氢原子能级的精细结构

目录

1 电子自旋与自旋-轨道相互作用 2

1.1 轨道磁矩 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 轨道磁矩与磁场的相互作用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Stern-Gerlach 实验 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 电子的自旋 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.5 自旋-轨道相互作用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.6 总角动量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 氢原子精细结构能级 10

1

1 电子自旋与自旋-轨道相互作用

1.1 轨道磁矩

闭合轨道上的电子运动形成一个小电流环, 可以看作一个磁偶极子, 磁偶极矩为

µ

l

= 𝐼𝑆ˆn =

𝑒𝑣

r × 𝑚

v = −

𝑒

L

轨道磁矩在 𝑧 的分量为

𝜇

𝑒

𝑚

其中 𝜇

𝜇

与 𝐿

的比值是一个常数, 定义电子的轨道旋磁比为

𝑒

对于原子中的电子轨道磁矩

L × B = ω × L

其中

ω =

𝑒

B =

𝜇

B

在 Stern-Gerlach 实验中, 只用考虑 𝑧 方向的磁场 𝐵

= 𝜇

𝜕𝐵

此处为方便起见将 𝑧 轴取为磁场方向, 实际上可以取任意方向为 𝑧 轴, 也会得到相同的结果

由于 𝜇

是量子化的, 那么出磁场区域的偏转就是分立的. 实验验证了这一点, 然而却是中心对称的两条,

其中 𝑠 是电子自旋角动量量子数, 简称为自旋量子数,𝑚

是与自旋角动量 𝑧 分量对应的自旋磁量子数

当 𝑠 一定时 𝑚

, 𝑚

𝑆

𝑚

这是轨道旋磁比的两倍, 这个系数称为朗德 𝑔 因子. 那么自旋磁矩就可以写为

µ

s

𝑒

S = −𝑔

𝑔

𝜇

它的物理含义是以 𝜇

𝜇

它的值应当为 1, 那么轨道磁矩就可以表示为

𝑒

L = −𝑔

𝜇

电子的轨道运动会在原子内部产生一个内磁场. 引入自旋后, 电子具有的自旋磁矩与原子内磁场的磁相互

由于 δv 是小量, 因而 𝛾

𝑦

𝑧

,

𝑥

𝑦

𝑧

𝑐𝑡

𝑐𝑡

𝑧

𝛾

𝛾

𝑥

𝑦

𝑧

𝑦

𝑦

𝑥

𝛾𝑐𝑡

𝛾𝑣𝑡

𝑐𝑡

𝑣𝑡

𝛿𝑣

𝛾𝑣

同样地, 设 𝑆 系在 𝑡 时刻于原点 𝑂(0, 0) 发生一事件, 在 𝑆

系观测下它的时空坐标有

如果考虑自旋-轨道相互作用, 自旋角动量将不再是一个守恒量

= µ

代入

s

e

𝑚

𝑐

𝑟

原子的总角动量应当是守恒的, 那么轨道磁矩的变化就相反

= −𝜉(𝑟)L × S

其中 𝑗 是总角动量量子数,𝑚

L, S 受到的力矩都垂直于总角动量, 那么 𝐿

, 𝑆

仍是守恒量,𝑙, 𝑠 还是好量子数, 但 𝐿

希望得到 𝑗 与 𝑚

1

J

, 𝐽

= 𝑚

J

, 𝐽

= 𝑚

描述体系的状态, 当 𝑗

给定后有 (2 𝑗

的 ( 𝑗, 𝑚)

角动量 𝑧 分量直接相加

= 𝑗

𝑚𝑖𝑛

而总的状态数目应该是 (2 𝑗

, 𝑗

对于给定量子数 𝑙 和 𝑠 =

的单原子电子, 总角动量量子数的取值就是

得

S · L =

𝐽

还可以通过算符考虑角动量的加法. 角动量算符有对易关系

ℏ𝐽

其中

𝐽

,

𝐽

𝐽

考察角动量的和 J

1

, J

1

即

𝐽