薛定谔方程

目录

1 波函数 3

1.1 波函数的引入 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 薛定谔方程的建立 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 波函数的标准条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.1 平方可积 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.2 有限, 单值, 连续 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.3 态叠加原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 定态薛定谔方程 5

3.1 平均值表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.1.1 位置 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.1.2 势能 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.1.3 动量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.1.4 动能 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1

3.1.5 总能量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.1.6 角动量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.2 算符表示的薛定谔方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.3 对易 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

𝐸 = ℎ𝜈, p =

ℎ

𝜆

引入 ℏ ≡

𝐸 = ℏ𝜔, p = ℏk

其中 𝜔 为波的圆频率,k 为波矢. 那么自由粒子的德布罗意波的波长和频率也是不变的. 这是一个单色平

面波

𝜓(r, 𝑡) = 𝜓

𝑒

若粒子在势场中运动, 波函数就不再是简单的波.波函数不对应实际的物理量, 它表示概率分布. 设电子到

达屏的波函数为 𝜓(𝑥), 那么单个电子的概率密度函数就是

|

𝜓(𝑥)

|

在空间 r 处 𝑑𝜏 体积元内粒子出现的概率为

|

|

对时间求导得到

𝜕𝜓

= 𝐸𝜓

再对空间求二阶导有

𝜕

𝜓

𝜕𝑦

𝜕

相加就是

∇

𝜓 = −

𝑝

𝜓

就有了自由粒子满足的微分方程

𝑖ℏ

𝜕𝜓

𝜕𝑡

= −

∇

𝜓

再考虑在外场的情况下. 在一般的外场下, 能量写为

𝐸 =

𝑝

粒子在空间 𝑟 处的概率密度是

(

r

, 𝑡

)

|

(

, 𝑡

)

|

𝜓

𝜓

对时间求导得到

𝜕𝜌

𝜕𝑡

𝜕𝜓

𝜕𝜓

= −

𝑖ℏ

−

+𝑉 (r, 𝑡)

代入得到

𝜕𝑡

= −∇ ·

(𝜓

∇𝜓 − 𝜓∇𝜓

)

𝜕𝜌

𝜕𝑡

+ ∇ · j = 0

可以类比电流连续性方程 (电荷守恒)

𝜕𝜌

𝜕𝑡

+ ∇ · j = 0

可以称为

粒子概率守恒

1.3 波函数的标准条件

1.3.2 有限, 单值, 连续

计入时间部分的波函数得到

𝜓(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑒

+ 𝐵𝑒

分别对应 𝑥 方向平面波和 −𝑥 方向的平面波

边界条件: 在 𝑥 = 0 连续

𝑢(𝑥)|

= 0 ⇒ 𝐴 + 𝐵 = 0

√

得到

𝐸

𝜋

𝑛

, 𝑛 ∈ Z

𝐴 sin

𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎

归一化得到

𝐴 =

𝑎

𝑛𝜋

𝑎

𝑛𝜋

𝜋

在势阱内的粒子的动能不可能为零

2.2.2 方势垒散射

𝑉 (𝑥) =

𝑉

, 0 ≤ 𝑎 ≤ 𝑎

定态薛定谔方程

解为

𝑒

, 𝑘

则

= 𝑘

𝑢

解为

𝑢(𝑥) = 𝐴

𝑒

+ 𝐵

𝑒

解为

𝑢(𝑥) = 𝐴

𝑒

+ 𝐵

𝑒

区域中什么都没有,𝐵

应当为零 (无反射波)

对于入射波 𝑢

, 代入

对于一维定态问题, 求解该方程得到

𝐸

𝜈 +

ℎ𝜈

其中

𝜈 = 0, 1, 2, ··· , 𝜈

𝜇

谐振子的能级是等间距的, 间距为 ℎ𝜈

; 存在振动零点能

ℎ𝜈

谐振子的波函数为

𝑒

𝐻

(𝛼𝑥)

其中

𝛼

, 𝐻

(𝑥) = (−1)

𝑑𝑥

𝑒

3.1 平均值表示

3.1.1 位置

对于一维方势阱, 粒子的位置是不确定的, 取值在 [0, 𝑎] 之间, 但粒子的概率密度分布是确定的, 可以得到

粒子位置的平均值

⟨

𝑥

⟩

一般地, 设粒子的波函数为 𝜓(r, 𝑡), 则 𝑡 时刻粒子出现在 r 附近 𝜏 体积元内的概率为

𝜌(r, 𝑡) = 𝜓

𝜓𝑑𝜏

3.1.2 势能

3.1.3 动量

由于不确定性原理,位置和动量不能同时具有确定的取值, 粒子在空间某点的动量是没有意义的

将位置空间的波函数用单色平面波展开

(2𝜋ℏ)

𝜑(p, 𝑡)𝑒

(2𝜋ℏ)

ℏ

|

|