量子力学初步
目录
1 普朗克黑体辐射公式 2
1.1 黑体辐射 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 电磁波模式密度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 普朗克量子假说 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 光电效应与康普顿散射 4
3 德布罗意的物质波 4
3.1 不确定关系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1
1 普朗克黑体辐射公式
1.1 黑体辐射
利用热力学基本方程
𝑑𝑈 = 𝑇 𝑑𝑆 − 𝑝𝑑𝑉
在以 (𝑉, 𝑇 ) 为自变量时有
(
𝜕𝑈
𝜕𝑉
)
𝑇
= 𝑇
(
𝜕𝑆
𝜕𝑉
)
𝑇
− 𝑝
利用 Maxwell 关系
(
𝜕𝑆
𝜕𝑉
)
𝑇
=
(
𝜕 𝑝
𝜕𝑇
)
𝑉
上式写为
(
𝜕𝑈
𝜕𝑉
)
𝑇
= 𝑇
(
𝜕 𝑝
𝜕𝑇
)
𝑉
− 𝑝
定义 𝑢 为单位体积内的内能 (即能量密度)
𝑢 ≡
(
𝜕𝑈
𝜕𝑉
)
𝑇
那么
𝑢 = 𝑇
(
𝜕 𝑝
𝜕𝑇
)
𝑉
− 𝑝
此处直接引用统计物理的结论
(
光子气
)
平衡辐射所产生的辐射场的辐射压强 𝑝 与能量密度 𝑢 有关系
𝑝 =
1
3
𝑢
代入上式就得到了
𝑢 ∝ 𝑇
4
平衡辐射所产生的辐射场的能量通量密度或称辐射通量密度服从
𝐽 =
1
4
𝑐𝑢
1.2 电磁波模式密度
由于黑体辐射与黑体形状无关, 不妨就假设有一个正方形的空腔, 边长为 𝐿. 先考察一维情形
在 𝐿 的长度内形成驻波, 要求端点是驻波的波节, 即振幅始终为零. 这就要求 𝐿 是波长的整数倍
𝐿 = 𝑛𝜆, 𝑛 ∈ Z
写成波数的形式, 利用 𝑘 =
2𝜋
𝜆
𝐿 =
𝑛 · 2𝜋
𝑘
⇒ 𝑘 =
𝑛 · 2𝜋
𝐿
电磁波的模式 (也就是波矢 𝑘) 是离散的, 也就是量子化的. 在 𝑘 ∼ 𝑘 + Δ𝑘 中可能出现的模式数目就是
Δ𝑛 =
Δ𝑘 𝐿
2𝜋
回到三维情形, 麦克斯韦方程组告诉我们电磁波的电矢量的三个分量满足同一个方程, 并且可以分开讨论
∇
2
E =
1
𝑐
2
𝜕
2
E
𝜕𝑡
2
由于对称性, 在 k ∼ k + Δk 中可能出现的模式就是
Δ𝑛 = Δ𝑛
𝑥
Δ𝑛
𝑦
Δ𝑛
𝑧
=
𝐿
3
𝜋
3
Δ𝑘
𝑥
Δ𝑘
𝑦
Δ𝑘
𝑧
若是 𝐿 很大,Δ 就可以换为微分
d𝑛 =
𝐿
3
8𝜋
3
d𝑘
𝑥
d𝑘
𝑦
d𝑘
𝑧
注意此时的 k 处于一个 𝑘-空间中,d𝑘
𝑥
d𝑘
𝑦
d𝑘
𝑧
是一个小体积元,𝑑𝑛 是这个小体积元中可能的模式数量
不过我们并不关系
