∞
, 那么能量和角动量就可以写为
𝐸 =
𝑚𝑣
2
∞
2
, 𝐽 = 𝑚𝑏𝑣
∞
上述公式就可以变形为
𝜑
0
=
∫
∞
𝑟
𝑚𝑖𝑛
(𝑏/𝑟
2
)𝑑𝑟
p
1 − 𝑏
2
/𝑟
2
− 2𝑈/𝑚𝑣
2
∞
4.2 散射截面
希望刻画粒子数对散射角的分布, 设单位时间有有 𝑑𝑁 个散射到了 [𝜒, 𝜒 + 𝑑𝜒]. 显然 𝑑𝑁 正比于总粒子数.
假设实验中单位时间单位面积有 𝑛 个粒子经过, 则定义比值散射截面用于描述
𝑑𝜎
=
𝑑𝑁
𝑛
其物理意义是散射到 [𝜒 , 𝜒 + 𝑑𝜒] 的粒子在散射前所占据的面积
瞄准距离 𝑏 与散射角 𝜒 有一一对应关系, 那么 𝑑 𝑁 也可以写为 𝑏 的函数. 散射到 [𝜒, 𝜒 + 𝑑𝜒] 的粒子分布
在散射前的一个圆环上
𝑑𝑁 (𝑏) = 𝑛2𝜋𝑏𝑑𝑏
那么
𝑑𝜎 =
𝑑𝑁
𝑛
= 2𝜋𝑏𝑑𝑏 = 2𝜋𝑏(𝜒)
𝑑𝑏
𝑑𝜒
𝑑𝜒
取绝对值是为了保证 𝑑𝜎 为正值. 设立体角元
𝑑Ω = 2𝜋 sin 𝜒𝑑𝜒
则得到了散射截面的表达式
𝑑𝜎 = 2𝜋𝑏(𝜒)
𝑑𝑏
𝑑𝜒
𝑑𝜒 =
𝑏
sin 𝜒
𝑑𝑏
𝑑𝜒
𝑑Ω
4.3 卢瑟福散射
设有势能
𝑉 (𝑟) =
𝑎
𝑟
做变量代换
𝑥 =
𝑏
𝑟
+ 𝛽 , 𝛽 =
𝑎
𝑚𝑏𝑣
2
∞
则偏转角公式就变为了
𝜑
0
=
∫
𝑥
2
𝑥
1
𝑑𝑥
p
(1 + 𝛽
2
) − 𝑥
2
其中
𝑥
1
= 𝛽, 𝑥
2
=
𝑏
𝑟
𝑚𝑖𝑛
+ 𝛽
由
角动量守恒和能量守恒
希望求得 𝑟
𝑚𝑖𝑛
𝑣
∞
𝑏 = 𝑚𝑣
0
𝑟
∞
𝑚𝑣
2
∞
=
2𝑎
𝑟
𝑚𝑖𝑛
+ 𝑚𝑣
2
0
解得
𝑟
min
= 𝑏
𝛽 +
p
1 + 𝛽
2
于是
𝑥
2
=
p
1 + 𝛽
2
于是
𝜑
0
=
𝜋
2
− arcsin
s
𝛽
2
1 + 𝛽
2
= arccos
𝛽
p
1 + 𝛽
2
反解得到 𝛽
𝛽 = cot 𝜑
0
=
𝑎
𝑚𝑏𝑣
2
∞
于是得到 𝑏 与 𝜑
0
的关系
𝑏 =
𝑎
𝑚𝑣
2
∞
tan 𝜑
0
于是就有了 𝑏 和散射角 𝜒 的关系
𝑏 =
𝑎
𝑚𝑣
2
∞
cot
𝜒
2
于是就有了卢瑟福公式
𝑑𝜎 = 2𝜋𝑏(𝜒)
𝑑𝑏
𝑑𝜒
𝑑𝜒 = 𝜋
𝛼
𝑚𝑣
2
∞
2
cos
𝜒
2
sin
3
𝜒
2
𝑑𝜒
或者用立体角表示为
𝑑𝜎
𝑑Ω
=
𝑏
sin 𝜒
𝑑𝑏
𝑑Ω
=
𝑎
2𝑚𝑣
2
∞
2
1
sin
4
𝜒
2
需要注意的是, 结合上一节的讨论, 当散射质点静止时, 该公式中的 𝜒 是质心系下的偏角, 可以利用上一
节的结论将其换为实验室系下的偏角
tan 𝜃
1
=
𝑚
2
sin 𝜒
𝑚
1
+ 𝑚
2
cos 𝜒
, 𝜃
2
=
𝜋 − 𝜒
2
对于静止质点,𝜃
2
的表达式较为简单可以直接代入
𝑑𝜎
2
= 2𝜋
𝑎
𝑚𝑣
2
∞
2
sin 𝜃
2
cos
3
𝜃
2
𝑑𝜃
2
=
𝑎
𝑚𝑣
2
∞
2
𝑑Ω
cos
3
𝜃
2
而对于入射质点, 变换较为复杂, 考察特殊情况
𝑚
2
>> 𝑚
1
, 则有 𝜒 ≈ 𝜃
1
, 𝑚 ≈ 𝑚
1
𝑑𝜎
1
=
𝑎
2𝑚
1
𝑣
2
∞
𝑑Ω
sin
4
(𝜃
1
/2)
若 𝑚
1
= 𝑚
2
, 则 𝜒 = 2𝜃
1
, 有
𝑑𝜎
1
= 2𝜋
𝑎
1
2
𝑚
1
𝑣
2
∞
!
cos 𝜃
1
sin
3
𝜃
1
𝑑𝜃
1
=
𝑎
1
2
𝑚
1
𝑣
2
∞
!
cos 𝜃
1
sin
4
𝜃
1
𝑑Ω
