输运
by 碧山秋云 (神里绫华的狗)
目录
1 热传导 2
1.1 Fourier 定律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 热传导方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 热传导系数的求解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 粘滞 3
2.1 粘滞力与粘滞系数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 粘滞系数的测量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.3 气体粘滞系数的求解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3 扩散 4
3.1 扩散系数与分子扩散方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.2 扩散系数的求解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1
1 热传导
1.1 Fourier 定律
对单位时间穿过一个面元的热量, 有 Fourier 定律 (实验定律)
d¯𝑄 = 𝑘∇𝑇 · 𝑑
®
𝑆
其中 𝑘 为热传导系数 (热导率), 由材料决定. 对于一维情形, 有
d¯𝑄 = 𝑘
𝑑𝑇
𝑑𝑧
𝑑𝑆
1.2 热传导方程
考察一维情形, 对于一个体积元 Δ𝑉, 沿温度梯度方程流入的热量为
Δ𝑄(𝑧 + 𝑑𝑧) = 𝑘𝑇
0
(𝑧 + 𝑑𝑧)Δ𝑆𝑑𝑡
流出热量为
Δ𝑄(𝑧) = 𝑘𝑇
0
(𝑧)Δ𝑆𝑑𝑡
那么该体积元吸收的热量为
Δ𝑄 = 𝑘Δ𝑆𝑑𝑡 [𝑇
0
(𝑧 + 𝑑𝑧) −𝑇
0
(𝑧)] = 𝑘Δ𝑆𝑑𝑡𝑇
00
(𝑧)𝑑𝑧 = 𝑘𝑇
00
(𝑧)Δ𝑉 𝑑𝑡
那么就有
Δ𝑄
Δ𝑉
= 𝑘𝑇
00
(𝑧)𝑑𝑡 = 𝑑𝑞
如果可以定义比热 𝑐, 即 𝑑𝑞 = 𝜌𝑐𝑑𝑇, 那么就得到了一维热传导方程
𝑑𝑇
𝑑𝑡
=
𝑘
𝜌𝑐
·
𝑑
2
𝑇 (𝑧)
𝑑𝑧
2
1.3 热传导系数的求解
设气体分子平均自由程 𝜆, 单位时间碰撞次数 Γ, 平均热运动速率 𝑣, 由分子动理论可以得到
Γ =
√
2𝜋𝑑
2
𝑣𝑛, 𝑣 =
√
8𝑘𝑇
𝜋𝑚
, 𝜆 =
𝑣
Γ
=
1
√
2𝜋𝑑
2
𝑛
认为传导的能量是气体分子的动能, 那么考察一个面元, 近似认为距离该面元一个自由程以内的分子可以
穿过, 那么面两侧相减就能得到穿过该面的分子携带的能量
1
6
𝑛𝑣Δ𝑆[𝜖 (𝑧 +𝜆) − 𝜖 (𝑧 − 𝜆)]
其中 𝜖 为单个分子的动能, 认为 𝜆 很小, 那么就可以写成微分形式, 稍加化简得到
1
3
𝑛𝑣
𝑑𝜖
𝑑𝑧
Δ𝑆
又有
𝑑𝜖
𝑑𝑧
=
𝑑𝜖
𝑑𝑇
·
𝑑𝑇
𝑑𝑧
= 𝐶
𝑚
𝑑𝑇
𝑑𝑧
其中 𝐶
𝑚
为单个分子的热容量, 根据分子动理论有
𝐶
𝑚
=
𝑡 + 𝑟 + 2𝑠
2
𝑘
那么
𝑘 =
1
3
𝑛𝑣𝜆𝐶
𝑚
将表达式代入可得 𝑘 ∝ 𝑇
1
2
, 与粒子数密度无关. 但是由于分子有效直径 𝑑 随温度增大而减小, 实际上指数
上会比
1
2
大一些
若是温度大于某个临界温度 𝑇
𝐻
, 则会形成 Benard 对流, 呈六边形
2 粘滞
2.1 粘滞力与粘滞系数
对于流体两个六层之间的一个面积元有粘滞力为
𝑓 = 𝜂
𝑑𝑢(𝑧)
𝑑𝑧
Δ𝑆
其中 𝜂 为粘滞系数
2.2 粘滞系数的测量
将两个桶 (𝑅, 𝑟) 套起, 中间填充流体, 外筒以 𝑣 = 𝜔𝑅 旋转带动流体旋转, 内筒用一根绳吊起, 可以测量力
矩. 平衡后内筒速度为 0
认为流体速度随半径线性变化, 即
𝑑𝑢(𝑧)
𝑑𝑧
=
𝑢
𝑅
− 𝑢
𝑟
𝑅 −𝑟
=
𝜔𝑅
𝑅 −𝑟
即可得到内筒受到的粘滞力的力矩
𝐺 = 𝑟 𝑓 = 𝜂
𝜔𝑅
𝑅 −𝑟
2𝜋𝑟 · 𝑙 ·𝑟
测量 𝐺 即可得出 𝜂
2.3 气体粘滞系数的求解
认为粘滞力由气体分子携带的宏观动量产生, 一个分子携带的宏观动量为 𝑚𝑢(𝑧), 那么穿过某个面元的动
量为
𝑑𝑝 =
1
3
𝑛𝑚𝑣Δ𝑆𝑑𝑡𝑢
0
(𝑧)
代入方程就可以得到粘滞系数
𝜂 =
1
3
𝜌𝑣𝜆
其中 𝜌 = 𝑛𝑚 为密度
对比热传导系数
𝑘
的表达式可以得到
𝑘
𝜂
𝐶
𝑚
𝑚
= 𝐶
𝑠
⇒
𝑘
𝜂𝐶
𝑠
= 1
对于理想气体, 有
𝜂 ∝ 𝑇
1
2
同样的原因, 实际指数会大一些
3 扩散
3.1 扩散系数与分子扩散方程
单位时间内, 通过面元 𝑑
®
𝑆 的分子数为
𝑑𝑁 = 𝐷∇𝑛 · 𝑑
®
𝑆
其中 𝐷 为扩散系数, 对于一维情形有
Δ𝑁 = 𝐷
𝑑𝑛(𝑧)
𝑑𝑧
Δ𝑆
与热传导相同, 可以推出一维情形下的分子扩散方程
𝜕𝑛(𝑧, 𝑡)
𝜕𝑡
= 𝐷
𝜕
2
𝑛(𝑧, 𝑡)
𝜕𝑧
2
3.2 扩散系数的求解
同样考察一个面元, 得到
Δ𝑁 =
1
6
𝑣𝜆 Δ𝑆𝑑𝑡 [𝑛(𝑧 +𝜆) − 𝑛(𝑧 −𝜆)]
代入得扩散系数的表达式
𝐷 =
1
3
𝑣𝜆
对比粘滞系数 𝜂 的表达式得到
𝜂 = 𝐷 𝜌 ⇒
𝜂
𝐷𝜌
= 1