k
的方向
,
我们只关心
𝑘
的大小
!(
因为给出
𝜆
并不能确定
𝑘
的方向
),
因而将其换为球
坐标系下的表达式
d𝑛 =
𝐿
3
8𝜋
3
𝑘
2
sin 𝜃d𝑘d𝜃d𝜑
处于不同方向相同大小的 k, 体积元内的模式数量应当是一致的, 因此对 𝜃, 𝜑 积分得到仅含有 𝑑𝑘 的表达
式
d𝑛 =
𝐿
3
2𝜋
2
𝑘
2
d𝑘
再将其换到 𝜆 下, 即利用
𝑘 =
2𝜋
𝜆
⇒ 𝑑𝑘 = −
2𝜋
𝜆
2
𝑑𝜆
因而在波长 𝜆 ∼ 𝜆 + 𝑑𝜆 内的模式数量就是
𝑑𝑛 =
𝐿
3
2𝜋
2
·
4𝜋
2
𝜆
2
·
2𝜋
𝜆
2
𝑑𝜆 =
4𝜋𝐿
3
𝜆
4
𝑑𝜆
同时对体积与波长归一化, 得到模式密度
𝜌 =
𝑑𝑛
𝐿
3
𝑑𝜆
=
4𝜋
𝜆
4
实际上, 同一个 𝜆 存在两个不同的模式: 左旋偏振/右旋偏振 (或是水平偏振/垂直偏振), 类似于基矢, 因
而模式数目需要乘以二
𝜌 =
𝑑𝑛
𝐿
3
𝑑𝜆
=
8𝜋
𝜆
4
1.3 普朗克量子假说
普朗克认为, 电磁波的能量是量子化的, 每一种振动模式的能量只能取 𝜖 = ℎ𝜈 的整数倍. 它还服从玻尔兹
曼分布
𝑓
𝑛
= 𝐶𝑒
−
𝐸
𝑛
𝑘
𝐵
𝑇
, 𝐶 = 1 − 𝑒
−
𝜖
𝑘
𝐵
𝑇
因而每一种振动模式的平均能量就是
𝐸 =
∞
∑
𝑛=0
𝐸
𝑛
𝑓
𝑛
=
𝜖
𝑒
𝜖 /𝑘
𝐵
𝑇
− 1
因而单位体积内波长为 𝜆 的能量密度就是
𝑢(𝜆) = 𝑛(𝜆)𝐸 =
8𝜋ℎ𝑐𝜆
−5
𝑒
ℎ𝑐/𝜆𝑘
𝐵
𝑇
− 1
该式的物理含义是在体积元 𝑑𝑉, 波长 𝜆 ∼ 𝜆 + 𝑑𝜆 的能量为
𝑑𝐸 = 𝑢𝑑𝑉 𝑑𝜆
2 光电效应与康普顿散射
见” 光学-光电效应”
3 德布罗意的物质波
在相对论情形下
𝜆 =
ℎ
𝑝
=
ℎ
𝑚𝑣
, 𝑚 =
𝑚
0
√
1 − 𝛽
2
又有 𝐸
2
= 𝑚
2
0
𝑐
4
+ 𝑝
2
𝑐
2
, 就有
𝜆 =
ℎ𝑐
𝑝𝑐
=
ℎ𝑐
√
𝐸
2
− 𝑚
2
𝑐
4
有粒子的动能满足 𝐸 = 𝑇 + 𝑚
0
𝑐
2
, 于是
𝜆 =
ℎ𝑐
√
2𝑚
0
𝑐
2
𝑇
√
1 +𝑇/(2𝑚
0
𝑐
2
)
在非相对论下, 退化为
𝜆 =
ℎ
√
2𝑚𝑇
电子穿过缝 1 的分布概率为
|
𝜙
1
|
2
, 穿过缝 2 的分布概率为
|
𝜙
2
|
2
, 那么合起来就是
|
𝜙
1
+ 𝜙
2
|
2
3.1 不确定关系
电子在 𝑥 方向上的位置不确定度为 Δ𝑥 ∼ 𝑑, 衍射极小值点满足
𝑑 sin 𝜃 = 𝑘𝜆
电子的德布罗意波满足 𝜆 =
ℎ
𝑝
, 因而
Δ𝑝
𝑥
∼ 𝑝 sin 𝜃 =
ℎ
𝑑
∼
ℎ
Δ𝑥
能量和时间也有不确定关系
Δ𝐸Δ𝑡 ≥
ℏ
2
如原子激发态的能级寿命和能级宽度的关系
